河南省鹤壁市淇滨高级中学2019-2020学年高二上学期第一次周考数学试题

2019-2020学年高二上学期第一次周考
数学试卷
考试时间：120分钟
注意事项：
1 •答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2 •请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
、单选题（每题 5分，共60 分）
B . -3
数列 2,5,11,20, X , 47..•中的 x 等于(
已知数列｛a n ｝的通项公式是a n = 3n — 16,则数列｛a n ｝的前n 项和S n 取得最小值时，n 的值为（
）
则下列说法错误的是（
B .数列：S n 2?是等比数列
已知数列｛a n ｝满足印=2 ,
a n -1
1 a n
二二，则a 2020的值为（
2. 在ABC 中，若A =30 ,
B 的大小为
30 °
B . 45。

或 135 °
C . 60 °
135 °
3. 28
B . 32
C . 33
27
4. 5. 若I J *
1
-则下列不等式一定成立的是
6. 在公比q 为整数的等比数列 {a n }中, S n 是数列｛a n ｝的前n
项和，若 印 + a 4
= 18 , a 2 + a 3
= 12 ,
C . S & =510
D .数列｛lg a n ｝是公差为2的等差数列
7 .在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a2• b2 -c2二ab「一3 7厂:ABC的面积为（）
25 32
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题 5分，共20 分）
等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西
，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东
B 的方向即沿直线 CB
前往B 处救援，则 ■
北
二十东
14.已知数列｛a n ｝满足印=一2，且a n 十=3a n 十6，则a n = __________________
8.在:ABC 中, cos 2
B
( a , b , c 分别为角A 、B 、C 的对边)
2 2c
，则ABC 的形状为（
）
等边三角形
C . 等腰三角形或直角三角形
9. 已知正项等比数列〈a n ［的前n 项和为S n
63
63 B .
4
B . 直角三角形
D
.
等腰直角三角形
，若 / 1
a 2 -4, a
6 -
4
则S 6 二（
63
63
C . ±——
D . —
10. 等比数列 :a n 匚的各项均为正数，且 a 1?a 9 16，贝y log 2 a log 2
- log 2
(
10
B . 12
C . 16
18
11.设S n 是等差数列 爸 九勺前n 项和，若 負 二：，则
S 8 5
S 8 S 16
12. 已知等差数列曲、
5
C.—
13
22 ^b n
/，其前n 项和分别为S n
、 T n ,
a n
b n
2n 3 3n -1，
S 11 _
T 11
15 17
13 .如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向
40海里的 B 处有一艘渔船遇险, 在原地
)
40海里
B
3
3
3a “ i , c 、
15 .在数列｛3n ｝中，a 1 =—,且满足
a
n =
-
（n 王2
）,则3n = ________
2
3
+
2a
n _1
1
16.
已知数列：aj 中a i ，且当n • N ”时na^ .n 2 a . 1，则数列:aj 的前n 项和
S n = ________ .
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分。

请将必要的演算及证明步骤写在答题卷上） 17. 已知数列 低? 是- 一个等差数列，且 a 2 =1, a 5 = -5。

（I ）求g 的通项a n ；
（n ）求玄^前n 项和S n 的最大值.
18. 在・ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为 （1）求b 的值；
19.在二ABC 中，已知角 代B,C 的对边分别为a,b,c ，且acosB -bcosA 二b • c . （1） 求角A 的大小；
（2） 若a=4, D 是BC 的中点，且AD = ——3，求L ABC 的面积.
c .已知 a b , a=5 , c=6 ,
3
sin B
(2)求 sin
2A - 4 的值.
20•已知等比数列 曲的前n 项和S^2nd ■ ■,其中，为常数. (1) 求，；
(2) 设二log 2 a n ，求数列:a n - bj 的前n 项和T n .
2 2 *
21 .在数列｛a n ｝中，已知 a i =
1
+ ./3，且 a
n
i ~ 2a “ 1 - a n ■ 2a n = 2 , n € N .
(1)记b n = (a n —1) , n € N ,证明数列｛b n ｝是等差数列；
22.已知a 2
,a 5
是方程x 2-12x *27 = 0的两根，数列〈a n
?是递增的等差数列，数列 心的
1
前n 项和为 S n
，且 S n
=1--b n ( n Nj .
2
(1) 求数列fa n
, 泊勺通项公式；
(2) 记C n 二alb n ,求数列G 汨勺前n 项和T n .
⑵设｛b n ｝的前n 项和为S n ,证明
1 1
1
1
3
S 1
S 2
S 3
S n
4
参考答案
1. D 2 . B 3. B 4. C
5. A
6. D
7. D
8. B 9. B 10. D
11
. D
12. A
13
.
何 14. n 1
15. 3
n
16.
11 a n =3
-3
2n
n +1
17.
( I )设
:a n ［的公差为
d , 由已知条件， 印 d =1
{ ' c ，
印 4d - -5
解得 a i = 3, d = -2 .
所以 a n =6(n -1)d = -2 n 5 .
(n )
5 = nq
n(
；
1)
d - -n 2 4n =4-(n 一2)2.
所以n =2时，S n 取到最大值4 . 考点：1•等差数列通项公式求和公式；
2.二次函数最值
3
4
18. (1)解：在 ABC 中，因为a b ，故由sin B ，可得cosB . 5 5
由已知及余弦定理，有b 2 = a 2 • c 2 —2ac cos B = 13，所以b = … 13 .
(2)解：由正弦定理 —
—，得sin A 二箜吐B 二匚13
sinA si nB
b 13
19. (1) •/ A, B,C 是 ABC 的内角,
sin C 二sin( A B)二 sin AcosB cos As in B
且 sin B 0
a b c
又由正弦定理：—— - -和已知条件得：
sin A sin B sin C
sin AcosB 「sin BcosA 二sin B sin AcosB cosAsin B
化简得： cosA 二-1 ,
2
因为 a
::: c ，得 cos A
2 13
12
甘，所以^A/ACOSA 祐
2
cos2A =1 - 2s in A =
5 13
故sin 2A -
4
Tt JT
二 sin 2Acos — cos2Asin —
4 4
7.2 26
又；（0,二）
(2) - a = 4 ,
2 [32n
D 是
BC
的中点，且A—233 r，
cos ADB cos
AD—，
二由余弦定理得:
AD2 BD -AB2 AD2 CD -AC2 2 2 32 ----------------------- +------------------------- =0，代入化简得：b +c = —
2CD AD 3 2BD AD
2 2 232 16
又a =b c「2bccos A，即16 = -3 be,可得：bc — 3 3
1 4 L
故所求ABC的面积为S A BC bcs in A 3.
2 3
n 1
20. (1)因为S n ~ 2',
当n =1 时，6 二3 =4 …，当n_2 时，S n」=2n—,
所以a n= S n- S n j = 2 -2 =2 ,
因为数列是等比数列，所以a n =2n对n =1也成立，所以4 • ■
= 2，即■二-2.
（2）由（1）可得a n =2n,
因为b n =log2a n，所以b n =log2 2n = n ,
所以Tn = i2 • 22 23IH • 2n 1「1 2 3 亠亠n「1 2
“ “
1
，
1-2 2
即T n 0 —2.
2
21. 证明：(1) a： 1 —a：—2a n 1 • 2a n =2 ,
2 2
因为b n+1-b n= a n1 -a n -2a. 1 ' 2a n = 2,所以数列｛b n｝是以3为首项，2为公差的等差数列.
n（2n +4） 1 1 1 i 1
⑵由⑴得桑七厂2
= n
（n
+ 2
）
，所以S ； n 2
1 1 1 1 I* 1 1 f 1 1
所以S2 云匚_3 2 2 _4
1 匚1 ) f 1 1 讣3 1 f 1 1)3
=_ |i1+_ [― —+------------------------------------------- 仃=___ —+ ------------ (<-.
2收2八n+1 n +2丿」4 2』+1 n +2丿4
22. ( 1)解方程x - |；；Y I ,可得三「&或9
-■；. > 是方程; - I的两根，数列「是递增的等差数列，
a, I d = 3
* = 3 , % = 9 ,设公差为d ,则打十4J二9，解得打=L ,己=2 •
'■ ..■.1 I'. I. 2 - !：- Jr. ，
对于数列，：，•_；.「「一「.
当时，I： : ,1：，解得；
当时，1 \「：叮':•；訂X ''化为' I | ,即才，因此数列是等比数列，：广：J 匚.
八4II-2
（2），
数列的前项和〔：；：；":''::
610 ln-2
两式相减可得。