[推荐学习]2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课时分层训练

课时分层训练(五) 函数的奇偶性与周期性
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·嘉兴三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2
－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2
－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x
＋x 2
是非奇非偶函数，故选B.]
2．函数y ＝log 21＋x
1－x 的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，
即函数定义域为(－1,1)，
又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x
1－x ＝－f (x )，
∴函数y ＝log 21＋x
1－x
为奇函数，故选A.]
3．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3
－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－
f (x )；当x >1
2
时，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋12＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
，则f (6)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2
D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．
又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3
－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]
4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2
，则
f (2 019)＝( ) 【导学号：51062027】
A．－2 B．2
C．－98 D．98
A[∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
即f(2 019)＝－2.]
5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
D[由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]
二、填空题
6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：51062028】
－－x－1 [∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]
7．(2017·浙江五校二模)函数f(x)＝x＋x＋a
x
是奇函数，则实数a＝
________.
－2 [由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，
∴a＝－2.]
8．(2017·杭州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．
1 [由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＝0.
∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(2)－f(3)＝1.]
三、解答题
9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)
＝
1
x 2－x ＋1
，求f (x )的表达式. 【导学号：51062029】
[解] 在f (x )＋g (x )＝
1
x 2
－x ＋1
中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝
1
－x
2
－－x ＋1
，4分
又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝
1
x 2
＋x ＋1
，8分
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
f x ＋
g x ＝1
x 2
－x ＋1
，－f x ＋g x ＝1
x 2
＋x ＋1
，12分
两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1
.15分
10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2
x
4x ＋1.
(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，4分 ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.7分
(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝－2
－x
4－x ＋1＝－2
x
4x ＋1
，10分
综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2
x
4x
＋1
，x ∈0，1，－2x 4x
＋1，x ∈－1，0
，
0，x ∈{－1，0，1}.
15分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．±2
A [∵g (－x )＝f (－x －1)，
∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，
f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋
2)＝f (2)＝2.]
2．(2017·浙江镇海中学测试卷二)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －2，x <2，x 2
，x ≥2，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝
________，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是________.
【导学号：51062030】
254 (－∞，2] [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝52
， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝254
.
因为函数f (x )在实数集上单调递增，故有a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，
所以f (－x )＝－(－x )2
＋2(－x )＝－x 2
－2x .2分 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，
f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，
所以m ＝2.7分
(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．
结合f (x )的图象知⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2＞－1，
a －2≤1，12分
所以1＜a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1,3].15分。