(答案版)第七周作业生产函数及成本论

作业要求： 1.不用抄题，标清题号 2.写上名字和学号，按时提交3.作业截至周日生产论部分1.已知生产函数Q ＝f(L ，K)=2KL- 0.5L 2-0.5K 2，假定厂商目前处于短期生产，且K ＝10，求：(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP L 函数、劳动的平均产量AP L 函数和劳动的边际产量MP L 函数。

(2)分别计算当总产量TP L 、劳动平均产量AP L 和劳动边际产量MP L 各自达到极大值时的厂商劳动的投入量。

(3)什么时候AP L ＝MP L ？它的值又是多少？解答：（1）把K=10代入生产函数得短期关于劳动的总产量函数为：()22,2100.50.510L TP f L K L L ==⨯--⨯2200.550L L =--劳动的平均产量函数为：2200.55050200.5L L TP L L AP L L L L--===-- 劳动的边际产量函数为：()()2200.55020L L MP TP L L L ''==--=-（2）当0L MP =时，即20L=0L=20-⇒时，L TP 达到极大值 。

当L L AP MP =时，即50200.5L 20L L--=-，L=10时，L AP 达到极大值。

()()L MP 20-L 1''==-，说明L MP 始终处于递减阶段，所以L=0时，MP 最大。

（3）L L AP MP L 10=⇒=，把L 10= 代入AP 和MP 函数得： 50200.5=2055=10L AP L L=---- ，20=2010=10L MP L =-- ，即 L=10时，L AP 达到极大值，L L AP MP =。

2．已知生产函数为Q ＝min{K L 3,2}。

求：（1）当Q ＝36时，L 与K 值分别是多少？（2）如果生产要素的价格分别为L P =2，K P =5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？解：（1）生产函数为Q ＝min(K L 3,2)表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q ＝2L ＝3K 。

因为已知产量Q ＝36,则 2L ＝3K=36 ，所以，L ＝18，K ＝12。

（2）由Q ＝2L ＝3K=480，可得：L ＝240，K ＝160。

又因为P L ＝2，P K ＝5，所以有：TC ＝P L L ＋P K K ＝2×240＋5×160＝1280。

即生产480单位产量最小成本为1280。

3.假设某厂商的短期生产函数为 Q ＝35L ＋8L 2－L 3。

求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。

(2)如果企业使用的生产要素的数量为L ＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝L ＝35＋8L －L 2边际产量函数：MP(L)＝Q ′(L)＝35＋16L －3L 2(2)首先需要确定生产要素L 投入量的合理区间。

在生产要素L 投入量的合理区间的左端，有AP ＝MP ，于是，有35＋8L －L 2＝35＋16L －3L 2。

解得L ＝0和L ＝4。

L ＝0不合理，舍去，故取L ＝4。

在生产要素L 投入量的合理区间的右端，有MP ＝0，于是，有35＋16L －3L 2＝0。

(5+3L)(7-L)=0，解得L ＝－5/3和L ＝7。

L ＝－5/3不合理，舍去，故取L ＝7。

由此可得，生产要素L 投入量的合理区间为[4,7]。

因此，企业对生产要素L 的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。

4.已知生产函数为1233Q AL K 。

判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？ （2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解：（1） ()1233,Q f L K AL K == ()()()()12123333,,f L K A L K AL K f L K λλλλλλ=== ,所以，在长期生产中，该生产函数属于规模报酬不变。

（2）假定资本的投入量不变，用K 表示，L 投入量可变，所以，生产函数1233Q AL K =，这时，劳动的边际产量为223313L MP AL K -=5233209L dMP AL K dL -=-<，说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增加，劳动的边际产量递减。

同理，113323K MP AL K -=，4133209KdMP AL K dK -=-<，说明：当劳动使用量即定时，随着使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。

综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用。

5．令生产函数f （L ，K ）=a 0＋a 1(LK)1/2＋a 2K ＋a 3L ，其中0≤a i ≤1 i=0，1，2，3。

（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。

解：（1）根据规模报酬不变的定义f(λL ，λK)=λf （L ，K ）于是有 f(λL ，λK)＝a 0＋a 1(λL)(λK)1/2＋a 2(λK)＋a 3(λL)＝a 0＋λa 1（LK)1/2＋λa 2K ＋λa 3L＝λ[a 0＋a 1(LK)1/2＋a 2K ＋a 3L]＋（1－λ）a 0 ＝λf （L ，K ）＋（1－λ）a 0由上式可见：当a 0＝0时，对于任何的λ＞0，有f(λL ，λK)=λf （L ，K ）成立， 即当a 0＝0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（2）在规模报酬不变，即a 0＝0时，生产函数可以写成f （L ，K ）＝a 1（LK)1/2＋a 2 K ＋a 3L相应地，劳动与资本的边际产量分别为：MP L (L ，K)＝dL K L df ),(＝21a 1L -1/2K 1/2＋a 3， MP K (L ，K)＝dK K L df ),(＝21a 1L 1/2K -1/2＋a 2， 可求：dL K L dMP L ),(＝-41 a 1L -3/2K 1/2<0 ， dL K L dMP K ),(＝-41 a 1L 1/2K 1-3/2<0显然，劳动和资本的边际产量是递减的。

6. 已知某厂商的固定投入比例的生产函数为Q =min2{L ,3K } 。

(1)令P L =1,P K =3。

求厂商为了生产120单位产量所使用的K 、L 值以及最小成 本。

如果要素价格变化为P L =4,P K =2,厂商为了生产120单位产量所使用的 K 、L 值以及最小成本又是多少? 请予以比较与说明。

(2)令P L =4,P K =3。

求C =180时的K 、L 值以及最大产量。

解答：(1)L=3K=120， 解得：L=120， K=40，当 P L =1,P K =3时，最小成本C=120+3X40=240当P L =4,P K =2时，生产120单位产量所使用的 K 、L 值也要满足：L=3K=120， 解得：L=120， K=40。

最小成本C=120 X4+40 X2=560。

虽然生产要素价格变了，但是固定投入比例的生产函数反映生产要素之间比例是固定的、不存在替代关系，生产要素之间比例是由生产技术决定的，是技术问题非经济问题，不受生产要素价格的影响。

生产一定产量生产要素数量不变。

但是生产要素价格变化，故成本变化了。

(2) 由已知可得方程组：431803L K L K+== 解得L=36 ，K=12最大产量Q=L=3K=367. 假定某厂商的生产技术给定,在该生产技术下可以采用四种生产方法来生产2000 单位产量,如表所示。

(1)请剔除表4 2中无效率的生产方法。

(2)“生产方法B 是最有效率的。

因为它所使用的资源总量最少,只有660单位。

” 你认为这种说法正确吗? 为什么?(3)在 (1)中剔除了无效率的生产方法后,你能在余下的生产方法中找出有效率的生产方法吗? 请说明理由。

解答：（1）方法C在技术上是无效率的，与方法B相比，它使用本与劳动的数量都要较方法A多，而产量相同；同样，与方法D相比，它使用的资本相等，但使用劳动较多且产量相同，所以厂商不会选择C这种生产方法。

（2）这种说法不对，与方法A和方法D相比，方法B耗用的资本数较高，而劳动数较少。

判断技术上的效率不能以耗用资源的总数为尺度。

（3）要判断哪种生产方法在经济上是有效率的，必须知道劳动及资本的价格，根据TC＝LPL ＋KPK分别计算其耗用总成本，成本最低者就是在经济上有效率的生产方法。

成本论部分1.假定某厂商的边际成本函数MC=3Q2-30Q+100，且生产10单位产品时的总成本为1000。

求：（1）固定成本值。

（2）总成本函数、总可变成本函数、平均成本函数、平均可变成本函数。

解：（1）根据边际成本函数，对其进行积分，可得总成本函数为TC=Q3-15Q2+100Q+a(常数)又知道当Q=10时，TC=1000，代入上式可求得1000=103-15×102+100×10+aa=500即总成本函数为TC= Q3-15Q2+100Q+500固定成本是不随产量而变化的部分，因此固定成本为500。

（2）总成本函数为TC= Q3-15Q2+100Q+500总可变成本函数TVC=Q3-15Q2+100Q。

平均成本函数AC=TCQ = Q2-15Q+100+500Q平均可变成本函数AVC=TVCQ= Q2-15Q+1002. 已知某企业的短期总成本函数是STC＝0.04Q3-0.8Q2+10Q+5，求最小的平均可变成本值。

解：因为STC＝0.04Q3-0.8Q2+10Q+5所以TVC＝0.04Q3-0.8Q2+10QAVC＝TVCQ＝0.04Q2-0.8Q+10AVC有最小值时，AVC′(Q)＝0,即0.08Q-0.8＝0,解得Q＝10。

把Q＝10代入AVC＝0.04Q2-0.8Q+10Q，得：AVC＝0.04×100-0.8×10+10＝6。

3.已知生产函数为 （1）12335Q L K =； （2）KLQ K L=+； （3）2Q KL =；（4）()min 3,Q L K =。

求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。

（2）当1,1,1000L K P P Q ===时，厂商实现最小成本的要素投入组合。

解：（1）12335Q L K =，所以，劳动的边际产量，资本的边际产量如下:2233113353103L K MP L KMP L K --== 生产要素的最优组合方程22331133532103L L L L K K K K L KMP P P P KMP P P L P L K --=⇒=⇒= 即，2LKP K L P =⋅，为长期生产的扩展线方程 又已知1,1,1000L K P P Q ===时，2L KPK L P =⋅2K L ⇒=，带入生产函数12335Q L K =得()12233352521000Q L L L L ==⨯=⇒= 2K L ==（2）因为生产函数为 KLQ K L=+ ()()()222L K K L KLKL K MP K L K L K L '+-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭++()()()222K L K L KLKL L MP K L K L K L '+-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭++ 生产要素的最优组合方程()()222222L L L LK K K KK K L MP P P P K L MP P P L P K L +=⇒=⇒=+ 即，12L K P K L P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为长期生产的扩展线方程当1L K P P ==时，K L =，带入生产函数KLQ K L=+ 得，210002L L=，所以，2000L K ==（3）生产函数2Q KL =，可得：2L MP KL =，2K MP L = 生产要素的最优组合2212L L L L K K K KMP P P PKL K L MP P L P P =⇒=⇒=•• 又因为1L K P P ==，带入长期生产的扩展线方程得，12K L =带入生产函数得：23110002Q KL L L =⇒=⇒=K =（4）()min 3,Q L K =是固定比例生产函数，厂商按照31K L =的固定投入比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线3K L =上，即长期生产的扩展线为3K L =，331000Q K L K L ==⇒==，所以，1000K =，10003L =4.已知某企业的生产函数为2133Q L K =，劳动的价格2w =，资本的价格1r =。