(新课标)2018年高考数学 专题19 12月月考(前八章内容)测试卷 文

专题19 12月月考（前八章内容）测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数：试题特点：本套试卷重点考查函数基本性质、指对幂函数图像及其性质、三角函数及解三角形、导数及其应用、平面向量及其应用、数列、不等式、立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线等．在命题时，注重考查基础知识如第1-8，13-15及17-20题等．讲评建议：评讲试卷时应重视常用数学思想与方法的渗透，如集合与对应思想、函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、整体思想等；关注学生计算能力、空间想象能力的培养．试卷中第1，4，6，12，19，21各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据集合并集的运算可知，故选D ．2．已知直线()1:12l x m y m ++=-与2:2416l mx y +=-平行，则实数m 的值是（ ） A ．1 B ．2- C ．1-或2 D ．1或2- 【答案】A【名师点睛】当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． 3．下列函数中，即是单调函数又是奇函数的是（ ）A ．x y 3log =B ．xy 3= C ．21x y = D ．3x y =【答案】D 【解析】试题分析：∵3x y =为奇函数，也满足在R 上单调递增，符合题意．故选D ． 考点：函数的单调性，奇偶性．4．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为故选：B ．5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，且焦点与椭圆221362x y +=的焦点相同，离心率为e =，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点2F 的距离为18N，为2MF 的中点， O 为坐标原点，则NO 等于 A ．23B ．1C ．2D ．4 【答案】D6．已知，若向量共面，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】由题意可知，存在实数，使 ，则 ，解得 ．故选B ．7．若直线20x y a ++=过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则实数a 的值为( ) A ．1- B ．1 C ．3- D ．3 【答案】C【解析】圆222410x y x y ++-+=的圆心为(-1，2)．∴140a -++=，解得3a =-．故选C ． 8．0000tan21tan24tan21tan24++=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】A9．函数的定义域是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：∵，∴，∴函数的定义域为：．10．已知直线:30l kx y --=与圆22:4O x y +=交于B A 、两点且2OA OB ⋅=，则k =（ ） A ．2 B． C ．2± D【答案】B【解析】12cos 222cos 2cos 23OA OB OA OB AOB AOB AOB AOB π⋅=∴∠=∴⨯∠=∴∠=∴∠= 22222222222AB AB d r k ⎛⎫⎛⎫∴=+=∴+=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ． 【名师点睛】本题主要考查了数量积的定义、直线与圆相交时的弦长问题．直线与圆相交时利用2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可建立等式求参数．在求交线或切线时要注意直线斜率不存在的情况．11．已知二面角的大小为，，，则下列四种位置关系中，一定不成立的是A ．B ．C ．与平面所成的角等于D ．与平面所成的角等于【答案】B12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，若1|(l n )(l n )|2f x fx-＜(1)f ，则x 的取值范围是（ ）A ．1(0,)eB ．(0,)eC ．1(,)e eD ．(,)e +∞ 【答案】C 【解析】试题分析：∵x xln 1ln -=，∴)(l n 2)1(l n )(l n x f x f x f =-，∴不等式()()1ln ln 12f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<可化为)1(|)(ln |f x f <，即)1()(l n )1(f x f f <<-，又函数()f x 为奇函数，则)1()(ln )1(f x f f <<-．∵函数()f x 为增函数，∴1ln 1<<-x ，解得e x e<<1，故选C ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、不等式的解法． 【思路点晴】解答时充分借助x xln 1ln-=，即x x ln ,1ln 是互为相反数将所给不等式进行化简，然后再运用函数的单调性与奇偶性将函数符号f 和对数符号去掉，从将不等式进行合理的转化与化归，最后达到求解的目的．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知实数,x y 满足1200x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为______________．【答案】4 【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由图所知，当目标函数2z x y =+经过点)0,2(P时， z 取得最大值，即4022max =+⨯=z ．考点：简单的线性规划问题．【方法点晴】线性规划是高中教材中运用数形结合的良好沃土，解答这类问题的关键是精准地画出不等式组所表示的平面区域，然后平行移动目标函数所表示的动直线，结合所画图形的特征及欲求最值的特点，数形结合将符合条件的点代入求出其最值． 14．已知非零向量，满足：且，则向量与的夹角为__________．【答案】（或）15．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知三个内角成等差数列，且A 为等差中项，若a ＝3，b ＝5，则sin B ＝________． 【答案】【解析】由三个内角B ，A ，C 依次成等差数列，∴A ＝，根据正弦定理sin B ＝16．点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为__________．【答案】5【名师点睛】此题困难，首先要明确M 的轨迹，通过题意可知M 为DHC 与内切球的交线是解题关键，然后根据几何关系求出相应线段长度即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><< 的部分图象，如图所示．（I ）求函数()f x 解析式； （II ）若方程()f x m =在13,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个不同的实根，求m 的取值范围．【答案】（I ）()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（II ）()1,0,12m ⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】试题分析:（I ）由图象结合五点法作图得到求函数()f x 解析式；（II ）方程根的个数问题转化为图象的交点个数问题． 试题解析：由于f (x )在[−12π，3π]、[56π，1312π]有上单调递减，在在[3π，56π]上单调递增，f (12π-f (1312π)=0，∴()1,0,12m ⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭． 18．（本小题满分12分）ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（I ）求角B 的值；（II ）若b =b a ≤，求12a c -的取值范围．【答案】（I ）233B ππ=或（II ）2⎣ 【解析】（I ）由已知cos2cos22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭化简得sin B =，故233B ππ=或．（II ）∵b a ≤，∴3B π=， 由正弦定理2,sin sin sin a c b A C B====得，故1232sin sin 2sin sin sin 2326a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∵b a ≤，∴2,33662A A πππππ≤<≤-<，∴126a c A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭⎣． 【名师点睛】本题主要运用三角恒等变换，熟练运用三角和差公式以及二倍角公式，然后对求三角形有关边的线性运算的最值问题，通常是利用正弦定理将其转化为角的问题，借助三角函数来进行最值解答，在运算中要注意角度的取值范围．19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 均为正方形， GF ⊥平面ABCD ， BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==．（I ）求证： GH ⊥平面EFG ； （II ）求二面角E FG D --的余弦值． 【答案】（I ）见解析（II试题解析：解：（I ）证明：由题意可得CD BC ⊥， CD CF ⊥，∴CD ⊥平面FCBG ，∵CD EF ， ∴EF ⊥平面FCBG ，而GH ⊂平面FCBG ，∴GH EF ⊥．如图，连接FH ，∵CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，∴CF BG ，∴四边形FCBG 为直角梯形，设1BH =，则依题意2BG =，4AB =，∴2225GH BH BG =+=，22225FH GH CF =+=，()22220FG BC GF BG =+-=，∴222GH FG FH +=．∴GH FG ⊥，又GH EF ⊥， GF EF F ⋂=，∴GH ⊥平面EFG ；（II ）解：由（I ）知,,DA DC DE 两两垂直，以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设1BH =，又()1,0,2HG =是平面FGE 的一个法向量，∴5cos ,3n HG n HG n HG⋅==D FGE --的 20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，首项11a =，12a ，21a +，33a +成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2sin3n n n b a π⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前3n 项和3n T ； （Ⅲ）n P 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，比较n P 与22nn 的大小．【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）3n T =；（Ⅲ）22nn P n<．【解析】试题分析：（Ⅰ）把已知条件表示出来()()2213123a a a +=+，有首项和公差表示并解出，可得通项公式； （Ⅱ）考虑到2sin 3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭是周期数列，周期为3，因此数列{}n b 的求和可采用分组求和法，可三项一组并项求和．（Ⅲ）先用裂项相消法求得n P ，然后作差()()()1222121n nn f n f n n ++-=-+得()f n 在3n ≥时是递增的，即()()839n f n f P ≥=>，对1,2n =再比较后可得． 试题解析：（Ⅰ）由已知()()2213123a a a +=+，则24d =．又∵0d >，∴2d =，∴21n a n =- （Ⅱ）设2sin3n n n b a π=⋅， 31224sinsin 33n T a a ππ=⋅+⋅()3322326sinsin33n n a a ππ--+⋅+()3132316sinsin33n n n n a a ππ--++ 31322n T ⎛=+-⋅+ ⎝⎭()305652n ⨯++⋅-+ ()()630612n n ⎛⎫-⋅-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭ ())3137922n T =-+-+()365632n n +--+ ∴3n T = （Ⅲ）()()111212+1n n a a n n +==- 111=22121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭． 111111213235n P ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111257⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭1112212+1n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭11=1221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭设()22n f n n =，()111221g n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∵()()1f n f n +-= ()()22211n n n n n ⎡⎤--⎣⎦⎡⎤+⎣⎦． 当3n ≥时，()()10f n f n +->，∴当3n ≥时， ()f n 单调递增，∴()()839f n f ≥=，而()12g n <，∴3n ≥时，()()f n g n >，经检验，当1,2n =时，仍有()()f n g n >综上， 22nn P n<． 21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为． （I ）求证：； （II ）求面积的最小值．【答案】（I ）见解析（II ） 面积取最小值，同理可得，即，然后求最值即可． 试题解析：（I ）设，的斜率分别为，过点的切线方程为 由，得，∴∴（II ）由（I ）得，∴综上，当时，面积取最小值．【名师点睛】直线与抛物线相交问题处理规律（I ）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．（II ）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．22．（本小题满分12分）已知函数()b f x ax x =+在点()()1,1f 处的切线方程为22y x =-． （I ）求a ， b 的值；（II ）设函数()()()21ln g x mf x m x =-+（m R ∈），求()g x 在()1,+∞上的单调区间；（III ）证明： ()11111ln 213521221n n n n +++⋯+>++-+（*n N ∈）． 【答案】（I ）1,1a b ==-；（II ）见解析；（III ）见解析1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭，然后把所得式子两边分别相加可得不等式成立． 试题解析：（I ）∵()b f x a x x =+，∴()2b f x a x-'=，依题意得()()12{ 10f a b f a b =-==+=' 解得1{ 1a b ==-∴1,1a b ==-．（II ）由（I ）知()()211ln ,(0)g x m x m x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，∴()()()21mx x m g x x --'= 故函数()g x 在()1,+∞的单调性为：当0m ≤时， ()g x 的递减区间为()1,+∞；当01m <<时， ()g x 的递减区间为11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当()()11m g x =+∞时，的递增区间为，；当()()()11,,m g x m m >+∞时，的递减区间为，递增区间为（III ）由（II ）知1m =时， ()()1g x +∞在，为增函数，∴()()10g x g >=， 即 12ln (1)x x x x ->>，令21,*21n x n N n +=∈-，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+-， 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭，∴1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭， 上式中n=1，2，3，…，n ，然后n 个不等式相加得()11111ln 213521221n n n n +++⋯+>++-+（*n N ∈）．故不等式成立． 【名师点睛】对于在函数中的数列不等式的证明，一般要用到前面所得到的函数的性质，构造合适的函数，再通过取特殊值的方法进行证明，在证明中还可能用到数列求和的常见方法，对于这种综合题的解法，要在平时要多观察、多尝试，做好相应的训练．。