第五章 特征值和特征向量 矩阵对角化

第五章 特征值和特征向量 矩阵对角化习题5.11．解：(A) 设1100,2204A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 因为秩(A )=秩(B )所以A 与B 等价; 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(A)不正确.(B) A 与B 相似, 即存在可逆矩阵P 使得1P A P B -=, 所以秩(A )=秩(B ),因此A与B 等价. (B)是正确的.(C) 与(A)一样, 设1100,2204A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,秩(A )=秩(B ), 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(C)不正确.(D) 与(A)一样, 设1100,2204A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,｜A ｜=｜B ｜, 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(D)不正确.7．解：(1) 因为210010252252(1)(3)241241E λλλλλλ-⎡⎤⎢⎥---=-=--⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦, 所以特征值为1,1,3.求解方程组 100(252)241E X O ⎡⎤⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 得属于特征值1的特征向量为 [][]1122,1,01,0,1TTk k ξ=+- (其中12,k k 为不同时为零的任意数).求解方程组100(3252)241E X O ⎡⎤⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 得属于特征值3的特征向量为 []230,1,1Tk ξ= (其中3k 为不为零的任意数).习题5.24．证明：TA 的特征多项式为(())()T T T T E A E A E A E A λλλλ-=-=-=-而E A λ-是A 的特征多项式, 所以A 与T A 有相同的特征多项式.6． 解：因为1是A 的一重根, 所以(E-A )X=O 的基础解系含有1个向量, 因此3-秩(E-A )=1, 从而可知秩(E-A )=2. 又因为2是A 的二重根, 所以(2E-A )X=O 的基础解系含有向量的个数为1或2, 由于A 不能与对角矩阵相似, 则可知A 的线形无关的特征值个数小于3, 所以(2E-A )X=O 的基础解系含有向量的个数只能为1, 同样可得3-秩(2E-A )=1, 所以秩(2E-A )=2.7．解：因为211132(1)(1)(1)11E A xx λλλλλλλλλ---=---=-=-+--, 所以A 的特征值为-1,1,1. 因为A 与对角矩阵相似, 所以要求特征根的重数i n 与()i E A X O λ-=的基础解系所含向量个数i r 相等. -1是一重根所以一定满足, 所以只要特征值1满足即可. 也就是要求()E A X O -=的基础解系含有2个向量, 由此可知n -秩(E A -)=2, 因此秩(E A -)=1.因为10111023003311000E A xx x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--+−−→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 所以当且仅当1x =时秩(E A -)=1,所以001123100A xx ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦能与对角矩阵相似, 则必有1x =。

习题5.32．解：因为秩(A )=1=秩(B ), 所以A 与B 等价. 又因为tr A=4, tr B =1, 即有trA trB ≠, 所以A 与B 不相似. 综上可知(B)是正确的. 3．解：(1) 因为2()2f A A A E =+-, 所以2()2f x x x =+-。

因为A 有三个不同的特征值，所以)(A f 也可以对角化。

所以 22A A E +-的所有特征值为(1)2,(1)0,(2)2f f f -===。

(2) ｜22A A E +-｜=(1)(1)(2)2020f f f -=⨯⨯=.5．解：(1) 因为32212222432428(2)(7)242E A λλλλλλλλλ---=+-=+-+=-+--+,所以特征值为2,2,-7.求解方程组122(2224)242E X O -⎡⎤⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 得到属于2的线形无关的特征向量为[][]2,0,1,2,1,0TT-. 对[][]2,0,1,2,1,0TT -进行施密特正交化化为正交单位向量组得]]112,0,12,1,0TT-。

求解方程组122(7224)242E X O -⎡⎤⎢⎥----=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 得到属于-7的线形无关的特征向量为1,1,12T⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 对1,1,12T⎡⎤--⎢⎥⎣⎦进行施密特正交化化为正交单位向量组得[]11,2,23T--。

所以1A U U -=Λ, 其中132120,2371203U ⎤--⎥⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎥⎥⎦. 由此可得11()k kkk TA U UU U U U--=Λ=Λ=Λ2212213322202033(7)1212033Tkkk⎤⎤----⎥⎥⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎦3111111212(7)22(7)22(7)22(7)524(7)24(7)22(7)24(7)524(7)k kk k k kk kk kk kk k k kk k+++++++++⎡⎤+--+---⎢⎥=-+-⋅+---⎢⎥⎢⎥+---⋅+-⎣⎦. (2) ()f A =3232428A A A E +-+的特征值为(2)0,(2)0,(7)0f f f ==-=, 所以3232428A A A E +-+=1U O U-=O .6．解：因为方阵A 的n 个特征值为1，2，…，n , 所以A 可以对角化。

所以 A+E 的特征值为2,3, ……, n , n+1.所以｜A+E ｜=(1)!n +.11．证明：因为1213123230()000n nnn a a a a aa a E A a aa a λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-==---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以a 是A 的n重根. 如果A 能与对角矩阵相似, 则必有()a E A X O -=的基础解系含有n 个向量, 即n -秩(a E A -)=n , 也就是秩(a E A -)=0, 从而得到此时a E A O -=, 即A a E =,这与条件A a E ≠矛盾! 所以A 不能与对角矩阵相似．12．证明：因为22)2(440E A E A A +=++=，所以02=+E A ，即-2是A 的一个特征值。

设λ为A 的特征值, ξ是A 的属于λ的特征向量, 则有A ξλξ=, 所以22(44)44A A E O O ξλξλξξξ++=++==, 从而可得2440λλ++=, 即得2λ=-, 所以A 的特征值仅为-2.习题5.41．证明：设λ是反对称矩阵A 的一个特征值, []12,,,Tn O a a a ξ≠= 是A 的属于λ的特征向量, 则有A ξλξ=. (1)令12,,,Tn a a a ξ⎡⎤=⎣⎦, 其中i a 表示i a 的共扼复数, 1,2,,i n = . 对(1)式两边同取共扼得A ξλξ=. 因为A 是实矩阵, 所以有A A =, 因此有A ξλξ=. (2)对(1)式两边转置得TTTA ξλξ=, 因为A 是反对称矩阵, 所以TA A =-从而T TA ξλξ=-. (3)对(2)式两边同左乘Tξ, 对(3)式两边同右乘ξ, 分别得T T A ξξλξξ=, T TA ξξλξξ=-从而得T λξξ=T λξξ-, 移项得()0T λλξξ+=, 因为0Tξξ≠, 所以()0λλ+=,所以λ为零或者纯虚数.2．解：(3) 因为321111211(1)(5)11211112E A λλλλλλλ-----==------, 所以特征值为1,1,1,5.解线性方程组21111211()11211112E X O --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦, 得属于特征值1的线性无关的特征向量为[][][]1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1TTT-.解线性方程组21111211(5)11211112E X O --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦, 得属于特征值5的线性无关的特征向量为[]1,1,1,1T--.所以111110010101011P ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦, 对角矩阵为1115⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3．解：（3）先对属于特征值1的三个特征向量进行正交化.[][][]1231,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1TTTξξξ===-.[]111,1,0,0Tηξ==;()()[][]2122111,1111,0,1,01,1,0,0,,1,0,222TTTξηηξηηη⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦; ()()()()[]313233121122,,11,1,1,3,,3Tξηξηηξηηηηηη=--=---.再对向量进行单位化, 得到三个正交单位向量.]1,1,0,0T]1,1,2,0T-]1,1,1,36T---,再对属于特征值5的特征向量进行单位化得[]11,1,1,12T--.由此得到112621126216210022U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 对角矩阵为1115⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 4．证明：⇒ 显然成立.⇐ 因为A , B 有相同的特征多项式, 则A , B 必有相同的特征根. 不妨设这些根为12,,,n λλλ , 因为A , B 均为n 阶实对称矩阵, 所以存在可逆矩阵,P Q 使得112211,n n P A P Q B Q λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 由此可知11PA P QB Q --=, 所以有111()A Q PB Q P---=, 其中1Q P -是可逆的, 因此A 与B 相似.1． 解：因为21102(2)11E A λλλλλλ---=-=--- , 所以A 特征值为0,2,2.（然后验证A 可对角化，从而B 可对角化）因为222()2()B k E A k E k A A f A=+=++=(其中22()2f x x k x k =++), 所以B 的特征值为222(0),(2)44,(2)4 4.f k f k k f k k ==++=++所以2224444kk k kk ⎡⎤⎢⎥Λ=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦.习题5.55．解：因为1[(1)]()n E A n b b λλλ--=--+, 所以A 的特征值为一个一重特征值(1)n b -和一个1n -重特征值b -. 因为秩([(1)]n b E A --)=1n -, 所以1(1)1n n n =--=与重数相同. 因为秩([]b E A --)=1, 所以21n n =-与重数相同. 所以A 能对角化（也可由实对称矩阵得到）, 与其相似的对角矩阵为(1)n b bb -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 6．证明：设λ为n 阶方阵A 的特征值, ξ为A 的属于λ的特征向量, 则有A ξλξ=. 所以22A ξλξξ==, 即有21λ=, 因此A 的特征值或为1，或为-1.7．解：(1) 因为矩阵A 与B 相似, 所以tr A =tr B , A B =, 由此可以得到54,664.a b a b +=+⎧⎨-=⎩, 从而可知5,6a b ==.当5,6a b ==时, 易知A 的特征值为2,2,6.求解方程组111(2242)335E X O -⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 得到属于2的线形无关的特征向量为[][]1,0,1,1,1,0TT-.求解方程组111(6242)335E X O -⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 得到属于6的线形无关的特征向量为12,,133T⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 所以此时A 可以对角化。