2.3可逆矩阵

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§2.3 可逆矩阵

可逆，所以λ A可逆，且（ λ A ) − 1 =
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则也可逆，若同阶矩阵 ,B 均可逆则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆，也可逆，若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理行列式等于它的任意一行（列）的各展开定理) 性质展开定理行列式等于它的任意一行（元素与其对应的代数余子式乘积之和，元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题：要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？可逆时，逆阵怎样求？可逆时
可逆概念结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子元素a 元素中的代数余子式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵

第三章可逆矩阵(第一讲)

1 , 2
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于是 X A CB
1 0 0
1
1
2 1 0
1 1 2 0 1 1
0 3 1 5 0
1 2
2 2 1
16 11 3
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§2 方阵可逆矩阵的充要条件与逆矩阵计算
2.1可逆矩阵的有关定理
定义2.1 设n阶方阵A=(aij)，元素aij在行列式| A|中的代数余子式为Aij(i,j=1,2,…,n),则矩阵
A1 1 A1 2 A A1 n A21 A22 A2 n An 1 An 2 An n
1 0 0
0 1 0
0 2 1
1 0 0
2 1 0
1 1 0 0 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
2 1 0
1 2 . 1
A
1
1 0 0
2 1 0
1 2 . 1
2.3 逆矩阵的应用
1
A.
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定理2.4 方阵A可逆的充分必要条件是A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵. 证明必要性.设A为n阶可逆矩阵，由于|A| ≠0，所以 A必可经过有限次的初等变换化为标准形，其标准形的主对角线上的元素有n个1，故这个标准形只能是单位矩阵E.
充分性.已知方阵A可以经过初等变换化为单位矩阵E，设这些初等变换所对应的初等方阵分别为P1, P2,…, Ps, Q1, Q2,…, Qt,使得 P1 P2… Ps A Q1 Q2…, Qt=E,

线性代数 2-3可逆矩阵

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A O 例13 (02考研): 设A,B为n阶方阵, C , O B *
则C的伴随矩阵C ＝( D )
( A) (C ) AA O
A B O

O BB O BA
B B ( B) O
X A1CB 1
3 2 1 1 3 3 1 2 1 3 5 3 2 0 10 4 2 2 5 2 10 4 3 1 1 1 1
x1 y1 3 y2 2 y3 3 5 x2 y1 3 y2 y3 2 2 x3 y1 y2 y3
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例11(05考研):设A,B,C 均为n阶矩阵, 若B＝E＋AB, 解：
C＝A＋CA，求B－C. 由 B＝E＋AB 得: ∴(E－A)B＝E 由C＝A＋CA得: B－AB＝E ∴ B＝(E－A)-1 C－CA＝A
解:
1
0
2
即AX＝B
∴A可逆
A 1 2 3 1 0 0 1 1
X＝A-1B
即： x1 1
2 x 1 2 3 2 x 0 1 1 3 0
1
1 1 2 4 1 5 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 3
A B 2B (2)4 B 16 ( 3) 48
B A 3 A (3) A 27 2 54
3
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第一节矩阵的运算

-15-
作业: 作业
P27 1( 2), ( 3)
-16-
1 2 1 4 例5 设 A = 5 − 8 0 2 1 1 3 7
解：
求 E 3 A 和 AE 4
2 1 4 1 1 2 1 4 1 1 5 − 8 0 2 = 5 − 8 0 2 1 3×3 1 1 3 7 3×4 1 1 3 7 3×4
a11 a 21
a12 a 22
b11 a13 b21 a 23 b31
b12 def c11 b22 c 21 b32
c12 c 22
-9-
定义： A = (a ij ) m× s B = (bij ) s×n 设
a11 L a1 j M M A = a i 1 L a ij M M a m1 L a mj L a1 s b11 L b1 j L b1n M M M M L a is B = bi 1 L bij L bin M M M M a L bsj L a sn L a ms s×n m × s s1
c11 = a11b11 + a12b21 + a13 b31 c21 = a 21b11 + a 22 b21 + a 23b31 c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 c22 = a 21b12 + a 22b22 + a 23b32
y1 = a11 (b11t1 + b12 t 2 ) + a12 (b21t1 + b22 t 2 ) + a13 (b31t1 + b32 t 2 )

2.1 矩阵的概念

y1 , y 2 , , y m x 1 , x 2 , , x n
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念第附：图像举例二章矩阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念第三、几种特殊的矩阵二章 3. 方阵 (1) 单位矩阵矩 (2) 数量矩阵阵 (3) 对角矩阵
1
2
0

0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念第例二章矩阵线性变换是指 n 个变量
数表内部进行操作
4
§2.1 矩阵的概念第二、矩阵的定义与一些基本概念二 1. 矩阵的定义章定义由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表矩阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表

逆矩阵算法-概述说明以及解释

逆矩阵算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述逆矩阵是矩阵理论中一个非常重要的概念，它在线性代数、数值计算等领域中都有广泛的应用。

简单来说，对于一个可逆的方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的矩阵乘积等于单位矩阵I，那么我们称B为A的逆矩阵。

逆矩阵在很多实际问题中起到了至关重要的作用。

本文将主要介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法。

首先，我们将给出逆矩阵的定义，并讨论什么样的矩阵会存在逆矩阵以及如何判断一个矩阵是否可逆。

然后，我们将深入探讨逆矩阵的性质，比如逆矩阵的唯一性以及逆矩阵与矩阵的乘法规则等。

接下来，我们将介绍一些常见的逆矩阵计算方法，包括伴随矩阵法、初等变换法以及利用矩阵的特征值和特征向量来求逆矩阵等。

逆矩阵算法在数值计算中具有广泛的应用领域。

例如，在线性方程组的求解中，我们可以利用逆矩阵的性质来求解未知数向量。

此外，在图像处理、信号处理、网络优化等领域也都可以看到逆矩阵算法的应用。

逆矩阵算法的发展前景非常广阔，随着计算机计算能力的不断提升，逆矩阵算法将能够承担更加复杂和庞大的计算任务。

总之，逆矩阵算法是一项重要且充满潜力的计算方法，它在线性代数和数值计算领域具有重要的地位。

通过深入研究和应用逆矩阵算法，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用，从而为实际问题的求解提供有效的数学工具。

在接下来的正文中，我们将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法，以期帮助读者更好地理解和应用逆矩阵算法。

文章结构部分的内容如下所示：1.2 文章结构本文将按照以下结构组织内容：引言部分将首先概述逆矩阵算法的背景和重要性，介绍本文的目的，并对整篇文章进行总结。

正文部分将着重介绍逆矩阵的定义，包括数学上对逆矩阵的准确描述。

随后，我们将详细探讨逆矩阵的性质，包括逆矩阵与原矩阵之间的关系，以及逆矩阵的特点和作用。

最后，我们将介绍逆矩阵的计算方法，包括传统的高斯消元法和基于分解的LU分解法等。

结论部分将重点探讨逆矩阵算法的重要性，阐述逆矩阵算法在实际问题中的应用领域，如线性方程组的求解、图像处理和机器学习等。

线性代数2.3- 逆矩阵

解
(1)
1 − 5 3 2 X = −1 4 1 4
−1
1 − 5 给方程两端左乘矩阵 , −1 4 E 1 − 5 1 − 5 1 − 5 3 2 X = 得 −1 4 −1 4 −1 4 1 4 1 − 5 3 2 − 4 − 5 3 2 − 17 − 28 ⇒X = = = . −1 4 1 4 − 1 − 1 1 4 − 4 − 6
A A21 A31 11 A 1 −1 ∴ A = = A A22 A32 12 A A A A23 A33 13
∗
1 − 3 3 1 4 . = −4 0 4 5 − 1 − 3 2 3 −1 5 = 0, 由于 B = − 1 3 1 5 − 11
−k
−1 T
).
−1 k
另外, 当 A ≠ 0时, 定义 A = E,
0
A
= (A
).
(k为正整数 )
当 A ≠ 0, λ , µ为整数时 , 有 A A =A
λ µ λ +µ
,
−1
(A )
λ µ
= Aλµ .
(5 ) 若A可逆 ,则有 A = A .
−1
证明
Q AA −1 = E
∴ A A −1 = 1
1 − 1 1 给方程两端左乘矩阵 1 1 0 , 3 2 1
一、概念的引入
在数的运算中，在数的运算中，当数a ≠ 0 时，有
aa −1 = a −1a = 1,
的倒数，的逆）；其中 a−1 = 1 为 a 的倒数，或称 a 的逆）；（ a 在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中在矩阵的运算中，的1，那么，对于矩阵 A ，，那么，如果存在一个矩阵A−1, 使得

2.3 可逆矩阵

0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质（1）初等方阵可逆且其逆矩阵也是初等方阵，即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A，相当于对 A 作初等行（列）变换得到的矩阵，即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E

第六次课逆矩阵

A = − 1 ≠ 0 ⇒ A 可逆 0 1 1 − 2
-4-
A
−1
例2
求A的逆矩阵的逆矩阵
1 2 3 A = 2 2 1 3 4 3
1 2 3 ∵ A = 2 2 1 =2≠0 3 4 3
∴ A−1存在.
2 1 A11 = = 2, 4 3
2 1 A12 = − = − 3, 3 3
-2-
定理2.3.1 定理2.3.1 证 (⇒ ) ⇒
A 可逆 ⇔ A ≠ 0
设 AB = E , 由行列式乘法定理
A B = E =1⇒ A ≠ 0
(⇐ ) ⇐
1 ∗ 1 ∗ 设 A ≠ 0 ，由 A( A ) = ( A ) A = E A A
得
A
−1
1 ∗ = A A
称为奇异矩阵否则称为非奇异矩阵当 A = 0 时,A称为奇异矩阵否则称为非奇异矩阵称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵. 该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。
-3-
例1
a A= c
b d
A可逆 ⇔ A = ad − bc ≠ 0 可逆
A
−1
1 = A
A11 A12
A21 1 d = A22 ad − bc − c
1 0
− 1 = 2
− b a
如
2 A= 1
0 = − −1
(1)待定系数法;
A∗ (2)利用公式 A−1 = ; A (3)初等变换法 (下一章介绍 ).
-21-
思考题：思考题：
若 A可逆 , 那么矩阵方程 AX = B是否有唯一解 X = A −1 B ? 矩阵方程 YA = B 是否有唯一解 Y = BA −1 ?

2.3逆矩阵

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§2.3 逆矩阵
Th2. 若矩阵A可逆,则| A | 0.
证 : A可逆 AA1 E
A A1 E 1 A 0
Th3. 若 | A | 0,则A可逆,且A1 1 A* | A|
其中A为A的伴随矩阵.
证： AA A A A E A A A A E AA
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§2.3 逆矩阵
作业
习题二（P44）
6(1)(4)、11、12（1,3）
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求逆矩阵.
证 : AA E 2E A A E E
2
A可逆 ,且 A1 1 A E .
2
A 2EA 3E 4E
A
2E
1 4
A
3
E
E
A 2E可逆, 且 A 2E 1 1 A 3E
4
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§2.3 逆矩阵
三. 逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
4 3 5 3
1 6 4
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§2.3 逆矩阵
例4. X
2 1
1
2 1 2
3 0 1
1 0
1 1
0 , 求X 0
X BA1
1 4 3
A1
1
5 3
1 6 4
X 1 0
1 1
00
1 1 1
4 5 6
3 0

线性代数北京理工大学出版社习题解答

第一章行列式学习要求1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解n 级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3. 理解n 阶行列式的概念和n 阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的n 阶行列式；4. 掌握行列式的根本性质，会利用“化三角形〞方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行〔列〕展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法那么，了解未知量个数与方程个数一样的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法那么讨论齐次线性方程组的解.§1.1 二阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式： (5)22322211(1)(1)1;1x x x x x x x x x x -=-++-=--++ 2．计算三阶行列式：(2) 10135050(12)0007;041-=++----=-3．求解方程34100.01x D x x =-=解 2341043(1)(3)0,01x x x x x x x -=-+=--=由故原方程的解为.31==x x 或4．用行列式解以下方程组：(1)1212323,43 1.x x x x -=⎧⎨-+=-⎩ (2)12312312320,21,2 3.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩解(1) =D 329810,43-=-=≠-1D =32927,13-=-=-=2D333129,41=-+=-- 故所求的方程组有唯一解：127,9.x x ==(2) =D 12121122211880,112-=-+-++-=-≠-=1D 4213111120=--，=2D 4231112101=，=3D 12021112,113-=--故所求的方程组有唯一解：.23,21,21321=-=-=x x x6. 当x 取何值时，23130.123x x ≠解 223133963(1)(2)0,123x x x x x x =-+=--≠由解得.21≠≠x x 且§1.3 n 阶行列式的定义1. 写出四阶行列式中含有因子3422a a 的项.解利用n 阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子3422a a 的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为4311a a 和4113a a .又因为(1243)1τ=，(3241)4τ=，所以四阶行列式中含有因子3422a a 的项为(1243)11223443(1)a a a a τ-和(3241)13223441(1)a a a a τ-，即11223443a a a a -和13223441a a a a .3. xx x x xx f 21123232101)(=，用行列式的定义求3x 的系数.解 )(x f 的展开式中含3x 的项只有一项：(2134)3(1)1x x x x τ-⋅⋅⋅=-，故3x 的系数为1-.4. 利用行列式的定义计算以下行列式:(2)244321)1(0400000300201000)4213(=⨯⨯⨯-=τ; 解析由n 1行只有一个非零元素1，先取114=a ，那么第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取222=a ，那么第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取331=a ，那么第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取443=a ，那么行列式的结果为244321)1(43312214)4213(=⨯⨯⨯=-a a a a τ;补充练习1. 由行列式的定义写出xxxx x x D 221321213215=的展开式中包含3x 和4x 的项.解 D 的展开式中含4x 的项只有一项4)1234(1025)1(x x x x x =⋅⋅⋅-τ，而含3x 的项有两项(2134)(1)12x x x τ-⋅⋅⋅和(4231)(1)3x x x τ-⋅⋅⋅，从而展开式中含3x 的项为：333)4231()2134(5323)1(21)1(x x x x x x x x x -=--=⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-ττ.行列式的性质1. 利用行列式的性质计算以下行列式：(2) 111111111ab ac ae bdcd de abcdef bf cf ef ------=--------2131111002022r r abcdef r r --+-+--231110224;002r r abcdef abcdef --↔---=--(3) 由于每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.311166661111111113111311131102006648;11311131113100201113111311130002==== (4)21312341(3)121212121212(1)(1)3011064702391204041204122241100130013r r r r r r r r +----+-+---------+-----4332121212121()(2)02390239510.005200052000130001r r r r --+-+-----=-----2. 证明以下等式：〔2〕0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ;〔3〕0111111111332313322212312111=+++++++++y x y x y x y x y x y x y x y x y x ; .证明(2) 把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.22222222222222222222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)2144690(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++; (3) 由性质4，将D 的第1列拆开，得+++++++=332332223121111111111y x y x y x y x y x y x D 332313322212312111111111y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++, 将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取1y ，得+=332332223121111y x y x y x y x y x y x D 3323332222312111111111y x y x x y x y x x y x y x x y ++++++，将第1个行列式第2、3列提取32,y y ，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，+=33221132111x x x x x x y y D 1113112112131222322222223333333233233111111111111x x x y x x y x x y x y y x x x y x x y x x y x y x x x y x x y x x y x y ⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭000=+=;3. 计算以下n 阶行列式.(1)xx x111111; (2)n222232222222221;解 (1)把第n ,,3,2 列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子)1(-+n x ，提取公因子之后，再给第1行乘以)1(-加到第n ,,3,2 行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.11(1)1111111(1)111[(1)]11(1)111x x n x x n x x x n xx n xx+-+-==+-+-1111010[(1)][(1)](1)01n x x n x n x x --=+-=+---;(2) 把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得122222222232222n=2-000010022220001-n)!2(22-000010022200001--⋅-==n n ; 4. 求方程01111111111111111=++++λλλλ的根.解第1行乘以)1(-加到第4,3,2行，得如下行列式:111100,0000λλλλλλλ+---再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.34111000(4),000000λλλλλλ+=+即可求出根:40-==λλ或.补充练习2. 行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，求行列式332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------的值.解 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------3323132313322212221231211121113332a a a a a a a a a a a a a a a ------= +---=3323231332222212312121112a a a a a a a a a a a a 3323131332221212312111113332a a a a a a a a a a a a ------ +=2323132222122121112a a a a a a a a a 3323133222123121112a a a a a a a a a ---=11121321222331323324a a a a a a a a a -=-.§1.5 行列式按行〔列〕展开1. 求行列式204502311--中元素5与2的代数余子式. 解元素5的代数余子式为212104(1)4,11A +=-=--元素2的代数余子式为232320(1) 2.31A +-=-=--2. 四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解由行列式按行〔列〕展开定理，得3131323233333434313233344(1)23(1)10(1)(1)(2)(1)4830813.D a A a A a A a A ++++=++++=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯=-++= 3. 求以下行列式的值〔2〕1234101231101205---3141(1)(2)c cc c +-+-1222100031461217-----212221(1)146217+=⨯------2131(1)(1)c c c c +-+-2135239------11352(1)24;39+--=-⨯-=---〔3〕所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得231111122(21)(21)(22)(1)(2)[(2)]14418812(1)(2)(2).xx x x x xx x x -=----------=--+4. 讨论当k 为何值时，行列式11001200003003k k k≠. 解1100120003003k k k21(1)c c +-10001120003003k k k-111201(1)0303k k k+-=⨯- 113(1)(1)(1)(3)(3),3k k k k k k+=-⨯-=--+所以，当1k ≠，且3k ≠，且3k ≠-时，11001200003003k k k≠. 5. 计算n 阶行列式 (3)按第1列展开，得112111000012100012002(1)(1),000210012n n D D ++-=-+-上式右端的行列式再按第一行展开，得122,n n n D D D --=-移项，得 112n n n n D D D D ----=-，递推，得 11223212121,12n n n n n n D D D D D D D D ------=-=-==-=-=从而得112211,1,,1,n n n n D D D D D D ---=+=+=+把上面1n -个等式相加，得1121 1.n D D n n n =+-=+-=+7．设四阶行列式4,a b c d c b da D dbca ab dc =试求14243444A A A A +++的值，其中4i A 〔1,2,3,4i =〕为行列式4D 的第4列第i 行的元素的代数余子式.解根据行列式按行〔列〕展开定理的推论，有12142224323442440,a A a A a A a A +++=即 1424344414243444()0,bA bA bA bA b A A A A +++=+++=142434440.A A A A +++=§1.6 行列式的应用1. 用克莱姆法那么解线性方程组〔3〕1234123423412321,22,233,5.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩解：2111121101231110D --=2414(1)(2)r r r r +-+-4101311310121(1)121180,0123123111+-----=--=-≠ 所以方程组有唯一解. 又11111221118,3123511D --==-22111121136,0323151D --==-32111122136,01331150D ==-42111121218,01231115D --==所以方程组的解为1118118D x D -===-， 2236218D x D -===-， 3336218D x D -===-，4418118D x D ===--.2．λ满足什么条件时，线性方程组1231231231,32,31,x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 有唯一解？解由克莱姆法那么知，当系数行列式0D ≠，线性方程组有唯一解，1113113D λλ-=--1232(3)r r r r ++-2312012131(1)2(51),38380λλλλλ++-+--=-=-+--当0D ≠时， 2(51)0λ-+≠，即当15λ≠-时，题设的线性方程组有唯一解.3．当k 为何值时，齐次线性方程组12312312320,0,4550,x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 有非零解？解齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式0D =，2111455kD k -=--12325r r r r ++232102111(1)(1)(54),5405400k k k k k k k k k ++-+--=-=-+++由0D =得：1k =，45k =-. 4．α和β为何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20,x x x x x x x x x αββ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解？解齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式0D =，1111121D αββ=2131(1)(1)r r r r +-+-131111110(1)(1),1211210ααβαββααβαβ+----=-=-----由0D =得：0β=或1α=.即当0β=或1α=时，方程组有非零解.5．求二次多项式2()f x ax bx c =++，使得(1)2f =-，(1)10f -=，(2)5f =-. 解由(1)2f =-，(1)10f -=，(2)5f =-，得2,10,42 5.a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩要求二次多项式需要求出系数,,a b c ，即要求出上述非齐次线性方程组的解. 由其系数行列式11111160,421D =-=≠121110116,521D -=-=-2121110136,451D -==--3112111018,425D -=-=-从而11D a D ==，26Db D==-，33D c D ==.即所求的二次多项式为2()63f x x x =-+.补充练习2．系数1234,,,(1,2,3,4)i i i i a a a a i =满足什么条件时，四个平面12i i a x a y ++340i i a z a +=(1,2,3,4)i =相交于一点〔000,,x y z 〕？解把平面方程写成如下形式12340i i i i a x a y a z a t +++=，〔1t =，1,2,3,4i =〕，于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组111213142122232431323334414243440,0,0,0,a x a y a z a t a x a y a z a t a x a y a z a t a x a y a z a t +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 有一非零解〔000,,,1x y z 〕.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式0D =，即四个平面相交于一点的条件为111213142122232431323334414243440.a a a a a a a a a a a a a a a a =3．设平面曲线32y ax bx cx d =+++通过点〔1，0〕，〔2，-2〕，〔3，2〕，〔4，18〕，求系数,,,a b c d .解由平面曲线通过点〔1，0〕，〔2，-2〕，〔3，2〕，〔4，18〕，得0,8422,27932,6416418.a b c d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=-⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数,,,a b c d .111184211227931641641D ==，又101112421122931181641D -==，2101182213627231641841D -==-，3110184210279216416181D -==， 4111842224,279326416418D -==从而11D a D ==，23D b D==-，30D c D ==，42Dd D ==.第二章矩阵学习要求1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。

2.3 逆矩阵

所以
A( A E ) E ,
A1 A E
(2) A2 A E O A2 A 2E E
( A E )( A 2 E ) E
( A E )1 ( A 2E ) 2E A
28
A满足A A E O.证明A, A E可逆，课堂设方阵练习并求它们的逆矩阵 .
2 1 A 1 2
的逆矩阵.
2 1 A 30 1 2
A11 2, 1 A A A 1 2 12 22

A21 1, A22 2
1 1 2 1 A A . A 3 1 2
a1n A11 a 2 n A12 a nn A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A O A AE , O A
16
4 , A13
2 1 1 3
5,
20
1 2 3 A 2 1 2 1 3 3
同理可求得
3 3 1 4 0 4 A 5 1 3
A31 1, A32 4, A33 3.
A21 3, A22 0, A23 1,
类似根据按列展开定理,
A11 A 12 A1n
A21 An1 a11 a12 a A22 An 2 a 21 22 A2 n Ann a n1 a n 2
a1n a2 n ann
1
AX E
a11 a12 a 21 a22 a n1 a n 2

2.3逆矩阵

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 2 0 ⎟ , 其伴随矩阵为 A* , 则思考题2: 设 ⎜ 3 4 5⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0⎞ ( A* )−1 = ＿＿＿＿＿＿ . 1 ⎜ ⎟ 2 2 0⎟ 10 ⎜ ⎜ 3 4 5⎟ ⎝ ⎠
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
思考题3: 已知 A, B, A+B 都为可逆矩阵, 证明
−1
.
此外, 当 n 阶矩阵A 可逆时, 可定义 A 的
( A)− k = ( A−1 )k , 同时规定 A0 =E ; 负整数次方幂:
于是当 A ≠ 0, k , l 为整数时
Ak Al = Ak + l , ( Ak ) l = Ak l .
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
⎛ 1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 −2 1 ⎟ 的逆矩阵 . 例: 求 ⎜ 1 −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 −1
两边右乘 A−1 ⇒ ( A−1 − E ) B = 6 E , ⇒ B = 6( A −1 − E ) −1
⎡⎛ 2 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎤ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 6 0 0⎞ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ = 6 ⎜ 0 3 0 ⎟ = ⎜ 0 2 0 ⎟ = 6 ⎢⎜ 0 4 0 ⎟ − ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎢⎜ 0 0 7 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝
3 −2 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 而 ⎜ 2 2 1 ⎟ 可逆 , 且 ⎜ 2 2 1 ⎟ = ⎜ − 3/ 2 − 3 5/ 2⎟ , ⎜ 3 4 3⎟ ⎜ 1 ⎜ 3 4 3⎟ 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 − 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 故 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 3 / 2 − 3 5 / 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 7 / 2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝

线性代数第2.3节可逆矩阵

5
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1: 解：
2 设 A 1 a 设 B c
1 , 求A的逆矩阵. 0 b 是 A 的逆矩阵, d
则
2 1 a b 1 0 AB 1 0 c d 0 1 2a c 2b d 1 0 b 0 1 a
14
1 1 B 1 A B A
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明： A A
T
1 T
A A
1 1 T
T
ET E,
A
T 1

A
.
1 k
另外, 当 A 0时, 定义 A E,
0
A
k
A
. k为正整数
A .
15
当 A 0, , 为整数时, 有 A A A

,
A

A 可逆，则有 A1 1 A 1 . (5) 若 A
证明： AA 1 E
例 :
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
AB BA E ,
B是A的一个逆矩阵.
4
唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明：设B、C都是A的逆矩阵，则 AB BA E，AC CA E 从而B EB (CA) B C ( AB ) CE C
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵 A1 , 使得

2-2,3 矩阵的运算,逆矩阵(第五次)

转置矩阵有Leabharlann 列性质 (1)(AT)TA； (2)(AB)TATBT； (3)(kA)TkAT； (4)(AB)TBTAT .
定义5 设A 为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT= - A，则称A为反对称矩阵. 显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji ; A为反对称矩阵的充分必要条件是 aij=-aji . 如： 1 -1 2 0 1 -2 A -1 3 4 , B -1 0 -4 2 4 -2 2 4 0 分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.
注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA ; 注 3 ：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从 AB=O，推出A=O或B=O .
1 2 1 0 1 1 例5 ．设 A , B , C , 则 0 3 0 4 0 0 1 AC 0 1 BC 0 2 1 3 0 0 1 4 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 , 0 1 . 0
注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA ; 注 3 ：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从 AB=O，推出A=O或B=O .
2 3 1 -2 -3 例3．设 A 1 -2 ， B = ，求AB及BA . 2 -1 0 3 1 8 -7 -6 解： AB -3 0 -3 , BA -9 4 . 3 8 5 -7 -9 -2 4 2 4 例 4 ．设 A ， B ，求AB及BA . -3 -6 1 -2 -16 -32 0 0 解： AB ， BA 8 16 0 0
cij (ai1 ai2
因此， cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.

二阶矩阵的可逆矩阵

二阶矩阵的可逆矩阵
摘要：
一、可逆矩阵的定义
二、二阶矩阵的可逆矩阵判定条件
三、可逆矩阵的性质
四、求解二阶矩阵的可逆矩阵方法
正文：
矩阵的可逆性是矩阵理论中的一个重要概念，特别是在二阶矩阵中，可逆矩阵的判定和性质有着非常直观的理解。

一、可逆矩阵的定义
一个可逆矩阵，也被称为非奇异矩阵，是指与其行列式值非零的矩阵，即如果一个n阶矩阵A的行列式|A|≠0，则称A为可逆矩阵。

二、二阶矩阵的可逆矩阵判定条件
对于二阶矩阵，我们可以通过行列式的值来判断其是否可逆。

具体来说，如果一个二阶矩阵A的行列式|A|≠0，则A是可逆矩阵。

这是因为，二阶矩阵的行列式可以表示为其主对角线元素之积减去副对角线元素之积，如果这个值非零，那么矩阵A就可以通过初等行变换进行逆矩阵的求解。

三、可逆矩阵的性质
可逆矩阵具有很多重要的性质，其中包括：可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一，即对于任意可逆矩阵A，都存在唯一的逆矩阵A^-1，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵；可逆矩阵的行列式与其逆矩阵的行列式互为倒数，
即|A|·|A^-1|=1。

四、求解二阶矩阵的可逆矩阵方法
对于二阶矩阵，我们可以通过初等行变换来求解其可逆矩阵。

具体来说，设A=|a11 a12|，|a21 a22|，我们可以通过交换行或者用非零行的倍数替换行来得到单位矩阵，这样得到的矩阵就是原矩阵A的可逆矩阵。

矩阵可逆的条件

谢谢观看
Docs
矩阵秩的计算方法
• 矩阵秩的计算可以通过高斯消元法、初等变换等方法进行 • 计算矩阵秩时，可以先将矩阵A化简为行阶梯形式或行最简形式
矩阵秩的应用
• 矩阵秩在解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等方面具有重要作用 • 矩阵秩还可以用于判断矩阵的性质，如线性无关性、秩相等性等
05
线性方程组的解与矩阵可逆性
矩阵可逆条件的探讨
CREATE TOGETHER
DOCS
01
矩阵的基本概念及性质
矩阵的定义与类型
矩阵的定义
• 矩阵是一个线性方程组的系数和常数项组成的数组 • 矩阵中的每个元素都是一个数
矩阵的类型
• 数值矩阵：矩阵中的元素都是数值 • 符号矩阵：矩阵中的元素都是符号 • 对角矩阵：矩阵中对角线上的元素相等，其余元素都为零 • 单位矩阵：主对角线元素为1，其余元素为0的方阵 • 零矩阵：所有元素都为0的方阵
矩阵的基本性质
矩阵的加法
• 交换律：A+B=B+A • 结合律： (A+B)+C=A+(B+C) • 数乘律： k(A+B)=kA+kB
矩阵的减法
• 交换律：A-B=B-A • 结合律：(A-B)-C=A(B+C) • 数乘律：k(A-B)=kA-kB
矩阵的乘法
• 不满足交换律：AB≠BA • 结合律：(AB)C=A(BC) • 数乘律：k(AB)=kA(B)
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
• 矩阵A可逆时，线性方程组有唯一解 • 矩阵A不可逆时，线性方程组无解或无穷多解
线性方程组解的计算与矩阵可逆性的判断

2.3可逆矩阵

§2.3 可逆矩阵

第三章 可逆矩阵(第一讲)

线性代数 2-3可逆矩阵

第一节 矩阵的运算

2.1 矩阵的概念

逆矩阵 算法-概述说明以及解释

线性代数2.3- 逆矩阵

2.3 可逆矩阵

第六次课 逆矩阵

2.3逆矩阵

线性代数 北京理工大学出版社 习题解答

2.3 逆矩阵

2.3逆矩阵

线性代数 第2.3节 可逆矩阵

2-2,3 矩阵的运算,逆矩阵(第五次)

二阶矩阵的可逆矩阵

矩阵可逆的条件

第三章可逆矩阵(第一讲)

第一节矩阵的运算

逆矩阵算法-概述说明以及解释

第六次课逆矩阵

线性代数北京理工大学出版社习题解答

线性代数第2.3节可逆矩阵