3.2一元二次不等式及其解法 第二课时 课件(北师大版必修五)

法二：当 x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立． ∵x
2
12 3 －x＋1＝ x－2 ＋4>0，
6 又 m(x －x＋1)－6<0，∴m< 2 . x －x＋1
2
∵函数 y＝
6 6 6 ＝ 在 [1,3] 上的最小值为 7， 12 3 x2－x＋1 x－ ＋ 2 4
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[自主解答] 然－1<0. 若
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立， 若 m＝0， 显
m<0， m≠0， 2 Δ ＝ m ＋4m<0
⇒－4<m<0.
∴－4<m≤0.
解：(1)由题意可知， 只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4 与直角坐标系中的x轴无交点时，才满 足题意，
则其相应方程x2＋2(a－2)＋4＝0此时应满足Δ<0，即
4(a－2)2－16<0，解得0<a<4.
(2)若对任意 x∈[－3,1]，f(x)<0 恒成立，则满足题意的 函数 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4 的图象如图所示． f－3<0， 由图象可知，此时 a 应该满足f1<0， －3<2－a<1，
(2)法一：要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立． 就要使
12 3 mx－2 ＋4m－6<0
在 x∈[1,3]上恒成立．
令
12 3 g(x)＝mx－2 ＋4m－6，x∈[1,3]．
当 m>0 时，g(x)是增函数，
∴g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0. 6 ∴0<m<7； 当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)是减函数， ∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得 m<6.∴m<0. 6 综上所述：m<7.
a<0， 时， Δ<0.
(3)f(x)≤a 恒成立⇔a≥[f(x)]max， f(x)≥a 恒成立⇔a≤[f(x)]min.
[通一类] 2．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4， (1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)<0恒成 立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1>0 即为－6x ＋6x＋1>0，整理
2
得 x2－x－6<0，解得－2<x<3. 即不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
[悟一法]
求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx
＋c<0(a>0)的解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方 程根的关系，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解 集．因此一元二次不等式解集的区间端点，就是其对应的 函数的零点，也就是其对应的方程的根．
[研一题] [例 1] 已知一元二次不等式 x2＋px＋q<0 的解集为{x|
1 1 －2<x<3}，求不等式 qx2＋px＋1>0 的解集．
[自主解答]
因为 x2＋px＋q<0 的解集为
1 1 1 1 {x|－2<x<3}，所以 x1＝－2与 x2＝3是方程 x2＋px＋q＝0 的两个实数根． 1 1 3－2＝－p， 由根与系数的关系得 1×－1＝q， 2 3 1 p＝6， 解得 q＝－1. 6
6 ∴只需 m<7即可．
本例中，是否存在实数m，使f(x)≥0恒成立？ 解：假设存在实数m，使f(x)≥0恒成立．
∵f(x)＝mx2－mx－1，且 f(x)≥0 恒成立，
m>0， ∴ Δ≤0. m>0， 即 2 m ＋4m≤0， m>0， ∴ －4≤m≤0，
∴不存在 m 使 f(x)≥0 恒成立．
[悟一法] (1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条 件是：当 a＝0 时，b＝0，c>0； 当 a≠0
a>0， 时， Δ<0.
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解是全体实数(或恒成立)的 条件是：当 a＝0 时，b＝0，c<0； 当 a≠0
[通一类] 1 1．若不等式 ax ＋bx＋c≥0 的解集是{x|－3≤x≤2}，求不
2
等式 cx2＋bx＋a<0 的解集．
解：法一：由 ax2＋bx＋c≥0 的解集为 1 {x|－3≤x≤2}知 a<0， 1 c 又(－3)×2＝a<0，则 c>0. 1 又－3，2 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， b 5 ∴－a＝3，
25－;a<5，
25 a> 6 ， 1 解得 a<－2， 1<a<5.
这样的实数 a 是不存在的，
所以不存在实数 a 满足：对任意 x∈[－3,1]，f(x)<0 恒成立．
1 －3＋2 b 1 1 5 －c＝ c ＝ 1 ＝ 1 ＋2＝－2， －3×2 －3 a 1 ∴x1＝ 1 ＝－3，x2＝2， －3 ∴不等式 cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为 1 {x|－3<x<2}. 1
b －a
[研一题]
[例2] (2011· 抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
b 5 ∴a＝－3. c 2 又a＝－3， 5 2 ∴b＝－3a，c＝－3a. 2 2 5 ∴不等式变为(－3a)x ＋(－3a)x＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 1 所求不等式的解集为{x|－3<x<2}．
1 b 1 c 法二： 由已知得 a<0 且(－3)＋2＝－a， (－3)×2＝a知 c>0， 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝ c， a 其中 c＝ 1 3 ＝－2， 1 －3×2