第33招-不等式的证明方法(含答案)
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
不等式证明方法-带答案
不等式证明方法1.求证：已知c b a ,,为正实数，求证：bc ac ab a b ca b c++≥++【答案】略2.已知,x y R +∈，求证：223333()()()8x y x y x y x y +++≥【答案】证明： ∵,x y 都是正数，∴22330,0,0,0x y x y >>>>∴0x y +≥>；220x y +≥>；330x y +≥>∴由不等式的性质定理4的推论1得2233()()()x y x y x y +++≥338x y =即223333()()()8x y x y x y x y +++≥3.已知3a ≥-<-【答案】证明：1ab a b +++(1)(1)a b =++，2()()ab ac bc c a c b c +++=++.∵a 、b 、c 为正实数，∴10,10a b +≥>+≥>，0,0a c b c +≥>+≥>， ∴(1)(1)()()16a b a c b c abc ++++≥， 即原不等式成立.4.设,,a b c 为正实数，求证：333111abc abc+++≥证明：因为,,a b c 为正实数，由平均不等式可得333111abc++≥即3331113abcabc++≥．所以3331113abc abc abcabc+++≥+，而3abc abc+≥=所以333111abc abc+++≥．5.已知,,0a b c >, 且222a b c +=，求证：(3,)n n n a b c n n R ++<≥∈【答案】因为222a b c +=，所以22()()1ab c c +=，且,1a b c c<，所以当3n ≥时，22()(),()()n n a a b b c c c c <<， 即有22()()()()1n n a b a b c c c c+<+=.所以(3,)n n n a b c n n R ++<≥∈6. 已知实数,,x y z 不全为零，求证：3()2x y z >++22y y x x =≥=+≥+22z x y z ≥+≥+由于,,x y z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号， 所以三式相加得3()()()()2222y z x x y z x y z >+++++=++7. 三角形的三边长分别是,,a b c ，且m 为正数，求证： a b c a mb mc m+>+++【答案】[证明]构造函数()x f x m x=+，可证明()f x 在(0,)+∞上是增函数。
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。
反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。
放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
首先介绍反证法。
对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。
具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。
3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。
4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。
举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。
然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。
然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。
因此，假设错误，原不等式成立。
接下来介绍放缩法。
放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。
具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。
2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
3.对新形式的不等式进行证明。
4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。
举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。
我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。
化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。
证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。
1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。
当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。
具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。
2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。
例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。
3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。
例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。
4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。
具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。
5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。
它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。
不等式的证明方法
不等式的证明方法第一篇：不等式的证明方法几个简单的证明方法一、比较法：a>b等价于a-b>0；而a>b>0等价于ab>1.即a与b的比较转化为与0或1的比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：要证a<b，又已知(或易证)a<c，则只要证c<b，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a2+1>a；n(n+1)>n；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：log3⋅lg5<（n(n+1)<lg3+lg522)2=lg<lg=lg4； n+(n+1)；④利用常用结论：k+1-k=1k+1+=11-k1k<12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k<1k(k-1)1k；>=-（程度大）1k<-1=(k-1)(k+1)=2k-1（-)；（程度小）五、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：已知x2+y2=a2，可设x=acosθ,y=asinθ；已知x2+y2≤1，可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1)；已知xaxa2+ybyb=1，可设x=acosθ,y=bsinθ；-=1，可设x=asecθ,y=btanθ；六、数学归纳法法：与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则(1)、设P(n0)成立，且对于任意的k>n0，从P(k)成立可推出P(k+1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1≤k<m)成立可推出P(k+1)成立，则P(n)对所有不超过m的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n=2m)，使得P(n)成立，且从P(k+1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.(4)、若P(且P(n)对所有满足1≤n≤k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，则P(n)1(,P(2)成立，对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1<n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有n成立.此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题P(n),Q(n)，若P(1)成立，又从P(k)成立可推出Q(k)成立，并且从Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k为任给自然数，则P(n),Q(n)对所有n都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.对于有些不等式与两个独立的自然数m,n有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题P(m,n)对所有m,n成立，可分两步：①先证P(1,n),P(m,1)对所有m,n成立；②设P(m+1,n),P(m,n+1)成立，证明P(m+1,n+1)也成立.第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明n∑k=11ksinkx>0,(0<x<π)就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法；有时可将n换成连续量x，用微分法或积分法.第三，并不是所有含n的不等式都能用数学归纳法证明的.七、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.22例1 已知a，b∈R，且a+b=1.求证：(a+2)+(b+2)≥252.证法一：(比较法)Θa,b∈R,a+b=1∴b=1-a∴(a+2)+(b+2)-252=a+b+4(a+b)-12=2(a-12)≥0=a+(1-a)+4-=2a-2a+即(a+2)2+(b+2)2≥证法二：(分析法)252(当且仅当a=b=时，取等号).(a+2)2+(B+2)≥252⇐a+b+4(a+b)+8≥252⎧b=1-a⎪⇐⎨225122⇐(a-)≥0⎪a+(1-a)+4+8≥22⎩显然成立，所以原不等式成立.点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).证法四：(反证法)假设(a+2)2+(b+2)2<252，则 a2+b2+4(a+b)+8<252252.由a+b=1，得b=1-a，于是有a2+(1-a)2+12<1⎫⎛所以(a-)<0，这与 a-⎪≥0矛盾.22⎭⎝.所以(a+2)+(b+2)≥252.证法五：(放缩法)∵a+b=1∴左边＝(a+2)+(b+2)⎡(a+2)+(b+2)⎤2125≥2⎢=a+b+4=⎡⎤()⎥⎣⎦222⎣⎦＝右边.点评：根据不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式⎛a+b⎫a+b≥2 ⎪.⎝2⎭证法六：(均值换元法)∵a+b=1，所以可设a=12+t，b=-t，1∴左边＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(-t+2)25⎫5⎫2525⎛⎛2＝右边.=t+⎪+t-⎪=2t+≥2⎭2⎭22⎝⎝当且仅当t=0时，等号成立.点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元.证法七：(利用一元二次方程根的判别式法) 设y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3-a)2=2a2-2a+13，所以2a2-2a+13-y=0，因为a∈R，所以∆=4-4⋅2⋅(13-y)≥0，即y≥故(a+2)+(b+2)≥252.252.下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)n≥An+nA(n-1)B，其中n∈N+.证明：由二项式定理可知n(A+B)=∑An-iBi≥An+nA(n-1)Bni=0∴(A+B)≥A+nAnn(n-1)B第二篇：证明不等式方法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。
不等式证明基本方法
不等式证明基本方法一、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种基本方法，对于与整数有关的不等式，我们也可以利用数学归纳法进行证明。
其基本思路是先证明当n=1时不等式成立，再假设当n=k时不等式成立，然后通过数学推理证明当n=k+1时不等式也成立。
二、反证法当我们尝试利用数学归纳法证明不等式时，有时可能会遇到困难，这时我们可以尝试使用反证法。
反证法的证明过程是：先假设不等式不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理矛盾的结论，从而证明原不等式的正确性。
三、插值法插值法也是一种常见的不等式证明方法。
其基本思路是在待证不等式的两边加入适当的不等式，并利用不等式的传递性和可加减性进行推导，最终得到待证不等式的真假结论。
四、绝对值法对于涉及绝对值的不等式，我们可以利用绝对值的性质进行证明。
例如，对于，a-b，>c这样的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其拆分为两个不等式，再分别进行证明。
另外，利用绝对值不等式的性质，我们还可以进行变量替换等操作，将原不等式化简为更简单的形式进行证明。
五、特殊化方法特殊化方法是指将不等式中的一些变量或参数取特殊值，从而达到简化不等式的目的。
例如，对于含有幂函数的不等式，我们可以通过取特殊值使得幂函数变为常数或者线性函数，从而将原不等式化简为更简单的形式。
综上所述，不等式证明的基本方法包括数学归纳法、反证法、插值法、绝对值法和特殊化方法等。
在具体的证明过程中，我们需要根据待证不等式的特点选择合适的方法，并灵活运用各种数学工具和技巧，从而得到准确的证明结论。
不等式证明方法
不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。
不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。
一、数学归纳法。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。
在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。
具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。
通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。
二、换元法。
换元法是不等式证明中常用的一种方法。
当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。
换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。
三、分析法。
分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。
在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。
四、综合利用不等式性质。
不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。
具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。
五、几何法。
在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。
通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。
在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。
六、数学推理法。
数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。
在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。
证明不等式的常用技巧
证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。
作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。
换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。
1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。
综合法由因导果。
证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法执果索因。
证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。
放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。
数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。
2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。
证明不等式的几种方法
不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。
第33讲不等式的证明方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析(1)
r∣⅛ o车-让每个人平等地提升自我【知识要点】不等式的证明常用的有六种方法（不等式证明六法：比综分放数反）一、比较法包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差一变形（配方、因式分解、通分等）一与零比一下结论；比商的一般步骤是: 作商一变形（配方、因式分解、通分等）一与1比一下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.二、综合法证明不等式时，从命题的已知条件岀发，利用公理、定理、法则等，逐步推导岀要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索, 最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的左理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是''要证明，只需证明……”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.四、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使英化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的常见技巧：①添加或舍去一些项，如：+ 1 > P Z l, JnUI +1） > H,匚1 <n②将分子或分母放大或缩小•如：-4<—!—= ---A>一!一k2£伙一1）«-1 k k2 k（k + l）③利用基本不等式等，如：V 2五、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.六、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知泄义.左理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的泄理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯左原百度文库-让毎个人平誓地提升自我命题的结论成立的方法称为反证法.如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否立词时，一般用反证法・【例1】已知a>b>0jn>09则a + m a【方法点评】比差的一般步骤是：作差一变形(配方、因式分解、通分等)一与零比一下结论.【例2】设aJ)eR∖求证：a o b h≥ (ab)~aid a-b b-a a-b【证明】作商：'z ? . =a^h~ =(-)~ 伽)~ b(i-b当a = b时，(-)~ =1bJ n_b^a>b>O时，->L — >0, (-)~ >1bibf π-~b^∖b>a>0时，0<巴<1, — <0, (-)~ >1 bib∙∙∙U a b b≥ (Ub)~【点评】比商的一般步骤是：作商一变形(配方、因式分解.通分等)一与1比一下结论.学科@网【反馈检测】已知、b是实数，试比较a2+b2+c2 ^ab+bc+ca的大小・百度文禺.Il 每个人平尊地提升自我【点评】该题主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答・【反馈检测】已知&如是不全相等的正数，求证：a(b 2 +c 2) + b(c 2 +a 2) + c(a 2+b 2)> 6abc【例】求证：a,b.ceR ∖求证：送出一亦)上土二—畅【点评】用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……W •一般用分析法寻找思 路，用综合法写出证明过程.【例 5】设SH = Jl χ2+j2x3+ + λ∕n×(∕7 + l).求证：巴凹VqV 丛也g ΛΓ)2 π2【i I 丿J 】H V (n +1) V〃 ； + ]=“ + *【点评】由于这是一个数列的问题，所以先要对数列的通项进行放缩.2$ 1 O【例6】设数列｛%｝的前〃项和为Sr 已知— = q 泊一丄/一料一二，〃wN*・ (1) 求数列｛©｝的通项公式：(2) 证明：对一切正整数"，有丄+丄+ ••• +丄V?«1 «2 5 41 7(2)证明：当H = I 时,一=1<-：“ 4【例3】 设ClbC 为正实数，求证:7+⅛+7+abc ^2^∙百度文库-让毎个人平誓地提升自我当π= 2I∣⅛,-+ —= l + l = -<-W l a2 4 4 4【点评】本题的放缩是一个难点，放缩一左要适当，有时需要数列的第一项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前两项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前三项不放缩其他项放缩，……，才能放缩出要证明的结果•这需要大家平时的训练和积累.【反馈检测4】已知函数f(x) = a∖nx + -x2-(a+ I)X (^≥1).2(1)讨论/(X)的单调性与极值点:(2)若^CV) = -X2-X-l(x>l),证明：当α = l时,g(x)的图象恒在/(x)的图象上方; 2【证明】(1)当“等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;•••当n = k+l时，不等式成■综合⑴、(2)得宀"时,≡1+⅛÷⅛÷-÷⅛<2^∙【点评】用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论•在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法•是证明的关键.【反馈检测5】数列｛£｝由下列条件决定：x1=t∕>O,xπ+1=l(xπ+-) I leN2 X ll(1)证明：对n≥2总有x,t≥yfa(2)证明：对Ii ≥2总有方法六反证法使用情景一般从正而着手比较困难.方法五数学归纳法使用情景一般是与正整数有关的命题•解题方法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论. 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.(3)证明:【例7】证明不等式1 +√2 +√3+- +< 2y∣r n(/7 ∈N*)聖<2—・(2)假设n = k21)时，不等式成立，即H护护…+金【例7】已知O VdV1, 0<Z?< 1, O<cvl,求证：(1 —α)b, (1—b)c, (I-C)α 中至少有一个小于等于丄.4【点评】如果命题中含有"至少”或“唯一”或其它否泄词时，一般用反证法•【反馈检测6】已知α>O.b>O且α + b>2,求证:巴.匕M中至少有一个小于2. a b高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第33讲：不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测1 详细解析】U2 ^h I +c2 -ab-be-CU =丄(2a2 + 2b2 + 2c1 -Iab-Ibc-Ica) 2=-[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,当且仅当 a = b = c时，等号成立,2：•a1 +h2 +c2≥ ab+bc+ca ・【反馈检测2答案】见解析【反馈检测3答案】见解析【反馈检测3 详细解析】∙^d+b≤O时，V y∣a2+b2≥0, Λy∣a2+b2≥-(a + b)^立.2当d+b>0时，用分析法证明如下：L —17要11E√6∕2+Z?2≥^(a + b)t只需IIE(√√+P^)2≥ f (α + b),即证a2+b2≥^(a2+b2+2ab),即证：a2+b2≥2ab,I___ /7∙∙∙CV +b2≥ Iab对一切实数恒成立，∙∙∙y∣a2+h2≥≥^(a + b)成立.综上所述•对任意实数不等式都成立・【反馈检测4答案】(1) /(x)在(0,1)和α+s)上单调递增，在(1卫)上单调递减.X = I为极大值点，X = "为极小值点；(2)见解析：(3)见解析.学科@网(2)当d = 1 时，令F(X) = g(x)一/(x) = X-I-InX,IX-IF(X) = I-- = -—,当x>l 时，F(X)>0∙ 0<x< 1 时，F(X)V0,X X疋库.U每卜人平零1ΛF(X)在(0,1)上递减，在(l,-κχ>)上递增，.∙. F(x)≥ F(I) = O, ∙∙∙X> 1 时，F(X) >0恒成立. 即x>l时，g(x)>∕(X)恒成立，•：当x> 1时，g(x)的图象fe⅛∕(x)的图象上方.(3)由(2)知F(X) ≥ F(I) = 0•即InX≤x-l, Vχ>0^ Λ-≤1-1,X X令x = n2(neN*),则^4-≤l 一丄，≤-(l一-)Ir Ir Ir 2 T.In2 In3 Inn 1 八 1 , 1 一 1(I-F+1~F+-+1-^不等式成立.=—--(丄—一)=2,i^~n-∖λ2 2 2 n + 1 4(∕z + l)【反馈检测5答案】见解析【反馈检测6答案】见解析【反馈检测6详细解析】假设旦,学都不小于2,则—≥2,⅛^≥2a h a b因为α>O,b>O∙所以1 + b≥2aA + a≥2b.所以1 + ∖ + a + b≥ 2(a + b)即a+b<2,这与已知a+b>2相矛盾，故假设不成立.L -, , 1 + b 1 + α呦以----- , ---- 中至少有…个小丁2.a h。
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2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第33讲 不等式的证明方法【知识要点】不等式的证明常用的有六种方法（不等式证明六法：比综分放数反） 一、比较法包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差. 二、综合法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”. 一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程. 四、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的常见技巧：a n n >>< ②将分子或分母放大或缩小，如：22111111,(1)1(1)k k k k k k k k <=->--+ 111k k =-+(1)2n n ++ 五、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法. 六、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法. 【方法讲评】【例1】已知0,0a b m >>>，则b m ba m a+>+.【方法点评】比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论. 【例2】设,a b R +∈，求证：2()a b a ba b ab +≥ 【证明】作商：2222)()(b a a b b a b a b a ba baab b a ---+==当a b =时，1)(2=-b a ba当0a b >>时，1)(,02,12>>->-ba bab a ba当0b a >>时， 1)(,02,102><-<<-b a bab a b a∴2)(b a ba ab b a +≥【点评】比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论. 【反馈检测1】已知a 、b 、c 是实数，试比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小．【例3】 设,,a b c 为正实数，求证：333a b c +++abc ≥【点评】该题主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.【反馈检测2】已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++【例4】求证: ,,a b c R +∈,求证:)3(3)2(23abcab -≤-【点评】用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.【反馈检测3】设,a b )2a b ≥+【例5】设......n S求证：(1)(2)22n n n n n S ++<< ()n N +∈ 【证明】1122n n n n ++<=+ ()112342n n n S n +>+++++=()11123422n nS n ⎛⎫<++++++++ ⎪⎝⎭()()12222n n n n n ++=+= 【点评】由于这是一个数列的问题，所以先要对数列的通项进行放缩. 【例6】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<（2）证明：当117114n a ==<时，； 当121115721444n a a =+=+=<时，；【点评】本题的放缩是一个难点，放缩一定要适当，有时需要数列的第一项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前两项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前三项不放缩其他项放缩，……，才能放缩出要证明的结果.这需要大家平时的训练和积累.【反馈检测4】已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+(1)a ≥. （1）讨论()f x 的单调性与极值点； （2）若21()1(1)2g x x x x =-->，证明：当1a =时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方； （3）证明：2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+*(,2)n N n ∈≥.【例7】证明不等式n n2321<++++(n N *∈)【证明】(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n k =（1k ≥)时，不等式成立，即1+k13121+++＜2k ，,1211)1(11)1(21121131211+=++++<+++=++<+++++k k k k k k k k k k 则∴当1n k =+时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n N *∈时，都有1+n13121+++＜2n .【点评】用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.是证明的关键.【反馈检测5】数列{n x }由下列条件决定：1110,()2n n nax a x x n N x +=>=+∈ （1）证明：对 2n ≥总有n x ≥（2）证明：对 2n ≥ 总有1n n x x +≥.【例7】 已知01a <<，01b <<，01c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -中至少有一个小于等于14.【点评】如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法. 【反馈检测6】已知110,02,,b aa b a b a b++>>+>且求证:中至少有一个小于2.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第33讲：不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测1详细解析】)222222(21222222ca bc ab c b a ca bc ab c b a ---++=---++ 2221[()()()]02a b b c c a =-+-+-≥，当且仅当c b a ==时，等号成立， ∴≥++222c b a ca bc ab ++．【反馈检测2答案】见解析【反馈检测3答案】见解析【反馈检测3详细解析】当0a b +≤0)2a b ≥+成立．当0a b +>时，用分析法证明如下：()2a b +，只需证22()2a b ⎤≥+⎢⎥⎣⎦， 即证22221(2)2a b a b ab +≥++，即证：222a b ab +≥，∵222a b ab +≥)a b +成立． 综上所述，对任意实数,a b 不等式都成立．【反馈检测4答案】（1）()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 上单调递减.1x =为极大值点，x a =为极小值点；（2）见解析；（3）见解析.（2）当1a =时，令()()()1ln F x g x f x x x =-=--，'11()1x F x x x-=-=，当1x >时，'()0F x >，01x <<时，'()0F x <， ∴()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)0F x F ≥=，∴1x >时，()0F x >恒成立. 即1x >时，()()g x f x >恒成立，∴当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方.（3）由（2）知()(1)0F x F ≥=，即ln 1x x ≤-，∵0x >，∴ln 11x x x≤-， 令2*()x n n N =∈，则222ln 11n n n≤-，∴22ln 11(1)2n n n ≤-∴222222ln 2ln 3ln 1111(111)23223n n n+++≤-+-++-22211111()2223n n-=-+++11111()222334(1)n n n -<-+++⨯⨯+11111111()2223341n n n -=--+-++-+ 2111121()22214(1)n n n n n ---=--=++∴不等式成立. 【反馈检测5答案】见解析【反馈检测6答案】见解析 【反馈检测6详细解析】假设11,b a a b ++ 都不小于2，则112,2b aa b++≥≥ 因为0,0a b >>，所以12,12b a a b +≥+≥， 所以112()a b a b +++≥+即2+≤a b ，这与已知2a b +>相矛盾，故假设不成立. 所以11,b a a b ++中至少有一个小于2.。
高中不等式的证明方法
高中不等式的证明方法在高中数学学习中，不等式是一个非常重要的内容。
在解决不等式问题的过程中，常常需要使用一些证明方法。
下面我将介绍一些高中不等式的证明方法。
一、计算法对于一般的不等式，我们可以通过计算来证明。
该方法常常适用于直接证明不等式的正确性。
示例：对于不等式a + b ≥ 2√(ab)，我们可以对其两边进行平方运算，化简得到(a + b)² ≥ 4ab，继续化简得到a² + 2ab + b² ≥ 4ab，最后得到a² + b² ≥ 2ab。
由于a²，b²为非负数，所以a² + b² ≥ 2ab成立，从而不等式得到证明。
二、数轴法数轴法是一种简便的证明不等式的方法。
示例：对于不等式x+1>2，我们可以画出数轴，将不等式变形为x>1，即x的取值范围在1的右侧。
通过观察数轴即可发现x的取值大于1，所以不等式成立。
三、加减法对于含有多个项，且项之间存在加减关系的不等式，我们可以通过加减法将不等式转化为一个已知不等式来证明。
示例：对于不等式a+b+c>3，我们可以将不等式两边都减去c，得到a+b>3-c。
由于c是一定的，所以不等式a+b>3-c成立，即不等式得到证明。
四、乘法当不等式中存在连续的乘法关系时，我们可以通过乘法来证明不等式。
示例：对于不等式(x+1)(x+2)>0，我们可以使用因式分解法将不等式化简为(x+1)(x+2)≠0。
由于(x+1)(x+2)的乘积肯定不为0，所以不等式成立。
五、数学归纳法对于有一定规律的不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。
示例：对于不等式2ⁿ>n²，我们首先验证n=1时不等式成立，然后假设对于一些自然数k，不等式成立。
即2ᵏ>k²。
然后再证明当n=k+1时，也成立。
即2^(k+1)>(k+1)²。
不等式的推导和证明方法
不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。
不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。
在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。
本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。
一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。
若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。
不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。
例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。
对于 $n=1$，该不等式显然成立。
假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。
根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。
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不等式的证明一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种：1．作差比较法（1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。
（2）方法：欲证A>B,只需要证A-B>0（3）步骤：“作差----变形----判断符号”。
（4）使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
2．作商比较法（1）应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法。
（2）方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1A B >；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小”例1 已知a ，b ∈R ，且a+b=1. 求证：()()2252222≥+++b a . 解析：用作差比较法a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++-2222911(1)4222(0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）例2：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b a > 0∴0)()(>+-m b b a b m即：bam b m a >++例3：已知a>b>0,求证：()2a b a ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba aabb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>练习：已知a ，b∈R +，求证a a b b ≥a b b a ．例4：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
(新课标)高考数学总复习：考点33-不等式选讲(含解析)
考点33 不等式选讲 1（2010·辽宁高考理科·Ｔ24）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立.【命题立意】本题考查了不等式的性质，考查了均值不等式.【思路点拨】把222111 a b c a b c ++++，222111a b c a b c ++++分别用均值不等式，相加后，再用均值不等式.【规范解答】证法一:∵,,a b c 均为正数，由均值不等式得222233()a b c abc ++≥…………………………①131113()abc a b c -++≥，∴223111()9()abc a b c -++≥……………………②22222233111()3()9()a b c abc abc a b c -∴+++++≥+22333()9()22763abc abc -+≥=又……………………③∴原不等式成立.当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当22333()9()abc abc -=时，③式等号成立.即当a=b=c ＝143时原式等号成立.证法二:∵a,b,c 都是正数，由基本不等式得222222222a b abb c bcc a ac +≥+≥+≥∴222a b c ab bc ac ++≥++………………………………①同理111111a b c ab bc ac ++≥++………………………………②∴2222111()111333a b c a b c ab bc ac ab bc ac +++++≥+++++ 63≥…………………………………………③∴原不等式成立当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c,222()()()3ab bc ac ===时，③式等号成立. 即当a=b=c ＝143时原式等号成立. 2.（2010·福建高考理科·Ｔ21）已知函数f (x )=x a -．(Ⅰ)若不等式f (x )≤3的解集为｛x -1≤x ≤5｝，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f (x )+f (5x +)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 【命题立意】本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力.【思路点拨】（1）由公式求解含绝对值的不等式，进而求出a 的值，（2）令g （x ）=f （x ）+f （x+5），结合g （x ）的图象求解.【规范解答】（1） 33333+≤≤-⇔≤-≤-⇔≤-a x a a x a x ，对应系数得2=a ； （2）令g （x ）=f （x ）+f （x+5），结合32)(++-=x x x g 的图象，所以5)(≥x g ，故5≤m .3.（2010·江苏高考·Ｔ2１(D)）选修4-5：不等式选讲设a ，b 是非负实数，求证：3322()a b ab a b +≥+. 【命题立意】 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力.【思路点拨】利用作差法证明.【规范解答】方法一：332222()()()a b ab a b a a a b b b b a +-+=-+-55()[()()]a b a b =--2432234()[()()()()()()()()]a b a a b a b a b b =-++++因为实数a ，b ≥0，2432234()0,[()()()()()()()()]0a b a a b a b a b b -≥++++≥， 所以上式≥0.即有3322()a b ab a b +≥+. 方法二：由a ，b 是非负实数，作差得3322()()()a b ab a b a a a b b b b a ++=+55()[())]a b a b =-当a b ≥a b ≥55))a b ≥，得55)[(()]0a b a b -≥；当a b <<55<，得55]0-<＞0；所以3322)a b a b +≥+.。
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据，但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多。
我总结了一些不等式的证明方法 ，下面举例说明。
一. 比较法例1 求证：223x +>x .证明：因为()222155232320222x x x x x ⎛⎫+-=-+=-+≥> ⎪⎝⎭所以 223x +>x .证明例1的方法称为作差比较法。
用差与“0”比较大小。
例2 已知a >b>c>0,求证：()3a b c ab cab c abc ++>。
证明：因为()2223333a b c b a c c a b a b ca b c a b c abcabc ------++=333333a b a cb a b cc a c babc------+++=333a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且a >b>0, 所以a -b>0,1a b >，故31a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭。
同理可证31a c a c -⎛⎫> ⎪⎝⎭，31b cb c -⎛⎫> ⎪⎝⎭。
所以3331a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而()3a b ca b ca b c a bc ++>。
证明例2的方法称为求商比较法。
用商与“1”比较大小。
二．反证法 例3是无理数。
=q p，p ≠0,且p,q 互素，则所以， 222p q = ①故2q 是偶数，q 也必是偶数。
不妨设q=2k,代入①式，则有2224pk =，即222p k =，所以，p 也是偶数.P 和q 都是偶数，它们有公约数2，这与p,q 互素相矛盾。
不是有理数，而是无理数。
证明例3的方法称为反证法。
当命题过于简单，或正面情况非常复杂时，一般用反证法。
高考数学常见题型解法归纳反馈训练第33讲不等式的证明方法
第 33 讲不等式的证明方法【知重点】不等式的明常用的有六种方法（不等式明六法：比分放数反）一、比法包含比差和比商两种方法.比差的一般步是：作差→ 形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下；比商的一般步是：作商→ 形（配方、因式分解、通分等）→与 1 比→下 .假如两个数都是正数，一般用比商，其余一般用比差.二、合法明不等式，从命的已知条件出，利用公义、定理、法等，逐渐推出要明的命的方法称合法，它是由因果的方法.三、剖析法明不等式，从待命出，剖析使其建立的充足条件，利用已知的一些基来源理，逐渐探究，最后将命建立的条件一个已明的定理、事或的条件，种明的方法称剖析法，它是果索因的方法 .用剖析法明，要注意格式，一般格式是“要明，只要明⋯⋯”.一般用剖析法找思路，用合法写出明程.四、放法明不等式，有依据需要把需明的不等式的适合放大或小，使其化繁，化易，达到明的目的，种方法称放法.放的常技巧：①增添或舍去一些，如：a21 a , n( n 1)n,n21n111111②将分子或分母放大或小，如：k 2,2k (k 1) k(k 1) k 1 k k1 1k k 1n (n1)③利用基本不等式等，如：n( n1)2五、数学法用数学法明不等式，要注意两步一.在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和剖析法.六、反证法证明不等式时， 第一假定要证明的命题的反面建立，把它作为条件和其余条件联合在一同，定义、定理、公义等基来源理逐渐推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假定的结论不建立，进而必定原命题的结论建立的方法称为反证法.假如命题中含有“起码”或“独一”或其余否认词时，一般用反证法.【方法讲评】方法一比较法使用情形一般是两个实数利用已知包含比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；解题方法比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1 比→下结论 .假如两个数都是正数，一般用比商，其余一般用比差.【例 1】已知 a b0, m 0 ，则bm b .a ma【方法评论】比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论.R ，求证： a a b ba b【例 2】设 a, b(ab) 2a ab ba b b aa ab 【证明】作商：a ba 2b2( ) 2( ab) 2ba b当 ab 时， ( a) 21b当 ab 0 时，a1,a b 0, (a)a 2b1b2 b当 ba 0 时， 0a 1,a b 0, (a)a 2b1b2ba b∴ a a b b(ab) 2【评论】比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与 1 比→下结论 .【反应检测1】已知a、b、c是实数，试比较a2b2c2与ab bc ca 的大小．方法二综合法使用情形一般题设较简单，题目较简单.证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公义、定理、法例等，逐渐推导出要解题方法证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.【例 3】设a, b, c为正实数，求证：111．a3b3c3 +abc ≥ 2 3【评论】该题主假如利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.【反应检测2】已知a,b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 c 2 ) b(c2 a2 ) c(a 2b2 ) 6abc 方法三剖析法使用情形一般从下手比.明不等式，从待命出，剖析使其建立的充足条件，利用已知的一些基本解方法原理，逐渐探究，最后将命建立的条件一个已明的定理、事或的条件，种明的方法称剖析法，它是果索因的方法.【例 4】求 : a, b, c R ,求:2(a bab ) 3(a b c3 abc )23【点】用剖析法明，要注意格式，一般格式是“要明，只要明⋯⋯”. 一般用剖析法找思路，用合法写出明程.【反3】a, b数，求：a2b2 2 (a b)2方法四放法使用情形一般不方便用其余方法，用放法比.解方法明不等式，有依据需要把需明的不等式的适合放大或小，使其化繁，化易，达到明的目的.【例 5】S n 1 2 2 3 ......n (n 1) ，求证：n(n1)S n n(n2)(n N )22【证明】 n n nn n11 12n2S n1234n n n 12S n1234n 11n n 1n n n 2 22222 n【评论】因为这是一个数列的问题，因此先要对数列的通项进行放缩.【例 6】设数列a n的前 n 项和为 S n，已知 a11，2S n an 1 1 n2n2， n N * .n33（ 1）求数列a n的通项公式；（ 2）证明：对全部正整数n，有1117 a1a2a n4（ 2） 明：当n11 7时，；1a 1 4当 n2时，1 111 5 7 ；a 1 a 244 4【点 】本 的放 是一个 点，放 必定要适合，有 需要数列的第一 不放 其余 放 ，有 需要数列的前两 不放 其余 放 ，有 需要数列的前三 不放 其余 放 ，⋯⋯，才能放 出要 明的 果 . 需要大家平 的 和 累 .【反4】已知函数 f ( x)a ln x 1 x 2 (a 1) x (a 1) .2（1） f ( x) 的 性与极 点；（2）若 g ( x)1 x2 x 1(x 1) ， 明：当 a1 ， g( x) 的 象恒在f (x) 的 象上方；2（3） 明：ln 2ln 3 ln n 2n 2n 1 ( n N * , n 2) .2232n 2 4( n 1)方法五 数学 法使用情形一般是与正整数相关的命 .解 方法用数学 法 明不等式，要注意两步一 .在 明第二步 ，一般多用到比 法、放 法和剖析法 .【例 7】 明不等式1 1 1132 n ( n N )2n【 明】 (1) 当 n 等于 1 ，不等式左端等于1，右端等于 2，因此不等式建立；(2) 假定 nk （ k 1 ) 时，不等式建立，即1+ 11 1 ＜2 k ，23k1 11 1则123k 2 k11k 2 k (k 1) 1 k( k 1) 1 2 k 1,k 1k1∴当 nk 1 时，不等式建立 .综合 (1) 、 (2) 得：当 nN 时，都有 1+ 11 1 ＜2 n .23n【评论】用数学概括法证明不等式，要注意两步一结论. 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和剖析法 . 是证明的重点 .5】数列 { x n } 由以下条件决定：x 1 a0, x n 11 a ) n N【反应检测 (x nx n2（ 1）证明：对 n 2总有x na（ 2）证明：对n 2 总有 x nx n 1 .方法六使用情形反证法一般从正面着手比较困难.证明不等式时，第一假定要证明的命题的反面建立，把它作为条件和其余条件联合在一同，利用已知定义、定理、公义等基来源理逐渐推证出一个与命题的条件或已证明的解题方法定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假定的结论不建立，进而必定原命题的结论建立的方法称为反证法.【例 7】 已知 0a 1， 0b 1 ， 0c 1，求证： (1 a)b ， (1 b)c ， (1 c) a 中起码有一个小于等于 1.4【评论】假如命题中含有“起码”或“独一”或其余否认词时，一般用反证法 .【反应检测 6】已知 a0, b 0且 a b2, 求证 :1 b ,1a中起码有一个小于 2.a b高中数学常有题型解法概括及反应检测第33 讲：不等式的证明方法参照答案【反应检测 1 答案】看法析【反应检测 1 详尽分析】a 2b 2c 2ab bc ca1(2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 ab 2 bc2 )2 ca1[(a b) 2(b c)2(c a)2 ] 0，当且仅当 ab c 时，等号建立，2∴ a 2b 2c 2ab bc ca ．【反应检测 2 答案】看法析【反应检测 3 答案】看法析【反应检测 3 详尽分析】当 a b0 时，∵ a2b20 ，∴ a2b22(a b) 建立．2当 ab0 时，用剖析法证明以下：2(a2( a2要证a 2b 2b) ，只要证 ( a 2 b 2 )2b) ，22即证 a 2 b 21 (a2 b 2 2ab) ，即证： a 2 b 22ab ，2∵ a2b22ab 对一确实数恒建立，∴a2b22( a b) 建立．2综上所述，对随意实数a, b 不等式都建立．【反应检测 4 答案】（ 1） f ( x) 在 (0,1) 和 (a,) 上单一递加，在 (1,a) 上单一递减 .x 1 为极大值点， x a 为极小值点；（ 2）看法析；（ 3）看法析 .（ 2）当 a 1 时，令 F (x) g (x)f ( x) x 1 ln x ，F '(x) 11x 1，当 x 1 时， F ' ( x) 0 ， 0x 1 时， F ' ( x) 0 ，xx∴ F (x) 在 (0,1) 上递减，在 (1, ) 上递加，∴ F ( x)F (1) 0 ，∴ x 1时， F (x)0恒建立 .即 x1 时， g(x) f (x) 恒建立，∴当 x 1 时， g( x) 的图象恒在 f ( x) 的图象上方 .（ 3）由（ 2）知 F (x)F (1) 0 ，即 ln xx 1，∵ x0 ，∴ln x1 1，xx2*) ，则ln n 211ln n11令 x n (n Nn 22，∴2(1 2)n n 2n∴ ln 2 ln 3ln n 1 11 1 1 )22 32 n 2 2 (1 22 1 32n 2 n 1 1 11 12 ( 2 23 2n2 )2n 1 1 ( 21 3 1 41 )2 23 n(n 1)n 1 1 ( 1 1 1 111 ) 22 23 3 4n n 1n 1 1 ( 1 1 ) 2n 2n1∴不等式建立 . 2 2 2n 1 4( n 1)【反应检测 5 答案】看法析【反应检测 6 答案】看法析【反应检测 6 详尽分析】假定1 b 1 a2，则1 b 1 a ,都不小于 2,2a bab因为 a0, b 0 ，因此 1 b 2a,1 a2b ，因此 1 1a b 2( a b)高考数学常有题型解法概括反应训练第33讲不等式的证明方法 11 / 11即 a b2，这与已知 a b 2 相矛盾，故假定不建立 . 因此1 b , 1 a 中起码有一个小于 2. ab。
专题33 不等式的证明技巧-备战2021高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版)
【高考地位】证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一比较法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系；第二步得出结论.例1设实数满足，求证：．【变式演练1】设，求证： .方法二分析法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；第二步把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；第三步如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.例3设证明：。
【变式演练2】已知：，求证： .方法三综合法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件；第二步根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式；第三步得出结论.例4 已知，，求证：【变式演练3】已知且．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．方法四放缩法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步根据已知找出其通项公式；第二步然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩；例5 设求证例6 求证： .【变式演练4】求证： .【变式演练5】设、、是三角形的边长，求证 .【变式演练6 】已知均为正数，证明：．方法五数学归纳法使用情景：对于含有的不等式类型解题模板：第一步验证当取第一个值时不等式成立；第三步这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立得出结论. 例7 若，观察下列不等式：，，…，请你猜测将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。
【变式演练7】已知函数，，对于任意的，都有 .（1）求的取值范围（2）若，证明：（）（3）在（2）的条件下，证明：方法六换元法使用情景：对于一般的不等式证明解题模板：第一步恰当的换元，适当的引入参数；第二步利用已知求出新元的取值范围；例8 求证例9：已知，求证：。
高考数学命题热点名师解密：专题(33)解不等式的方法(理)(含答案)
例 3．定义在 R 上的函数 f x ，对任意的 x R 都有
且当 x0 时，
__________．
， 则 不 等 式 xf x 0 的 解 集 为
【答案】
【解析】当 x0 时，由
，得 x2 ；由
，得 0 x 2.
∵
，
∴函数 f x 为奇函数。
∴ 当 x0 时 ， 由
， 得 2 x 0 ； 由
【解析】试题分析： 由题意得：
只有一解，即
， x2 x k 只有一解，因此
（四）无理不等式
例 4．设 f x 是定义在 R 上的可导函数，且满足
，
则不等式
【答案】1 x 2
的解集为________．
【解析】∵ ∴函数
∵ ∴
，
在 R 上单调递增。
，
,
即
，
∴
,
∴
，解得1 x 2 。
所以原不等式的解集为1, 2 。
|f（x1）-f（x2）|＜k|x1-x2|即为 f（x1）-f（x2）＜k（x1-x2），
即有 f（x1）-kx1＜f（x2）-kx2，
由题意可得 g（x）=f（x）-kx 在（2，4）递减．
由 g（x）=x2-（2+k）x+3，对称轴为
，
即有
，解得 k≥6，
则实数 k 的取值范围为[6，+∞）．
专题 33 解不等式的方法
一．【学习目标】 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解
法． 3．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不
等式的解法． 二．【知识要点】
1．一元一次不等式 一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集为：
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【知识要点】不等式的证明常用的有六种方法（不等式证明六法：比综分放数反） 一、比较法包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差. 二、综合法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”. 一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程. 四、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的常见技巧：221(1)1a a n n n n n +>+>-< ②将分子或分母放大或缩小，如：22111111,(1)1(1)k k k k k k k k <=->--+ 111k k =-+ (1)(1)2n n n n +++< 五、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.六、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法.【方法讲评】方法一比较法使用情景一般是两个实数解题方法包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.【例1】已知0,0a b m>>>，则b m ba m a+>+.【方法点评】比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论.【例2】设,a b R+∈，求证：2()a ba ba b ab+≥【证明】作商：2222)()(baabbababababaabba---+==当a b=时，1)(2=-baba当0a b>>时，1)(,02,12>>->-babababa当0b a>>时，1)(,02,102><-<<-babababa∴2)(b a ba ab b a +≥【点评】比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论. 学科@网 【反馈检测1】已知a 、b 、c 是实数，试比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小．方法二 综合法使用情景 一般题设较简单，题目较简单.解题方法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.【例3】 设,,a b c 为正实数，求证：33323a b c +++abc ≥．【点评】该题主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.【反馈检测2】已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++方法三 分析法使用情景 一般从题设入手比较难.解题方法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.【例4】求证: ,,a b c R +∈,求证:)3(3)2(23abc ab -≤-【点评】用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.【反馈检测3】设,a b 222()2a b a b +≥+方法四 放缩法使用情景 一般不方便用其它方法，用放缩法比较简单.解题方法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的.【例5】设1223......(1)n S n n ⨯⨯⨯+求证：(1)(2)22n n n n n S ++<<()n N +∈ 【证明】()11122n n n n n n ++<+<=+()112342n n n S n +>+++++=()11123422n nS n ⎛⎫<++++++++ ⎪⎝⎭()()12222n n n n n ++=+=【点评】由于这是一个数列的问题，所以先要对数列的通项进行放缩. 【例6】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<（2）证明：当117114n a ==<时，； 当121115721444n a a =+=+=<时，；【点评】本题的放缩是一个难点，放缩一定要适当，有时需要数列的第一项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前两项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前三项不放缩其他项放缩，……，才能放缩出要证明的结果.这需要大家平时的训练和积累.【反馈检测4】已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+(1)a ≥. （1）讨论()f x 的单调性与极值点； （2）若21()1(1)2g x x x x =-->，证明：当1a =时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方； （3）证明：2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+*(,2)n N n ∈≥.【例7】证明不等式n n2321<++++(n N *∈)【证明】(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假设n k =（1k ≥)时，不等式成立，即1+k13121+++＜2k ，,1211)1(11)1(21121131211+=++++<+++=++<+++++k k k k k k k k k k 则∴当1n k =+时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n N *∈时，都有1+n13121+++＜2n .【点评】用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.是证明的关键.【反馈检测5】数列{n x }由下列条件决定：1110,()2n n nax a x x n N x +=>=+∈ （1）证明：对 2n ≥ 总有n x ≥（2）证明：对 2n ≥ 总有1n n x x +≥.方法六 反证法使用情景一般从正面着手比较困难.解题方法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法. 学科@网【例7】 已知01a <<，01b <<，01c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -中至少有一个小于等于14.【点评】如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法. 【反馈检测6】已知110,02,,b aa b a b a b++>>+>且求证:中至少有一个小于2.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第33讲：不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测1详细解析】)222222(21222222ca bc ab c b a ca bc ab c b a ---++=---++ 2221[()()()]02a b b c c a =-+-+-≥，当且仅当c b a ==时，等号成立，∴≥++222c b a ca bc ab ++． 【反馈检测2答案】见解析【反馈检测3答案】见解析【反馈检测3详细解析】当0a b +≤220a b +≥222()2a b a b +≥+成立． 当0a b +>时，用分析法证明如下：222)2a b a b +≥+，只需证22222))2a b a b ⎤+≥+⎥⎣⎦， 即证22221(2)2a b a b ab +≥++，即证：222a b ab +≥， ∵222a b ab +≥222)a b a b +≥+成立． 综上所述，对任意实数,a b 不等式都成立．【反馈检测4答案】（1）()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 上单调递减. 1x =为极大值点，x a =为极小值点；（2）见解析；（3）见解析. 学科@网（2）当1a =时，令()()()1ln F x g x f x x x =-=--，'11()1x F x x x-=-=，当1x >时，'()0F x >，01x <<时，'()0F x <， ∴()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)0F x F ≥=，∴1x >时，()0F x >恒成立. 即1x >时，()()g x f x >恒成立，∴当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方. （3）由（2）知()(1)0F x F ≥=，即ln 1x x ≤-，∵0x >，∴ln 11x x x≤-， 令2*()x n n N =∈，则222ln 11n n n ≤-，∴22ln 11(1)2n n n≤-∴222222ln 2ln 3ln 1111(111)23223n n n+++≤-+-++-22211111()2223n n-=-+++11111()222334(1)n n n -<-+++⨯⨯+11111111()2223341n n n -=--+-++-+2111121()22214(1)n n n n n ---=--=++∴不等式成立.【反馈检测5答案】见解析【反馈检测6答案】见解析 【反馈检测6详细解析】假设11,b a a b ++ 都不小于2，则112,2b aa b++≥≥ 因为0,0a b >>，所以12,12b a a b +≥+≥， 所以112()a b a b +++≥+ 即2+≤a b ，这与已知2a b +>相矛盾，故假设不成立. 所以11,b aa b++中至少有一个小于2.。