2019届高考数学二轮复习专题函数的图象和性质学案(无答案)文

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2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质教学案文

专题02函数的图象与性质【2019年咼考考纲解读】(1) 函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2) 指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3) 幕函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幕函数的概念以及简单幕函数的性质。

【重点、难点剖析】1 •函数及其图象(1) 定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”.(2) 对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.2 •函数的性质(1) 单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质•证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论•复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2) 奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质•偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3) 周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质•若函数满足f(a+ x) = f(x)( a不等于0)，则其周期T= ka(k € Z)的绝对值.3 •求函数最值(值域)常用的方法(1) 单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2) 图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3) 基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4) 导数法：适合于可求导数的函数.4 •指数函数、对数函数和幕函数的图象和性质(1) 指数函数y = a x(a>0且a* 1)与对数函数y= log a x( a>0且a^l)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2) 幕函数y = x"的图象和性质，分幕指数 a >0和a <0两种情况.5.函数图象的应用它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化. 在函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用•【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】(2018年江苏卷)函数 3 =辰㈠的定义域为 ________________ .【答案】［2 , +8)【解析】要使函数有意义，则解得，即函数的定义域为1Y I V【变式探究】【2017北京，文5】已知函数f(X)=3 -(-)，贝y f(x)3(A)是偶函数，且在R上是增函数(B)是奇函数，且在R上是增函数(C)是偶函数，且在R上是减函数(D)是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【解析】/(-XI=3--''1/ ；-y = -/(XI f所汉该的数是奇函数，并且尸萨是増函数，i 是艇I数，根据増函数-减迪数二増幽b可知该函数罡増的数，故选B.I 3 !【举一反三】【2016年高考四川文数】已知函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 v x v 1, x 5时，f(x) =4X，则f ( ) ■ f(1)= .2【答案】-2【解析】因为函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f (-1)—f (1), f (-1) = f(-1 2) = f(1)，所以—f(1)= f(1)，即f(1) = 0,15 1 1 1 1 5f( ) = f( 2) = f( ) =-f ( ) =-42 =-2，所以f( ) f(1) = —2. 2 2 2 2 22【举一反三】(1)(2015 •重庆卷)函数f(x) = log 2(x + 2x —3)的定义域是()A. [ —3,1]B. ( —3,1)C. ( —f— 3］U ［1 , +s)D. ( —g,— 3) U (1 , +f)Ig x, x>0,(2)已知函数f(x)= < 若f(a) + f (1) = 0,则实数a的值为()X + 3, x< 0.A.—3B.—1 或3C. 1 D . —3 或1(1) 答案：D解析：要使函数有意义，只需x2+ 2x —3>0，即(x + 3)( x—1)>0，解得x<—3或x>1.故函数的定义域为(—g, —3) U (1 ,+g).(2) 答案：D解析：f ⑴=|g 1 = 0，所以f (a) = 0.当a>0 时，贝U lg a= 0, a= 1；当a<0 时，贝U a+ 3 = 0, a=—3.所以a= —3或1.【方法技巧】1•已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y = log a x(a> 0, 1)的真数x> 0；⑷ 零次幕的底数不为零；(5)正切函数ny = tan x中，x丰k n+g(k€ Z).如果f (x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合.根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为［a, b］，其复合函数f (g(x))的定义域由不等式a w g(x) w b 求出；(2)若已知函数f (g( x))的定义域为［a, b］，则f (x)的定义域为g(x)在x € ［a, b］时的值域.2•函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同•函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域.题型2、函数的图象及其应用【例2】(2018年全国III卷)函数厂-J十/ + 2的图像大致为【答案】D【解析】当尺=0时，丫 =2,排除A,B.sin2 x【解析】由题意知，函数 y为奇函数，故排除 B ；当x 二n 时，y =0，故排除D 当x = 1 1 一 cosx时，yV,故排除A 故选C.¥ = _ 十血=_2X (2X 2 _ [)1 761，当"（0存）时，1 2 |D.【变式探究】【2017课标1,文8】函数sin2 x y =的部分图像大致为1 -cosxA. AB. BC. CD. D,排除C ,故正确答案选1 -cos2sin x【举一反三】【2017课标3,文7】函数y =1 * x 厂的部分图像大致为（）x【解析】当X =1时, f 1 =11 sin1 = 2 sin 1 2，故排除A,C；当「时，y—；1 x ,故排除B,满足条件的只有D,故选D.【变式探【2016高考新课标1卷】函数y=2x2-e X在〔-2,2 1 的图像大致为【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2-e lX在［-2,2］上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为Af (x) = 4x - e x有一零点，设为x°, f(2) =8-e2,0 ：：：8-e2<1,所以排除A、B选项；当x >0,2 1 时,当(0,x0)时，f (x)为减函数，当(x0,2)时，f (x)为增函数•故选Do【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法.（2）研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用.3x【举一反三】（1）（2015 •四川卷）函数丫=^^的图象大致是（）3 — 1⑴答寨：C解析：由已知：T —1去0=毎0,排除山又TXO 时，r-l<O r：•严寿土X ）,故排除巧討「屮气一廿T 巧吟一耳］咛又丫 =———F ——当3-^ln 3<0时，x>-—>0, j/ <0,所臥D 不符合.故选Q J =1 in □⑵答案：Bf x i f x i 一 0 一 , 解析： = 表示（x i , f （x i ））与原点连线的斜率；x i x i — 0在区间［a, b ］上可找到n （n 》2）个不同的数x i,X 2,…，X n,使得fX i X if x i f X 2x iX 2f X n X n表示(X i , f (X i )) , (X 2, f (X 2))（X n , f （X n ））与原点连线的斜率相等,⑵ 函数y = f （x ）的图象如图所示, C. {3,4,5}( ),（X n, f（X n））在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个而(X i, f(X i)) , (X2, f(X2)),数有几种情况.如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选 B.(1) 确定定义域；(2) 与解析式结合研究单调性、奇偶性； (3) 观察特殊值.2 •关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点 (1) 方程f (x ) = g (x )解的个数可以转化为函数y = f (x )与y = g (x )交点的个数；(2) 不等式f (x ) > g ( x )( f (x ) v g (x ))解集为函数y = f (x )位于y = g (x )图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围.题型三、函数性质的综合应用例3、(2018年全国卷H)若I, 在|i ：. ： |是减函数，贝U 的最大值是兀兀3兀A. —B.C.D.424【答案】CL兀7T【解析】因为mA ；-所以由 "I-.T \:T 二.".；/得44托3血兀 3兀Jl JFE 可，因此[-嗣u [-打5 52 丁兰厂g S ，从而邛勺最大值为4【变式探究】【2017天津，文6】已知奇函数f (x)在R 上是增函数.若【答案】C7T■ I 2k?r<x< 4a = -f (log一 5(A) a :: b :: c ( B )b :: a :: c ( C )c ::: b :: a ( D ) c C 的大小关系为:::a■■■■ b 【解析】由题意：a = f Tog 2 —=f log 2 5，且:log 25 log 24.1 2,1 ：： 20.8 ： 2f Iog 2 5 f log 24.1 f 20.8 ,1关于判断函数图象的解题思路据此：log25 log2 4.1 20.8，结合函数的单调性有:即a b c, c :: b - a，本题选择C选项.x _ 3x x V a②若f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是【答案】2 , (-：：，-1)・【解析】如图，作出与直线？一力的图象，它们的交点是皿7 2)：。

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专题02 函数的图象与性质【2019年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】（2018年江苏卷）函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.【变式探究】【2017北京，文5】已知函数，则1()3(3x x f x =-()f x （A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】B【举一反三】【2016年高考四川文数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5((1)2f f -+= .【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)(()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5((1)22f f -+=-.【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝Error!若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3 B ．－1或3C ．1D ．－3或1(1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子π2都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型 2、函数的图象及其应用【例2】（2018年全国III 卷）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D 【答案】D 【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C ，故正确答案选D.【变式探究】【2017课标1，文8】函数的部分图像大致为sin21cos xy x=-A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B ；当时，，故排除D ；当时，sin21cos xy x=-πx =0y =1x =，故排除A ．故选C ．sin201cos2y =>-【举一反三】【2017课标3，文7】函数的部分图像大致为（）2sin 1xy x x=++A BD ．C D 【答案】D【解析】当时，，故排除A,C ；当时，，故1x =()111sin12sin12f =++=+>x →+∞1y x →+排除B,满足条件的只有D,故选D.【变式探究】【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B选项；当[]0,2x ∈时，()=4e x f x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质学案文

第1讲函数的图象与性质[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |.常见结论：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．例1 (1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 018的值为( ) A ．1 B ．2 C ．22 018D ．32 018答案 A解析由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 018＝1，故选A.(2)(2018·上饶模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x－1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________. 答案 1－e解析因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称，又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)<f (2x )．此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．故选D.(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.热点二函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2 (1)(2018·枣庄模拟)函数f(x)＝ln(|x|－1)＋x的大致图象为( )答案 A解析由题意，函数f(x)满足|x|－1>0，则x>1或x<－1，当x>1时，f(x)＝ln(x－1)＋x为增函数，当x＝－2时，f(－2)＝ln(|－2|－1)－2＝－2<0，故选A.(2)(2018·河南省中原名校模拟)函数f(x)＝e x＋a e－x与g(x)＝x2＋ax在同一坐标系内的图象不可能是( )答案 C解析因为g (x )＝x 2＋ax 的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g (x )的图象，在选项C 中，上面的图象是函数f (x )的图象，下面的是函数g (x )的图象，所以－a2>0，所以a <0，因为f ′(x )＝e x －a e －x ，所以f ′(x )>0在R 上恒成立，所以函数f (x )在定义域内单调递增，不是选项C 中的图象，故选C.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)(2018·河北省衡水中学调研)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lnx －1x ＋1的图象大致为( )答案 B解析由于x ≠0，故排除A.f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln－x －1－x ＋1＝－f (x )，又函数f (x )的定义域为(1，＋∞)∪(－∞，－1)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C.f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ln 13＝－sin(ln 3)<0，排除D ，故选B.(2)(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝|x |＋a x(a ∈R )的图象不可能是( )答案 C解析对于A ，当a ＝0时，f (x )＝|x |，且x ≠0，故可能；对于B ，当x >0且a >0时，f (x )＝x ＋a x ≥2a ，当且仅当x ＝a 时等号成立，当x <0且a >0时，f (x )＝－x ＋a x在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D ，当x <0且a <0时，f (x )＝－x ＋ax≥2－x ·a x＝2－a ，当且仅当x ＝－－a 时等号成立，当x >0且a <0时，f (x )＝x ＋a x在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C 不可能．故选C.热点三基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2018·安庆模拟)设x ，y ，z 均大于1，且l o gl o gl o gx ==，令a ＝12x ，b ＝13y ，c ＝14z ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a答案 D 解析令x y z ==＝t ，则t >0，∴x ＝(2)t，y ＝(3)t，z ＝(5)t，6842,3,5,t t t a b c ∴===∵23<32，32121223,t t ⨯⨯∴<即a <b ， ∵34<53，43242435,t t ⨯⨯∴<即b <c ，∴a <b <c ，故选D.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(1,2]C ．(1,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 A 解析由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤1，得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，故选A.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2018·天津)已知a ＝log 372，b ＝1314⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝131log ,5则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D 解析 ∵c ＝131log 5＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 35>log 372>log 33＝1，∴c >a >1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴1314⎛⎫⎪⎝⎭<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，即b <1.∴c >a >b . 故选D.(2)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3]答案 C解析由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.真题体验1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为________．(填序号)答案 ④解析方法一 f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，此时f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，此时f (x )单调递减．方法二当x ＝1时，y ＝2，所以排除①②.当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除③.2．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 b <a <c解析依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1) ＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)．因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2，则0<f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)．所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数．又log 25.1>0,20.8>0,3>0，且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3，而20.8<21＝log 24<log 25.1，所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .3．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝________.答案 6解析若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)，得a ＝2(a ＋1－1)，∴a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)，得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝6. 4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析方法一令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 方法二 f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )押题依据指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置．答案 D解析方法一分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，故选D. 方法二幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数g (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．2．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|押题依据利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性．答案 D解析由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3；当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D.3．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为()押题依据图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力．答案 B解析取特殊值，用排除法求解，f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0，排除C ，D ，故选B.4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．答案 (－2,0)∪(0,2)解析因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)，所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组专题通关1．(2018·北京石景山区模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案 B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝x ＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13B ．3C ．－13或3D.13或3答案 C解析函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即a －2－x a ＋2－x ＝－a －2x a ＋2x 在定义域内恒成立，整理可得a ·2x －1a ·2x ＋1＝－a ＋2x a ＋2x，即a 2＝1恒成立，∴a ＝±1，当a ＝1时，函数f (x )的解析式为 f (x )＝1－2x 1＋2x ，f ()a ＝f ()1＝1－211＋21＝－13，当a ＝－1时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－1－2x－1＋2x ，f ()a ＝f ()－1＝－1－2－1－1＋2－1＝3.综上可得f ()a 的值为－13或3.3．(2018·安庆模拟)函数f (x )＝x ＋1||x ＋1log a||x (0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 C 解析 f (x )＝x ＋1||x ＋1log a||x＝⎩⎨⎧－log a (－x )，x <－1，log a ()－x ，－1<x <0，log ax ，x >0.故选C.4．(2018·济南模拟)设函数f (x )＝12log (1＋x 2)＋11＋2|x |，则使得f (x )≤f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[)1，＋∞ 答案 C解析当x >0时，f (x )＝12log (1＋x 2)＋11＋2x ，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∵f (x )是偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，又f (x )的定义域为R ，∴f (x )≤f (2x －1)等价于|x |≥|2x －1|，两边平方，化为3x 2－4x ＋1≤0，解得13≤x ≤1，故x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，故选C. 5．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，若a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f ()log 26，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．b <c <a答案 D解析由于f (－x )＝－f (x )，且定义域为R ，故函数f (x )为奇函数，由于f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故函数f (x )为定义域上的增函数，而2<log 26<3，所以b <c <a ，故选D.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．[2,3]B ．[2，＋∞)C ．[1,3]D ．[1，＋∞)答案 A解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A. 7．(2018·上饶模拟)函数y ＝()2－x e x(x ＋1)2的图象大致为( )答案 B解析令y ＝0，可得x ＝2，即函数y ＝(2－x )ex(x ＋1)2有唯一的零点x ＝2，四个选项中，只有选项B 符合题意，故选B.8．(2018·德阳二诊)已知log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0，则2x ，3y ，5z的大小排序为( )A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0，令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k (k <0)， ∴x2＝2k －1，y3＝3k －1，z5＝5k －1，可得2x ＝21－k ，3y ＝31－k ，5z＝51－k，又1－k >0， ∴函数f (x )＝x1－k在(0，＋∞)上单调递增，∴2x <3y <5z.故选A.9．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析由题意知，对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数f (x )的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x ＝－1；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈(0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝________. 答案－32解析由题意作出f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－32.11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案－2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 解析由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，即当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12，解得14≤a <1.B 组能力提高13．(2018·郑州模拟)已知y ＝f (x )满足f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )A ．f (x －1)＋1是偶函数B ．f (－x ＋1)－1是奇函数C ．f (x ＋1)＋1是偶函数D ．f (x ＋1)－1是奇函数答案 D解析方法一根据题干条件可知函数f (x )关于点(1,1)中心对称，故f (x ＋1)关于点(0,1)中心对称，则f (x ＋1)－1关于点(0,0)中心对称，是奇函数．方法二 ∵f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，∴f (－x ＋1)－1＝－f (x ＋1)＋1＝－[f (x ＋1)－1]， ∴f (x ＋1)－1是奇函数．14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数y ＝f (x )，x ∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时T 为f (x )的类周期，函数y ＝f (x )是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当x ∈[0,2)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f (2－x )，1<x <2，函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，若∃x 1∈[6,8]，∃x 2∈(0，＋∞)使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132 B ．(－∞，12] C ．(－∞，39] D ．[12，＋∞)答案 C解析根据题意，对于函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f (2－x )，1<x <2，分析可得：当0≤x ≤1时，f (x )＝12－2x 2，此时f (x )的最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32，当1<x <2时，f (x )＝f (2－x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则此时有－32<f (x )<12，又由函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T ＝2，则在x ∈[6,8)上，f (x )＝33·f (x －6)，则有－812≤f (x )≤272，则f (8)＝27f (2)＝81f (0)＝812，则函数f (x )在区间[6,8]上的最大值为812，最小值为－812；对于函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，g ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x.分析可得：在(0,1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数，在(1，＋∞)上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数，则函数g (x )在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ，若∃x 1∈[6,8]，∃x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，必有g (x )min ≤f (x )max ，即32＋m ≤812，得m 的取值范围为(－∞，39]．15．(2018·安阳二模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，若g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1<g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，则x 的取值范围是____________________．答案 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1}解析因为12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，所以12f (－x )－g (－x )＝－x －1x 2＋1，即－12f (x )－g (x )＝－x －1x 2＋1，因此g (x )＝1x 2＋1. 因为g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x2＋1＝1，所以由g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1<g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得1(x ＋5)2＋1＋(x －1)21＋(x －1)2<1，即1(x ＋5)2＋1<11＋(x －1)2，解得x >－2，结合分母不为零得x 的取值范围是 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1}．16．(2018·天津)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2解析如图所示，若对任意x ∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f (x )的图象恒在y ＝|x |图象的下方，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≤3， ①f (0)≤0， ②且在(0，＋∞)内直线y ＝x 与y ＝－x 2＋2x －2a 相切或相离，所以x ＝－x 2＋2x －2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程x 2－x ＋2a ＝0， Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18.由①②得9－6＋a －2≤3且a －2≤0，所以a ≤2. 综上，18≤a ≤2.。

2019届二轮复习函数的图像与性质学案 (全国通用)

函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．预计2018年高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．1．函数(1)映射：集合A(A 中任意x)――→对应法则f集合B(B 中有唯一y 与A 中的x 对应)．(2)函数：非空数集A―→非空数集B 的映射，其三要素：定义域A 、值域C(C ⊆B)、对应法则f. ①求函数定义域的主要依据： (Ⅰ)分式的分母不为零；学—— (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零； (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；(Ⅴ)正切函数y ＝tan x 中，x 的取值范围是x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈ .②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法．③函数图象在x 轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y 轴上的正投影对应函数的值域． 2．函数的性质 (1)函数的奇偶性如果对于函数y ＝f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，那么函数f (x )就叫做奇函数(或偶函数)．(2)函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(或f (x 1)>f (x 2))，则称f (x )在区间D 上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增(减)函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f (x )在给定区间(a ，b )上恒有f ′(x )>0(f ′(x )<0)，则f (x )在区间(a ，b )上是增(减)函数，(a ，b )为f (x )的单调增(减)区间．判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等． (3)函数的周期性设函数y ＝f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y ＝f (x )的一个周期．(4)最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (或f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f (x )的最大值(或最小值)． 3．函数图象(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． (2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )，y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k .③对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.高频考点一函数表示及定义域、值域例1、（2018年江苏卷）函数的定义域为．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.【变式探究】 (1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12，选B.答案：B(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【变式探究】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78C.34D.12解析：基本法：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ，即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去．综上，b ＝12，故选D.答案：D高频考点二函数的奇偶性对称性例2、（2018年全国Ⅱ卷理数）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D 【答案】B 【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.【变式探究】【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞单调递减，要使()11f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足()121f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[]1,3，选D.【变式探究】(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ .(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：基本法：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B.|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.速解法：y ＝f (x )是奇函数，则y ＝|f (x )|为偶函数．故f (x )·g (x )＝奇，A 错，|f (x )|g (x )＝偶，B 错． f (x )|g (x )|＝奇，C 正确．答案：C【变式探究】已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，若g (x )＝f (x )＋2 016，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．1C ．2 016D ．4 032解析：基本法：函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，则f (x )最小值与最大值的关系为f (x )min＝－f (x )max ，所以g (x )min ＝f (x )min ＋2 016，g (x )max ＝f (x )max ＋2 016，则g (x )max ＋g (x )min ＝0＋2 016＋2 016＝4 032.故选D.速解法：因为函数f (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称．而g (x )＝f (x )＋2 016的图象是由f (x )的图象向上平移2 016个单位长度得到的，故g (x )的图象关于点(0，2 016)对称，所以g xmax ＋gxmin2＝2 016，即g(x)max＋g(x)min＝4 032.故选D.答案：D高频考点三函数单调性、周期性与对称性例3、（2018年全国Ⅱ卷理数）若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为。

2019届二轮复习函数的图象与性质学案(全国通用)

第11讲函数的图象与性质高考统计·定方向题型1函数的表示、图象及应用■核心知识储备·函数的图象(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|等的相互关系．(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．■高考考法示例·【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [(1)法一：易得函数y ＝－x 4＋x 2＋2为偶函数，y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x ＋1)(2x －1)，令y ′>0，即2x (2x ＋1)(2x －1)<0，解得x <－22或0<x <22，所以当y ′<0时，－22<x <0或x >22，所以函数y ＝－x 4＋x 2＋2在－∞，－22，0，22上单调递增，在－22，0，22，＋∞上单调递减，故选D.法二：令x ＝0，则y ＝2，排除A ，B ；令x ＝1，y ＝2而当x ＝22时，y ＝－14＋12＋2＝94＞2，所以排除C.选D.(2)由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.] [方法归纳] 函数图象的判断方法,(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置.(2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)取特殊值代入，进行检验.■对点即时训练·1．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )D [利用导数研究函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断．∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.]2．(2018·烟台模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8C [当0＜a ＜1时，a ＋1≥1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.]3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎨⎧ x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]题型2函数的性质及应用■核心知识储备·1．与函数的单调性有关的两个结论(1)若f(x)在定义域上单调递增，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2；若f(x)在定义域上单调递减，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＞x2.(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)单调性的关系是：“同增异减”．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a＞0)．3．与函数对称性有关的三条结论(1)函数y＝f(x)关于x＝a＋b2对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)；特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)．(2)函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．■高考考法示例·【例2】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝() A．－50B．0C．2D．50(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A ．f (x )在(0,2)单调递增B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称(3)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m(1)C (2)C (3)B [(1)法一：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为f (x )是奇函数，所以函数f (x )的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f (x )是以4为周期的周期函数．因为f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以当x ＝1时，f (2)＝f (0)＝0；当x ＝2时，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2；当x ＝3时，f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0.综上，可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.法二：取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx 2，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列．故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.(2)f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．故选C.(3)根据函数y ＝f (x )与y ＝|x 2－2x －3|的图象都关于直线x ＝1对称求解． ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m 2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.][方法归纳] 根据函数的对称性，判断函数的周期性一般地，①若函数f (x )的图象既关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)(b ≠a )对称，则函数f (x )是以2|a －b |为周期的周期函数；②若函数f (x )的图象既关于直线x ＝a 对称，又关于直线x ＝b (b ≠a )对称，则函数f (x )是以2|a －b |为周期的周期函数；③若函数f (x )的图象既关于点(a ，0)对称，又关于直线x ＝b (b ≠a )对称，则函数f (x )是以4|a －b |为周期的周期函数.(教师备选)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∀x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0.给出下列命题： ①f (1)＝0；②f (x )在[－2,2]上有5个零点；③点(2 018,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心；④直线x ＝2 018是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴．则正确命题的序号是________．①②③ [令f (x －1)＝f (x ＋1)中x ＝0，得f (－1)＝f (1)．∵f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，故①正确；由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(2)＝f(0)＝0，又当x∈(0,1)且x1≠x2时，有f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图：由图知②③正确，④不正确，∴正确命题的序号为①②③.]■对点即时训练·1．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)B[法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.] 2．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]D[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]3．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4,4)D [由题意得x 2－ax －3a ＞0在区间(－∞，－2]上恒成立且a 2≥－2，即(－2)2－a (－2)－3a ＞0且a ≥－4，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，选D.]4．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.6 [∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期为6的周期函数，∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.]1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )B [因为f (－x )＝e －x －e x (－x )2＝－e x －e －xx 2＝－f (x )(x ≠0)，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以函数f (x )的图象关于原点(0,0)中心对称，排除选项A ；因为f (1)＝e －1e>2，所以排除选项C ，D ，选B.]2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)D [由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.]3．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [利用幂函数的性质比较大小．a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523.∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .]4．(2015·全国卷Ⅰ)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4C [设(x ，y )为y ＝f (x )图象上任意一点，则(－y ，－x )在y ＝2x ＋a 的图象上，所以有－x ＝2－y ＋a ，从而有－y ＋a ＝log 2(－x )(指数式与对数式的互化)，所以y＝a－log2(－x)，即f(x)＝a－log2(－x)，所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝2.故选C.]5．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.－2[由f(a)＝ln(1＋a2－a)＋1＝4，得ln(1＋a2－a)＝3，所以f(－a)＝ln(1＋a2＋a)＋1＝－ln11＋a2＋a＋1＝－ln(1＋a2－a)＋1＝－3＋1＝－2.]11。

江苏省2019届高考数学二轮复习教学案：第2讲函数、图象及性质

第2讲函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，则f(x)＝________.2.函数f(x)＝(x ＋1)0|x|－x的定义域为________．3.函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，f ⎝⎛⎭⎫－12＝2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫20092＝________.4.函数f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝mx ＋2，对1∈[－1,2]，0∈[－1,2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数m 的取值范围是________．【例1】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．【例2】已知函数f(x)＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【例3】设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，常数a 为实数)． (1) 若f(x)为偶函数，求实数a 的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x ＋a ＋a|x|，a 为实数． (1) 当a ＝1，x ∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；(2) 设m 、n 是两个实数，满足m ＜n ，若函数f(x)的单调减区间为(m ，n)，且n －m ≤3116，求a 的取值范围．1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________.2.(2011·湖北)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x ，则g(x)＝________.3.(2011·上海)设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数，若f(x)＝x ＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________．5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x. (1) 如果x ∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域； (2) 求函数M(x)＝f (x )＋g (x )－|f (x )－g (x )|2的最大值；(3) 如果对不等式f(x 2)f(x)＞kg(x)中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．解：令t ＝log 2x ，(1分) (1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(t －1)2＋2，(2分) ∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log 2x)，当0＜x ≤2时，f(x)≥g(x)；当x ＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴ M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )＜g (x )， M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x>2，(6分) 当0＜x ≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x ＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x ＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x 2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log 2x)(3－log 2x)＞k·log 2x ， ∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，∴ (3－4t)(3－t)＞kt 对一切t ∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t ＝0时，k ∈R ；(11分)②t ∈(0,2]时，k ＜(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k ＜4t ＋9t －15，(12分)∵ 4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．(13分)∴ 4t ＋9t －15的最小值为－3.综上：k ＜－3.(14分)第2讲函数、图象及性质1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)＞f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【答案】 m ＜n 解析：考查指数函数的单调性a ＝5－12∈(0,1)，函数f(x)＝a x 在R 上递减．由f(m)＞f(n)得：m<n. 2. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1≤－1.∴ a 的取值范围是(－∞，－1](2) 当x ≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2， f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (a )，a ≥0，f ⎝⎛⎭⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0，当x ≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (－a )，a ≥0，f (a )，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 2，a ＜0，综上f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0.(3) x ∈(a ，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a ≤－62或a ≥62时，Δ≤0，x ∈(a ，＋∞)；当－62＜a ＜62时，Δ＞0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a ，讨论得：当a ∈⎝⎛⎭⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)；当a ∈⎝⎛⎭⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞ 当a ∈⎣⎡⎦⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞. 综上，当a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－62∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)，当a ∈⎣⎡⎦⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞，当a ∈⎣⎡⎦⎤－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.基础训练 1. 12x 2＋12x 2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x ＞0＜0，x ≠－1.3. －4 解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 , 0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x ＋2)＝－f(x)，∴ f(x ＋4)＝f(x)，∴ f ⎝⎛⎭⎫2 0092＝f ⎝⎛⎭⎫1 004＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫2 0092＝2f ⎝⎛⎭⎫12＝－2f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4.4. ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析：x ∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m ≥0，x ∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m ＜0，x ∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m ≥0，[2－m ，2＋－1,3]；m ＜0，[2＋2m,2－－1,3]得0≤m ≤12或－1≤m<0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 例题选讲例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a ＝12, ∴ a ＝2, ∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．(2) 方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练已知函数y ＝f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f(x)(－1≤x ≤1)的图象关于原点对称．又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y ＝f(x)，x ∈[1,4]的解析式； (3)求y ＝f(x)在[4,9]上的解析式．(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，又∵ y ＝f(x)(－1≤x ≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.(2)解：当x ∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x －2)2－5(a ＞0)，由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a ＝2， ∴ f(x)＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)解： ∵ y ＝f(x)(－1≤x ≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x ≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k ＝－3，∴ 当0≤x ≤1时，f(x)＝－3x ，从而当－1≤x ＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f(x)＝－3x ，∴ 当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴ f(x)＝f(x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15，当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4，∴ f(x)＝f(x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15，4≤x ≤6，2(x －7)2－5，6＜x ≤9. 点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．例2 解： (1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(x)＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a ≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x 1)－f(x 2)＜0恒成立．∵ x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵ x 1＋x 2＞4, ∴ x 1x 2(x 1＋x 2)＞16. ∴ a 的取值范围是(－∞，16]．(解法2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，显然在[2，＋∞)为增函数．当a ＜0时，反比例函数ax 在[2，＋∞)为增函数，∴ f(x)＝x 2＋ax 在[2，＋∞)为增函数．当a ＞0时，同解法1.(解法3)f ′(x)＝2x －ax 2≥0，对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴ a ≤2x 3而y ≤2x 3.在[2，＋∞)上单调增，最小值为16，∴ a ≤16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题．例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x －a|＝|2x ＋a|，解得a ＝0.(2) f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x ＜12a ，当x ≥12a 时，f(x)＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a ＞2，x ≥12a ，得x ＞1，从而x ＞－1，又f ′(x)＝2(x ＋1)，故f(x)在x ≥12a 时单调递增，f(x)的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x ＜12a 时，f(x)＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1＜x ＜a2时，f(x)单调递增，当x ＜1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a －1；由a 24－(a －1)＝(a －2)24＞0，知f(x)的最小值为a －1. 点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．变式训练已知函数f(x)＝x|x －2|.设a ＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解： f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，x ＜2.∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．① 当0＜a ≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1＜a ≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1＞0, 解得a ＞1＋ 2. 若2＜a ≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；若a ＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0＜a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a ＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．例4 解：设y ＝f(x)，(1) a ＝1时，f(x)＝x ＋1＋|x|，当x ∈(0,1]时，f(x)＝x ＋1＋x 为增函数，y 的取值范围为(1,1＋2]．当x ∈[－1,0]时，f(x)＝x ＋1－x ，令t ＝x ＋1，0≤t ≤1，则x ＝t 2－1，y ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，0≤t ≤1，y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，54. ∵ 54＜1＋2， ∴x ∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．(2) 令t ＝x ＋a ，则x ＝t 2－a ，t ≥0，y ＝g(t)＝t ＋a|t 2－a|. ① a ＝0时，f(x)＝x 无单调减区间；② a ＜0时，y ＝g(t)＝at 2＋t －a 2，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上g(t)是减函数，则在⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，＋∞上f(x)是减函数．∴a ＜0不成立．③ a ＞0时，y ＝g(t)＝⎩⎨⎧－at 2＋t ＋a 2，0≤t ≤a ，at 2＋t －a 2，t ＞ a.仅当12a ＜a ，即a ＞312时，在t ∈⎝⎛⎭⎫12a ，a 时，g(t)是减函数，即x ∈⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，0时，f(x)是减函数． ∴n －m ＝a －14a 2≤3116，即(a －2)(16a 2＋a ＋2)≤0. ∴a ≤2. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤314，2.高考回顾1. 12解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到． 2. g(x)＝e x ＋e －x2解析：因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e －x .又因为f(x)＋g(x)＝e x，所以g(x)＝e x ＋e －x2.3. [－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，则f(x 1)＝x 1＋g(x 1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R 周期为1的函数，∴ 当x 2∈[1,2]时，f(x 2)＝x 1＋1＋g(x 1＋1)＝1＋x 1＋g(x 1)＝1＋f(x 1)∈[－1,6]，当x 2∈[2,3]时，f(x 2)＝x 1＋2＋g(x 1＋2)＝2＋x 1＋g(x 1)＝2＋f(x 1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．4. 4 解析：AB ＝22，直线AB 的方程为x ＋y ＝2，在y ＝x 2上取点C(x ，y)，点C(x ，y)到直线AB 的距离为2，|x ＋y －2|2＝2，|x ＋x 2－2|＝2，此方程有四个解．5. 解：(1) 当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)， ∵ 2x 1＜2x 2，a ＞1－2x 2)＜0,3x 1＜3x 2，b ＞1－3x 2)＜0， ∴ f(x 1)－f(x 2)＜0，函数f(x)在R 上是增函数．当a ＜0，b ＜0时，同理函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x ＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎫32x ＞－a2b ，则 x ＞log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，⎝⎛⎭⎫32x ＜－a2b，则x ＜log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 6. 解：(1) 由题意：当0≤x ≤20时，v(x)＝60；当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，显然v(x)＝ax ＋b 在[20,200]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20<x ≤200.(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。

【2019年高考二轮课程】数学全国通用版函数的图像与性质教案

2019年高考二轮复习函数的定义与性质一、高考回顾函数是高中数学的核心内容，自然也是高考的重点。

近几年对函数的考查，一般是一大一小。

小题往往考查函数性质，函数的图像或者幂、指、对数大小的比较，偶尔跟导数结合，难度中等偏上。

大题主要考查函数曲线切线的求法，单调性的讨论，函数的零点个数探求，导数与不等式，恒成立、能成立、恰成立问题，此类题综合性比较强，难度也较大。

高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。

二、知识清单1.思维导图2.知识再现 1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:3、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆ 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数； 5.函数的最大（小）值设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

【新】2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第1讲函数的图象与性质学案

第1讲函数的图象与性质[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，采用数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.常见结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．例1 (1)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 018的值为( ) A ．1 B ．2 C ．22 018D ．32 018答案 A解析由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 018＝1，故选A.(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x－1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________. 答案 1－e解析因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称，又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为当x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2018·浙江省“五校联考”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|(x －a )2－1|＋a ，x ≥0，|x －a |＋2a －1，x <0的最小值为2a －1，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＝1B ．0<a ≤1C．a<0或a＝1 D．a<0或a≥1答案 C解析在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象(图略)，由图易得当a≥0时，函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为a，在(－∞，0)上单调递减，当x→0(x<0)时，f(x)→3a－1，要使函数f(x)的最小值为2a－1，则有a＝2a－1≤3a－1，解得a＝1；当－1≤a<0时，函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为a，在(－∞，0)上的最小值为2a－1，要使函数f(x)的最小值为2a－1，则有2a－1≤a，解得a≤1，所以－1≤a<0；当a<－1时，函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为a2＋a－1，在(－∞，0)上的最小值为2a－1，要使函数f(x)的最小值为2a－1，则有2a－1≤a2＋a－1，解得a≤0或a≥1，所以a<－1.综上所述，实数a的取值范围为a<0或a＝1，故选C.(2)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )A．－50 B．0 C．2 D．50答案 C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.热点二函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x－e －xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D.又e>2，∴1e <12，∴e－1e >32，排除C.故选B.(2)函数f (x )＝e x＋a e －x与g (x )＝x 2＋ax 在同一坐标系内的图象不可能是( )答案 C解析因为g (x )＝x 2＋ax 的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g (x )的图象，在选项C 中，上面的图象是函数f (x )的图象，下面的是函数g (x )的图象，所以－a2>0，所以a <0，因为f ′(x )＝e x－a e －x，所以f ′(x )>0在R 上恒成立，所以函数f (x )在定义域内单调递增，不是选项C 中的图象，故选C.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lnx －1x ＋1的图象大致为( )答案 B解析由于x ≠0，故排除A.f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln－x －1－x ＋1＝－f (x )，又函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C.f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13＝－sin(ln 3)<0，排除D ，故选B.(2)函数f (x )＝|x |＋a x(a ∈R )的图象不可能是( )答案 C解析对于A ，当a ＝0时，f (x )＝|x |，且x ≠0，故可能；对于B ，当x >0且a >0时，f (x )＝x ＋a x≥2a ，当且仅当x ＝a 时等号成立，当x <0且a >0时，f (x )＝－x ＋ax在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D ，当x <0且a <0时，f (x )＝－x ＋a x≥2－x ·a x＝2－a ，当且仅当x ＝－－a 时等号成立，当x >0且a <0时，f (x )＝x ＋a x在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C 不可能．故选C.热点三基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .故选D.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(1,2]C ．(1,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 A 解析由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤1，得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，故选A.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2018·浙江省台州中学模拟)设a ＝131log ,2b ＝132log ,3c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a log 332>log 343，即131log 2>132log 3>log 343，则a >b >c ，故选B.(2)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3]答案 C解析由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.真题体验1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为________．(填序号)答案 ④解析方法一 f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，此时f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，此时f (x )单调递减．方法二当x ＝1时，y ＝2，所以排除①②.当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除③.2．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 b <a <c解析依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1) ＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)．因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2，则0<f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)．所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数．又log 25.1>0,20.8>0,3>0，且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3，而20.8<21＝log 24<log 25.1，所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .3．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________. 答案 6解析若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)，得a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)，得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6. 4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.答案 12解析方法一令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 方法二 f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )押题依据指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置．答案 D解析方法一分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，故选D. 方法二幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数g (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．2．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|押题依据利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性．答案 D解析由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3；当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D.3．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )押题依据图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力．答案 B解析方法一由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，∴f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠0}．令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1，当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合．方法二取特殊值，用排除法求解，f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0，排除C ，D ，故选B.4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．答案 (－2,0)∪(0,2)解析因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)，所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t<2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组专题通关1．(2018·浙江省重点中学联考)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋1的定义域为[1，t ]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t 的取值范围是( ) A ．(1,3] B ．[2,3] C ．(1,2] D ．(2,3)答案 B解析若t ≤2，则函数的最大值为f (1)＝－2，函数的最小值为f (t )＝t 2－4t ＋1，由题意得t 2－4t －1＝－5，解得t ＝2；若t >2，因为定义域为[1，t ]，所以函数的最小值为f (2)＝－3，函数的最大值为max[f (1)，f (t )]＝max{－2，t 2－4t ＋1}＝－2.结合函数图象(图略)，得t 2－4t ＋1≤－2，解得1≤t ≤3，所以2<t ≤3.综上所述，2≤t ≤3，故选B.2．已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13B ．3C ．－13或3D.13或3 答案 C解析函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即a －2－x a ＋2－x ＝－a －2x a ＋2x 在定义域内恒成立，整理可得a ·2x －1a ·2x ＋1＝－a ＋2x a ＋2x，即a 2＝1恒成立，∴a ＝±1，当a ＝1时，函数f (x )的解析式为 f (x )＝1－2x 1＋2x ，f ()a ＝f ()1＝1－211＋21＝－13，当a ＝－1时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－1－2x －1＋2x ，f ()a ＝f ()－1＝－1－2－1－1＋2－1＝3.综上可得f ()a 的值为－13或3.3．(2018·浙江省名校协作体联考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋x ＋b ，下列图象一定不能表示f (x )的图象的是( )答案 D解析由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋1，对于选项D ，可知a <0，Δ＝4－12a ≤0，此时a 无解，所以D 不正确，故选D.4．已知函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．b －a <2 B ．a ＋2b >2 C ．b －a >2 D ．a ＋2b <2答案 C解析由题意得f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x －12x＋1＝－1－2x2x ＋1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．又f (x )＝－2x－11＋2x ＝－(2x＋1)－21＋2x ＝－1＋21＋2x ，故函数f (x )在R 上单调递减． ∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0， ∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， ∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.5．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝15log 3,f ⎛⎫ ⎪⎝⎭b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 C解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝15log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55<log 53<1,1＝log 33<log 35， 0<0.20.5＝55<12， ∴0.20.5<log 53<log 35，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b <a <c ，故选C.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．[2,3]B ．[2，＋∞)C ．[1,3]D ．[1，＋∞)答案 A解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.7．已知函数f (x )＝ln(ax 2＋bx ＋c )的部分图象如图所示，则a －b ＋c 等于()A ．－1B ．1C ．－5D ．5答案 D解析由题图知，直线x ＝2，x ＝4是函数f (x )的渐近线，即有x 1＝2，x 2＝4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，x 3＝1，x 4＝5是方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根，∴由根与系数的关系，得2＋4＝1＋5＝－b a ，2×4＝c a ，1×5＝c －1a， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－2，c ＝83，∴a －b ＋c ＝5，故选D.8．已知log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0，则2x ，3y ，5z的大小排序为( )A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0，令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k (k <0)， ∴x2＝2k －1，y3＝3k －1，z5＝5k －1，可得2x ＝21－k ，3y ＝31－k ，5z＝51－k，又1－k >0， ∴函数f (x )＝x1－k在(0，＋∞)上单调递增，∴2x <3y <5z.故选A.9．(2018·浙江省温州六校协作体联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－2，x >0，－3－x＋2，x <0，则下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的值域为RB ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (|x |)为偶函数D ．函数f (x )是单调函数答案 D解析在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象(图略)，由图易得函数f (x )的值域为R ，A 正确；函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x >0时，f (－x )＝－3－(－x )＋2＝－3x＋2＝－f (x )，同理当x <0时，也有f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，B 正确；f (|－x |)＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，C 正确；函数f (x )是分段函数，在各个区域内具有单调性，在整个定义域内函数f (x )不是单调函数，D 错误，综上所述，故选D.10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数f (x )的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x＝－1；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈(0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝________. 答案－32解析由题意作出f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－32.11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案－2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 解析由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，即当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知，0<a <1且2log a 22≥12，解得14≤a <1.B 组能力提高13．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)如果存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，我们称函数f (x )为“Θ函数”．给出下列四个函数： ①f (x )＝sin x ； ②f (x )＝cos x ； ③f (x )＝sin x －cos x ；④f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8.其中“Θ函数”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 B解析对于函数f (x )＝sin x ，f (x ＋k 1π)(k 1∈Z )为奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋k 2π(k 2∈Z )为偶函数，所以不存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin x 不是“Θ函数”；对于函数f (x )＝cos x ，f (x ＋k 3π)(k 3∈Z )为偶函数，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋k 4π(k 4∈Z )为奇函数，所以不存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝cosx 不是“Θ函数”；对于函数f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，则存在a ＝π4使得f (x＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin x －cos x 是“Θ函数”；对于函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则存在a ＝3π8使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8是“Θ函数”．综上所述，“Θ函数”的个数为2，故选B.14．(2018·浙江省杭州二中月考)设f (x )＝ex1＋e x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )－12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (－x )－12的值域是( ) A ．{－1,0,1} B ．{－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{0,1}答案 B解析设h (x )＝f (x )－12，则g (x )＝[h (x )]＋[h (－x )]，又因为h (－x )＝f (－x )－12＝e－x1＋e －x－12＝11＋e x －12＝－e x1＋e x ＋12＝－h (x )，所以函数h (x )＝f (x )－12为奇函数，易知h (x )在R 上单调递增，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.当x <0时，g (x )＝－1＋0＝－1；当x ＝0时，g (x )＝0＋0＝0；当x >0时，g (x )＝0－1＝－1.综上所述，函数g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )－12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (－x )－12的值域为{－1,0}，故选B.15．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，若g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1<g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，则x 的取值范围是____________________．答案 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1} 解析因为12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，所以12 f (－x )－g (－x )＝－x －1x 2＋1，即－12 f (x )－g (x )＝－x －1x 2＋1，因此g (x )＝1x 2＋1. 因为g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x2＋1＝1，所以由g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1<g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得1(x ＋5)2＋1＋(x －1)21＋(x －1)2<1，即1(x ＋5)2＋1<11＋(x －1)2，解得x >－2，结合分母不为零得x 的取值范围是 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1}．16．(2018·天津)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2解析如图所示，若对任意x ∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f (x )的图象恒在y ＝|x |图象的下方，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≤3， ①f (0)≤0， ②且在(0，＋∞)内直线y ＝x 与y ＝－x 2＋2x －2a 相切或相离，所以x ＝－x 2＋2x －2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程x 2－x ＋2a ＝0， Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18.由①②得9－6＋a －2≤3且a －2≤0，所以a ≤2. 综上，18≤a ≤2.小中高精品教案试卷。

2019届高考数学二轮复习突破热点分层教学专项二专题一1第1讲函数的图象与性质学案

第1讲函数的图象与性质函数及其表示(基础型)分段函数问题的5种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．[考法全练]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x >2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．－14≤a <0B ．a ≤－14C ．－1≤a ≤－14D ．a ≤－1解析：选D.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x >2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－12a ≤2，2a －1≥4a ＋2－1，解得a ≤－1，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解析：选D.当x ≤0时，因为f (x )min ＝f (0)，所以f (x )＝(x －a )2在(－∞，0]上单调递减，故a ≥0. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a (当且仅当x ＝1时取等号)，因为f (x )min ＝f (0)，所以2＋a ≥f (0)＝a 2，解得－1≤a ≤2.综上可知，0≤a ≤2.故选D.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，2]解析：选C.函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )为偶函数，所以f (－a )＝f (a )，则不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价为2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，再由图象可得|a |≤1，即－1≤a ≤1.故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．解析：由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2. 答案：25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析：当x ＋1<0，即x <－1时，f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x ，不等式变为x －x (x ＋1)≤1，即－x 2≤1，解得x ∈R ，故x ∈(－∞，－1)．当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，不等式变为x ＋x (x ＋1)≤1，即x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋ 2 ]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋ 2 ]．答案：(－∞，－1＋ 2]函数的图象及应用(综合型)函数图象变换的4种形式(1)平移变换(上加下减，左加右减)y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向左(右)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x ＋a )(y ＝f (x －a ))的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向上(下)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x )＋a (y ＝f (x )－a )的图象．(2)伸缩变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――→x 不变，y 变为原来的k 倍y ＝kf (x )的图象； y ＝f (x )的图象错误!y ＝f (kx )的图象．(3)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )的图象． (4)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方的部分翻折到上方y ＝|f (x )|的图象， y ＝f (x )的图象―――――――――――→y 轴右侧的部分翻折到左侧y ＝f (|x |)的图象．[典型例题]命题角度一函数图象的识别(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )(2)已知定义域为[0，1]的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (－x ＋1)的图象可能是( )(3)(一题多解)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为关于x 的函数f (x )，则f (x )的图象大致为( )【解析】 (1)当x <0时，因为e x－e －x<0，所以此时f (x )＝e x －e －xx 2<0，故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e>2，故排除C ，选B.(2)因为f (－x ＋1)＝f [－(x －1)]，先将f (x )的图象沿y 轴翻折，y 轴左侧的图象即为f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f (－x ＋1)的图象，故选B.(3)法一：当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤π4，则BPOB ＝tan x ，所以BP ＝tan x ，所以AP ＝4＋tan 2x ，所以f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C. 当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ，π4≤x ≤3π4，则BP ＋AP＝BC 2＋CP 2＋AD 2＋DP 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1tan x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x 2. 当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ，3π4≤x ≤π，则APOA＝tan(π－x )＝－tan x ，所以AP ＝－tan x ，所以BP ＝4＋tan 2x ，所以f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤x ≤π，根据函数的解析式可排除D ，故选B.法二：当点P 位于点C 时，x ＝π4，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋5，当点P 位于CD 的中点时，x ＝π2，此时AP ＋BP ＝22<1＋5，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时，x ＝3π4，此时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化排除A ，故选B.【答案】 (1)B (2)B (3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择． ③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．命题角度二函数图象的应用若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．【解析】在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示，若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切．由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现．[对点训练]1．(2018·湖南湘东五校联考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：选B.因为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，所以f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex－1<0，cos x >0，所以f (x )<0，可排除选项D ，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01， x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0所以x <0，故选D.3.某地一年的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C (t )与t 之间的函数关系的是( )解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t ＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B ；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C ；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D ，故选A.4．若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1，2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]函数的性质及应用(综合型)与函数周期性有关的5条结论(1)若f (x ＋T )＝f (x )，则T 是f (x )的一个周期． (2)若f (x ＋T )＝1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期． (3)若f (x ＋T )＝－1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期． (4)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a <b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(5)若对于定义域内的任意x 都有f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.与函数对称性有关的3条结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )． (2)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．[典型例题]命题角度一函数单调性的应用(1)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a＝12f (2)，b ＝f (1)，c ＝－13f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．a >c >b(2)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，得函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－13f (－3)＝13f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即b >a >c ，故选B. (2)当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，1)∪(2，＋∞)(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)对于x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2，若(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数．(3)若函数f (x )在定义域(或某一区间)上是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2，利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式转化为一般不等式．命题角度二函数的奇偶性与周期性(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．8【解析】 (1)因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且一个周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.(2)f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0. 因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4. 【答案】 (1)C (2)C(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质f (|x |)＝f (x )．(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[对点训练]1．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：选C.由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.故选C.2．(2018·惠州第一次调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a解析：选B.由①知函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．因为函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .3．(2018·山西八校第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．解析：因为f (x ＋2)＝－1f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.答案：52新定义函数(创新型)新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．[典型例题](2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.【答案】 B解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．[对点训练]1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A.对于选项A ，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则e x f (x )＝e x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，因为e 2>1，所以e xf (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x2＋2x )>0，得x >0或x <－2；令e x(x 2＋2x )<0，得－2<x <0，所以函数e xf (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，所以f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则e x f (x )＝e x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ，因为e 3<1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减，所以f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e xf (x )＝e xcos x ，则[e xf (x )]′＝e x(cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e xf (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的，所以f (x )＝cos x 不具有M 性质．2．(2018·西安模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界，若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A.因为a ＋b ＝1，所以－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ，因为a >0，b >0，所以b 2a ＋2ab ≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，所以－12a －2b ≤－52－2＝－92，所以－12a －2b 的上确界为－92，故选A.一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a >－12a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0.2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析：选B.A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＋b ，所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D.当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或 x ＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln(x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln(x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12 C ．2D ．－2解析：选D.由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.7．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}解析：选A.由于函数f (x )是奇函数，且当x >0时f (x )单调递增，f (1)＝0，故由f (x －1)>0，得－1<x －1<0或x －1>1，所以0<x <1或x >2，故选A.8．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.9.如图，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247，则下列结论正确的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B.因为函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－611＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，又对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以f (x )在[0，1]上是减函数，因为49<611<47，所以b >a >c ，故选B.11．(2018·唐山模拟)已知奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选C.由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.12．已知函数f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当h (x )<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg(－x )，x <0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝________．解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4.答案：414．定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于________．解析：定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.答案：40515．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：616．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －3，x ≥0ln(－2x )，x <0的图象上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是________．解析：将函数y ＝ln(－2x )(x <0)的图象沿y 轴翻折，得函数g (x )＝ln(2x )(x >0)的图象，由题意可得g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．设y ＝kx －3(x ≥0)的图象与曲线y ＝g (x )相切的切点为(m ，ln(2m ))，由g ′(x )＝1x ，得k ＝1m .又ln(2m )＝km －3，解得m ＝12e 2，则k ＝2e 2.由图象可得0<k <2e 2时，g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．答案：(0，2e 2)。

2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题一1第1讲函数的图象与性质学案

第1讲函数的图象与性质年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ利用图象研究零点问题·T9 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10题或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断.2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合命题，难度较大.卷Ⅱ图象的识别·T3函数性质与求值·T11卷Ⅲ图象的识别·T72017卷Ⅰ利用函数的单调性、奇偶性求解不等式·T5卷Ⅲ分段函数与不等式的解法·T152016卷Ⅰ函数图象的判断·T7函数及其表示(基础型)分段函数问题的5种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．[考法全练]1．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax2＋x－1，x>2，ax－1，x≤2是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( ) A．－14≤a<0 B．a≤－14C．－1≤a≤－14D．a≤－1解析：选D.因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax2＋x－1，x>2，ax－1，x≤2是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－12a ≤2，2a －1≥4a ＋2－1，解得a ≤－1，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解析：选D.当x ≤0时，因为f (x )min ＝f (0)，所以f (x )＝(x －a )2在(－∞，0]上单调递减，故a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a (当且仅当x ＝1时取等号)，因为f (x )min ＝f (0)，所以2＋a ≥f (0)＝a 2，解得－1≤a ≤2.综上可知，0≤a ≤2.故选D.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，2]解析：选C.函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )为偶函数，所以f (－a )＝f (a )，则不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价为2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，再由图象可得|a |≤1，即－1≤a ≤1.故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．解析：由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2.答案：25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析：当x ＋1<0，即x <－1时，f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x ，不等式变为x －x (x ＋1)≤1，即－x 2≤1，解得x ∈R ，故x ∈(－∞，－1)．当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，不等式变为x ＋x (x ＋1)≤1，即x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋ 2 ]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋ 2 ]．答案：(－∞，－1＋ 2 ]函数的图象及应用(综合型)函数图象变换的4种形式(1)平移变换(上加下减，左加右减)y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向左(右)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x ＋a )(y ＝f (x －a ))的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向上(下)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x )＋a (y ＝f (x )－a )的图象．(2)伸缩变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――→x 不变，y 变为原来的k 倍y ＝kf (x )的图象； y ＝f (x )的图象错误!y ＝f (kx )的图象．(3)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )的图象． (4)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方的部分翻折到上方y ＝|f (x )|的图象， y ＝f (x )的图象―――――――――――→y 轴右侧的部分翻折到左侧y ＝f (|x |)的图象．[典型例题]命题角度一函数图象的识别(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )(2)已知定义域为[0，1]的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (－x ＋1)的图象可能是( )(3)(一题多解)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为关于x 的函数f (x )，则f (x )的图象大致为( )【解析】 (1)当x <0时，因为e x－e －x<0，所以此时f (x )＝e x －e－xx2<0，故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e>2，故排除C ，选B.(2)因为f (－x ＋1)＝f [－(x －1)]，先将f (x )的图象沿y 轴翻折，y 轴左侧的图象即为f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f (－x ＋1)的图象，故选B.(3)法一：当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤π4，则BPOB ＝tan x ，所以BP ＝tan x ，所以AP ＝4＋tan 2x ，所以f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C. 当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ，π4≤x ≤3π4，则BP ＋AP＝BC 2＋CP 2＋AD 2＋DP 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1tan x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x 2. 当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ，3π4≤x ≤π，则AP OA＝tan(π－x )＝－tan x ，所以AP ＝－tan x ，所以BP ＝4＋tan 2x ，所以f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤x ≤π，根据函数的解析式可排除D ，故选B.法二：当点P 位于点C 时，x ＝π4，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋5，当点P 位于CD 的中点时，x ＝π2，此时AP ＋BP ＝22<1＋5，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时，x ＝3π4，此时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化排除A ，故选B.【答案】 (1)B (2)B (3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．命题角度二函数图象的应用若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．【解析】在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示，若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切．由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现．[对点训练]1．(2018·湖南湘东五校联考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx 的图象的大致形状是( )解析：选 B.因为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，所以f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋e x －1<0，cos x >0，所以f (x )<0，可排除选项D ，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01， x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0所以x <0，故选D.3.某地一年的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C (t )与t 之间的函数关系的是( )解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t ＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B ；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C ；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D ，故选A.4．若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1，2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]函数的性质及应用(综合型)与函数周期性有关的5条结论(1)若f (x ＋T )＝f (x )，则T 是f (x )的一个周期．(2)若f (x ＋T )＝1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期． (3)若f (x ＋T )＝－1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期． (4)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a <b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(5)若对于定义域内的任意x 都有f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.与函数对称性有关的3条结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )． (2)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．[典型例题]命题角度一函数单调性的应用(1)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a ＝12f (2)，b ＝f (1)，c ＝－13f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >b(2)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，得函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－13f (－3)＝13f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即b >a >c ，故选B.(2)当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，1)∪(2，＋∞)(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)对于x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2，若(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数．(3)若函数f (x )在定义域(或某一区间)上是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2，利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式转化为一般不等式．命题角度二函数的奇偶性与周期性(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．8【解析】 (1)因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且一个周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.(2)f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x32|x |＋1，因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0. 因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4. 【答案】 (1)C (2)C(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质f (|x |)＝f (x )．(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[对点训练]1．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：选C.由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.故选C.2．(2018·惠州第一次调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a解析：选B.由①知函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．因为函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .3．(2018·山西八校第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．解析：因为f (x ＋2)＝－1f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.答案：52新定义函数(创新型)新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．[典型例题](2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.【答案】 B解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．[对点训练]1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A.对于选项A ，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，因为e 2>1，所以e x f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )>0，得x >0或x <－2；令e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，所以函数e xf (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，所以f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x，因为e 3<1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减，所以f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e xf (x )＝e xcos x ，则[e xf (x )]′＝e x(cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e xf (x )＝e xcosx 在R 上不是单调递增的，所以f (x )＝cos x 不具有M 性质．2．(2018·西安模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界，若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A.因为a ＋b ＝1，所以－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ，因为a >0，b >0，所以b 2a ＋2a b ≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，所以－12a －2b ≤－52－2＝－92，所以－12a－2b 的上确界为－92，故选A.一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a >－12a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0.2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析：选B.A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＋b ，所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D.当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或 x ＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln(x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln(x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12 C ．2D ．－2解析：选D.由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.7．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}解析：选A.由于函数f (x )是奇函数，且当x >0时f (x )单调递增，f (1)＝0，故由f (x －1)>0，得－1<x －1<0或x －1>1，所以0<x <1或x >2，故选A.8．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.9.如图，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247，则下列结论正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B.因为函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－611＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，又对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以f (x )在[0，1]上是减函数，因为49<611<47，所以b >a >c ，故选B. 11．(2018·唐山模拟)已知奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选C.由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当h (x )<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg(－x )，x <0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝________．解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4.答案：414．定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于________．解析：定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.答案：40515．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：616．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －3，x ≥0ln(－2x )，x <0的图象上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是________．解析：将函数y ＝ln(－2x )(x <0)的图象沿y 轴翻折，得函数g (x )＝ln(2x )(x >0)的图象，由题意可得g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．设y ＝kx －3(x ≥0)的图象与曲线y ＝g (x )相切的切点为(m ，ln(2m ))，由g ′(x )＝1x ，得k ＝1m.又ln(2m )＝km －3，解得m ＝12e2，则k ＝2e 2.由图象可得0<k <2e 2时，g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．答案：(0，2e 2)。

2019届高考数学二轮复习第二部分专项二专题二 1 第1讲三角函数的图象与性质学案 Word版含解析

专题二　三角函数与解三角形第1讲　三角函数的图象与性质年份卷别考查内容及考题位置命题分析卷Ⅰ三角函数的最值·T 16卷Ⅱ三角函数的单调性·T 102018卷Ⅲ三角函数图象的应用·T 15卷Ⅰ三角函数的图象变换·T 9卷Ⅱ三角函数的最值·T 142017卷Ⅲ余弦函数的图象与性质·T 6卷Ⅱ三角函数的图象变换与性质·T 72016卷Ⅲ同角三角函数的基本关系·T 5　三角函数的图象变换·T 14 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12题或第14、15题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.三角函数的定义、诱导公式及基本关系(基础型)三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝，cos α＝，y r x rtan α＝(其中r ＝)．y xx 2＋y 2 利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．[注意]　“奇变偶不变，符号看象限”．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝.sin xcos x[考法全练]1．若sin＝－，且α∈，则tan(π－α)＝( )(π2＋α)35(π2，π)A. B.4323C ．－D ．－2343解析：选A.由sin＝cos α＝－，且α∈，(π2＋α)35(π2，π)得sin α＝＝，1－cos 2 α45所以tan(π－α)＝－tan α＝－＝－＝.sin αcos α45－35432．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ＝( )(α＋π4)A ．－B.10101010C ．－D.3101031010解析：选C.因为α是第三象限的角，tan α＝2，则所以cos{sin αcos α＝tan α，sin 2 α＋cos 2 α＝1，)α＝－＝－，sin α＝－，则sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝－11＋tan 2 α55255(α＋π4)π4π4×－×＝－，故选C.255225522310103．已知θ∈，则＝____________．(π2，π)1－2sin （π＋θ）sin (3π2－θ)解析：因为＝＝1－2sin （π＋θ）sin (3π2－θ)1－2sin θcos θ（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈，所以原式＝sin θ－cos θ.(π2，π)答案：sin θ－cos θ4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4，3)，则的值为________．cos(π2＋α)sin （－π－α）cos(11π2－α)sin (9π2＋α)解析：因为tan α＝＝－，y x 34所以cos(π2＋α)sin (－π－α)cos(11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－.34答案：－345．(2018·武汉调研)若tan α＝cos α，则＋cos 4α＝____________．1sin α解析：tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故＋cos 4α＝sin αcos α1sin α＋cos 4α＝sin α＋＋cos 4α＝sin α＋＋sin 2α＝sin 2α＋sinsin 2α＋cos 2αsin αcos 2αsin αsin αsin αα＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：2三角函数的图象与解析式(综合型)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，，π，，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．π23π2(2)图象变换y ＝sinx 的图象y ＝sin(x ＋φ)的图象――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)的图象y ＝A sin(ωx ＋φ)的――――――――――――――――→横坐标变为原来的（ω＞0）倍――――――――――――→纵坐标变为原来的A （A ＞0）倍横坐标不变图象．[典型例题]命题角度一　由“图”定“式”(一题多解)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，(x ∈[－π12，2π3])Error!的图象如图所示，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为( )A ．0B ．1C.D.23【解析】　法一：由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈的图象，得最小正周期T ＝＝[－π12，2π3]2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点代入，得sin ＝－43(2π3＋π12)(2π3，－2)(4π3＋φ)1，又φ∈，解得φ＝，所以f (x )＝2sin ，由f (x 1)＝f (x 2)(0，π2)π6(2x ＋π6)(x ∈[－π12，2π3])得sin ＝sin Error!，因为x ∈，所以0≤2x ＋≤，(2x 1＋π6)(2x 2＋π6)(x 1，x 2∈)[－π12，2π3]π63π2所以2x 1＋＋2x 2＋＝π，所以x 1＋x 2＝，所以f (x 1＋x 2)＝2sin ＝1，故选B.π6π6π35π6法二：由f (x )＝2sin ，x ∈的图象，得最小正周期T ＝＝＝(ωx ＋φ)[－π12，2π3]2πω43(2π3＋π12)π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点代入，得sin ＝－1，又φ∈(2π3，－2)(4π3＋φ)，解得φ＝，所以f (x )＝2sin(2x ＋)，因为f (x 1)＝f (x 2)且x 1≠x 2，(0，π2)π6π6(x ∈[－π12，2π3])由图象得x 1＋x 2＝，所以f (x 1＋x 2)＝2sin ＝1，故选B.π35π6【答案】　B由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝，A ＝.M ＋m2M －m2(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝，可得ω＝.记住三角函数的周期T 的相关结论：2πω2πT ①两个相邻对称中心之间的距离等于.T2②两条相邻对称轴之间的距离等于.T2③对称中心与相邻对称轴的距离等于.T4(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A ，ω，B 已知)，也可代入图象与直线y ＝B 的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．　命题角度二　图象变换(1)(一题多解)(2018·南昌调研)函数y ＝sin的图象可以由函数y ＝cos 的图(x 2＋π6)x2象( )A ．向右平移个单位长度得到π3B ．向右平移个单位长度得到2π3C ．向左平移个单位长度得到π3D ．向左平移个单位长度得到2π3(2)(2018·石家庄质量检测(一))若ω>0，函数y ＝cos 的图象向右平移个单位长度(ωx ＋π3)π3后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A. B.11252C. D.1232【解析】　(1)法一：由y ＝cos ＝sin ，y ＝sin ＝sin ，知函数y ＝x2(x 2＋π2)[12(x －2π3)＋π2](x 2＋π6)sin的图象可以由y ＝cos 的图象向右平移个单位长度得到．(x 2＋π6)x 22π3法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B.(2)函数y ＝cos 的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos(ωx ＋π3)π3＝cos ，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ，k ∈Z 的图象重[ω(x －π3)＋π3](ωx －ωπ3＋π3)(ωx －π2＋2k π)合，所以－＋2k π＝－＋，k ∈Z ，所以ω＝－6k ＋，k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最π2ωπ3π352小值为，故选B.52【答案】　(1)B (2)B(1)平移规律由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法．(2)图象变换的实质图象变换的实质——点的坐标的变换，三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等．命题角度三　图象的应用(x－π3)3[0，π2]【解析】　方程g(x)＝0同解于f(x)＝m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin(2x－π3)[0，π2]3在上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m 有两个不同的解．3【答案】　[，2)巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．　[对点训练]1.(2018·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为( )A．1 B．2C ．3D ．4解析：选B.由f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝及其图象知，<×<1，即<ω<1－cos （2ωx ＋2φ）212122π2ωπ2π，所以正整数ω＝2或3.由函数f (x )的图象经过点(1，0)，得f (1)＝＝0，1－cos （2ω＋2φ）2得2ω＋2φ＝2k π(k ∈Z )，即2φ＝2k π－2ω(k ∈Z )．由图象知f (0)>，即＝121－cos 2φ2>，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.1－cos 2ω2122．(2018·广州调研)将函数y ＝2sin sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，(x ＋π3)(π6－x )所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A. B.π6π12C. D.π4π3解析：选A.由y ＝2sin sin可得y ＝2sin cos ＝sin ，(x ＋π3)(π6－x )(x ＋π3)(x ＋π3)(2x ＋2π3)该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin＝sin ，因为g (x )＝sin 为奇函数，所以2φ＋＝[2（x ＋φ）＋2π3](2x ＋2φ＋2π3)(2x ＋2φ＋2π3)2π3k π(k ∈Z )，φ＝－(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为，选A.k π2π3π6三角函数的性质(综合型)三角函数的单调区间(1)y ＝sin x 的单调递增区间是(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．[2k π＋π2，2k π＋3π2](2)y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．(3)y ＝tan x 的单调递增区间是(k ∈Z )．(k π－π2，k π＋π2)三角函数的奇偶性、对称轴方程(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋(k ∈Z )时为偶函数；π2对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋(k ∈Z )求得．π2(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋(k ∈Z )时为奇函数；π2当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．(3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．[典型例题](1)(2018·柳州模拟)下列函数中同时具有以下性质的是( )①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝对称；③在上是增函数；④图象π3[－π6，π3]的一个对称中心为.(π12，0)A ．y ＝sin B ．y ＝sin (x 2＋π6)(2x ＋π3)C ．y ＝sinD ．y ＝sin (2x －π6)(2x －π3)(2)(2018·郑州第一次质量预测)若将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g (x )的图象，若函数g (x )是奇函数，则函数g (x )的单调递增区π3间为( )A. (k ∈Z )[k π－π4，k π＋π4]B. (k ∈Z )[k π＋π4，k π＋3π4]C. (k ∈Z )[k π－2π3，k π－π6]D. (k ∈Z )[k π－π12，k π＋5π12]【解析】　(1)因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A 选项；当x ＝时，对于B ，y ＝sin π3＝0，对于D ，y ＝sin ＝，又图象关于直线x ＝对称，从而(2×π3＋π3)(2×π3－π3)32π3排除B ，D 选项，因此选C.(2)由题意知g (x )＝3sin ＝3sin ，因为g (x )是奇函数，所以＋[2(x ＋π3)＋φ](2x ＋2π3＋φ)2π3φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝－＋k π(k ∈Z )，又0<φ<π，所以φ＝，所以g (x )＝3sin(2x ＋π)＝－2π3π33sin 2x ，由＋2k π≤2x ≤＋2k π(k ∈Z )，解得k π＋≤x ≤k π＋(k ∈Z )，所以函数π23π2π43π4g (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．故选B.[k π＋π4，k π＋3π4]【答案】　(1)C (2)B(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．(2)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A >0，ω<0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．　[对点训练]1．(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝时取得最小值，则f (x )π3在[0，π]上的单调递增区间是( )A ．[，π] B ．[，]π3π32π3C ．[0，] D ．[，π]2π32π3解析：选A.因为0<θ<π，所以<＋θ<，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝时取得最小值，π3π34π3π3所以＋θ＝π，θ＝，所以f (x )＝cos .由0≤x ≤π，得≤x ＋≤.由π≤x π32π3(x ＋2π3)2π32π35π3＋≤，得≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是，故选A.2π35π3π3[π3，π]2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A. B. C. D ．ππ4π23π4解析：选A.法一：f (x )＝cos x －sin x ＝cos ，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上2(x ＋π4)单调递减，则由0≤x ＋≤π，得－≤x ≤.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以π4π43π4解得a ≤，所以0<a ≤，所以a 的最大值是，故选A.{－a ≥－π4，a ≤3π4，)π4π4π4法二：因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即sin ≥0在[－a ，a ]上恒成立，结2(x ＋π4)合函数y ＝sin 的图象可知有解得a ≤，所以0<a ≤，所以a2(x ＋π4){－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，)π4π4的最大值是，故选A.π4三角函数图象与性质的综合问题(综合型)[典型例题]已知函数f (x )＝sin ＋cos ＋2sin x cos x .(2x ＋π3)(2x ＋π6)(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)先将函数y ＝f (x )的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长π12为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在上的值域．[π3，2π]【解】　(1)f (x )＝sin ＋cos ＋2sin x cos x (2x ＋π3)(2x ＋π6)＝sin 2x cos＋cos 2x sin ＋cos 2x cos －sin 2x sin ＋sin 2x π3π3π6π6＝cos 2x ＋sin 2x 3＝2sin ，(2x ＋π3)所以函数f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π2(2)由(1)知f (x )＝2sin ，先将函数y ＝f (x )的图象向右平移个单位长度得到函数y (2x ＋π3)π12＝2sin 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得(2x ＋π6)到函数g (x )＝2sin的图象．(12x ＋π6)令t ＝x ＋，12π6则函数g (x )可转化为y ＝2sin t .因为≤x ≤2π，所以≤t ≤，π3π37π6所以当t ＝，即x ＝时，y max ＝g ＝2；π22π3(2π3)当t ＝，即x ＝2π时，y min ＝g (2π)＝－1.7π6所以函数y ＝g (x )在上的值域为[－1，2]．[π3，2π]求解三角函数的最值或值域，最基本的方法就是换元法，通常有两种类型：(1)“一角一函数”型：通过三角恒等变换，将问题转化为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的最值或值域问题，可利用t ＝ωx ＋φ换元转化为基本的三角函数y ＝A sin t (或y ＝A cos t )的最值或值域问题求解．(2)“二次函数”型：将问题转化为y ＝a sin 2(ωx ＋φ)＋b sin(ωx ＋φ)＋c 的最值或值域问题，可通过t ＝sin(ωx ＋φ)换元转化为y ＝at 2＋bt ＋c 的最值或值域问题求解．求解函数在指定区间上的最值或值域，要注意换元后“元”的取值范围．　[对点训练]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的相邻两对称轴之间的距离为(ω>0，0≤φ≤π2)，且在x ＝时取得最大值1.π2π8(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈时，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3，求x 1＋x 2＋x 3[0，98π]的取值范围．解：(1)＝⇒T ＝π⇒＝π⇒ω＝2，T 2π22πω所以sin ＝sin ＝1，(2×π8＋φ)(π4＋φ)所以＋φ＝2k π＋，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋，k ∈Z ，π4π2π4因为0≤φ≤，所以φ＝，所以f (x )＝sin .π2π4(2x ＋π4)(2)画出该函数的图象如图，当≤a <1时，方程f (x )＝a 恰好有三个22根，且点(x 1，a )和(x 2，a )关于直线x ＝对称，点(x 2，a )和(x 3，a )关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝，π≤x 3<，所以≤x 1＋x 2＋x 3<.5π8π49π85π411π8一、选择题1．(2018·南宁模拟)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，(A >0，|φ|<π2)3则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin (2x －π3)B ．f (x )＝2sin (2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin (2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin (2x －π6)解析：选B.由函数图象可知，A ＝2，又函数f (x )的图象过点(0，)，所以2sin φ＝，33即sin φ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f (x )＝2sin ，故选B.32π2π3(2x ＋π3)2．(2018·郑州质量检测(二))已知函数f (x )＝cos －cos 2x ，若要得到一个奇函3(2x －π2)数的图象，则可以将函数f (x )的图象( )A ．向左平移个单位长度π6B ．向右平移个单位长度π6C ．向左平移个单位长度π12D ．向右平移个单位长度π12解析：选C.f (x )＝cos －cos 2x ＝cos －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin3(2x －π2)3(π2－2x )3＝2sin，所以将f (x )的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y ＝2sin 2x (2x －π6)[2(x －π12)]π12的图象．故选C.3．(2018·广州调研)已知函数f (x )＝sin (ω>0)在区间上单调递增，(ωx ＋π6)[－π4，2π3]则ω的取值范围为( )A. B.(0，83](0，12]C. D.[12，83][38，2]解析：选B.因为x ∈，所以ωx ＋∈，因为函数f (x )＝[－π4，2π3]π6[－π4ω＋π6，2π3ω＋π6]sin (ω>0)在区间上单调递增，所以(ωx ＋π6)[－π4，2π3]又ω>0，所以0<ω≤，选B.{－π4ω＋π6≥2k π－π2，k ∈Z ，2π3ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .)124.(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，)，B，若将它的图象向右平移3(π6，0)π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝B ．x ＝π12π4C ．x ＝D ．x ＝π32π3解析：选A.因为f (0)＝2sin φ＝，所以sin φ＝，又|φ|<π，所以φ＝或，332π32π3又f＝2sin ＝0，所以＋φ＝k π(k ∈Z )，所以ω＝×＝6k －(π6)(πω6＋φ)πω6(k π－π3)6π2(k ∈Z )，或ω＝×＝6k －4(k ∈Z )，又ω>0，且＝＝>，所以ω<3，(k π－2π3)6πT 42π4ωπ2ωπ6所以ω＝2，φ＝，所以f (x )＝2sin ，将其图象向右平移个单位长度，得到函2π3(2x ＋2π3)π6数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ＝2sin ，g (x )图象的对称轴方程满足2x[2(x －π6)＋2π3](2x ＋π3)＋＝k π＋(k ∈Z )，所以x ＝＋(k ∈Z )，故选A.π3π2k π2π125.(2018·惠州第二次调研)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)(|θ|≤，A >0)的部分π2图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝，则( )3A ．f (x )在上是减函数(－5π12，π12)B ．f (x )在上是增函数(－5π12，π12)C ．f(x )在上是减函数(π3，5π6)D ．f (x )在上是增函数(π3，5π6)解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝，3所以2sin θ＝，sin θ＝，又|θ|≤，所以θ＝，所以f (x )＝2sin ，令－＋2k π332π2π3(2x ＋π3)π2≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，解得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增．所π3π25π12π12以选项B 正确．6．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )(0，π2)A ．g (x )在区间上的最小值为－1[－π12，π3]B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到π3C ．g (x )的图象的一个对称中心是(－π12，0)D ．g (x )的一个单调递减区间是[0，π2]解析：选C.因为函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，所以y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，所以3φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝，k ∈Z ，又0<φ<，所以φ＝k π3π2，所以g (x )＝cos .当－≤x ≤时，－≤2x －≤，cos ∈[0，1]，π3(2x －π3)π12π3π2π3π3(2x －π3)故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2 x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－时，g (x )π12＝cos ＝0，故C 正确；当0≤x ≤时，－≤2x －≤，g (x )＝cos 有增(－π2)π2π3π32π3(2x －π3)有减，故D 错误．故选C.二、填空题7．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f＝________．(16)解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小π2值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ＝－4sin (16)＝－2.π6答案：－28．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)，f (0)＝－f ，若将f (x )的图象向左π2(π2)平移个单位长度后所得函数的图象关于原点对称，则φ＝________．π12解析：因为f (0)＝－f，则sin φ＝－sin ，所以ω＝4k ＋2，k ∈Z ，将f (x )的(π2)(π2ω＋φ)图象向左平移个单位长度后所得函数y ＝sin 的图象关于原点对称，则＋π12(ωx ＋ωπ12＋φ)ωπ12φ＝k π，k ∈Z ，由ω＞0，0＜φ＜得ω＝10，φ＝.π2π6答案：π69．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f (x )＝f ，(π2－x )则φ＝________．解析：因为f (x )＝f，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝对称，由函数的解析式(π2－x )π4可得＝2，即a 2＝3.a 2＋1若a ＝，则f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ，33(2x ＋φ＋π3)由函数图象的对称性可得2×＋φ＋＝k π＋(k ∈Z )，所以φ＝k π－(k ∈Z )，因π4π3π2π3为0<φ<π，所以φ＝；2π3若a ＝－，则f (x )＝sin(2x ＋φ)－cos(2x ＋φ)＝2sin ，33(2x ＋φ－π3)由函数图象的对称性可得2×＋φ－＝k π＋(k ∈Z )，所以φ＝k π＋(k ∈Z )，因π4π3π2π3为0<φ<π，所以φ＝.π3综上可得φ＝或.π32π3答案：或π32π3三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x .32(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈时，求f (x )的最值．[0，π4]解：f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 32＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋sin 4x 34＝1－sin 2 2x ＋sin 4x 1234＝1－·＋sin 4x121－cos 4x 234＝sin 4x ＋cos 4x ＋341434＝sin ＋.12(4x ＋π6)34(1)T ＝＝.2π4π2(2)当x ∈时，[0，π4]4x ＋∈，sin ∈，则当4x ＋＝，即x ＝时，函数f (x )π6[π6，7π6](4x ＋π6)[－12，1]π6π2π12取最大值；当4x ＋＝，即x ＝时，函数f (x )取最小值.所以，当x ∈时，函54π67π6π412[0，π4]数f (x )的最大值是，最小值是.541211．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点是函3(－π6，1)数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋13＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋13＝2sin ＋1.(2ωx ＋π6)因为点是函数f (x )图象的一个对称中心，(－π6，1)所以－＋＝k π，k ∈Z ，ωπ3π6所以ω＝－3k ＋，k ∈Z .12因为0<ω<1，所以k ＝0，ω＝，12所以f (x )＝2sin ＋1.(x ＋π6)由x ＋＝k π＋，k ∈Z ，得x ＝k π＋，k ∈Z ，π6π2π3令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝.π3(2)由(1)知，f (x )＝2sin ＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：(x ＋π6)x ＋π6－5π6－π20π2π7π6x －π－2π3－π6π35π6πf (x )－1131则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．12．设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点332.π2＋4(1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0，2π]上的单调递π2减区间．解：(1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋332＝sin 2ωx －＋123（1＋cos 2ωx ）232＝sin 2ωx －cos 2ωx 1232＝sin ，(2ωx －π3)设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得π2＋4＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，(T 2)2因为f (x )max ＝1，所以＋4＝π2＋4，(T 2)2整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝＝2π，所以ω＝.2π2ω12(2)由(1)可知f (x )＝sin ，(x －π3)所以f (x ＋φ)＝sin .(x ＋φ－π3)因为y ＝f (x ＋φ)是奇函数，则sin ＝0.(φ－π3)又0<φ<，所以φ＝，π2π3所以g (x )＝cos(2x －φ)＝cos .(2x －π3)令2k π≤2x －≤2k π＋π，k ∈Z ，π3则k π＋≤x ≤k π＋，k ∈Z ，π62π3所以单调递减区间是，k ∈Z ，[k π＋π6，k π＋2π3]又因为x ∈[0，2π]，所以当k ＝0时，递减区间是；[π6，2π3]当k ＝1时，递减区间是.[7π6，5π3]所以函数g (x )在[0，2π]上的单调递减区间是，.[π6，2π3][7π6，5π3]。

2019高考数学二轮复习专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质学案

第1讲函数的图象与性质[考情考向分析] 1.函数的概念和函数的基本性质是B 级要求，主要是利用函数图象，即通过数形结合思想解决问题. 2.指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点， B 级要求.3.函数与方程是B 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，试题难度中等偏上．热点一函数性质及其运用例1 (1)(2018·江苏徐州铜山中学期中)已知函数f (x )＝e x－e －x＋1(e 为自然对数的底数)，若f (2x －1)＋f (4－x 2)>2，则实数x 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析令g (x )＝f (x )－1 ，则g (x )为奇函数，且为增函数，由f (2x －1)＋f (4－x 2)>2，得g (2x －1)＋g (4－x 2)>0，所以g (2x －1)>g (x 2－4)，即2x －1>x 2－4，所以x 2－2x －3<0，解得－1<x <3.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R )．若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，504)解析当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504，综上，实数a 的取值范围是a <504.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2018·江苏省前黄中学等三校联考)若f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时， f (x )＝x 2－8x ＋30，则f (10)＝__________.答案－24解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时， f (x )＝x 2－8x ＋30， ∴f()10＝f ()10－4＝－f ()4－10＝－24.(2)(2018·常熟期中)已知奇函数f (x )在()－∞，0上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f (x )x －1>0的解集为________．答案 (－2,0)∪(1,2)解析 ∵函数f (x )为奇函数且在(－∞，0)上单调递减，∴f (x )在(0，＋∞)上也单调递减，又∵函数f (x )为奇函数且f (2)＝0，∴f (－2)＝－f (2)＝0，∴当x ＜－2或0＜x ＜2时，f (x )＞0，当－2＜x ＜0或x ＞2时，f (x )＜0(如图)，∴不等式f (x )x －1>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜0，f (x )＜0，解得x ∈(－2,0)∪(1,2)．热点二函数图象及其运用例2 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2,0]解析函数y ＝|f (x )|的图象如图，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a ＞0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时，成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)相切的情况，即y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2,0]．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 4x ，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4，若a 4的图象，如图所示．∵当a <b <c 时，f (a )＝f (b )＝f (c )，∴－log 4a ＝log 4b ，即log 4a ＋log 4b ＝0，则log 4(ab )＝0， ∴14<a <1<b <4<c <6，且ab ＝1， ∴16＝24<()ab ＋1c ＝2c <26＝64，即()ab ＋1c的取值范围是()16，64.思维升华 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围； (2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用常与图象数形结合研究．跟踪演练2 (1)已知定义在区间[]0，1上的函数y ＝f ()x 的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1，x 2给出下列结论：①f ()x 2－f ()x 1>x 2－x 1； ②x 2f ()x 1>x 1f ()x 2； ③f()x 1＋f ()x 22<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确的结论是________．(把所有正确结论的序号都填写在横线上) 答案 ②③ 解析由f()x 2－f ()x 1>x 2－x 1，可得f()x 2－f ()x 1x 2－x 1>1，即两点()x 1，f ()x 1与()x 2，f ()x 2连线的斜率大于1，显然①不正确；由x 2f ()x 1>x 1f ()x 2，得f()x 1x 1>f ()x 2x 2，即表示两点()x 1，f()x 1，()x 2，f ()x 2与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确．(2)(2018·江苏省常州市横林高中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋1，x ≥0，－x 2＋x ＋2，x ＜0，则不等式f (2x 2－|x |)≤5的解集为________．答案[]－1，1解析方法一作出函数f (x )的图象如图所示．若2x 2－||x <0，则不等式f()2x 2－||x ≤5恒成立，此时||x ()2||x －1<0，得0<||x <12；若2x 2－||x ≥0, ∵f()1＝5，∴不等式f ()2x 2－||x ≤5等价于f ()2x 2－||x ≤f ()1，则2x 2－||x ≤1, 则0≤||x ≤1, 又||x ≥12或||x ≤0，∴12≤||x ≤1或||x ＝0，综上，0≤||x ≤1，故－1≤x ≤1.方法二 ∵f (1)＝5，∴f (2x 2－|x |)≤5等价于2x 2－|x |≤1，解得0≤|x |≤1，故－1≤x ≤1. 热点三函数与方程例3 (1)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．答案 2解析 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．(2)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝－2f (x ＋1)，当x ∈[)0，1时，f (x )＝x 2，若函数y ＝af (x )－log 4(x＋1)(a >0)恰有4个零点，则a 的取值范围是________．答案 4<a ≤16log 46解析函数y ＝af (x )－log 4(x ＋1)恰有4个零点，等价于y ＝af (x )与y ＝log 4()x ＋1的图象有4个交点，则a ＞0，画出y ＝af (x )与y ＝log 4(x ＋1)的图象．∵f (x )满足f (x )＝－2f (x ＋1)，当x ∈[)0，1时，f (x )＝x 2，∴当x ∈[)－1，0时，f (x )＝－2(x ＋1)2，由图象知在()－1，0上两图象有一个交点，在[)0，1上有两个交点，只需在[)2，3上有一个交点即可，如图，⎩⎪⎨⎪⎧a 4＞log 4(3＋1)，a16≤log 4(5＋1)，解得4<a ≤16log 46.思维升华 (1)求解零点或零点个数的方法：解方程法、利用零点存在的判定定理、数形结合法．(2)利用函数零点的情况求参数范围的方法：①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化为熟悉的两函数图象的上、下关系，从而构建不等式求解．跟踪演练3 (1)(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．答案 7解析在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．(2)(2018·江苏省海门中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0解析当0≤x ≤1时，由2x 2＋2mx －1＝0，得 m ＝－x ＋12x (x ＝0显然不是零点)，当x >1时，函数的零点满足mx ＋2＝0，则m ＝－2x，由题意可得函数y ＝m 与函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12x，0<x ≤1，－2x ，x ＞1有两个不同的交点，绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.1．(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．答案－25解析由已知得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，∴a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1) ＝－1＋35＝－25.2．(2018·江苏)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．答案－3解析 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(x ＞0)．①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，∴f (x )在(0，＋∞)上无零点，不合题意． ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0，解得x ＞a3，由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜a3，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞上单调递增．又f (x )只有一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，∴a ＝3.此时f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈[－1,1]时，f (x )在[－1,0]上单调递增，在(0,1]上单调递减．又f (1)＝0，f (－1)＝－4，f (0)＝1， ∴f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.3．(2017·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．答案 8解析由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，x ∈Q ，且x ∉Z 时，设x ＝qp，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质．因此10nm＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.4．(2018·无锡期中)已知函数f (x )＝12x＋1－12，则f (a ＋1)＋f (a 2－1)>0的解集为________．答案 (－1,0)教育资料解析函数f (x )的定义域为R . f (－x )＝12－x ＋1－12＝2x－12(2x ＋1)，f (x )＝12x ＋1－12＝1－2x2(2x ＋1)，所以f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又f (x )＝12x ＋1－12在R 上单调递减，所以f (a ＋1)＋f (a 2－1)>0⇔f (a ＋1)>f (1－a 2)，所以a ＋1<1－a 2，解得－1<a <0.5．(2018·江苏高考预测)已知a >0，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e 2ln x ，x >0，|x 3＋x |，x ≤0且g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点，则a 的取值范围是________．答案 (2，e)解析由题意可知，x ＝0是g (x )的1个零点，当x ≠0时，由f (x )＝ax 2可得a ＝⎩⎪⎨⎪⎧2e 2ln xx2，x >0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x <0，令h (x )＝2e 2ln x x 2(x ＞0)，则h ′(x )＝2e 2(1－2ln x )x3. 当0<x <e 时，h ′(x )>0，当x >e 时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴h (x )≤h (e)＝e ，且当x →＋∞时，h (x )→0，当x →0时，h (x )<0.在同一平面直角坐标系中作出h (x )和y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图象，由图可知，g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点需满足2<a <e ，则a 的取值范围是(2，e)．A 组专题通关1．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝f (15log 3)，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“＜”连接)答案 b <a <c解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝f (15log 3)＝f (－log 53)＝f (log 53)，∵1>log 53>log 55＝12，log 35>log 33＝1,0<0.20.5＝55<12，∴0.20.5<log 53<log 35，∵f (x )在(]－∞，0上是增函数， ∴f (x )在[)0，＋∞上为减函数，则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b <a <c .2．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为____________．答案 12解析由函数的周期性可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，由函数的奇偶性可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝|log 42|＝12. 3．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在x ∈[2，＋∞)上恒有|y |>1，则a 应满足的条件是_______．答案 12<a <1或1<a <2解析若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，∴log a x <－1.由题意知log a 2<－1，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.若a >1，当x ≥2时，log a x >0，∴log a x >1. 由题意知log a 2>1，∴a ∈(1,2)．综上可知，12<a <1或1<a <2.4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x ＜1在R 上是增函数，则a 的取值范围为________．答案[]2，3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[]2，3.5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．答案 [－1,3]解析因为偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2. 所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3.6．函数f (x )＝2x －12log (x －1)，x ∈(1,3]的值域为______．答案 (－∞，7]解析 ∵u 1＝12log (x －1)在(1,3]上为减函数，∴u 2＝－12log (x －1)在(1,3]上为增函数．又u 3＝2x 在(1,3]上也为增函数，∴f (x )＝u 3＋u 2＝2x －12log (x －1)在(1,3]上为增函数．故f (x )的值域为(－∞，7]．7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x ＜0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．答案－1解析因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a (－1＋2)＝1×(1－b )，2a (－2＋2)＝2×(2－b )，解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.8．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋1>0， ∴f (x )在R 上为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2]，由g (m )<0恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2＜0，g (2)＝3x －2＜0，∴－2<x <23. 9．若函数f (x )＝|x 2－4x |－2m ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，92上有3个不同零点，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫138，52 解析令g (x )＝|x 2－4x |⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤92，在同一直角坐标系中作出函数y ＝g (x )和y ＝2m －1的图象如图所示，则函数f (x )有3个不同零点等价于直线y ＝2m －1与函数y ＝g (x )的图象有3个不同交点．因为g (0)＝g (4)＝0，g (－1)＝5, g (2)＝4，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝94，结合图象分析可得 94<2m －1<4，解得138<m <52，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫138，52.10．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 解析由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，即当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，可以从图象(图略)知0<a <1且2log a22≥12，解得14≤a <1. B 组能力提高11．函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的值域为________．解析函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的定义域为{x |x ≥－1}，则当x ＝－1时，f (－1)＝0.当x ＞－1时，f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7＝x ＋1(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋4 ＝1x ＋1＋4x ＋1＋2， ∵x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴1x ＋1＋4x ＋1＋2≤16＝66. 故函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，66. 12．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题意知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)<h (x 0)，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>g (0)，h (－1)≤g (－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2a ≤－3e ，所以32e≤a <1.13．(2018·江苏省姜堰等三校联考)若方程|x 2－2x －1|－t ＝0有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则2()x 4－x 1＋()x 3－x 2的取值范围是______．答案 (8,45]解析如图，作出函数y ＝|x 2－2x －1|和y ＝t 的图象．由图象知，0＜t ＜2，因为|x 2－2x －1|－t ＝0，所以|x 2－2x －1|＝t ，故x 2－2x －1－t ＝0或x 2－2x －1＋t ＝0，则x 4－x 1＝(x 1＋x 4)2－4x 1x 4 ＝22＋4(1＋t )＝8＋4t ，同理可得 x 3－x 2＝8－4t ，故2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)＝28＋4t ＋8－4t ，令f (t )＝28＋4t ＋8－4t (0＜t ＜2)，则f ′(t )＝48－4t －28＋4t 8＋4t 8－4t，令f ′(t )＝0得t ＝65，故f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，65上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫65，2上是减函数，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝45，f (0)＝62，f (2)＝8，故2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)的取值范围是(8,45]．14．已知函数f (x )＝log 2(2x＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．(1)证明任取x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝log 2(12x ＋1)－log 2(22x ＋1)＝log 2122121x x ++，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋1<2x 2＋1，∴0<122121x x ++<1，∴log 2122121x x ++<0，∴f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增．(2)解方法一由g (x )＝m ＋f (x )，得 m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1)＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，当1≤x ≤2时，25≤22x ＋1≤23， ∴13≤1－22x ＋1≤35， ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235. 方法二解方程log 2(2x －1)＝m ＋log 2(2x＋1)，得x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ， ∵1≤x ≤2，∴1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋11－2m ≤2，解得log 213≤m ≤log 235. ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.。

2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题一1第1讲函数的图象与性质学案

第1讲函数的图象与性质函数及其表示(基础型)分段函数问题的5种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．[考法全练]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x >2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．－14≤a <0B ．a ≤－14C ．－1≤a ≤－14D ．a ≤－1解析：选D.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x >2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－12a ≤2，2a －1≥4a ＋2－1，解得a ≤－1，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解析：选D.当x ≤0时，因为f (x )min ＝f (0)，所以f (x )＝(x －a )2在(－∞，0]上单调递减，故a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a (当且仅当x ＝1时取等号)，因为f (x )min ＝f (0)，所以2＋a ≥f (0)＝a 2，解得－1≤a ≤2.综上可知，0≤a ≤2.故选D.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，2]解析：选C.函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )为偶函数，所以f (－a )＝f (a )，则不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价为2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，再由图象可得|a |≤1，即－1≤a ≤1.故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．解析：由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2.答案：25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析：当x ＋1<0，即x <－1时，f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x ，不等式变为x －x (x ＋1)≤1，即－x 2≤1，解得x ∈R ，故x ∈(－∞，－1)．当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，不等式变为x ＋x (x ＋1)≤1，即x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋ 2 ]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋ 2 ]．答案：(－∞，－1＋ 2 ]函数的图象及应用(综合型)函数图象变换的4种形式(1)平移变换(上加下减，左加右减)y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向左(右)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x ＋a )(y ＝f (x －a ))的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――――→向上(下)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x )＋a (y ＝f (x )－a )的图象．(2)伸缩变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――→x 不变，y 变为原来的k 倍y ＝kf (x )的图象； y ＝f (x )的图象错误!y ＝f (kx )的图象．(3)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )的图象． (4)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方的部分翻折到上方y ＝|f (x )|的图象， y ＝f (x )的图象―――――――――――→y 轴右侧的部分翻折到左侧y ＝f (|x |)的图象．[典型例题]命题角度一函数图象的识别(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )(2)已知定义域为[0，1]的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (－x ＋1)的图象可能是( )(3)(一题多解)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为关于x 的函数f (x )，则f (x )的图象大致为( )【解析】 (1)当x <0时，因为e x－e －x<0，所以此时f (x )＝e x －e－xx2<0，故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e>2，故排除C ，选B.(2)因为f (－x ＋1)＝f [－(x －1)]，先将f (x )的图象沿y 轴翻折，y 轴左侧的图象即为f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f (－x ＋1)的图象，故选B.(3)法一：当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤π4，则BPOB ＝tan x ，所以BP ＝tan x ，所以AP ＝4＋tan 2x ，所以f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C. 当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ，π4≤x ≤3π4，则BP ＋AP＝BC 2＋CP 2＋AD 2＋DP 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1tan x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x 2. 当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ，3π4≤x ≤π，则AP OA＝tan(π－x )＝－tan x ，所以AP ＝－tan x ，所以BP ＝4＋tan 2x ，所以f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤x ≤π，根据函数的解析式可排除D ，故选B.法二：当点P 位于点C 时，x ＝π4，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋5，当点P 位于CD 的中点时，x ＝π2，此时AP ＋BP ＝22<1＋5，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时，x ＝3π4，此时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化排除A ，故选B.【答案】 (1)B (2)B (3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．命题角度二函数图象的应用若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．【解析】在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示，若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切．由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现．[对点训练]1．(2018·湖南湘东五校联考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx 的图象的大致形状是( )解析：选 B.因为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，所以f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋e x －1<0，cos x >0，所以f (x )<0，可排除选项D ，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01， x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0所以x <0，故选D.3.某地一年的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C (t )与t 之间的函数关系的是( )解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t ＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B ；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C ；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D ，故选A.4．若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1，2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]函数的性质及应用(综合型)与函数周期性有关的5条结论(1)若f (x ＋T )＝f (x )，则T 是f (x )的一个周期．(2)若f (x ＋T )＝1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期． (3)若f (x ＋T )＝－1f (x )，则2T 是f (x )的一个周期． (4)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a <b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(5)若对于定义域内的任意x 都有f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.与函数对称性有关的3条结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )． (2)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．[典型例题]命题角度一函数单调性的应用(1)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a ＝12f (2)，b ＝f (1)，c ＝－13f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >b(2)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，得函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－13f (－3)＝13f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即b >a >c ，故选B.(2)当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，1)∪(2，＋∞)(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)对于x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2，若(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数．(3)若函数f (x )在定义域(或某一区间)上是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2，利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式转化为一般不等式．命题角度二函数的奇偶性与周期性(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．8【解析】 (1)因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且一个周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.(2)f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x32|x |＋1，因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0. 因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4. 【答案】 (1)C (2)C(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质f (|x |)＝f (x )．(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[对点训练]1．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：选C.由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.故选C.2．(2018·惠州第一次调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a解析：选B.由①知函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．因为函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .3．(2018·山西八校第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．解析：因为f (x ＋2)＝－1f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.答案：52新定义函数(创新型)新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．[典型例题](2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.【答案】 B解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．[对点训练]1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A.对于选项A ，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，因为e 2>1，所以e x f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )>0，得x >0或x <－2；令e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，所以函数e xf (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，所以f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x，因为e 3<1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减，所以f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e xf (x )＝e xcos x ，则[e xf (x )]′＝e x(cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e xf (x )＝e xcosx 在R 上不是单调递增的，所以f (x )＝cos x 不具有M 性质．2．(2018·西安模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界，若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A.因为a ＋b ＝1，所以－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ，因为a >0，b >0，所以b 2a ＋2a b ≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，所以－12a －2b ≤－52－2＝－92，所以－12a－2b 的上确界为－92，故选A.一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a >－12a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0.2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析：选B.A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＋b ，所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D.当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或 x ＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln(x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln(x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12 C ．2D ．－2解析：选D.由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.7．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}解析：选A.由于函数f (x )是奇函数，且当x >0时f (x )单调递增，f (1)＝0，故由f (x －1)>0，得－1<x －1<0或x －1>1，所以0<x <1或x >2，故选A.8．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.9.如图，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247，则下列结论正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B.因为函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－611＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，又对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以f (x )在[0，1]上是减函数，因为49<611<47，所以b >a >c ，故选B. 11．(2018·唐山模拟)已知奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选C.由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当h (x )<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg(－x )，x <0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝________．解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4.答案：414．定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于________．解析：定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.答案：40515．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：616．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －3，x ≥0ln(－2x )，x <0的图象上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是________．解析：将函数y ＝ln(－2x )(x <0)的图象沿y 轴翻折，得函数g (x )＝ln(2x )(x >0)的图象，由题意可得g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．设y ＝kx －3(x ≥0)的图象与曲线y ＝g (x )相切的切点为(m ，ln(2m ))，由g ′(x )＝1x ，得k ＝1m.又ln(2m )＝km －3，解得m ＝12e2，则k ＝2e 2.由图象可得0<k <2e 2时，g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．答案：(0，2e 2)。

2019-2020年高三数学第二轮复习函数图像学案

2019-2020年高三数学第二轮复习函数图像学案一、考试要求：1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。

6．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．重点：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．二考点扫描1.作函数图象的基本方法有两种：（1）描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性）2、列表（注意特殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点）3、描点，连线如：作出函数的图象．（2）图象变换法：利用基本初等函数变换作图1、平移变换（左正右负，上正下负）0,;0,0,;0,()()()()h h k k y f x y f x h y f x y f x k <><>⎧=−−−−−−→=+⎪⎨=−−−−−−→=+⎪⎩右移左移下移上移 2、对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）1()();()()()();()()()()()()x y y x y x x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x =-=−−→=-=−−→=-=−−−→=--=−−→==−−−−−−−−−−−→==−−−−−−−−−−→=轴轴原点轴右边不变，左边为右边部分的对称图保留轴上方图，将轴下方图上翻3、伸缩变换：)()()()(1x Af y x f y x f y x f y A =−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−→−=⎪⎭⎫ ⎝⎛倍来的仍一点的纵坐标变为原倍来的仍一点的横坐标变为原ϖϖ 2.图象对称性的证明：注意区别一个图象，还是两个图象（1）证明函数图象的对称性：图象上任一点关于对称轴（对称点）的对称点仍在图象上;（2）证明两个图象C 1C 2的对称性：证C 1上任意点关于对称轴（对称点）的对称点在C 2图象上，反之也对3.、有关结论：（1）若f(a+x)=f(a-x)，x ∈R 恒成立，则y=f(x)关于x=a 对称（2）若f(a+x)=f(b-x)，x ∈R 恒成立，则y=f(x)关于x=(a+b)/2对称（3）若f(a+x)= -f(a-x)，x ∈R 恒成立，则y=f(x)关于点（a ，0）对称（4）函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=(b-a)/2对称(5) 函数y=f(x)关于y= -x 对称的函数为-x=f(-y)即y= - f -1(-x)4. 幂函数、指数函数、对数函数的性质（1）幂函数y=x n (n ∈Q)的性质①当n>0时，函数图像过点（1，1），（0，0），且在第一象限内随x 增加，图像上升；②当n<0时，函数图像过点(1，1)，且在第一象限内随x 增加，图像下降。

2019届高考数学二轮复习学案专题二 1 第1讲三角函数的图象与性质含解析

三角函数与解三角形专题二)三角函数的定义、诱导公式及基本关系(基础型三角函数的定义xy＝cos ，α，sin )，的终边过点若角αP(xy，则α＝rry22yr＝x＋)．其中＝tan α(x利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．[注意“奇变偶不变，符号看象限”．]基本关系x sin 22. ＋sin x cos x＝x，＝1tan x cos][考法全练ππ3????sinα＝－()α－π＝∈1) ．若tan(，则，且π＋，α????52224A. B.33．42 D．－C．－33ππ3????α＝cos ，且＝－α∈，解析：选A.由sin，π＋α????52242αα＝＝1－cos，得sin 5αtan 所以tan(π－α)＝－4α5sin 4.＝－＝＝－33αcos －5π??)＝(2，则sin唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝．2(2018·＋α??41010B.A．－1010103103 D.C．－1010αsin ??α，tan ＝1αcos ?ααα＝－＝2，则选cosC.因为所以是第三象限的角，tan ：解析2α＋tan1?22?αα，＋cos＝1sinπππ10523525252??αααα，故－×＝－＋cos ＝－，则sin＝－sin＝－＝sin ×cossin ，＋??10254452554C.选3ππ????＝）sin____________．θ，则1－2sin（3π．已知θ∈＋θ，π－????223π??2θθθθθ－解析：因为|sin －－12sin cos cos ＝1－2sin（π＋θ）sin＝（sin ）＝θ－??2π??θθθ.－，所以原式＝sin cos cos |，又θ∈π，??2答案：sin θ－cos θ4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4，3)，则π??sin （－π－cosα）α＋??2的值为________．11π9π????cossin＋α－α????22y3α＝＝－，解析：因为tan x4π??()α－π－sincosα＋??2所以11π9π????cossin＋αα－????22ααsin －sin ·＝ααcos －sin ·3α＝－.＝tan 43答案：－414α＝____________cos．α)若tan α＝cos ，则＋(2018·5．武汉调研sin α22αααcossin ＋sin1244ααααααα＝＝＋cos＋sin ＝tan 解析：＝cos ?cos ?＝cos，故cosαααsin sin cos2ααsin cos22422αααααααα2.＝1cossin＋1＋sin ＋＋1sin ＝＋＋cossin＝sin 1＋＋sin＝＋＝ααsin sin2：答案)综合型三角函数的图象与解析式( 的图象＋φ)函数y＝A sin(ωx作图“五点法”(1)ππ3 的值与相应的y的值，描点、连线可得．，，2π，求出xz＝ωx＋φ，令z＝0，，π设22 (2)图象变换1）＜0φ＞0）或向右（φ向左（）倍ω＞0横坐标变为原来的（ω)―的图象―――――――――――――――→y＝sin(ωx＋φ―y＝sin x的图象―――――――――――→y＝sin(x＋φ)个单位平移|φ|纵坐标不变）倍＞0纵坐标变为原来的A（A→y＝A sin(ωx＋φ)的图象．―的图象―――――――――――横坐标不变][典型例题命题角度一由“图”定“式”π2π???φ)，x∈(一题多解)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋，－???312π???的值为)f(x＋x的图象如图所示，若f(x)＝f(x)，且x≠x，则φ∈，0???2111222)(1．B A．03D. C.2π2ππ22ππ4????＝的图象，得最小正周期Tφ)，x∈＝＝【解析】法一：由f(x)＝2sin(ωx ＋＋，－????3123123ωπ4π2π??????，解得，又代入，得sinφ∈x，所以f(x)＝2sin(2＋φ)，将点＝－1π，所以ω＝2，φ20＋，－??????323ππππππ2??????????(∈x，x＋x2＝φsin )得fx)＝sin x∈＝(x，由f(，所以f(x)＝2sin，2x2＋x＋－21??1????????2126666123ππππ3π2ππ2π?????＝π，所以＋2≤x，x≠xx，因为x∈，所以2＋＋，所以0≤2x＋，－－，?????21216266331212π5πB.＝1，故选(x＋x)＝2sin x＋x＝，所以f211263π2ππππ224????)(φωx＋ω＝T＝π，x∈，所以＝的图象，得最小正周期2sin法二：由f(x)＝＋－，????3121233ωππ4π2π??????，所＝，解得＝－1，又φ)(＝2，所以fx)＝2sin(2x＋φ，将点∈φ代入，得sin，φ0＋，－2??????6323ππππ2????＝)(x＋xfx，由图象得≠)＝(，因为fx)f(x且xxx＋＝，所以∈＋2sin(2)(以fx＝x)x，－????2122111236312π5B.＝1，故选2sin6B】答案【．由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－AM＋mM－m＋B，解得B＝，A＝.222π2π(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.记住三角函数的周期T的相关结论：ωTT①两个相邻对称中心之间的距离等于.2T②两条相邻对称轴之间的距离等于.2T③对称中心与相邻对称轴的距离等于.4ω，，此时A：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点((3)点坐标定φB已知)，也可代入图象与直线y＝B的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．命题角度二图象变换πxx??＋sin y＝南昌调研)函数) (1)(一题多解)(2018·的图象的图象可以由函数y＝cos (??622πA．向右平移个单位长度得到32πB．向右平移个单位长度得到3πC．向左平移个单位长度得到32πD．向左平移个单位长度得到3ππ??＋ωx cos＝函数y若ω>0，一的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin (2)(2018·石家庄质量检测()) ??33ωx的图象重合，则ω的最小值为()115A. B. 2213C. D. 222πππππxxx1x??????????－x＋＋＋＋sin＝y＝cos ，y＝sin【解析】＝sin(1)sin，知函数y＝法一：由的?? ????????36622222222πx图象可以由y＝cos的图象向右平移个单位长度得到．23法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B.ππππ??????＋ωx－xω＋coscos＝＝所得函数图象对应的解析式为y(2)的图象向右平移个单位长度后，函数y＝??????3333ωπωππππ????－ωx－ωxπ2＋k＋cosπ＝－2，其图象与函数y＝sin ωx＝cos k，k∈Z的图象重合，所以－＋????23332π55B. 的最小值为，故选ω∈Z，又>0，所以ω＋，k∈Z，所以ω＝－6k＋，k 232(2)B(1)B【答案】(1)平移规律ωA>0，的图象的两种方法．>0)sin(sin x的图象变换得到y＝Aωx＋φ)(y由函数＝图象变换的实质(2)点的坐标的变换，三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的——图象变换的实质轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点y两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等．图象的应用命题角度三ππ????上有两个不同的零点，则m在＝f(x))f(x＝4sin－x cos )＋3，若函数g(x已知函数，x－0????32 的取值范围为____________．实数mππ????上f(x)＝2sin在，在平面直角坐标系中画出函数x0(】【解析方程gx)＝同解于f()＝m，02x－????23有两个不同的解．＝m)时，方程[3，2)f(x∈的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m[3，2)答案【】巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数．的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．[对点训练]2的图象如图)＋＝sinφ(ωx如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)1.(2018·开封模拟)) (0))，那么ω的值为所示(图象经过点(1，2．BA．14．DC．3π2）πωx＋2φ1－cos（2112ωπ，所以正<×，即<＋(ωxφ)＝<解析：选B.由f(x)＝sin2222ω2）2φ（2ω＋1－cos，Z)π(k∈ω＋2φ＝2k(x)的图象经过点(1，0)，得f(1)＝＝0，得2ω整数＝2或3.由函数f2ωφcos 2cos 2－11－11ω，故选＝2<0，所以＝>，得cos 2ω)2kπ－2ω(k∈Z．由图象知f(0)>，即即2φ＝2222B.ππ????所得图象对应个单位长度，(sinφ>0)的图象向左平移y2．(2018·广州调研)将函数＝2sin φx＋－x????63)的最小值为(的函数恰为奇函数，则φππ B. A.126ππ D. C.34π2ππππ??????????，该函数的图象sinsincos可得y＝2sin＝解析：选A.由y＝2sin＋x＋x2－xxx ＋＋??????????33336π22π????，＝sin g向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为(x)＝sin＋＋φ）＋x＋2φ22（x????33πkπ2ππ2??φ的最φφ>0，故(k∈Z)(＋＝kπk∈Z)，，又＝sin因为g(x)＝－为奇函数，所以2φ＋2φ2x＋??3323πA.，选小值为6)综合型三角函数的性质( 三角函数的单调区间π3πππ????，单调递减区间是k∈Z(1)y＝sin x的单调递增区间是)(＋π＋，2kk2kπ－，2π＋2kπ????2222 ．Z k∈)( )．](k∈Z＋，单调递减区间是)[2kπ，2kππk2πx(2)y＝cos 的单调递增区间是[2k－π，kπ](∈Zππ?? )Z x的单调递增区间是．(k∈tan (3)y＝＋kkπ－，π??22三角函数的奇偶性、对称轴方程时为奇函数；)Z∈k(πk＝φ，当)φ＋ωx sin(A＝y(1)．π时为偶函数；∈Z)kπ＋(k当φ＝2π求得．Z)π＋(k∈对称轴方程可由ωx＋φ＝k2π时为奇函数；Z)π＋(k∈A cos(ωx＋φ)，当φ＝k(2)y＝ 2 求得．Z)kπ(k∈k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝当φ＝kπ( 时为奇函数．Z)π(k∈tan(ωx＋φ)，当φ＝k(3)y ＝A]典型例题[)((1)(2018·柳州模拟)下列函数中同时具有以下性质的是πππ??上是增函数；④图象的一个对称中；②图象关于直线x＝对称；③在①最小正周期是π，－??336π??.心为0，??12ππx????．y＝sin A．y＝sinB＋2x＋????632ππ????y ＝sinsin．DC．y＝－22x－x????36π个单)图象上的每一个点都向左平移φ<π)＝3sin(2x＋φ)(0<(2)(2018·郑州第一次质量预测)若将函数f(x3))的单调递增区间为(x)是奇函数，则函数g(x位长度，得到g(x)的图象，若函数g(ππ??)Z(k A.∈＋，kπkπ－??44π3π??)Z(B.k∈＋，kπkπ＋??44ππ2??)Z(C.k∈－kπkπ－，??63π5π??)Z D.k∈(＋πkπ－，k??1212πππ??sin＝对于B，y2，排除A选项；当x＝时，【解析】(1)因为最小正周期是π，所以ω＝＋2×??333πππ3??选项，因此选C.对称，从而排除Bsin，D＝，又图象关于直线x＝，＝0，对于D y＝－×2??23332ππ2π??????，因为g(x)是奇函数，所以＋φ＝3sin＝kπ(k∈Z3sin(2)由题意知g(x)＝)2，＋φφx＋＋x＋2??????3332πππ3π即φ＝－＋kπ(k∈Z)，又0<φ<π，所以φ＝，所以g(x)＝3sin(2x＋π)＝－3sin 2x，由＋2kπ≤2x≤3322π3ππ3π??的单调递增区间为)，所以函数g(x Z xπ＋≤≤kπ＋(k∈)k∈k＋2π(k Z)，解得π＋，kkπ＋??4444(k∈Z)．故选B.【答案】(1)C(2)B(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．ω或(作为一个整体代入正弦函数增区间φ＋ωx的单调区间，是将>0)，>0A)(φ＋ωx sin(A＝y 求函数(2)．ω时，需先利用诱导公式，但是当A>0，<0φ＝A sin(ωx＋)的增区间(或减区间)减区间)，求出的区间即为y减区间即为原函数的增区的增区间即为原函数的减区间，－ωx－φ)ωx－φ)，则y＝A sin(变形为y＝－A sin(－间．]对点训练[π上的]在[0，π)π在x＝时取得最小值，则f(x)1．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<3)单调递增区间是(π2ππ]，B．[，π] ．[A333π22π]πD．[，C．[0，] 33ππ4πππ＝＝时取得最小值，所以＋θ＝cos(x＋θ)在x 选A.因为0<θ<π，所以<＋θ<，又f(x)解析：33333π2π5ππ2π2π5π2π2??θπ，≤x≤≤x＋≤，得＋.由0≤x≤π，得≤x≤π，＝＝，所以f(x)cos.由π＋x??33333333π??A.，π)在[0]上的单调递增区间是，故选所以f(x，π??3)]是减函数，则a的最大值是([cos x－sin x在－a，a高考全国卷2．(一题多解)(2018·Ⅱ)若f(x)＝ππ3ππD． B. C.A.424π??上单调递减，则由，π]cos x sin x在?，－－a≥4πππ区间＝2cos[0，且函数y＝法一解析：选A.：f(x)＝cos x－＋x??4ππ3?，所以≤解得a[－a，a]上是减函数，所以在0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x) 4444π3?，≤a4ππA.，故选0<a≤，所以a的最大值是44，－a在cos x≤0[，则由题意，知f′(x)＝－sin x －x′(cos 法二：因为f(x)＝x－sin x，所以fx)＝－sin x－cosππ????的图上恒成立，结合函数y2sin＝，≥0在[－axa]上恒成立，即sin x＋cos ≥0a，即2sin]?，≥0－a＋4πππ?A.＋＋xx????44πa的最大值是，故选≤，所以0<a≤，所以象可知有解得a444π?π，≤a＋4三角函数图象与性质的综合问题(综合型)[典型例题]ππ????＋2sin x cos＋cos x.＝f已知函数(x)sin＋22x＋x????63(1)求函数f(x)的最小正周期；π(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，12．π?? )(x在上的值域．g(x)的图象，求y＝g纵坐标不变，得到函数y＝π2，??3ππ????cos x)＝sin＋2sin ＋cos x【解】(1)f(x＋2＋x2x????63ππππsin 2xx sin ＋sin ＋cos 2x cos －sin 2cos 2＝sin 2x cos ＋x3366＝3cos 2x＋sin 2xπ??，＝2sin＋2x??32π所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.2πππ????2sin个单位长度得到函数y＝＝f(x知f(x)＝2sin)的图象向右平移，先将函数y(1)(2)由＋x2x＋2????1263π1??的图)＝2sin4倍，纵坐标不变，得到函数g(x的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的＋x??62象．π1令t＝x＋，26则函数g(x)可转化为y＝2sin t.ππ7π因为≤x≤2π，所以≤t≤，336π2π2π??＝2；y＝g所以当t＝，即x ＝时，??max3237π当t＝，即x＝2π时，y＝g(2π)＝－1.min6π??上的值域为[－1，(x)在2]．所以函数y＝gπ，2??3求解三角函数的最值或值域，最基本的方法就是换元法，通常有两种类型：(1)“一角一函数”型：通过三角恒等变换，将问题转化为函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(或y＝A cos(ωx＋φ)＋B)的最值或值域问题，可利用t＝ωx＋φ换元转化为基本的三角函数y＝A sin t(或y＝A cos t)的最值或值域问题求解．2φ)＋c＋的最值或值域问题，可通过t＝φ(ωx＋)＋b sin(y(2)“二次函数”型：将问题转化为＝a sinωx2＋bt＋c的最值或值域问题求解．求解函数在指定区间上的最值或值域，φ)换元转化为y ＝at要注意＋sin(ωx换元后“元”的取值范围．[对点训练]πππ??图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在xφ)＝时取得＋已知函数f(x)＝sin(ωx≤φ≤ω>0，0??822最大值1.(1)求函数f(x)的解析式；9??π0，∈x当的取值范围．＋x＋，求x，，xa)(时，若方程fx＝恰好有三个根，分别为xxx(2) ??3321128．π2πT??＝πTω2(1)，＝＝π＝?解：22ωππ????，＝＝sin所以sin1φφ＋2×＋????48πππkπ＋，k∈Z，所以＋φ＝＝2kπ＋，k∈Z，所以φ2442πππ??.sin(x)＝因为0≤φ≤，所以φ＝，所以f＋2x??4242恰好有)＝aa<1时，方程f(2)画出该函数的图象如图，当(x≤且点三个根，2π5πx)和)(x＝关于直线，对称，a对称，点(x(x，a)(和x，ax)关于直线＝，a312288ππ11π9π5.x<x＋x<，所以≤x所以x＋x＋＝，π≤3321128448一、选择题π??的解析)(的图象过点(0，3)x1．(2018·南宁模拟)如图，函数)f(x＝A sin(2，则函数x＋φ)f|<φ，|A>0??2)(式为π??＝2sinA．f(x)－x2??3π?? )＝2sin(B．fx＋2x??3π?? )＝2sinC．f(x＋2x??6π??＝2sinD．f(x)－2x??63φφ，sin ＝＝3，即的图象过点f(x)(0，3)，所以2sin ＝解析：选B.由函数图象可知，A2，又函数2πππ??，故选B. )(x＝2sin，所以φ＝|由于φ|<，于是f＋2x??323π??－cos 23cos x，若要得到一个奇函数的图象，则可))已知函数f(x)＝2．(2018·郑州质量检测(二－x2??2以将函数f(x)的图象()πA．向左平移个单位长度6πB．向右平移个单位长度6πC．向左平移个单位长度12πD．向右平移个单位长度12πππ??????＝2sin＝xx＝3sin 2－cos 2x cos 2－＝cos 2－＝xf选解析：C.()3cos x3cos－x2－x2x2－??????262．ππ????C.的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y2sin＝22sin 2x的图象．故选，所以将f(x)－x????1212πππ2????的取值范围>0)在区间上单调递增，则．(2018·广州调研)已知函数f(x)＝sinωω(3，ωx＋－????463)为(18????，00，B. A. ????23381????2，， D.C. ????823ππππππ2π2π??????ωωωωsin)＝，因为函数x＋∈选解析：B.因为x∈f(，所以x＋＋－，＋，?ω，k∈－Z＋≥2kπ－，－x??????64633664πππ?，选B.ω>0)在区间上单调递增，所以又ω>0，所以0<ω≤(，－246ππ21????243ππ2π?ω.＋≤2kπ＋，k∈Z362的部分图象如图π)ωx＋φ)(ω>0，|φ|<(4.(2018·石家庄质量检测二))已知函数f(x)＝2sin(ππ??)(03)，，B(x，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g所示，已知点A0，??66) 的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为(ππx＝A．x＝B．412ππ2 ＝D．x C．x＝33π2ππ3??φφφ＝，又|f|<π，所以φ＝解析：选A.因为f(0)＝2sin 或＝3，所以sin ，又＝??3236ωωππ2ππ6??????×2(k∈Z)，或π(k∈Z)，所以ω＝ω＝×＝6k2sin－，所以＝0＋φ＝kπ－＋φkπ－k??????6633ππππ2π2π2T6??φ，＝2sin f(x所以ω<3，所以ω＝2，)＝，所以，k＝6k－4(∈Z)，又ω>0，且＝＝>＋2x??3643ωωπ42ππ2ππ??????，(gx)的图象，所以g(x)＝2sin2sin＝将其图象向右平移个单位长度，得到函数＋＋2x2－x ??????6336πππkπA.Z)，故选，所以k∈Z)x＝＋(k∈(gx)图象的对称轴方程满足2x＋＝kπ＋(12232π的部分图象如图所示，A>0))(|A sin(2x＋θθ|≤，5.(2018·惠州第二次调研)已知函数f(x)＝2)＋x)＝3，则(]，b(，若f(x)＝f(x)，有fx，(且f(a)＝fb)＝0，对不同的xx∈[a222111ππ5??在上是减函数f(x)A．，－??1212ππ5??在上是增函数(x)B．f，－??1212ππ5?? )在上是减函数C．f(x，??36π5π??在上是增函数D．f(x)，??36θ＝3，所以m2sin )＝f(0)＝ff(0)＝(m)＋，则f(0m)＝f(，mA解析：选B.由题图知＝2，设∈[ab]，且ππππππ3??θk2kπ，＋kπ≤2x≤＋2sin(＝|3，sin ＝，又|θ≤，所以θ，所以fx)＝＋，令－2＋2x??2323223ππ5π≤x≤＋kπ，k∈Z＋Z∈，解得－k，此时f(x)单调递增．所以选项B正确．1212．π??，φ∈＋3φ)是偶函数，其中已知函数f(x)＝1＋2cos x cos(x五个一名校联盟6．(2018·河北“”模拟)，0??2)的正确描述是(＝cos(2x－φ)则下列关于函数g(x)ππ??1在区间上的最小值为－A．g(x)，－??312π个单位长度得到的图象向上平移2个单位长度，向右平移的图象可由函数f(x)B．g(x)3π?? )的图象的一个对称中心是C．g(x0－，??12π?? )的一个单调递减区间是D．g(x，0??2x cos(y＝y＝2cos x都是偶函数，所以x＋3φ)是偶函数，y＝1，(解析：选C.因为函数fx)＝1＋2cos x cos(ππkππ??.cos(x)＝，0<φ<所以φ＝，所以g所以3φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝，k∈Z，又＋3φ)是偶函数，－x2 ??3233ππππππ??2 2cos)＝1－＝1＋2cos x cos(x－≤，cos＋πx∈[0，1]，故A错误；f()当－≤x≤时，－≤2x－x2??3123233πππππ??－2xx≤时，－≤＝0，故C正确；当x，显然B错误；当x＝－时，g(x)＝cos0≤x＝－cos 2－??312232π2π??错误．故选C.有增有减，故g(x)＝cosD≤，－2x??33 二、填空题，b，B(为奇函数，)A(a，0)4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<πx7．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f()＝1??．＝________b|的最小值是1，则f0)是其图象上两点，若|a－??6πφφ，＝)，所以φ＝0(0<φω>0，0<<<π)为奇函数，所以cos π解析：因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(2ω的最小正)(x|的最小值是1，所以函数f(b，0)是其图象上两点，且|a－b所以f(x)＝－4sin (x，又Aa，0)，Bπ1??2.4sin ，所以f＝－＝－f(x)＝－4sin πxω周期为2，所以＝π，所以??662答案：－πππ??个单位长)的图象向左平移ff(0)＝－f(x，若将＜＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0φ＜)，．已知函数8f(x)??1222 ________．度后所得函数的图象关于原点对称，则φ＝ππ????φω的图象向左平移)f(x，k∈＝－sin Z，将，所以ω＝4k解析：因为f(0)＝－f＋，则sin 2φ＋????22ωπωππ??＋ωx的图象关于原点对称，则0ω＞0，Z＋φ＝kπ，k 个单位长度后所得函数y＝sin∈，由φ＋??121212ππφ＝10，.＜φ＜得ω＝62π答案：6π??＝＝f，则φ的最大值为π)2，且满足f(x)φx)sin(2(9．已知函数fx)＝x＋φ＋a cos(2＋φ)(0<<x－??2 ．________ππ??2＋1＝2对称，由函数的解析式可得x)(，所以函数fx的图象关于直线＝xf解析：因为()f＝a，x－??422 3.＝a即．π??，＋φ)＝若a2sin＝3，则f(x)＝sin(2x＋φ)3cos(2＋x＋2x＋φ??3πππππ，所<0<φ∈Z)，因为＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k由函数图象的对称性可得2×3243π2＝；φ以3π??2sin，＋φ)3，则f(x)＝sin(2x＋φ)＝－3cos(2若ax＝－－2x ＋φ??3πππππ，所φ<Z)，因为0<Z kπ＋(k∈)，所以φ＝kπ＋(k∈由函数图象的对称性可得2×＋φ－＝3324π＝.以φ3ππ2.＝或综上可得φ33ππ2 ：或答案33 三、解答题344. cos 2x(x)＝sin＋x cossin2xx＋10．已知函数f2 )的最小正周期；f(x(1)求π??的最值．(x(2)当x∈)f时，求，0??4344＋sin 2x)＝sin xx＋coscos 2xx解：f(2322222＋x)x－2sinsin 4x cos＝(sin xx＋cos43122xx＋＝1－sinsin 442x cos 41－31x－·＋sin 4＝1422313x＋sin 4x＋cos 4＝444π13??＝sin＋.＋4x??426π2π＝.(1)T＝24π??x∈时，(2)当，0??4ππ1πππ7ππ5??????1，－∈∈，sin xx＝时，函数f(x)取最大值；当4＋＋，则当4x＝，即＋4，x??????2426612666π7πππ115??.)的最大值是∈，最小值是时，函数f(xx，即4x＋＝x＝时，函数f()取最小值.所以，当x，0??2664244π??44是函数f(x0<ω<1)，若点)图象的一sinωf(x)＝3sin 2x＋cosωx－＋ωx1(其中已知函数11．1－，??6个对称中心．(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；上的图象．]π，π－[在区间)x(f先列表，再作出函数(2)．2222ωωωωω＋x)(cos1x－sin x解：(1)f(x)＋3sin 2sin x＋(cos)xωωx＋＋cos 2＝3sin 21xπ?ω＋1.＝2sin2x??6π??f(x因为点)图象的一个对称中心，是函数1－，??6ωππ，k∈Z 所以－＋＝kπ，631.k∈Z所以ω＝－3k＋，2，ω<1因为0<1ω，＝所以k＝0，2π??＋所以f(x)＝2sin1.＋x??6πππZ，x＝kπ＋，k∈＝由x＋kπ＋，k∈Z，得326π.＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝令k3π??x∈[－π，π]由(1)知，f(x)＝2sin时，列表如下：＋1，当(2)＋x??6则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示．32的图象上相邻最高点与最低点的距离为ω>0)ωx＋(ωx()＝sin ωx·cos x－3cos．12设函数f224.π＋的值；(1)求ωπ(2)若函数y＝f(x＋φ)(0<φ<)是奇函数，求函数g(x)＝cos(2x－φ)在[0，2π]上的单调递减区间．232ωωωx3coscos sin )((1)解：fx＝x·x－＋2．ω）x3（1＋cos 231ωx＋＝sin 2－22231ωω－cos 2＝sin 2xx22π??ω，＝sin－2x ??32＋4π，得f(x)f设T为的图象上相邻最高点与最低点的距离为(x)的最小正周期，由2T??22＋4＝π，(x)]＋[2f??max22T??2＋4，1，所以＋4＝π因为f(x)＝??max2整理得T＝2π. 2π1又ω>0，T＝＝2π，所以ω＝.2ω2π??，x)＝sin(1)(2)由可知f(－x??3π??.φ)＝sin所以f(x＋－x＋φ??3π??－φ＝0.(x＋φ)是奇函数，则sin因为y＝f??3ππ又0<φ<，所以φ＝，23π??.＝cos cos(2x－φ)g所以(x)＝－2x??3π令2kπ≤2x －≤2kπ＋π，k∈Z，3π2π则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，63π2π??，k∈Z，所以单调递减区间是π＋，kkπ＋??36又因为x∈[0，2π]，π2π??；时，递减区间是所以当k＝0，??637π5π??.＝1时，递减区间是当k，??63π2π7π5π????，上的单调递减区间是].π2[0)(所以函数gx在，，，????3636。

2019届高考数学二轮复习专题一第1讲基本初等函数、函数图象与性质学案

第1讲基本初等函数、函数图象与性质1．以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性； 2．利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题； 3．函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法；4．掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质； 5．以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理； 6．能利用函数解决简单的实际问题．1．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． (2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )． ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0．③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性． (3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数． ②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数． ③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数． ④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数．易错提醒错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接． 2．函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究． (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称． 3．指数与对数式的七个运算公式 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a M N＝log a M －log a N ； (5)log a M n＝n log a M ； (6)log a N a N ＝；(7)log a N ＝log b Nlog b a (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0)．4．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数． 3．函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．5．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答热点一函数的图象及应用【例1】(1) (2018·全国II 卷)函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析(1)∵0x ≠，()()2e e x xf x f x x---==-，∴()f x 为奇函数，舍去A, ∵()11e e 0f -=->，∴舍去D;∵()()()()()243ee e e 22e 2e xx x x x x x xx x f x x x ---+---++=='，∴2x >，()0f x '>，所以舍去C ；因此选B.(2)设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)＜h (x 0)，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e，所以32e ≤a <1．答案（1）B (2)D探究提高 1．已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断．2．(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．【训练1】(1) (2018·广东测评)设函数()()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f =的值为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]解析 (1)()()()()032log 312e 2f f f f ===⨯=，选C ．(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图．y ＝ax 为过原点的一条直线，当a >0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时成立；当a <0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)相切的情况，即y ′＝2x －2，切点为(0，0)，此时a ＝2×0－2＝－2，即有－2≤a <0，综上，a ∈[－2，0]．答案 (1)C (2)D热点二函数的性质与应用【例2】(1) (2018·全国II 卷)已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足()()11f x f x -=+.若()12f =，则()()()()12350f f f f ++++=L （） A ．50-B ．0C ．2D ．50(2)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析 (1)因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，∴()()()311f x f x f x +=-+=-，∴4T =,因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦L ，因为()()31f f =-，()()42f f =-，所以()()()()12340f f f f +++=，∵()()()222f f f =-=-，∴()20f =，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L ，选C. (2)法一易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0．∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数．又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b ．法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b ．答案 (1)C (2)C探究提高 1．利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．2．函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．【训练2】(1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－a （x ≥0），g （x ）（x <0），则f (－2)的值等于________．(2)(2017·西安质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1－2e x＋1，则( ) A ．f (－3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<f (2) C ．f (2)<f (－3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3) 解析 (1)因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，则30－a ＝0，∴a ＝1． ∴当x ≥0时，f (x )＝3x－1，则f (2)＝32－1＝8，因此f (－2)＝－f (2)＝－8． (2)∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x－1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x－1e x＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)．当0≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数．∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)．答案 (1)－8 (2)D热点三基本初等函数的图象与性质【例3】(1)(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)(2018·襄阳联考)设函数()()()()ln 2ln 2f x x x f x -=-++=，则()f x 是（） A ．奇函数，且在()0,2上是增函数 B ．奇函数，且在()0,2上是减函数 C ．偶函数，且在()0,2上是增函数D ．偶函数，且在()0,2上是减函数解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B ． (2)因为()()()()ln 2ln 2f x x x f x -=-++=，所以函数()f x 是偶函数，又()()()()()()2ln 2ln 2ln 22ln 4f x x x x x x =++-=+-=-⎡⎤⎣⎦在()0,2上是减函数，故选D ．答案 (1)B (2) D探究提高 1．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．2．研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的单调区间，只考虑t ＝x 2－3x ＋2与函数y ＝ln t 的单调性，忽视t >0的限制条件．【训练3】(1) (2018·德州一模)函数()2ln y x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．(2)(2017·成都冲刺)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧34x ＋54，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (t ))＝2f (t )的t 的取值范围是________．解析 (1)解得1,1,2--=x ,∴该函数有三个零点,故排除B ；当2-<x 时,02<+x ,∴当2-<x 时排除C 、D ．故选A ．(2)若f (t )≥1，显然成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧t <1，34t ＋54≥1或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，2t≥1，解得t ≥－13．若f (t )<1，由f (f (t ))＝2f (t )，可知f (t )＝－1，所以34t ＋54＝－1，得t ＝－3．综上，实数t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13．答案 (1) A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13热点四函数的零点与方程【例4】(1) (2018·屯溪一中)已知()0001x x <<()00,a x ∈，()0,1b x ∈，则（） A ．0)(,0)(<>b f a f C ．0)(,0)(>b f a f(2)(2017·历城冲刺)已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋x 3，若函数y ＝f (x )＋f (k －x 2)有两个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，2D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 解析 (1)，所以()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增,由题知，()00f x =，函数在()0,1上单调递增，若()00,a x ∈，()0,1b x ∈，所以0)(,0)(>0，g （－1）>0，g （1）>0，解得－14<k <0．答案 (1)C (2)B探究提高 1．函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定． 2．判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．【训练4】(2017·石家庄调研)已知函数f (x )＝sin π2x (x <0)与g (x )＝log a x (0<a <1，x >0)的图象有且只有3对关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫19，15 B ．(0，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19 解析由题意，设函数f (x )图象上点P (x 0，f (x 0))(x 0<0)关于y 轴对称的点P ′(－x 0，f (x 0))必在函数g (x )的图象上，即sin π2x 0＝log a (－x 0)，将问题转化成y 1＝f (x )＝sin π2x (x <0)x 与y 2＝g 1(x )＝log a (－x )(x <0)的图象有且仅有3个交点，作出函数图象如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧g 1（－5）>f （－5），g 1（－9）<f （－9），即⎩⎪⎨⎪⎧log a 5>－1，log a 9<－1，解得19<a <15．所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫19，15．答案 A1．(2018·全国Ⅲ卷)函数422y x x =-++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．2．(2018·全国I 卷)设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．()0,+∞C ．()1,0-D ．(),0-∞3．(2018·全国Ⅲ卷)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（） A ．0a b ab +<⎪⎩，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（） A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞1．(2018·甘肃调研)已知函数()()22log 3,221,2x x x f x x ---<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若()21f a -=，则()f a =（）A ．1B ．1-C ．2-D ．22．(2018·彬州一模)已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()()2log 1f x x =-，则()10f x -<的解集是（） A ．()(),12,3-∞-UB ．()()1,02,3-UC ．()2,3D ．()(),30,1-∞-U3．(2018·贵州37校联考)已知函数()()e ln x f x x m x =--有两个零点，则m 的取值范围为（） A ．()e,-+∞B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．()0,+∞4．(2017·西安调研)若函数()24x f x a -=(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是（）A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a ． (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．1．(2017·合肥二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤2，log 2x －a ，x >2，有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[－1，0)B ．(1，2]C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)2．(2018·内江一模)函数()()21=ln 2x f x x e -+-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3．(2018·贵州37校联考)已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）ABC． D．4．(2018·银川一中)设函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()2g x f x x a =++.若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是______．5．(2017·贵阳质检)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax1－x (a >0)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若－1<x <1时，均有f (x )≤0成立，求正实数a 的取值范围．参考答案1．【解题思路】根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 【答案】函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <或0x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 2．【解题思路】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.【答案】将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞，故选D.3．【解题思路】求出0.21log0.3a =，21log0.3b =，得到11a b+的范围，进而可得结果．【答案】∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，∴0.21log0.3a =，21log0.3b=， ∴0.411log0.3a b +=，∴1101a b <+<,即01a bab+<<，又∵0a >，0b <，∴0ab <，即0ab a b <+<，故选B.4．【解题思路】把指数式化为对数式求出x ，y ，z 的值，再利用作差比较法比较2x ，3y ，5z 的大小．【答案】令t ＝2x＝3y＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t >1．则x ＝2log t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5．∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y ．又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z ．故选D ．5．【解题思路】首先根据()g x 存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将()e 0x x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果. 【答案】画出函数()f x 的图像，e x y =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.1．【解题思路】分类讨论：当22a -≥，即0a ≤时，22211a ---=，从而()()12f a f =-=-；当22a -<时，得12a =-，不成立，由此能求出结果．【答案】当22a -≥，即0a ≤时，22211a ---=，解得1a =-，则()()()21log 312f a f =-=---⎤⎣⎦=-⎡，当22a -<，即0a >时，()2log 321a ---⎤⎣⎦=⎡，解得12a =-，舍去． ∴()2f a =-．故选C ．2．【解题思路】由题意，根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式()10f x -<的解集，得到答案．【答案】由题意，当0x >时，令()0f x <，即()2log 10x -<，解得12x <<，又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称，则当0x <时，令()0f x <，可得2x <-，又由不等式()10f x -<，则满足112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-，即不等式()10f x -<的解集为()(),12,3-∞-U ，故选A ． 3．【解题思路】根据零点定义，令()0f x =，可得ln x x m x e +=，构造函数()xxg x m e=+，求导并令()'0g x =，解得1x =，且根据导数的符号判断单调性，进而可得在1x =处取得最大值．所以可得()()max 11g x g m e==+，进而根据极限值情况可得m 的取值范围．【答案】令()0f x =，可化为ln xxm x e +=，令()x x g x m e =+，()1'x xg x e-=，令()'0g x =，得1x =，当(),1x ∈-∞时，()'0g x >；当()1,x ∈+∞时，()'0g x <，所以()()max 11g x g m e ==+，()g x 先增后减，即从负无穷增大到1m e+，然后递减到m ，而函数ln y x =是()0,1时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大，所以10m e +>，即1m e>-，所以选B ．4．【解题思路】由f (1)＝19判断a 的值，进一步判断其单调性．【答案】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|．由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B ．5．【解题思路】(1)定义域—求导—f ′(x )＝0—单调区间—极值点；(2)利用极值点和端点值结合函数的单调性约束函数的图像，使其满足题意．【答案】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1．当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值．(2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值k (2)＝2－2ln 2－a ．因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3．所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3]．1．【解题思路】分别求出每一段上的零点．【答案】当x ≤2时，由－x 2＋4x ＝0，得x ＝0．当x >2时，令f (x )＝log 2x －a ＝0，得x ＝2a．又函数f (x )有两个不同零点，∴2a≠0且2a>2，解得a >1．故选C ．2．【解题思路】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【答案】当x →+∞时，()f x →-∞，故排除D ；易知()f x 在R 上连续，故排除B ；且()10ln 20f e -=->，故排除A ，故选C ．3．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【答案】由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．【解题思路】画出f (x )的图像，利用数形结合进行判断．【答案】()()2g x f x x a =++,若()g x 存在两个零点，即()2f x x a =--,和()g x 有两个不同的交点即可，其中一个临界是过点()1,0代入得到2a =,且能取到，另一个临界是过点()1,2，代入得到4a =-，故范围是[)4,2--.．故答案为[)4,2--．5．【解题思路】(1)定义域—求导—单调区间；(2)分类讨论确定f (x )的最大值．【答案】(1)当a ＝1时，f (x )的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1－1（1－x ）2＝x （x －3）（x －1）2（x ＋1），当－1<x <0或x >3时，f ′(x )>0；当0<x <1或1<x <3，f ′(x )<0．所以函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)和(3，＋∞)；单调递减区间为(0，1)和(1，3)．(2)f ′(x )＝x 2－（a ＋2）x ＋1－a（x －1）2（x ＋1），－1<x <1，当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ＋2－a 2＋8a2，x 2＝a ＋2＋a 2＋8a2．若0<a <1，此时0<x 1<1，对0<x <x 1，有f ′(x )>0，f (x )>f (0)＝0，不符合题意．若a >1，此时－1<x 1<0，对x 1<x <0，有f ′(x )<0，f (x )>f (0)＝0，不符合题意．若a ＝1，由(1)知，函数f (x )在x ＝0处取得最大值0，符合题意，综上实数a 的取值范围为{1}．。

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函数的图象和性质【课前自主复习区】
■核心知识储备
提炼1函数的奇偶性
(1)若函数y ＝f (x )为奇(偶)函数，则f (－x )＝ (f (－x )＝ )．
(2)奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有意义，则必有f (0)＝
(3)判断函数的奇偶性需注意：一是判断定义域是；二是若所给函数的解析式较为复杂，应先化简；三是判断f (－x )＝－f (x )，还是f (－x )＝f (x )，有时需用其等价形式f (－x )±f (x )＝0来判断．
(4)奇函数的图象关于原点，偶函数的图象关于轴对称．
(5)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 . 提炼2 函数的周期性
(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (x －a )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以为周期的周期性函数．
(2)若奇函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以 |为周期的周期性函数．
(3)若偶函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以 |为周期的周期性函数．
(4)若f (a ＋x )＝－f (x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫或f a ＋x ＝1f x (a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以为周期的周期性函数． (5)若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )对称，则函数y ＝f (x )是以2|b －a |为周期的周期性函数.
提炼3 函数的图象
(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．
(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|等的相互关系．
(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择.
[高考真题回访]
回访1 函数的奇偶性与周期性
1．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正
确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2
，则f (2)＝
3 函数的单调性
．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，1)
C ．(1，＋∞)
D ．(4，＋∞)
|)
★(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x 点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 ∑=m
i i x 1＝( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
1．根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．
2．根据函数的单调性，判断图象的变化趋势．3．根据函数的奇偶性，判断图象的对称性．
4．根据函数的周期性，判断图象的循环往复．5．取特殊值代入，进行检验．
【我会做】(1)(2016·济南模拟)函数y ＝x
e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )
A B ． C
D ．
． ★(2)(2017·东北三省四市联考)对∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13，23x ≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1
【目标分解二】函数性质的综合应用
题型分析：函数性质的综合应用是高考的热点内容，解决此类问题时，性质的判断是关键，应用是难点．
【例2】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )
A ．f (x )在(0,2)单调递增
B ．f (x )在(0,2)单调递减
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称
函数性质的综合应用类型
1．函数单调性与奇偶性的综合．注意奇、偶函数图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调
性的关系．
2．周期性与奇偶性的综合．此类问题多为求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量
转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性
和单调性求解．
【我会做】
★(1)(2016·长春二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)
★★(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈(0,1)且x1≠x2时，
有f x2－f x1
x2－x1
＜0.给出下列命题：
①f(1)＝0；
②f(x)在[－2,2]上有5个零点；
③点(2 014,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；
④直线x＝2 014是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．
则正确命题的序号是________.。

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