第1章线性规划
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第一章 线性规划
-2 2
产量需求（L） 越多越好 不少于 250000
不大于 9.96×10
-2
解：设 x1 , x 2 , x3 , x 4 分别为飞机汽油 1 种所用标准汽油 1，2，3，4 的数量（L）；设
x5 , x6 , x7 , x8 分别为飞机汽油 2 中所用标准汽油 1，2，3，4 的数量（L）。
在化学中有一个“分压定律”，可描述为“设有一混合气体，由 n 种气体组成。令混 合气体的压力为 P， 所占总容积为 V， 各组成成份的压力及其所占容积分别为 p1 , p 2 ,
牲畜每日每头需要量
试决定买 M 与 N 二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为最少？ 解：设购买 M、N 饲料各为 x1、x2，则线性规划模型为：
2
Min z = 10 x1 + 4 x 2 ⎧0.1x1 + 0 x 2 ≥ 0.4 ⎪ ⎪0 x1 + 0.1x 2 ≥ 0.6 s.t.⎨0.1x1 + 0.2 x 2 ≥ 2.0 ⎪0.2 x1 + 0.1x 2 ≥ 1.7 ⎪ ⎩ x1 , x 2 ≥ 0
⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x + 5 x 2 ≤ 200 s.t ⎨3x 1 + 10 x ≤ 300 1 ⎪x , x ≥ 0 2 ⎩ 1 2
(1-6)
该约束中的每个不等式表示一个半平面，其公共部分即为可行域，如图 1.1 的阴影部分
产量需求（L） 越多越好 不少于 250000
不大于 9.96×10
-2
解：设 x1 , x 2 , x3 , x 4 分别为飞机汽油 1 种所用标准汽油 1，2，3，4 的数量（L）；设
x5 , x6 , x7 , x8 分别为飞机汽油 2 中所用标准汽油 1，2，3，4 的数量（L）。
在化学中有一个“分压定律”，可描述为“设有一混合气体，由 n 种气体组成。令混 合气体的压力为 P， 所占总容积为 V， 各组成成份的压力及其所占容积分别为 p1 , p 2 ,
牲畜每日每头需要量
试决定买 M 与 N 二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为最少？ 解：设购买 M、N 饲料各为 x1、x2，则线性规划模型为：
2
Min z = 10 x1 + 4 x 2 ⎧0.1x1 + 0 x 2 ≥ 0.4 ⎪ ⎪0 x1 + 0.1x 2 ≥ 0.6 s.t.⎨0.1x1 + 0.2 x 2 ≥ 2.0 ⎪0.2 x1 + 0.1x 2 ≥ 1.7 ⎪ ⎩ x1 , x 2 ≥ 0
⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x + 5 x 2 ≤ 200 s.t ⎨3x 1 + 10 x ≤ 300 1 ⎪x , x ≥ 0 2 ⎩ 1 2
(1-6)
该约束中的每个不等式表示一个半平面，其公共部分即为可行域，如图 1.1 的阴影部分
第1章线性规划
s.t.
a11x1 +a12x2 +…+a1nxn≤b1
a21x1 +a22x2 +…+a2nxn≤b2
………
ax1m，1x1x+2a，m2…x2 +，…x+n a≥mn0xn≤bm
其中，目标函数可以为min的形式，函数约束 中“≤”可以为“＝”或“≥”，变量的非负 性限制也可以取消。
以上模型可简写为：
在使用单纯形法解决问题中，必须对线 性规划的一般形式进行变形，化为标准形式。
线性规划的标准形式： n
max z = c j x j
j 1
s.t.
n
j 1
aij x j
bi
(i 1,2,m)
xj 0
( j 1,2,n)
①目标函数取极大化， ②约束条件全为等式，
③约束条件右端常数项均为非负值，④变量
例：将以下线性规划问题转化为标准形 式
min f = -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0
第一章线性规划
-1-
第一章 线性规划
§1 线性规划
在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？
上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2
1,x x 应满足
（目标函数）2134max x x z += (1)
s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0
,781022122
121x x x x x x x （2）
这里变量21,x x 称之为决策变量，
（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性
第1章：线性规划
max z 90x1 70x2 x1 x2 16 3x1 2 x2 36 s.t. 5 x2 65 x ,x 0 1 2
(a ) (b ) (c ) (d )
max z 90x1 70x2
x2
(c)
(4,12)
可行域
x1 x2 16 3x1 2 x2 36 5 x2 65 x ,x 0 1 2
(a ) (b ) (c ) (d )
(a)
0
(b) 等值线
x1
∴ 最优解：x1 = 4， x2 = 12
最优目标函数值：z = 1200
四、线性规划问题解的可能结果
（一）无穷多最优解
max z 90x1 60x2
x2
(c)
x1 x2 16 3x1 2 x2 36 5 x2 65 x ,x 0 1 2
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的提出
(引例) 配比问题—— 用浓度为45%和92%的硫酸配置 100t浓度
为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t, 则有：
求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选 （30%，45%，73%，85%，92%）会出现什麽 情况？ 取这5种硫酸分别为x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有：
(a ) (b ) (c ) (d )
max z 90x1 70x2
x2
(c)
(4,12)
可行域
x1 x2 16 3x1 2 x2 36 5 x2 65 x ,x 0 1 2
(a ) (b ) (c ) (d )
(a)
0
(b) 等值线
x1
∴ 最优解：x1 = 4， x2 = 12
最优目标函数值：z = 1200
四、线性规划问题解的可能结果
（一）无穷多最优解
max z 90x1 60x2
x2
(c)
x1 x2 16 3x1 2 x2 36 5 x2 65 x ,x 0 1 2
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的提出
(引例) 配比问题—— 用浓度为45%和92%的硫酸配置 100t浓度
为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t, 则有：
求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选 （30%，45%，73%，85%，92%）会出现什麽 情况？ 取这5种硫酸分别为x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有：
运筹学第1章-线性规划
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1. 2图解法
图解法就是利用几何图形求解两个变量线性规划 问题的方法，具有简单、直观的特点，但只适用 于两个变量的线性规划((LP)问题，这是图解法的 局限性。图解法虽然不能解决三个以上变量的线 性规划问题，但通过学习图解法，可以帮助我们 掌握求解线性规划问题的思路以及线性规划问题 解的类型(可能性)。
1.3 普通单纯形法
对于约束条件AX=(B,N) (XB，XN)T =BXB+NXN=b，在等式两端左 乘B-1，有XB+B-1NXN=B-1b，即XB=B-1b-B-1NXN。若令XN=0, XB=B1b。
对于目标函数Z=CX=(CB，CN)(XB，XN)T=CBXB+CNXN，将“B-1bB-1NXN”代人后，有Z=CB (B-1b-B-1NXN)+CNXN=CBB-1b+(CN一 CBB-1N)XN，令XN = 0 , Z=CBB-1b。其中“CN-CBB-1N”为非基变 量检验数，通常用“σN=CN-CBB-1N”表示。对于某一非基变量的 检验数，也可表示为“σj=cj-Zj。同理，基变量检验数为“σB=CBCBB-1B”，因此基变量的检验数为零。所有检验数可表示为 “σ=C-CBB-1 A”。上述推导过程可用表1一11和表1一12表示(其 中，E为单位矩阵，即B-1B=E)，称为单纯形表。
(2)单纯形法原理。 对于公式(1-7)，可令A=(P1，P2，…，Pm，Pm+1，…，Pn)，其中
第一章_线性规划
x1, x2 , , xn 0
(1.1)
(1.2) (1.3)
在该数学模型中，方程(1.1)称为目标函数；(1.2)称为约 束条件；(1.3)称为变量的非负约束条件。
二、线性规划问题的标准型
由前面所举的例子可知，线性规划问题可能有各种不
同的形式。目标函数有实现最大化也有实现最小化的； 约束条件可以是“”形式、“”形式的不等式，也可 以是等式。决策变量有时有非负限制，有时没有。这种 多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
4. 基本可行解 : 满足非负条件(1.8)的基本解称为基本可 行解。由此可见，基本可行解的非0分量的数目不大于m， 并且都是非负的。
5. 可行基: 对应于基本可行解的基称为可行基。由此可 见，满足约束方程组(1.7)的基本解的数目至多是 Cnm 个。一 般地讲，基本可行解的数目要小于基本解的数目，至多相等 。
我们称 A 为约束方程组的系数矩阵( m×n阶)，一般情况 下 m < n , m , n 为正整数，分别表示约束条件的个数和决策变 量的个数，C 为价值向量，X 为决策向量，通常aij , bi , cj ( i = 1, 2, ···, m ，j = 1, 2, ···, n ) 为已知常数。
实际上，具体问题的线性规划数学模型 是各式各样的，需要把它们化成标准型，并 借助于标准型的求解方法进行求解。
第一章 线性规划
第1章线性规划
Chapter 1 Linear Programming
本章内容提要
线性规划是运筹学的重要内容。本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：
⏹线性规划模型的结构
⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式
⏹线性规划的图解以及相应的概念。包括：约束直线，可行半空间，可行解，
可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解
⏹线性规划的基本概念。包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变
量，进基变量，离基变量，基变换
⏹单纯形法原理。包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择
进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算
⏹单纯形表。包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法
⏹初始基础可行解，两阶段法
⏹退化的基础可行解
§1.1 运筹学和线性规划
1.1.1 运筹学
运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网
络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
第一章 线性规划
第1章线性规划
Chapter 1 Linear Programming
本章内容提要
线性规划是运筹学的重要内容。本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：
⏹线性规划模型的结构
⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式
⏹线性规划的图解以及相应的概念。包括：约束直线，可行半空间，可行解，
可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解
⏹线性规划的基本概念。包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变
量，进基变量，离基变量，基变换
⏹单纯形法原理。包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择
进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算
⏹单纯形表。包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法
⏹初始基础可行解，两阶段法
⏹退化的基础可行解
§1.1 运筹学和线性规划
1.1.1 运筹学
运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网
络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
第一章 线性规划
产品 消耗 原料
A
B
C
D 2.67 4.66 1.37 9.91
不秀钢所需各元素 的最低含量
1.89 3.57 5.32 单价（万元/吨） 13.6 铬 锰 镍
3.46 4.26 2.11 1.45 4.25 2.72 15.8 10.02
3.25 2.15 4.55
二、线性规划问题的数学模型的一般形式
产品 消耗 原料
原料总量（千克）
甲
乙
丙
A B C
产品单价（百元）
1 5 0 2
4 2 2 4
Biblioteka Baidu
2 3 5 5
4500 6300 3800
• 例2.某工厂熔炼一种新型不锈钢，需要用四种 合金ABCD为原料，经测这四种原料关于元素 铬、锰和镍的含量、单价，以及这种不锈钢所 需铬、锰和镍的最低含量，如表所示：
序号
食品 名称
热量
（大卡） 大卡）
蛋白质
（克）
钙
（毫克） 毫克）
脂肪
价格
（克） （元/千克） 千克） 千克
1 2 3 4 5 6 7 8
猪肉 牛肉 芝麻 鸡蛋 大米 白菜 面粉 豆角
395 125 517 144 346 17 344 30
50 19.9 18.4 13.3 7.4 1.5 11.2 2.5
A
B
C
D 2.67 4.66 1.37 9.91
不秀钢所需各元素 的最低含量
1.89 3.57 5.32 单价（万元/吨） 13.6 铬 锰 镍
3.46 4.26 2.11 1.45 4.25 2.72 15.8 10.02
3.25 2.15 4.55
二、线性规划问题的数学模型的一般形式
产品 消耗 原料
原料总量（千克）
甲
乙
丙
A B C
产品单价（百元）
1 5 0 2
4 2 2 4
Biblioteka Baidu
2 3 5 5
4500 6300 3800
• 例2.某工厂熔炼一种新型不锈钢，需要用四种 合金ABCD为原料，经测这四种原料关于元素 铬、锰和镍的含量、单价，以及这种不锈钢所 需铬、锰和镍的最低含量，如表所示：
序号
食品 名称
热量
（大卡） 大卡）
蛋白质
（克）
钙
（毫克） 毫克）
脂肪
价格
（克） （元/千克） 千克） 千克
1 2 3 4 5 6 7 8
猪肉 牛肉 芝麻 鸡蛋 大米 白菜 面粉 豆角
395 125 517 144 346 17 344 30
50 19.9 18.4 13.3 7.4 1.5 11.2 2.5
第一章 线性规划
非负约束： x1 , x2 ≥0
生产能力 h 16 10 32
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
2. 物资运输问题
2个供货源A1,A2
销地
货源地
R1
R2
R3 产量
3个需求市场R1,R2,R3
产量、销量、单位运费如表
A1
3 4 5 15
A2
223 5
统一筹划运销的最小运费方案 销量 5 10 5
010 B2 2 0 1
400
x1 0 x2 8 x3 16 x4 6 x5 0
第二节 下午5时14分 线性规划的单纯型法
二、线性规划之解的概念
1、线性规划解之关系
通过上例的分析，我们对线性规划解的概念有了初步的感官 了解
基矩阵：一个非奇异的子矩阵（线性无关）。 矩阵A中任意m列的线性无关子矩阵B ，称为一个基。 组成基B的列为基向量，用Pj表示(j=1,2,…,n) 。
基变量：
与基向量Pj 相对应的m个变量xj称为基变量
其余的n - m个变量为非基变量 基解：令所有非基变量等于零，得出基变量的唯一解 。
第二节 下午5时14分 线性规划的单纯型法
二、线性规划之解的概念
1、线性规划解之关系
可行解：满足约束条件AX=b, X≥0的解。 可行基：可行解对应的基矩阵。 基可行解：满足非负性约束的基解称为基可行解。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
运筹学第一章线性规划
第一章 线性规划
内容
1
线性规划及其建模
2
图解法
3
线性规划的标准形式
4
单纯形法
5
大M法和两阶段法
6
几种特殊情况的解
第一节 线性规划的数学模型
一、线性规划简介
1、线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹 学中研究比较早，理论上比较成熟，在方法上有效，应用 广泛的一个分支。
1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的 希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定 交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 19
二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
b1
b2
Xm＝
bm
－
a1m1 a2m1 amm1
Xm＋1
a1n
a2n
－用…向－量的am形n 式Xn表示为：(1.j1m18a) j x j
b
n
ajxj
j m1
(1.19)
方程组的基是B，设XB是对应于这个基的基变量，XB=（
内容
1
线性规划及其建模
2
图解法
3
线性规划的标准形式
4
单纯形法
5
大M法和两阶段法
6
几种特殊情况的解
第一节 线性规划的数学模型
一、线性规划简介
1、线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹 学中研究比较早，理论上比较成熟，在方法上有效，应用 广泛的一个分支。
1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的 希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定 交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 19
二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
b1
b2
Xm＝
bm
－
a1m1 a2m1 amm1
Xm＋1
a1n
a2n
－用…向－量的am形n 式Xn表示为：(1.j1m18a) j x j
b
n
ajxj
j m1
(1.19)
方程组的基是B，设XB是对应于这个基的基变量，XB=（
第一章 线性规划
n
m
n aij x j x si bi s.t . j 1 x 0 j
i 1,, m
X 0,,0, b1 ,, bm
3-4 从初始基可行解转换为另一个基可行解
0 0 0 设初始基可行解为 X 0 x1 , x 2 , , x n
3、基：设A为约束方程组的m×n阶系数矩 阵 （n＞m），其秩为m. B是矩阵A中的一 个m×m阶的满秩子矩阵，称B是线性规划 问题的一个基。 m ※4、基解：不超过 C n 个.
5、基可行解：满足变量非负的基解. 6、可行基：对应于基可行解的基.
基：设A为约束方程组的m×n阶系数矩阵 （n＞m），其秩为m. B是矩阵A中的一个 m×m阶的满秩子矩阵，称B是线性规划问 题的一个基.
10x1 12x2 18
3、变量：为非负 （1）当取值无约束变量时
变为 x x xx 0, x 0
（2）当 x j 0 时 变为 x j x j
例3、将下述线性规划化为标准形式
minz x1 2x2 3x3
2 x1 x 2 x3 9 3 x x 2 x 4 1 2 3 3x1 2 x 2 3x3 6 x1 0, x 2 0, x3 无约束
max z x1 2 x2 3x3 3x3 0 x4 0 x5
交通运筹学第1章 线性规划
1
1 X ,0 1
2
20
9
【例1.4】将例1.2的约束条 件改为， x1 2 x 2 20 2 x1 x 2 20 x , x 0 1 2
2x1 x2 20
20
目标函数不变，则可行域如图 所示，A点是最小值点，要达 到最大值，目标函数值可在 可行域中沿梯度方向继续平 10 x1 ，x2 及Z 移直到无穷远， 都趋于无穷大（无上界）， 这种情形称为无界解，也即 为无最优解。
1.1.2数学模型 线性规划的数学模型由决策变量、目标函数与约束条件三 个要素构成，其特征是： （1）解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 求最大值或最小值； （2）解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
3
线性规划是研究线性约束条件下线性目标函数的极大值或极小值问题的数学 理论和方法；线性规划的数学模型由决策变量、目标函数与约束条件三个要 素构成。则线性规划数学模型的一般表达式可写成为：
工厂2
400万立方米/天
200万立方米/天
5
解 设，分别为第一个和第二个化工厂每天应处理工业污水的量。 根据河流中工业污水的含量应不大于0.2%的要求，可建立以下不等式：
0.75 2.5 x1 1.6 x2 / 600 2 / 1000
由于每个工厂每天处理的工业污水量不会大于每天的排放量，故有： x1 2.5 x2 1.6 经整理，得到下列线性规划模型：
4-运筹学B-第1章线性规划
甲
乙
丙 原料成本 (元/kg) 每月限制用量 (kg)
A
≥60% ≥30%
2.00
2000
B
1.50
2500
C
≤20% ≤50% ≤60%
1.00
1200
加工费 (元/kg) 0.50 0.40 0.30
售价 (元/kg) 3.40 2.85 2.25
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少kg，利润最大？
B2
B3
B4
产量
A1
3
2
6
3
10
A2
5
3
8
2
8
A3
4
1
2
9
5
需求量
5
7
8
3 23/23
2019/6/5 14
OR:SM
解：设 xij (i=1,2,3；j=1,2,3,4)为 i 个产粮地运往第 j 个需求 地的运输量，这样得到下列运输问题的数学模型：
min Z 3x11 2x12 6x13 3x14 5x21 3x22 8x23 2x24 4x31 x32 2x33 9x34
例：某产品商有三个供货源A1、A2、A3，其经销商有 4个（需求市场）B1、B2、B3、B4。已知各厂的产量、
各经销商的销售量及从 Ai 到 Bj 的单位运费为Cij。问如 何调配运输方案，使总运费最小？
第一章 线性规划
(5)
max z = cX R = X AX = b,X 0
XR
五、化非标准形为标准形
（1）若min f=cX
此时可令：z =－f，则max z=－min f =－cX， 这样处理所得最优解不变；
举例：
min z =－x1－x2 2x1 + x2≤2
－x1 + x2≤1 x1、x2≥0
max f =x1+ x2
优解一定可以在其可行域的某个顶点上得到；
第四节 单纯形法 (simplex method)
• 基本思想：在有限的基可行解中寻找最优解。即，从初始基
可行解出发，转换到另一个基可行解，使目标值增大，直到达到 最优解，或判断出无最优解为止。
一、引例 用单纯形方法求解下列线性规划
max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0 解：化为标准型 max z=6x1+4x2+0x3+0x4 2x1 + 3x2 + x3 =100 4x1 + 2x2 +x4 =120 x1、x2，x3，x4 ≥0
该LP的一个基；
– 相应的
P1，P2，…，Pm——为基向量；
– 与之对应的变量 x1，x2，…，xm——基变量，记为： XB= （x1，x2，…，xm）T ；
管理运筹学讲义 第1 章 线性规划
第1 章 线性规划
学习要点 Sub title
线性规划模型的结构及建模步骤 线性规划的图解法及解的可能性 线性规划的标准型及其转化方法 正确理解可行解、可行域、最优解 了解基矩阵、基变量、非基变量、基可行解 线性规划的单纯形法原理和解的判定
1
OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
OR:SM
销售平衡条件
非负性约束
6
第一节 线性规划的一般模型
二、线性规划模型的举例
3、产品配比问题
例：用浓度45%和92%的硫酸配置100吨浓度80%的硫酸。
决策变量：取45%和92%的硫酸分别为 x1 和 x2 吨 约束条件： x1 x2 100 0.45x1 0.92x2 0.8 100 非负约束：
2 OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
二、线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例. 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部件分别在 设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算得到相关数据如表 所示。应如何制定生产计划，使总利润为最大。 产品 工时消耗 工时成本 生产能力 h 设备 甲 乙 元/h A 2 0 20 16 B 0 2 15 10 C 3 4 10 32 据市场分析，单位甲乙产品的销售价格分别为73和75元，试确定 获利最大的产品生产计划。
学习要点 Sub title
线性规划模型的结构及建模步骤 线性规划的图解法及解的可能性 线性规划的标准型及其转化方法 正确理解可行解、可行域、最优解 了解基矩阵、基变量、非基变量、基可行解 线性规划的单纯形法原理和解的判定
1
OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
OR:SM
销售平衡条件
非负性约束
6
第一节 线性规划的一般模型
二、线性规划模型的举例
3、产品配比问题
例：用浓度45%和92%的硫酸配置100吨浓度80%的硫酸。
决策变量：取45%和92%的硫酸分别为 x1 和 x2 吨 约束条件： x1 x2 100 0.45x1 0.92x2 0.8 100 非负约束：
2 OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
二、线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例. 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部件分别在 设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算得到相关数据如表 所示。应如何制定生产计划，使总利润为最大。 产品 工时消耗 工时成本 生产能力 h 设备 甲 乙 元/h A 2 0 20 16 B 0 2 15 10 C 3 4 10 32 据市场分析，单位甲乙产品的销售价格分别为73和75元，试确定 获利最大的产品生产计划。
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例1.1的线性规划模型:
M ax z 300 x1 500 x2
x1
4
s.t.
3
x
1
2x2 12 2x2 18
x 1 , x 2 0
这是一个典型的利润最大
化的生产计划问题。其中 ，“Max”是英文单词 “Maximize”的缩写，含 义为“最大化”；
“s.t.”是“subject to”的缩 写，表示“满足于……”。 因此，上述模型的含义是
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
在Excel电子表格中建立线性规划模型 用Excel“规划求解”工具求解线性规划问 题 使用单元格命名 建好电子表格模型的几个原则
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
在用电子表格建立数学模型（这里是一个线性规 划模型）的过程中，有三个问题需要得到回答：
特别提醒：上机实验报告中的线性规划模型要求手写， 每人每章交一次手写作业，老师改20％（助教改80％） ，根据平时作业情况给平时成绩
例1.2 某公司有100万元的资金要投资(要求 全部用完)。该公司有六个可选的投资项目， 其各种数据如表1-2所示。
投资项目 1 2 3 4 5 6
风险（%） 红利（%） 增长（%）
18
4
22
6
5
7
10
9
12
4
7
8
12
6
15
8
8
8
信用度 4 10 2 10 4 6
1.1 线性规划问题及其数学模型
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最 低平均信用度为7。请用线性规划 方法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解： （1）决策变量
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6） （2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
M i n z 0 . 1 8 x 1 0 . 0 6 x 2 0 . 1 0 x 3 0 . 0 4 x 4 0 . 1 2 x 5 0 . 0 8 x 6
线性规划问题的可行域 无界，是指最大化问题 中的目标函数值可以无 限增大，或最小化问题 中的目标函数值可以无 限减少。 在 例 1.1 中 ， 如 果 没 有 车间可用工时的约束， 但要求门与窗的总产量 不得少于4。
上机实验一 线性规划
（－）实验目的：安装Excel软件“规划求解”加载宏，用 Excel软件求解线性规划问题。 （二）内容和要求：安装并启动软件，建立新问题，输入模型 ，求解模型，结果的简单分析。 （三）实例操作：求解习题1.1（或其他例题、习题、案例等）。
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
无解
当线性规划问题中的约 束条件不能同时满足时 ，无可行域的情况将会 出现，这时不存在可行 解，即该线性规划问题 无解。 在例1.1中，若要求门 的每周产量不得少于6 ，则需再加上一个约束 条件：x16
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
可 行 域 无 界 （ 目 标值不收敛）
（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决定企 业经营目标的各产品的产量等。
（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。例如 利润最大、成本最小等。
（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材料供 应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能 到达的程度。
1.1 线性规划问题及其数学模型
问该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划， 可使总利润最大？
1.1 线性规划问题及其数学模型
在该问题中，目标是总利润最大化，所要决策的变 量是新产品的每周产量，而新产品的每周产量要受 到三个车间每周可用于生产新产品时间的限制。因 此，该问题可以用目标、决策变量和约束条件三个 因素加以描述。
实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：
这是一个典型的成本（或风险）最小化问题。其中，
“Min”是英文单词“Minimize”的缩写，含义为“最小化
”。因此，上述模型的含义是：在给定的条件限制下，求使 得目标函数z达到最小时的x1,x2,x3,x4,x5,x6取值
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划的模型结构:
从以上两个例子中可以归纳出线性规划问题的一般
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的 解 。 例 1.1 就 是 一个具有唯一解的 规划问题。
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
无穷多解
线性规划问题具有无 穷多解是指该规划问 题有无穷多个既在可 行域内、又使得目标 值达到最优的解。 在例1.1中，设门的 单位利润从300元增 加至750元，这时该 问题的解将发生变化
1.1 线性规划问题及其数学模型
（3）约束条件 本问题共有五个约束条件: ① 各项目投资总和为100万元; ② 每年红利至少为6.5万元; ③ 最低平均增长率为12%; ④ 最低平均信用度为7; ⑤ 非负约束。
1.1 线性规划问题及其数学模型
得到的线性规划数学模型为：
Minz=0.18x10.06x2 0.10x30.04x4 0.12x5 0.08x6
z = 300x1＋500x2 （元）
1.1 线性规划问题及其数学模型
（3）约束条件 本问题的约束条件共有四个。
➢车间1每周可用工时限制：x1 4 ➢车间2每周可用工时限制：2x2 12 ➢车间3每周可用工时限制：3x1 +2x2 18 ➢非负约束:x1 0, x2 0
1.1 线性规划问题及其数学模型
（1）建立电子表格模型：输入数据、给单元格命名、输入公式等； （2）使用Excel软件中的规划求解工具求解模型； （3）结果分析：如五种家具各生产多少？总利润是多少？哪些工序
的时间有剩余，并对结果提出你的看法； （4）在Excel或Word文档中写实验报告，包括线性规划模型、电子
表格模型和结果分析等。
Excel提供许多有效的工具来帮助用户进行模型调试，其 中一个工具是电子表格的输出单元格在数值和公式之间进 行切换（“工具”－>“选项”－>“视图”－>“公式” ）。Excel的“审核”工具栏也提供了几个有用的工具。
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
解：例1.1可用表1-1表示。
车间
1 2 3
单位产品的生产时间（小时）
门
窗
1
0
0
2
3wenku.baidu.com
2
每周可获得的生产 时间（小时）
4 12 18
单位利润（元）
300
500
1.1 线性规划问题及其数学模型
（1）决策变量 本问题的决策变量是每周门和窗的产量。 可设：x1为每周门的产量（扇）；
x2为每周窗的产量（扇）。 （2）目标函数 本问题的目标是总利润最大。由于门和窗的单位 利润分别为300元和500元，而其每周产量分别为 x1和x2，所以每周总利润z为：
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第1章 线性规划 Linear Programming
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型； 线性规划问题的电子表格建模； 线性规划问题的多解分析。
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型 1.2 线性规划问题的图解法 1.3 用Excel“规划求解”工具求解线性规划问
(1-1)
(1-2) (1-3)
1.1 线性规划问题及其数学模型
在线性规划模型中，也直接称z为目标函数； 称xj(j=1,2,,n) 为决策变量；称cj(j=1,2,,n) 为目标函数系数或价值系数或费 用系数；称bi(i=1,2,,m)为函数约束右端常数或简称右端值， 也称资源常数；称aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)为约束系数或技术
（1）要作出的决策是什么？（决策变量） （2）在作出这些决策时，有哪些约束条件？
（约束条件） （3）这些决策的目标是什么？（目标函数）
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
用Excel“规划求解”工具求解线性规划问题
（P8 有界变量单纯形法和分支定界法） （如果“工具”菜单中没有“规划求解”选项，请参见 SOLVER文件夹下的“Excel规划求解工具的安装说明.doc”）
题 1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
数
学
模
型
三要
素
决 策 变 量 目 标 函 数
约 束 条 件
线
性
规
划
求
解
图 解 法
E
x
c
e
l
软
件
求
解
求
解
的
几
种可
能
结果
唯 一 解
无 穷 多 解
无
解
可 行 域 无 界
1.1 线性规划问题及其数学模型
例1.1 某工厂要生产两种新产品：门和窗。经测 算，每生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车 间3加工3小时；每生产一扇窗需要在车间2和车 间3各加工2小时。而车间1每周可用于生产这两 种新产品的时间为4小时、车间2为12小时、车 间3为18小时。已知每扇门的利润为300元，每 扇窗的利润为500元。而且根据经市场调查得到 的该两种新产品的市场需求状况可以确定，按当 前的定价可确保所有新产品均能销售出去。
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
在用Excel的“规划求解”工具求解线性规划问题，为单元格命名能使线 性规划问题的电子表格模型更加容易理解。主要表现在两个方面： （1）在公式中使用名称使人们更容易理解公式的含义； （2）在“规划求解参数”对话框中使用名称使人们更加容易理解线性规 划模型的含义。 所以，一般给跟公式和模型有关的四类单元格命名。例如：在例1.1电子 表格模型中，单元格命名如下： （1）数据单元格：单位利润（C4:D4）、可用工时（G7:G9）； （2）可变单元格：每周产量（C12:D12）； （3）输出单元格：实际使用（E7:E9）； （4）目标单元格：总利润（G12）。
系数或工艺系数。这里，cj，bi，aij均为常数。
线性规划的数学模型可以表示为下列简洁的形式：
n
Max(Min) z cj xj j 1
s.t.
n
aij x j
j1
(, )
bi
( i 1, 2,
, m)
x
j
0
(
j
1, 2,
, n)
1.2 线性规划问题的图解法
对于只有两个变量的 线性规划问题，可以 在二维直角坐标平面 上作图求解。 可行域与最优解 线性规划的图解法
形式：对于一组决策变量x1,x2,xn，取
Max(Min) z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2
s.t.
a21x1
a22 x2
am1x1 am2x2
x1, x2,
a1nxn (, ) b1 a2nxn (, ) b2
amnxn (, ) bm , xn 0
：在给定的条件限制下， 求使得目标函数z达到最大 时x1，x2的取值。
1.1 线性规划问题及其数学模型
本章讨论的问题均为线性规划问题。所 谓“线性”规划，是指如果目标函数是 关于决策变量的线性函数，而且约束条 件也都是关于决策变量的线性等式或线 性不等式，则相应的规划问题就称为线 性规划问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
x1 x2 x3 x4 x5 x6 100
s.t.
0 0..2024xx1100..0075xx22
0.09x3 0.12x3
0.07x4 0.06x5 0.08x6 0.08x4 0.15x5 0.08x6
6.5 12
4x1 10x2
2x3 10x4 4x5
6x6 700
x1， x2， x3， x4， x5， x6 0
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
1.3 用Excel“规划求解”工具求 解线性规划问题
电子表格建模是一门艺术，建立一个好的电子表格模型 应遵循以下几个原则：
（1）首先输入数据； （2）清楚地标识数据； （3）每个数据输入到唯一的单元格； （4）将数据与公式分离； （5）保持简单化（使用SUMPRODUCT函数、SUM函数、中间结果 等）； （6）使用区域名称； （7）使用相对引用和绝对引用简化公式的复制； （8）使用边框、底色来区分单元格类型（四类单元格）； （9）在电子表格中显示整个模型（包括符号和数据）。