高中数学苏教版选修2-3：高考五大高频考点例析

高考五大高频考点例析[对应学生用书P52]

[考题印证]

[例1](辽宁高考改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________．

[解析]剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.

[答案]24

[例2](全国大纲卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)

[解析]法一：(间接法)A66－A22A55＝480.

法二：(直接法)A44A25＝480.

[答案]480

[跟踪演练]

1．(浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．

解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．

答案：60

2．(重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．解析：直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C33·C14·C15＋C34·C13·C15＋C35·C13·C14＋C24·C25·C13＋C23·C25·C14＋C23·C24·C15＝590.

答案：590

3．在某次中外海上联合搜救演习中，参加演习的中方有4艘船、3架飞机；外方有5艘船、2架飞机，若从中、外两组中各选出2个单位(1架飞机或1艘船都可作为一个单位，所有的船只两两不同，所有的飞机两两不同)，则选出的4个单位中恰有一架飞机的不同选法共有________种．

解析：若从中方选出一架飞机，则选法种数为C14C13C25＝120；若从外方选出一架飞机，则选法种数为C15C12C24＝60.故不同选法共有120＋60＝180种．

答案：180

[考题印证]

[例3] (浙江高考)设二项式⎝

⎛⎭⎪⎫x －13x 5

的展开式中常数项为A ，则A ＝________.

[解析] T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r

6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10. [答案] －10 [例4] (全国大纲卷)⎝⎛

⎭

⎫x y －y

x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) [解析] ⎝⎛⎭⎫x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝

⎛⎭⎫－y x r ＝(－1)r C r 8

x 8－32ry 32r －4，则⎩⎨⎧

8－3

2r ＝2，

3

2r －4＝2，

解得r ＝4，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 4

8＝70.

[答案] 70

[跟踪演练]

4．(四川高考)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 解析：根据二项展开式的性质可得x 2y 3的系数为C 35＝10. 答案：10

5．(新课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)

解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－

r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7

，

则C 310a 3

＝15，故a ＝12

. 答案：1

2

[考题印证]

[例5] (重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)

[解] (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 3

3

C 3

9＝584

. (2)X 的所有可能值为1,2,3，

且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 3

4

C 3

9＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 3

3

C 3

9＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 1

7

C 39＝112

，

故X 的分布列为

从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝47

28

.

[跟踪演练]

6．(浙江高考)随机变量X 的取值为0,1,2.若P (X ＝0)＝1

5，E (X )＝1，则V (X )＝________.

解析：由题意设P (X ＝1)＝p ，X 的分布列如下

由E (X )＝1，可得p ＝3

5

，

所以V (X )＝12×15＋02×35＋12×15＝2

5

.