高考数学复习点拨对解斜三角形考点的阐释新人教A版

2 ，求 B ．
分析： 这三个小题看似相同， 其实大相径庭，虽然都是已知两边及其中一边的对角，
求
另一边的对角，但结果却是一个一解，一个两解，第（
3 ）小题无解，下面我们来逐个分析．
解：（ 1）根据正弦定理 a
b ，得 sin B b sin A
sin A sin B
a
2 sin 45 1
．
2
2
∵ a b ， A B ，而 A 45 ， B 30 ．
分析： 首先根据题意画出图形，如图所示先由 △ ABP 求出 BP 的距离，然后由直角三角
形 BPC 求出 CP 的距离．
解： 如图，根据题意可知
AB 30 40 20 ， BAP 180 60 120 ， 60
ABP 30 ， PBC 180 (30 60 ) 90 ．
在 △ABP 中 ， 利 用 正 弦 定 理 AB
对解 斜三角形 考点的阐释
考点 1：已知两边及其中一边的对角解三角形用正弦定理或余弦定理 （可能一 解、两解、或无解） ．
例1 （1）
在 △ ABC 中， 已知 A 45 ， a 2，b
2 ，求 B ；
（2） 已知 A 30 ， a 2， b 2 ，求 B ；
（3）
已知 A 30 ， a 1 ， b 2
例 2 已知 △ABC 中， a 3， b 2， B 45 ，试求角 AF，C 和边 c ．
分析： 已知两边及其中一边的对角解三角形可用正弦定理或余弦定理，
现用余弦定理来
解．
解：设边 c x ，由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cosB ，得 ( 2) 2 ( 3) 2 2x2 3 cos45 x
a 2k ， b 6k ，
c ( 3 1)k ，用余弦定理解决．
解： 令 a 2k ， b 6k ， c ( 3 1)k ，
利用余弦定理 cos A b 2 c2 a2 2bc
6 ( 3 1)2 4 2 ( 3 1) 6
2 ， A 45 ． 2
用同样的方法可得， B 60 ． 因此， C 180 45 60 75 ．
．
整理得 x 2 6 x 1 0 ， x
（1） 当 x （2） 当 x
62 时， cos A
2 62
时， cos A 2
62 ．
2
2
2
2
bca
2bc b2 c2 a 2
2bc
1 ， A 60 ，C 75 ． 2
1 ，
A 120 ， C
15 ．
2
用心 爱心 专心
综上两种情况： A 60 ， C 75 ， c
BP ， 20 BP ，
sin BPA sin BAP
13
22
BP 20 3 ．
在 △BPC 中， BC
80 30
40 ，
PBC
90 ，
60
PC PB 2 BC 2 (20 3) 2 402 20 7 （海里）
用心 爱心 专心
点评： 已知三角形三边的比，或已知三边的长度，都可用余弦定理解决，只是已知三
边的比时，可引用参数 k ，但在解题时分子分母中可将参数 k 约掉．
考点 3： 已知两边及夹角用余弦定理（必有一解） ．
例4 在 △ ABC 中， BC a， AC b， a，b 是方程 x2 2 3x 2 0 的两个根， 且 2cos( A B) 1，试求边 AB 的长．
解： 由题意，得 a b 2 3， ab 2.
AB2 AC2 BC 2 2 AC BC cosC
b2 a2 2ab
1 (a b) 2 ab 2
(2 3) 2
2 10 ．
AB 10 ．
点评：因为解方程组分别求出
a b 23
a 和 b 的值比较麻烦， 所以将
的值直接代入，
ab 2
用心 爱心 专心
巧妙而简洁，通常称为整体代入，这种解题技巧要注意运用．
考点 4： 已知两角与一边用正弦定理（在有解时只有一解） ．
例 5 某海轮以 30 海里／小时的速度航行， 在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60 ，向 北航行 40 分钟后到达 B 点， 测得海面上油井 P 在南偏东 30 ，海轮改为北偏东 60 的航向再 行驶 80 分钟到达 C 点，求 P， C 间的距离．
6 2 或 A 120 ，C 15 ，c 2
6 2． 2
点评： 用余弦定理解决此类问题，是设量解方程的Hale Waihona Puke Baidu想，也是经常用的方法．
考点 2： 已知三边用余弦定理（当有解时只有一解） ．
例 3 已知 △ABC 中， a∶b∶c 2∶ 6∶( 3 1) ，求 △ABC 中各角的度数．
分析 ： 虽然此题三边都不确定，但它们的比例一定，所以可设
（ 2）根据正弦定理 a
b ，得 sin B b sin A 2sin30
sin A sin B
a
2
2 ．
2
∵ a b ， A B ，而 A 30 ， B 为锐角或钝角， B 45 或 B 135 ．
a
b
b sin A
(3)根据正弦定理
，得 sin B
sin A sin B
a
2 sin30 1 2
2 ，无解．