刚体动力学解法例题解

vo
S v0 m
0 0
23
1. 运动的第一阶段(连滚带滑)
ma Ff 0 N mg mr 2 r F f
Ff f N
y

mg
x
a
Ff
o
N
可解得(积分并代入初始条件)：
v fgt v0 fgt r
(v , )
m1
解：应用冲量定理
v m A
1
m1v A m2vC I x : m1v A m2vC I
应用对固定点（与A点重合）的冲量矩定理

C L m2
m2
B
vC
L 1 m2vC m2 L2 IL 2 12
1 m2 L2 I L 3
I
12
O
例题：若已知：l1 l2 l , m1 m2 m , I .
fgt1 fg t1 v0 r r
24
设经过 t1 时间，环达到纯滚动： v r
v0 t1 , 2 fg
v0 v1 v0 fgt1 , 2
v0 1 2r
2. 运动的第二阶段(纯滚)
y

mg
x
ma Ff 0 N mg mr 2 r F f
n dL M A ( Fi ( e) ) dt i 1 n dLr ( e) C MC ( Fi ) dt i 1
2
r A
（4）相对质心的动量矩定理
二、平面运动刚体惯性力系的简化
简化条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面 惯性力向质心简化：
{F1I ,
, FiI ,
, FnI } {FIR , M Ic }
a
Ff
o
a r
可得：

Ff m

r Ff mr
2
N
r
Ff 0
可解得(积分并代入初始条件)：
v0 v v1 2 v0 1 2r
(t t1 )
25
如果考虑滚动摩擦阻力，滚动摩擦系数为μ。试求经过多少时 间后圆环会停下来。 y 1. 运动的第一阶段(连滚带滑)
2 2 vB x B yB
y
A
o
B
AB
A x
I AB l Il AB cos AB t 2m 2m 2
2
2
21
I AB l Il AB vB x y cos AB t 2m 2m 2
2mvcx 0 I 2mvcy 0 0 2 2 m l 0 l I AB 2 2
I vcx 2m vcy 0 AB I ml
y
B
o C
AB
x
I
A
18
(2) 系统在运动过程中杆的内力FAB : y 由于水平面内无作用力， 故刚体将以不变的速率 (vcx , vcy , AB ) 运动，不计 质量的杆 AB 是二力杆。
例题：若已知：l1 l2 l , m1 m2 m , F mg . 求: 初始静止,求初瞬时两杆 的角加速度.
m1 g l 1
A
FI 1
MI2
解: 刚体系统动力学问题, 用动静法。
(1) 研究整体, 受力分析。
FI 2
1 1 FI 1 m1l11 FI 2 m2 l11 l2 2 2 2 1 1 2 2 M I 2 m2l2 2 M I 1 m1l1 1 12 12 8
5
O
x
4. 设系统有虚位移：

l1
θ=0， 0 ：
则有虚位移关系：
m1
y
l r2 2 m1 g m2
m2 g
r1 0, r2 l2
F
5.
由虚位移原理：
2 2 2
W m gl sin Fl cos
0
F tan 1 m2 g
(1) 冲击结束后的瞬时杆AB的角速度 AB ； (2) 系统在运动过程中杆的内力 FAB ；
(3) 小球B的运动方程 xB xB (t ), yB yB (t ) ；
(4) 当杆AB第一次与x轴平行时，小球B运动轨迹的曲率半 径。 y
B
o
I
x
A
17
(1) 冲击结束后的瞬时杆AB的角速度: 由冲量定理和(对质心C)冲量矩定理:
AB
o
B
vcx
x
A
取小球 B 为研究对象:
maB FAB
l 2 aB AB 2
B
FAB
1 2 ml AB 2
FAB
A
19
(3) 小球B的运动方程 xB xB (t ), yB yB (t ) ； y 由于水平面内无作用力， 故刚体将以不变的速率 (vcx , vcy , AB ) 运动。
2 B 2 B
2
2
t aB vB
Il 2 sin AB t 4m I AB l Il AB cos AB t 2m 2m 2
2 2
AB t

2
l 2 aB AB 2
t 2 B
a a a
n B 2 B
用一水平冲量I。求冲击结束后的瞬时，杆的角加速度和
质心加速度。
I
C
B

vC
解：(1) 先求出碰撞结束的瞬时, 杆上 质点的速度分布;
B
碰撞结束的瞬时, 杆上 质点的摩擦力分布:
A
2 fmg 3
1 fmg 3
Cv
A
15
题：质量为m长为L的均质杆AB静止放在光滑水平面上， 若在杆的B端垂直于杆作用一水平冲量I。求冲击结束后
MI2
2
l2
B
m2 g
l2
B
FI 2 x
1 FI 2 x m2 l11 l2 2 2 1 2 FI 1 y m1 l11 2
I
1 2 FI 2 y m2 l112 l22 14 2
思考题：质量为m长为L的均质杆AB静止放在水平面上， 杆与水平面的滑动摩擦因数为f，若在杆的B端垂直于杆作
10
I Ay
A
(2) 研究AB杆, 冲量分析。
I Ax
应用动量定理:
l2 m2 l11 2 I I Ax 2
2
I
对杆心应用动量矩定理:
B
l2 l2 1 2 m2l2 2 I I Ax 12 2 2
1 ,2 , I Ax
也可以对空间与A点重合的固定点 A’应用动量矩定理:
m2
F
m2 g
F mg
求: 平衡时的位置
m1 g
?, ?
二自由度系统，取θ 和 为广义坐标。
4
O
x
r1 l
1
解： 1. 二自由度系统，
取θ 和 为广义坐标。 2. 设系统有虚位移：
m1
y
m1 g
l 2

r2
θ 0， = 0 ：
则有虚位移关系：
的瞬时，杆的角加速度和质心加速度。
I
C
B

vC
解：(1) 先求出碰撞结束的瞬时, 杆心 的速度 vC 和角速度; 碰撞结束后, 水平面内杆不受力: 碰撞结束后, 杆心将以 vC 作匀速直线 运动, 而杆将以初始角速度 (常数)匀 速转动.
16
A
试题: 质量各为m的两个相同的小球(视为质点)用长为L(不计质 量)的细杆固连，静止放在光滑的水平面上，初始时B点的坐 标为(0,L/2)，细杆在y轴上，如图所示。当小球A受到冲量 I(平行于x轴)的作用后，系统在水平面内运动。求：
l1
A
m1
求: 初始静止,求冲击结束瞬 时两杆的角加速度.
l2 m2
由前面的例子:
1 ,2
I
B
13
Fy
O
用动静法。
Fx
1 M I 1 m1l121 12 MI2 1 2 m2l2 2 12
FI 1 y
O
M I1 FI 1x
1
l1
A
m1 g l 1
FI 2 y A
FI 1x
1 m1l11 2
6
O
x
求: 平衡时的位置.
1. 设系统有虚位移：
1
l1
2
l2
2.
1 0, 2 3 0
设系统有虚位移：
m1 g
3
y
l3
3.
2 0, 1 3 0
设系统有虚位移：
m2 g
m 3g
F
3 0, 1 2 0
7
Fy
O
Fx M I1
20
(4) 当杆AB 第一次与x轴平行时，小球B运动轨迹的曲率半径:
I 1 xB t l sin AB t 2m 2 y 1 l cos t B AB 2
首次至图示位置： AB t
y
AB

2
B
o C
2 vB n aB
vcx
x
l 2 aB AB 2
l2 l2 1 2 m2 l11 2 m2l2 2 I l2 2 2 12
1 2 m2l2 2 I l2 3 11
例：已知冲量I作用前系统静止， m1
2m2 , AB L ，不计
摩擦。求冲击结束时，滑块A的速度和杆的角速度。
AA I N
刚体动力学解法
1
n dLrA M A ( Fi ( e) ) rAC ( maA ) dt i 1
rAC (ma A )
表示质点系的牵连惯性力（作用在质心C）对A点的矩
（3）质点系相对运动点动量矩定理公式的讨论
(1) : aA 0 ( 2) : rAC // aA (3) : rAC 0

2 vB n aB
2l
22
例：半径为r，质量为m的均质圆环静止地放在粗糙水平面上，
轮与水平面之间的滑动摩擦系数为f。设在初始时刻(t=0)，圆环 受到一水平通过环心的碰撞冲量S的作用，S位于圆环的所在平
面内。试确定圆环的运动规律(即圆环中心的速度、位移随时间t
的变化规律)，以环心初始时的位置为坐标原点。 解：(1) 碰撞结束的瞬时, 环心的速度 和环的角速度分别为:
l1 l2 F (l1 l2 ) M I 1 M I 2 FI 1 FI 2 l1 0 2 2
MI2
(3) 研究AB杆, 受力分析。
FAx A FAy FI 2
m2 g
(3) 方程:
MI2 FI 2
M
A
(F ) 0 :
l2
B
m2 g
F
l2
B
l2 F l2 M I 2 FI 2 0 2
AB
B
o C
A
vcx
x
1 1 xB xC l sin AB t vcxt l sin ABt 2 2
1 yB l cos AB t 2
I 1 xB t l sin AB t 2m 2 y 1 l cos t B AB 2
ma Ff 0 N mg mr 2 r F M f
1 , 2
9
F
I ox
例题：若已知：l1 l2 l , m1 m2 m , I .
I oy
O
1
l1
A
m1
求: 初始静止,求冲击结束瞬 时两杆的角速度.
解: (1) 整体冲量分析。
对o点应用动量矩定理:
2
l2 m2
B
I
l l 1 2 1 m1l1 1 ຫໍສະໝຸດ Baidu l1 2 m2 l11 2 2 m2l222 I l1 l2 3 2 2 12
m2
m2 g
1 1
F
3.
2 2
r1 r2 l1
由虚位移原理：
2
W m g r sin m g r sin F r cos
m1 gl1 sin m2 gl1 sin Fl1 cos 0 F 1 tan m1 g m2 g 2

mi
n aci
a
a
t ci
n ci
FIR
t aci

M Ic c
c
ri

mi
c
ri

ac
FIR FiI mac
i 1 n
ac
M Ic M c ( FiI ) J c
i 1 n
3
ac
O
x
例题：若已知：

l1
m1
l1 l2 l
l2
m1 m2 m

y
m2 g
l2
B
F
Fy
O
Fx M I1
1 1 FI 1 m1l11 FI 2 m2 l11 l2 2 2 2 1 1 2 M I 2 m2l2 2 M I 1 m1l121 12 12
m1 g l 1
A
FI 1
(2) 方程:
M
o
(F ) 0 :