一元二次方程根与系数的关系优质课件

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则：
x1 x2 4
2 1 2 2
x1 x2
2
1
＝
x x ( x1 x2 ) 2 x1 x 2
2
14
( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ＝ 12
提升练习
1.已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0 当m= －1 时,此方程的两根互为相反数.
2
当m= 分析:1. 2.
1 时,此方程的两根互为倒数.
x1 x2 2m 1 1
x1 x2 m 1 0
2.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两 个实数根x1、x2.
（1）求实数m的取值范围； （2）当x12-x22=0时，求m的值.
探究：
解：由根与系数的关系 得 解得：k=4 或k=－2 x1+x2=-k， x1x2=k+2 ∵ △= K2-4k-8
3.以2和 －３为根的一元二次方程
x x 6 0 （二次项系数为１）为：___ ____ _
2
例题学习：
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
解法一：设方程的另一个根为x2.
由根与系数的关系，得 解这方程组，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k x2 =－3 k =－ 2
=0
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
基础练习二：已知两根求作新的方程
2.以
2
为两根的一元二次方程 (二次项系数为1)为:
________________________________
x ( x1 x2 ) x x1 x2 0
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
想一想：还有其他的方法吗？
设方程的另一个根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
2
如 果ax bx C 0(a 0)的 两 根 分 别 是 b c x1 , x 2 则 有 x1 x 2 a ; x 1 . x 2 a 2、理解识记根与系数的关系；
3、灵活运用根与系数关系解决问题.
{
△= 4m 2 4m(m 1) 0
m 1 x1 x 2 0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
小结一元二次方程两根的关系
一正根，一负根 两个正根 △≥0
X1X2＞0 X1+X2＞0 两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
{
{
△≥0 X 1 X 2＞ 0
X1+X2＜0
小结：
1.一元二次方程根与系数的关系：
b ⑵在使用X1+X2=－ a
⑴不是一般式的要先化成一般式；
时， 注意“－ ”不要漏写。
注：用公式的前提条件△=b2-4ac≥0
1.说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 - 3x +
1 2
x1+x2=2
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x 1 x 2= 4
x1
2 已知方程 的两个实数根 x kx k 2 0 2 2 是 x1, x2 且 x1 x2 4 ， 求k的值.
又
x12+ x2 2 = 4
当k=4时， △=-8＜0
∴k=4(舍去）
即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0
当k=-2时，△=4＞0
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
4. x1 x2
( x1 x 2 ) 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2
试一试：
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。 解：设方程的另一个根为x2, 19 16 则x2+1= 3 , ∴ x2= 3 , 又x2 1=
. .
说一说：
1.说出一元二次方程的一般式
ax2+bx+c=0 (a≠0)
公式的推导过程
2.说出一元二次方程求根公式
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
思考
求出下列一元二次方程的两根x1、x2。并计算 X1+x2和x1x2的值.思考他们与方程的系数有什么关
系？
重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：根与系数的关系及其推导。 2．教学难点：正确理解根与系数的关系。 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是 指一元二次方程两根的和，两根的积与系数 的关系。 4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须 注意△≥0这个前提条件，而应用判别式的前提条 件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数 a≠0 因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含 条件a≠0 △≥0
探索2：ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
b b 2 4ac b b 2 4ac x x1 2a 2a 2 4ac 2 4ac b b X1+x2 = b b + 2a 2a
2
2b b = = 2a a
X 1x2
=
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
4ac 4a 2
c = a
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
b 那么 x1+x2= a
,
c x 1x 2 = a
在使用根与系数的关系时，应注意：
∴ k=-2
中考链接：
（2013•荆州）已知：关于x的方程 kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2, 且│x1－x2│=2,求k的值.
课外探究：
2 mx 方程 2mx m 1 0(m 0)
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知,
1.x2+3x-4=0 x1=1 x2=-4 X1+x2=-3 x1x2 =-4 3.x2+4x-5=0； x1=1 x2=-5 X1+x2=-4 x1x2=-5 2. x2-7x+12=0
x1=3 x2=4 X1+x2=7 x1x2=12 4.x2+2x-8=0 x1=2 x2=-4 X1+x2=-2 x1x2=-8
不解方程，求：
（ 1） x 2
1
x
2 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
（3）( x1 1)(x2 1) ; (4)
x1 x2
.
另外几种常见的求值:
1 1 x1 x2 1. x1 x2 x1 x2
2 x1 x 2 x12 x2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 2. x 2 x1 x1 x2 x1 x2
●
m , 3
∴ m= 3x2 = 16
3 x2= 解： 由根与系数的关系,得 x1+x2= - 2 , x1 · 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求 (x1+1)(x2+1)的值.
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1
3 =-2+( 2
)+1=
一元二次方程的 根与系数的关系
（韦达定理）
韦达
教学目标
1. 理解识记一元二次方程根与系数的关系式 ，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出 另一个根与未知系数。 2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分 析、观察、归纳的能力和推理论证的能力； 3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到 一般，再由一般到特殊的认识事物的规律 .