广东省广州市天河中学高考数学一轮复习 随机变量及概率分布课件

X
01234
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个概率分布表为： (1)2X＋1 的概率分布表：
2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的概率分布表： |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3
变式训练 2 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率 为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取， 然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球
也可以将①用下表形式来表示：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
要点梳理
忆一忆知识要点
称为随机变量 X 的概率分布表， 它和①都叫做随机变量 X 的 概率分布 ．显然，这里的 pi(i＝ 1,2，…，n)具有性质：①pi≥ 0；②p1＋p2＋…＋pn＝ 1 . 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围 内各个值的 概率之和．
因为 P(B)＝C15CC31220C18＝13， 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.
(2)随机变量 X 的可能取值为 2,3,4,5，取相应值的概率分别为 P(X＝2)＝CC13340＝310， P(X＝3)＝CC12C13024＋CC22C31041＝125， P(X＝4)＝CC12C13026＋CC22C31061＝130， P(X＝5)＝CC12C13028＋CC22C31081＝185. ∴随机变量 X 的概率分布表为
随机变量及其概率分布
要点梳理
忆一忆知识要点
1．离散型随机变量 X 的概率分布
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这
样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的
随机变量叫做离散型随机变量．
(2)设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…， xi，…，xn，且 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，① 则称①为随机变量 X 的概率分布列，能取值；(3)计分介 于 20 分到 40 分之间的概率等于 X＝3 与 X＝4 的概率之和．
解 (1)方法一 “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同” 的事件记为 A，则 P(A)＝C35CC12C31012C12＝23.
方法二 “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件 记为 A，“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的事件记 为 B，则事件 A 和事件 B 是互斥事件．
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1 的概率分布表； (2)|X－1|的概率分布表．
利用 pi≥0，且所有概率之和为 1，求 m；求 2X＋1 的值 及其概率分布表；求|X－1|的值及其概率分布表．
解 由概率分布的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为：
X
0
1
P 9c2－c 3－8c
1
1
则常数 c＝____3____，P(X＝1)＝____3____.
由离散型随机变量概率分布的性质可知：
90c≤2－9cc2＋－3c－≤81c＝1 0≤3－8c≤1
，解得 c＝13.
P(X＝1)＝3－8×13＝13.
求离散型随机变量的概率 分布
例 2 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球 被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 个小球上的最 大数字，求： (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的概率分布表； (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率．
X2 3 4 5 1238
P 30 15 10 15
(3)由于按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，所以当计分介于 20 分～40 分时，X 的取值为 3 或 4，所以所求概率为 P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝125＋130＝1330.
探究提高
在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到概率分布表上 来，这样所求的概率就可由概率分布表中相应取值的概率 累加得到．
2．如果随机变量 X 的概率分布表为
X
1
0
P
p
q
其中 0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量 X 服从参数
为 p 的 0—1 分布或两点分布．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．超几何分布
在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X CkMCnN－－kM
件次品，则随机变量 X 的分布列：P(X＝k)＝ CnN
2．离散型随机变量的概率分布的作用 对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值 以及取这些值或取某一集合内的值的概率，对于离散型随 机变量，它的概率分布正是指出了随机变量 X 的取值范 围以及取这些值的概率．
离散型随机变量概率分 布的性质
例 1 设离散型随机变量 X 的概率分布表为 X0 1 2 3 4
(k＝0,1,2，…，m)，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N， n、M、N∈N*，则称 X 服从超几何分布，记为 X～H(n， M，N)，并将 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，记为H(k；n，M，N) ．
[难点正本 疑点清源] 1．随机变量的本质
(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应 关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概 念中，函数 f(x)的自变量是实数 x，而在随机变量的概念 中，随机变量 X 的自变量是试验结果． (2)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言 随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复 试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计 规律性．
探究提高
(1)利用概率分布中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注 意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)若 X 是随机变量，则 2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求 它们的概率分布表可先求出相应随机变量的值，再根据对应的 概率写出概率分布表．
变式训练 1 若离散型随机变量 X 的概率分布表为：