三层层状介质中的多导波模式及其频散和位移特征_杨天春
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2. University of W aterloo, W aterloo N 2L 3G1, Canada; 3. Chongqing Branch of China Coal R esearch Institute, Shangqiao, Chongqing 400036, China)
Abstract: T he authors calculat e the dispersion curves and vertical displacements of Rayleigh w aves by means of t ransfer matrix m ethod in t hree lay er horizont alm edia and their charact eristics are analyzed based upon t he calculat ed result s. If t he cent ral frequency of source is changed, the displacement m ag nitudes w ill vary, w hich show s t hat displacement s of guided w aves depend st rong ly on t he source f requency. T he numerical sim ulat ion result s are helpful for the field applicat ions.
含 高速夹层 V s1 < V s3
在野外实地勘探中, 常采用垂直分量检波器, 接收到的是位移垂直分量的大小, 而波的强度和能量大 小是由位移确定的。因此, 我们用垂直位移大小来说明波的能量强弱, 其大小由式( 6) 确定。根据以往的研 究可知, “之”字形频散曲线的形成, 首先要有多导波模式的存在[ 4] 。因此, 在以下的讨论中, 我们只讨论在 多导波模式存在时的位移曲线特征。由于导波的各种特性与介质的横波速度关系十分密切[ 13] , 因此, 主要 根据各层介质横波速度的不同来进行探讨。对于三层层状固体介质, 何时存在多导波模式, 作者已在过去 的研究中进行过专门探讨, 在此就不赘述。
Y A N G T ian-chun1, HE Ji-shan1, LU Shao-lin1, Giovanni Cascante2, WU Yan-qing3 ( 1. School of I nf o-p hy sics and Geomatics Engineering, Central Sout h Univer sity , Changsha 410083, China;
31 16
2 90 0
6
4
2 50 0
12 00
11 22
1 10 0
3
4 20 0
26 00
23 64
2 40 0
∞
6 20 0
34 00
31 46
3 10 0
6
5
3 70 0
20 00
18 53
2 38 0
2
6 20 0
34 00
31 46
3 10 0
∞
4 00 0
25 00
22 69
2 20 0
-
H
( 1) n+
1
(
kr
)
k2 cos( nH)
5E
( 1) 6
5k
uGH( r, H, z ; X) = -
iP$1 knH
( 1) n
(
kr
)
sin( nH)
r
5E
( 1) 6
5k
( 6)
uGz ( r, H, z ; X) =
iP$
2H
( 1) n
(
kr
)
k2
cos(
nH)
5E
( 1) 6
5k
其中 H
( 1) n
(
kr
)
为第一类汉克尔(
H an kel)
函数;
n 是由声源类型决定, 采用对称点源时 n=
0。
2 瑞利导波及其位移特征
下面是假定的几组三层介质模型参数。其中 V r 表示由该层介质组成半空间时的瑞利波速度。
表 1 三层介质模型参数 T ab. 1 Par ameter s of m odels for thr ee- layered media
由图 1 可知, 模型 1 下的垂直位移的幅值始终是以基阶模式( 即第 1 阶模式) 为主, 并且基阶模式的位
∫ uB( r , H, z ; X) =
∞ 0
k$ 1 E( 1)
6
J
n
(
kr )
k
cos(
nH) dk
∫ uP( r , H, z ; X) =
∞ 0
k$ 2 E( 1)
6
J
n
(
kr )
k
cos(
nH) dk
( 2)
式中 J n( kr) 为第一类 n 阶贝塞尔( Bessel) 函数。 对于面波而言, P- SV 波与 Bt 、Pt 方向的振动相联系, 对应着瑞利波。在只考虑 P- SV 波的情形下, 可
A sn
+
(-
E( 1) 6
T
E( 1)
22 6
+
T
E( 1)
32 5
+
T
42E
( 1) 3
)
B
sn
( 1)
其中
E
( j
i)
是由传递矩阵推出的第 i 层介质列矩阵 E
的第 j
个元素;
T
是与声源埋深相关的 4×2 矩阵;
A sn
和 Bsn 为声源系数。
对式( 1) 进行贝塞尔交换, 可得其频率域中的表达式
由式( 2) 中的分母为零可得层状介质中瑞利导波的频散方程
E
1 6
=
0
( 5)
由留数定理可知, 水平波数为 k( = X/ c) 的导波( 用上标 G 表示) , 其位移( 即激发强度) 由其极点留数
·22·
物探化探计算技术
26 卷
的贡献给出
uGr ( r, H, z ; X) =
iP$ 1
nH n ( 1) ( kr ) kr
( 3)
∫ uz( r , H, z ; X) = up =
∞ 0
$2 E( 1)
6
J
n(
kr)
k2
cos( nH) dk
对上式进行如下变换, 即可得时间域中的全波列波形
∫∞
ur ( r, H, z ; t) =
ur ( r , H, z; X) F( X) e- iXtdX
-∞
∫∞
uH( r, H, z ; t ) =
S1 =
$1 E ( 1)
6
=
(-
T
11
E
( 1) 6
+
T
31
E
( 1) 3
-
T
4
1E
( 1) 2
)
A sn
+
(-
E( 1) 6
T
E( 1)
12 6
+
T
E( 1)
32 3
-
T
42E
( 1) 2
)
B
sn
S2 =
$2 E ( 1)
6
=
(-
T
21
E
( 1) 6
+
T
31
E
( 1) 5
+
T
4
1E
( 1) 3
)
图 1( 见下页) 的曲线是正常地层顺序( 即地层介质的层速度随深度增加而递增) 时的情况。为了更好 地区分各导波模式的相速度曲线, 相邻导波的相速度曲线分别用实线和虚线绘制。不管地层介质的速度参 数如何变化, 各导波模式之间始终是不相交的, 该问题也在过去的研究中进行过专门的探讨, 在此就不赘 述。从后面各频散曲线中标注的导波模式阶数可清楚地认识各阶导波曲线的变化规律, 由于绘图的比例尺 太小, 有些导波曲线看似相交, 但实际上是不相交的。
收稿日期: 2003- 09- 02
1期
杨天春等: 三层层状介质中的多导波模式及其频散和位移特征
·21·
前利用瑞利波频散曲线确定地下内部结构还处在经验性阶段[ 2] , 精度不高。近年来, 虽然国内外许多学者 进行了大量的理论研究和试验探讨[ 3～12] , 但对瑞利波频散特征的认识仍不是十分清楚。本文作者在前人 工作和研究成果的基础上, 以三层层状弹性固体介质为例, 开展理论研究和数值模拟计算, 分析瑞利波多 导模式的位移曲线特征, 为野外勘探工作提供了可靠的理论依据。
1 理论依据
在 N 层均匀且各向同性的弹性固体介质中, 引入柱坐标系( r, H, z ) 来考虑三维问题。假定第 i 层位于
平面 z = z i- 1和 z = z i 之间, 其介质参数为 V p ( i ) ( 纵波速度) 、V s ( i) ( 横波速度) 、Q( i ) ( 介质密度) 、h( i) ( 厚 度) 。假定声源位于第一层介质中 r = 0、z= zs 处激发, 采用 B 、P、C 面谐坐标系, 利用层状介质中传递矩阵 法[ 3～ 8] , 可得频率波数域中自由表面上的两个位移分量 S1 ( = uB/ k) 、S 2( = uP/ k)
文章编号: 1001—1749( 2004) 01—0020—07
三层层状介质中的多导波模式及其频散和位移特征
杨天春1, 何继善1, 吕绍林1, Giovanni Cascante2, 吴燕清3
( 1. 中南大学 信息物理工程学院, 湖南 长沙 410083 2. Universit y of Waterloo, Wat erloo Canada, N2L 3G1
参数组号
纵波速度 V p ( m / s)
横 波速度 瑞利波速度 密 度
VS( m/ s)
V r( m/ s)
Q( kg / m3)
厚度 h( m )
备 注
3 00 0
24 00
19 10
2 40 0
6
1
4 00 0
32 00
25 47
3 00 0
3
5 00 0
36 00
31 19
3 60 0
∞
V S 递增
uH( r, H, z ; X) F( X) e- iXtdX
-∞
( 4)
∫∞
uz ( r, H, z ; t ) =
uz ( r, H, z ; X) F( X) e- iXtdX
-∞
式中 F ( X) 为声源函数的频谱。
在后面的数值计算中, 声源取对称点源, 埋深 z= zs= 0. 5 m , 声源函数取余弦包络脉冲函数, 中心频率 f 0 = 1 200 Hz。
关键词: 瑞利波; 层状介质; 频散曲线; 导波; 位移 中图分类号: P631. 4+ 14 文献标识码: A
MULTIMODES OF RAYLEIGH GUIDED WAVES AND THEIR DISPERSION AND DISPLACEMENT CHARACTERISTICS IN THREE-LAYER MEDIA
得柱坐标系中频率域的三个位移分量
∫ ur( r, H, z ; X) =
1 k
5uB 5r
=
5 5r
∞ 0
$1 E( 1)6源自J n(kr) k
cos( nH) dk
∫ uH( r , H, z ; X) =
1 kr
5uB 5H
=
1 r
5 5H
∞ 0
$1 E( 1)
6
J n(
kr
)
k
cos(
nH)
dk
Key words: rayleig h wave; lay ered medium; dispersion curves; g uided w aves; displacem ent
0 前言
自二十世纪五十年代开始, 人们发现了瑞利波在层状介质中具有频散特性, 从而天然地震记录的瑞利 波被广泛地用于研究地球内部结构问题[ 1] 。七十年代初, 人们又开始研究利用瑞利波来研究浅部工程地质 问题。近年来, 随着电子技术的飞速发展, 瑞利波技术已成为浅层工程地质勘察中的一种有效手段。但目
第 26 卷 第 1 期 2004 年 2 月
物探化探计算技术
V ol. 26 N o . 1 F eb. 2004
COM P U T I NG T ECHN IQ U ES FO R G EO PHYSI CA L A ND GEOCHEM ICAL EXP LO RA T IO N
4 20 0
26 00
23 64
2 40 0
6
2
2 50 0
12 00
11 22
1 10 0
3
5 20 0
35 00
31 16
2 90 0
∞
4 80 0
28 00
25 71
2 90 0
6
3
2 50 0
12 00
11 22
1 10 0
1
4 20 0
27 00
24 34
2 40 0
∞
5 20 0
35 00
3. 煤炭科学研究总院 重庆分院, 重庆 400036)
摘 要: 采用传递矩阵法求解三层均匀各向同性的层状弹性固体介质中瑞利波频散曲线及自由 表面的垂直位移强度, 对不同情形下多导波模式的频散曲线和位移曲线特征进行了理论和数值 模拟研究。声源中心频率变化时的计算结果表明, 位移的激发强度与声波的频率存在密切的关 系; 数值模拟结果表明, 在不同模型情况下接收到的导波模式是不同的。因此, 在对野外勘探中, 震源频率的选择和资料解释应引起注意。
6
6
5 20 0
35 00
31 16
2 90 0
3
4 80 0
30 00
27 23
2 50 0
∞
含 低速夹层 V s1 < V s3
含 低速夹层 V s1 > V s3 V r 1< V s3
含 低速夹层 V s1 > V s3 V r 1> V s3
含 低速夹层 V s1 = V s3 V r1 = V r3
Abstract: T he authors calculat e the dispersion curves and vertical displacements of Rayleigh w aves by means of t ransfer matrix m ethod in t hree lay er horizont alm edia and their charact eristics are analyzed based upon t he calculat ed result s. If t he cent ral frequency of source is changed, the displacement m ag nitudes w ill vary, w hich show s t hat displacement s of guided w aves depend st rong ly on t he source f requency. T he numerical sim ulat ion result s are helpful for the field applicat ions.
含 高速夹层 V s1 < V s3
在野外实地勘探中, 常采用垂直分量检波器, 接收到的是位移垂直分量的大小, 而波的强度和能量大 小是由位移确定的。因此, 我们用垂直位移大小来说明波的能量强弱, 其大小由式( 6) 确定。根据以往的研 究可知, “之”字形频散曲线的形成, 首先要有多导波模式的存在[ 4] 。因此, 在以下的讨论中, 我们只讨论在 多导波模式存在时的位移曲线特征。由于导波的各种特性与介质的横波速度关系十分密切[ 13] , 因此, 主要 根据各层介质横波速度的不同来进行探讨。对于三层层状固体介质, 何时存在多导波模式, 作者已在过去 的研究中进行过专门探讨, 在此就不赘述。
Y A N G T ian-chun1, HE Ji-shan1, LU Shao-lin1, Giovanni Cascante2, WU Yan-qing3 ( 1. School of I nf o-p hy sics and Geomatics Engineering, Central Sout h Univer sity , Changsha 410083, China;
31 16
2 90 0
6
4
2 50 0
12 00
11 22
1 10 0
3
4 20 0
26 00
23 64
2 40 0
∞
6 20 0
34 00
31 46
3 10 0
6
5
3 70 0
20 00
18 53
2 38 0
2
6 20 0
34 00
31 46
3 10 0
∞
4 00 0
25 00
22 69
2 20 0
-
H
( 1) n+
1
(
kr
)
k2 cos( nH)
5E
( 1) 6
5k
uGH( r, H, z ; X) = -
iP$1 knH
( 1) n
(
kr
)
sin( nH)
r
5E
( 1) 6
5k
( 6)
uGz ( r, H, z ; X) =
iP$
2H
( 1) n
(
kr
)
k2
cos(
nH)
5E
( 1) 6
5k
其中 H
( 1) n
(
kr
)
为第一类汉克尔(
H an kel)
函数;
n 是由声源类型决定, 采用对称点源时 n=
0。
2 瑞利导波及其位移特征
下面是假定的几组三层介质模型参数。其中 V r 表示由该层介质组成半空间时的瑞利波速度。
表 1 三层介质模型参数 T ab. 1 Par ameter s of m odels for thr ee- layered media
由图 1 可知, 模型 1 下的垂直位移的幅值始终是以基阶模式( 即第 1 阶模式) 为主, 并且基阶模式的位
∫ uB( r , H, z ; X) =
∞ 0
k$ 1 E( 1)
6
J
n
(
kr )
k
cos(
nH) dk
∫ uP( r , H, z ; X) =
∞ 0
k$ 2 E( 1)
6
J
n
(
kr )
k
cos(
nH) dk
( 2)
式中 J n( kr) 为第一类 n 阶贝塞尔( Bessel) 函数。 对于面波而言, P- SV 波与 Bt 、Pt 方向的振动相联系, 对应着瑞利波。在只考虑 P- SV 波的情形下, 可
A sn
+
(-
E( 1) 6
T
E( 1)
22 6
+
T
E( 1)
32 5
+
T
42E
( 1) 3
)
B
sn
( 1)
其中
E
( j
i)
是由传递矩阵推出的第 i 层介质列矩阵 E
的第 j
个元素;
T
是与声源埋深相关的 4×2 矩阵;
A sn
和 Bsn 为声源系数。
对式( 1) 进行贝塞尔交换, 可得其频率域中的表达式
由式( 2) 中的分母为零可得层状介质中瑞利导波的频散方程
E
1 6
=
0
( 5)
由留数定理可知, 水平波数为 k( = X/ c) 的导波( 用上标 G 表示) , 其位移( 即激发强度) 由其极点留数
·22·
物探化探计算技术
26 卷
的贡献给出
uGr ( r, H, z ; X) =
iP$ 1
nH n ( 1) ( kr ) kr
( 3)
∫ uz( r , H, z ; X) = up =
∞ 0
$2 E( 1)
6
J
n(
kr)
k2
cos( nH) dk
对上式进行如下变换, 即可得时间域中的全波列波形
∫∞
ur ( r, H, z ; t) =
ur ( r , H, z; X) F( X) e- iXtdX
-∞
∫∞
uH( r, H, z ; t ) =
S1 =
$1 E ( 1)
6
=
(-
T
11
E
( 1) 6
+
T
31
E
( 1) 3
-
T
4
1E
( 1) 2
)
A sn
+
(-
E( 1) 6
T
E( 1)
12 6
+
T
E( 1)
32 3
-
T
42E
( 1) 2
)
B
sn
S2 =
$2 E ( 1)
6
=
(-
T
21
E
( 1) 6
+
T
31
E
( 1) 5
+
T
4
1E
( 1) 3
)
图 1( 见下页) 的曲线是正常地层顺序( 即地层介质的层速度随深度增加而递增) 时的情况。为了更好 地区分各导波模式的相速度曲线, 相邻导波的相速度曲线分别用实线和虚线绘制。不管地层介质的速度参 数如何变化, 各导波模式之间始终是不相交的, 该问题也在过去的研究中进行过专门的探讨, 在此就不赘 述。从后面各频散曲线中标注的导波模式阶数可清楚地认识各阶导波曲线的变化规律, 由于绘图的比例尺 太小, 有些导波曲线看似相交, 但实际上是不相交的。
收稿日期: 2003- 09- 02
1期
杨天春等: 三层层状介质中的多导波模式及其频散和位移特征
·21·
前利用瑞利波频散曲线确定地下内部结构还处在经验性阶段[ 2] , 精度不高。近年来, 虽然国内外许多学者 进行了大量的理论研究和试验探讨[ 3～12] , 但对瑞利波频散特征的认识仍不是十分清楚。本文作者在前人 工作和研究成果的基础上, 以三层层状弹性固体介质为例, 开展理论研究和数值模拟计算, 分析瑞利波多 导模式的位移曲线特征, 为野外勘探工作提供了可靠的理论依据。
1 理论依据
在 N 层均匀且各向同性的弹性固体介质中, 引入柱坐标系( r, H, z ) 来考虑三维问题。假定第 i 层位于
平面 z = z i- 1和 z = z i 之间, 其介质参数为 V p ( i ) ( 纵波速度) 、V s ( i) ( 横波速度) 、Q( i ) ( 介质密度) 、h( i) ( 厚 度) 。假定声源位于第一层介质中 r = 0、z= zs 处激发, 采用 B 、P、C 面谐坐标系, 利用层状介质中传递矩阵 法[ 3～ 8] , 可得频率波数域中自由表面上的两个位移分量 S1 ( = uB/ k) 、S 2( = uP/ k)
文章编号: 1001—1749( 2004) 01—0020—07
三层层状介质中的多导波模式及其频散和位移特征
杨天春1, 何继善1, 吕绍林1, Giovanni Cascante2, 吴燕清3
( 1. 中南大学 信息物理工程学院, 湖南 长沙 410083 2. Universit y of Waterloo, Wat erloo Canada, N2L 3G1
参数组号
纵波速度 V p ( m / s)
横 波速度 瑞利波速度 密 度
VS( m/ s)
V r( m/ s)
Q( kg / m3)
厚度 h( m )
备 注
3 00 0
24 00
19 10
2 40 0
6
1
4 00 0
32 00
25 47
3 00 0
3
5 00 0
36 00
31 19
3 60 0
∞
V S 递增
uH( r, H, z ; X) F( X) e- iXtdX
-∞
( 4)
∫∞
uz ( r, H, z ; t ) =
uz ( r, H, z ; X) F( X) e- iXtdX
-∞
式中 F ( X) 为声源函数的频谱。
在后面的数值计算中, 声源取对称点源, 埋深 z= zs= 0. 5 m , 声源函数取余弦包络脉冲函数, 中心频率 f 0 = 1 200 Hz。
关键词: 瑞利波; 层状介质; 频散曲线; 导波; 位移 中图分类号: P631. 4+ 14 文献标识码: A
MULTIMODES OF RAYLEIGH GUIDED WAVES AND THEIR DISPERSION AND DISPLACEMENT CHARACTERISTICS IN THREE-LAYER MEDIA
得柱坐标系中频率域的三个位移分量
∫ ur( r, H, z ; X) =
1 k
5uB 5r
=
5 5r
∞ 0
$1 E( 1)6源自J n(kr) k
cos( nH) dk
∫ uH( r , H, z ; X) =
1 kr
5uB 5H
=
1 r
5 5H
∞ 0
$1 E( 1)
6
J n(
kr
)
k
cos(
nH)
dk
Key words: rayleig h wave; lay ered medium; dispersion curves; g uided w aves; displacem ent
0 前言
自二十世纪五十年代开始, 人们发现了瑞利波在层状介质中具有频散特性, 从而天然地震记录的瑞利 波被广泛地用于研究地球内部结构问题[ 1] 。七十年代初, 人们又开始研究利用瑞利波来研究浅部工程地质 问题。近年来, 随着电子技术的飞速发展, 瑞利波技术已成为浅层工程地质勘察中的一种有效手段。但目
第 26 卷 第 1 期 2004 年 2 月
物探化探计算技术
V ol. 26 N o . 1 F eb. 2004
COM P U T I NG T ECHN IQ U ES FO R G EO PHYSI CA L A ND GEOCHEM ICAL EXP LO RA T IO N
4 20 0
26 00
23 64
2 40 0
6
2
2 50 0
12 00
11 22
1 10 0
3
5 20 0
35 00
31 16
2 90 0
∞
4 80 0
28 00
25 71
2 90 0
6
3
2 50 0
12 00
11 22
1 10 0
1
4 20 0
27 00
24 34
2 40 0
∞
5 20 0
35 00
3. 煤炭科学研究总院 重庆分院, 重庆 400036)
摘 要: 采用传递矩阵法求解三层均匀各向同性的层状弹性固体介质中瑞利波频散曲线及自由 表面的垂直位移强度, 对不同情形下多导波模式的频散曲线和位移曲线特征进行了理论和数值 模拟研究。声源中心频率变化时的计算结果表明, 位移的激发强度与声波的频率存在密切的关 系; 数值模拟结果表明, 在不同模型情况下接收到的导波模式是不同的。因此, 在对野外勘探中, 震源频率的选择和资料解释应引起注意。
6
6
5 20 0
35 00
31 16
2 90 0
3
4 80 0
30 00
27 23
2 50 0
∞
含 低速夹层 V s1 < V s3
含 低速夹层 V s1 > V s3 V r 1< V s3
含 低速夹层 V s1 > V s3 V r 1> V s3
含 低速夹层 V s1 = V s3 V r1 = V r3