材料科学与工程基础第三章复习资料

3.8 铁具有BCC晶体结构，原子半径为0.124 nm，原子量为55.85 g/mol。

计算其密度并与实验值进行比较。

答：BCC结构，其原子半径与晶胞边长之间的关系为：
a = 4R/3= 40.124/1.732 nm = 0.286 nm
V = a3 = (0.286 nm)3 = 0.02334 nm3 = 2.3341023 cm3
BCC结构的晶胞含有2个原子，
其质量为：m = 255.85g/(6.0231023) = 1.8551022 g 密度为= 1.8551022 g/(2.3341023 m3) =7.95g/cm3
3.9 计算铱原子的半径，已知Ir具有FCC晶体结构，密度为22.4 g/cm3，
原子量为192.2 g/mol。

答：先求出晶胞边长a，再根据FCC晶体结构中a与原子半径R的关系求R。

FCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为4，
= 4192.2g/(6.0231023a3cm3) = 22.4g/cm3，求得a = 0.3848 nm
由a = 22R求得R = 2a/4 = 1.4140.3848 nm/4 = 0.136 nm
3.10 计算钒原子的半径，已知V 具有BCC晶体结构，密度为5.96
g/cm3，原子量为50.9 g/mol。

答：先求出晶胞边长a，再根据BCC晶体结构中a与原子半径R的关系求R。

BCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为2，
= 250.9g/(6.0231023a3cm3) = 5.96 g/cm3，求得a = 0.305 nm
由a = 4R/3求得R = 3a/4 = 1.7320.305 nm/4 = 0.132 nm
3.11 一些假想的金属具有图3.40给出的简单的立方晶体结构。

如果其
原子量为70.4 g/mol，原子半径为0.126 nm，计算其密度。

答：根据所给出的晶体结构得知，a = 2R =20.126 nm = 0.252 nm 一个晶胞含有1个原子，
密度为：= 170.4g/(6.02310230.25231021cm3)
= 7.304 g/cm3
3.12 Zr 具有HCP晶体结构，密度为6.51 g/cm3。

(a) 晶胞的体积为多少? 用m3表示
(b) 如果c/a之比为1.593，计算c和a值。

答：
V c=nM ZrρN A
对于HCP，每个晶胞有6个原子，M Zr = 91.2g/mol.
因此：
V c=6×91.26.51×106×6.02×1023=1.396×10-28m3/晶胞
(b) V c=3×a×sin60×a×c=3×a2×√32×1.593a=4.1386a3
=4.1386a3=1.396×10-28，
求得a =3.2311010 m = 0.323 nm, c =1.593a =0.515 nm 3.13 利用原子量，晶体结构，和书中给出的原子半径数据，计算Pb, Cr, Cu和Co的理想密度，并与书中的实验数据做比较。

Co的c/a之比为1.623。

3.14 铑(Rh)的原子半径为0.1345 nm，密度为12.41 g/cm3。

确定其晶体结构是否为FCC或BCC晶体结构。

3.15 下面列出的表为3种假定合金的原子量，密度和原子半径。

判断每种合金，其晶体结构是否为FCC，BCC，或简单立方，并证明你的结论。

简单立方晶胞示在图3.40中。

合金
原子量
(g/mol)
密度
(g/cm3)
原子半径
(nm)
A 77.4 8.22 0.125
B 107.6 13.42 0.133
C 127.3 9.23 0.142
答：（1）单个原子质量：77.4/(6.02⨯1023) = 1.2857⨯10-22 g
则：n/V C = 8.22⨯10-21g/(1.2857⨯10-22 g ⋅nm3) = 63.934 nm-3 （2）单个原子质量：107.6/(6.02⨯1023) = 1.787⨯10-22 g
则：n/V C=13.42⨯10-21g/(1.787⨯10-22 g ⋅nm3) = 75.098 nm-3 若为简单立方：V C= a3 =(2R)3 =(2⨯0.133)3 = 0.01882 nm3
则：n = 1.41 与简单立方晶胞存在1个原子不符，
故不是简单立方结构。

若为面心立方：V C = a3 =(2√2R)3 =(2⨯1.414⨯0.133)3 = 0.0532 nm3
则：n = 3.996 与面心立方晶胞存在4个原子相符，
因此是面心立方结构。

3.16 锡晶胞具有四方(tetragonal)对称，晶格常数a和b各为0.583和0.318 nm。

如果其密度，原子量和原子半径各为7.30 g/cm3，118.69 g/mol和0.151 nm，计算其原子致密度。

答：晶胞体积为：V C= a2b =0.5832⨯0.318 = 0.1081 nm3
四方晶胞有几个独立原子：
3.17 碘具有正交晶胞，其晶格常数a, b, 和c各为0.479, 0.725 和0.978 nm。

(a) 如果原子致密度和原子半径各为0.547和0.177 nm, 确定晶胞中的原子数。

(b) 碘的原子量为126.91 g/mol；计算其密度。

答：(a) 单个原子体积：
V= 43πR3= 4×3.14×0.17733=0.0232 nm3
晶胞体积：V C= ab c = 0.479⨯0.725⨯0.978 = 0.3396nm3
晶胞中的原子数为：
n=APF×V C V= 0.547×0.33960.0232=8原子/晶胞
(b) 单个原子体积：
ρ = n×mV C = 8×126.910.3396×6.02×1023 =4.96×10-21g/nm3=4.96g/cm3 3.18 Ti具有HCP晶胞，其晶格常数之比c/a为1.58。

如果Ti原子的半径为0.1445 nm，(a) 确定晶胞体积，(b) 计算Ti的密度，并与文献值进行比较。

3.19 Zn具有HCP晶体结构，c/a之比为1.856，其密度为7.13 g/cm3。

计算Zn的原子半径。

3.20 Re具有HCP晶体结构，原子半径为0.137 nm, c/a之比为1.615。

计算Re晶胞的体积。

答：Re具有HCP晶体结构，则a = 2R = 2⨯0.137 = 0.274nm 六边形底面积A：A = a sin60︒⨯ a⨯3 = 0.2742⨯3⨯√3/2 = 0.195 nm2
晶胞的体积：A ⨯ c = 0.195⨯1.615 a =0.195⨯0.274⨯ 1.615
= 0.0863 nm3
3.21 下面是一个假想金属的晶胞，(a) 这一晶胞属于哪个晶系？
(b) 属于哪个晶体结构？(c) 计算材料的密度，已知原子量为141
g/mol。

答：属正方晶系，体心正方结构。

晶胞体积：0.40.30.3 = 0.036 (nm3) 单个原子质量：141g/(6.021023) = 2.34210-22 (g)
密度：2.34210-22/0.036 =
3.22金属间化合物AuCu3晶胞为：
（1）边长为0.374 nm的立方晶胞
（2）Au原子位于立方体的所有8个角上
（3）Cu原子位于立方体6个面的中心。

3.23 金属间化合物AuCu晶胞为：
（1）四方晶胞，边长a = 0.289 nm；c = 0.367 nm
（2）Au原子位于立方体的所有8个角上
（3）Cu原子位于立方体中心。

3.24 画出体心和正交晶体结构的草图。

3.25 对于陶瓷化合物，决定晶体结构的组元离子的两个特征是什么？
答：离子半径和电荷决定晶体结构
3.26 证明配位数为4时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.225。

CBD =109︒28'
BCD =BDC = (180︒-109︒28')/2=35︒16'
CD = 2r A
1.154 r A = 0.944 r A + 0.944 r C
等式两边用r A相除，并整理得：0.21 = 0.944(r C/r A)
即有：r C/r A = 0.223
3.27证明配位数为6时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.414。

提示：利用NaCl晶体结构，并假设阴离子和阳离子在立方体边和面对角线相切。

答：如图所示：考虑GHF三角形，
则有：
GH = r A + r C = HF
GF =2 r A ;
GFsin45︒= GH,
则有2 r A⨯√2/2 = r A + r C
等式两边用r A相除：
√2=1+ r C/r A，即有：r C/r A = 1.414 1 = 0.414
3.28证明配位数为8时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.732。

答：
3.29 根据离子电荷和离子半径预测下列材料的晶体结构：
(a) CsI (b) NiO (c) KI (d) NiS，证明结果。

答：r(Cs+)：0.170；r(Ni2+)：0.069；r(K+)：0.138；
r(I)：0.220；r(O2)：0.140；r(S2)：0.184；
（1）0.732<r Cs+r I-=0.1700.22=0.773<1.0；根据阳离子与阴离子之比，每个阳离子的配位数是8，预测的晶体结构是氯化铯型晶体结构。

（2）0.414 < r(Ni+)/r(O2) = 0.069/0.14 = 0.493 < 0.732；根据阳离子与阴离子之比，每个阳离子的配位数是6，预测的晶体结构是氯化钠型晶体结构。

（3）0.414 < r(K+)/r(I) = 0.138/0.220 = 0.627 < 0.732；根据阳离子与阴离子之比，每个阳离子的配位数是6，预测的晶体结构是氯化钠型晶体结构。

（4）0.225 < r(Ni2+)/r(S2) = 0.069/0.184 = 0.375 < 0.414；根据阳离子与阴离子之比，每个阳离子的配位数是4，预测的晶体结构是闪锌矿型。

3.30 表3.4中哪些阳离子能够形成氯化铯型晶体结构的碘化物。

氯化铯型晶体结构中，阳离子的配位数为8，要求阳离子与阴离子的半径之比的范围在0.732 <r A/r I< 1.0，
则0.7320.220 <r A< 1.00.220, 即有：0.161 <r A< 0.22。

满足这一条件的阳离子只有：Cs+
3.31 计算阳离子与阴离子半径之比为r A/r C= 0.732的氯化铯型晶体结
构的致密度。

答：r A/r C= 0.732表明，阴离子与阳离互为相切，阴离子之间也相切。

因此立方体八个角上的阴离子与体心的阳离子组成的晶胞的边长
a=2r C，则晶胞的体积为V = (2r C)3 = 8r C3，晶胞中有一个独立的阳离子和阴离子，它们所占的体积为：
43π(r A3+r C3)=43π[0.732r C3+r C3]=5.829r C3
致密度：
APF=5.829r C38r C3 = 0.73
3.32 表3.4给出了K+和O2离子半径各为0.138和0.140 nm。

每个O2
离子的配位数为多少？简单描述K2O的晶体结构。

解释为什么称为反荧石结构？
3.33 画出PbO的三维晶胞：
（1）四方晶胞，a = 0.397 nm，c = 0.502 nm；
（2）氧离子位于立方体中心及两个正方形面中心；
（3）一个氧离子位于其他两个相对面（长方形）上坐标为
（0.5a, 0.237c）坐标的位置。

（4）其他两个相对的正方形面上，氧离子位于（0.5a, 0.763c）坐标的位置。

3.34 计算FeO的密度，给出其具有岩盐结构。

答：0.414 < r(Fe2+)/r(O2) = 0.077/0.140 = 0.55 < 0.732
阳离子的配位数为6，具有岩盐结构。

3.35 MgO具有岩盐晶体结构，密度为3.58 g/cm3。

(a) 确定晶胞边长
(b) 假定Mg2+和O2沿着边长正好相切时的边长长度为多少？答：(a) = (m A+ m C)/a3 = 3.58;
4×(24.312+15.999)6.02×1023×a3 = 3.58×10-21
求得：a = 30.0748=0.421nm
(b) a = 2(r Mg2+ + r O2) = 2(0.072+0.140) =20.212 = 0.424 nm
3.36 计算金刚石的理论密度。

C—C键长与键角为0.154 nm和109.5°。

理论值与测理值进行比较。

答：首先我们需要根据键长确定晶胞的边长，图中给出了立方体晶胞的8分之1处C原子的八面体键合情况。

=109.5/2 = 54.75
X =a/4，Y = 键长= 0.154 nm
则Y cos(54.75) = a/4
求得：a= 40.154cos(54.75
)
= 0.356 nm
金刚石晶胞中存在8个独立原子，其质量为：
m=８12.011/(6.021023) = 1.59611022 (g)
晶胞的体积为: V = a3 =0.3563 = 0.0451 nm3
密度为：m/V = 1.59611022/(0.0451⨯1021) = 3.54 g/cm3实验测量的密度为3.51 g/cm3
3.37 计算ZnS的理论密度。

Zn—S键长与键角为0.234 nm和109.5°。

理论值与测量值进行比较。

答：ZnS的晶体结构与金刚石
结构相同。

求得：a = 40.234cos(54.75 )
= 0.540 nm
ZnS的晶体结构中有4个独立的ZnS
分子。

晶胞中分子的质量为：
m=4
(65.37+32.064)/(6.021023) = 6.4741022 (g)
晶胞的体积为: V = a3 =0.543 = 0.157 nm3
密度为：= m/V = 6.471022/(0.157⨯1021) = 4.12 g/cm3实验测量值为：= 4.10 g/cm3
3.38 CdS具有立方晶胞，从X—射线衍射数据可知，晶胞边长为0.582 nm。

如果测量的密度值为
4.82 g/cm3，每个晶胞中的Cd2+和S2离子数量为多少？
答：晶胞的体积为: V = a3 =0.5823 = 0.197 nm3
一个晶胞所含分子的质量为：
m =V= 4.8210210.197 = 0.9501021 g CdS的分子量为：112.4+32.064 = 144.464 g/mol
晶胞中的分子个数为：
0.950⨯10-21⨯6.023⨯1023144.464=3.96 ≈ 4
即每个晶胞中含有4个Cd2+和4个S2离子。

3.39 (a) 利用表3.4中的离子半径计算CsCl密度。

提示：修改3.4题中的结果。

(b) 密度测量值为3.99 g/cm3，如何解释密度的计算值和测量之间的差异。

答：A(Cs) Cs位于体心，Cs和Cl相切，
故AB = r
+ r Cl = 0.170+0.181 = 0.351 nm
(Cl)B C AC = a /2 BC = 2a /2
根据勾股定理：AB 2 = AC 2 + BC 2
0.3512 = (a /2)2 + (2a /2)2 = 3a 2/4，求得：a = 0.405
CsCl 的分子量为：132.91+35.45 = 168.36 g/mol ，
晶胞体积为：V = 0.4053 = 0.0664 nm 3
每个晶胞含有1个CsCl 分子，则密度为：
ρ = 168.36 g6.023×1023×0.0664×10-21cm3 =4.21 g/cm3
3.40 利用表3.4中的数据，计算具有荧石结构的CaF 2的密度。

答：r Ca = 0.100 nm r F = 0.181 nm
AC = 2r F + 2r Ca =2(0.100+0.181) = 0.562 nm AC = a /2， BC = 2a /2
根据勾股定理：AC 2 = AB 2 + BC 2
0.5622 = (a /2)2 + (2a /2)2 = 3a 2/4， 求得：a = 0.487 nm
晶胞体积为：V = (0.487nm)3 = 0.1155
nm 3 =1.1551022 cm 3
1个晶胞中含有8个Ca 和4个F ，
质量为：m = 840.08+418.998=396.632 g/mol
ρ = 396.632 g6.023×1023×1.155×10-22cm3 =5.70 g/cm3
3.41 假想的AX 类型陶瓷，其密度为2.65 g/cm 3，立方对称的晶胞边长为0.43 nm 。

A 和X 元素的原子量各为86.6和40.3 g/mol 。

由此判断，其可能的晶体结构属于下列哪一种：岩盐结构，氯化铯结构或者闪锌矿结构？
答：晶胞的质量为：
m = 2.6510210.433 = 0.2111021 g
晶胞中的独立分子数为：
0.211×10-21×6.023×1023（86.6+40.3）=1
因此，属于氯化铯结构。

3.42 具有立方对称的MgFe 2O 4(MgO-Fe 2O 3)的晶胞边长为0.836 nm 。

如果材料的密度为
4.52 g/cm 3，根据表3.4中的离子半径数据计算其原子致密度。

答：晶胞的质量为：m = 4.5210210.8363 = 2.641021 g
MgFe 2O 4的分子量为：
M = 24.312+255.847+415.999=200.002g/mol
晶胞中的独立分子数为：
A B C
2.64×10-21×6.023×1023200.002≈8
根据表3.4中的离子半径数据，得出：
r Mg= 0.072 nm，r Fe= 0.077 nm，r O= 0.140 nm
各对应的原子体积为：V Mg = 4(0.072)3/3= 1.562103 nm3
V Fe = 4(0.077)3/3= 1.911103 nm3
V O = 4(0.140)3/3= 1.149102 nm3晶胞体积为：V = (0.836nm)3 = 0.5843 nm3
APF=8×(VMg+2VFe+4VO)V=8×(1.562+2×1.911+4×11.149)×10-30.5843=0.68
3.43 Al2O3具有六方晶系，晶格常数为a = 0.4759 nm, c = 1.2989 nm。

如果材料的密度为3.99 g/cm3，根据表3.4中的离子半径数据计算其原子致密度。

答：晶胞体积为：
a sin60a3c= 0.47590.4759√3/2
1.2989=0.2548 nm3
晶胞的质量为：m= 3.9910210.2548 = 1.0171021g Al2O3的分子量为：
M = 226.982+315.999=101.961g/mol 晶胞中的独立分子数为：
1.017×10-21×6.023×1023101.961 ≈6
根据表3.4中的离子半径数据，得出：
r Al= 0.053 nm，r O= 0.140 nm
各对应的原子体积为：V Al = 4(0.053)3/3= 6.233104 nm3
V O = 4(0.140)3/3= 1.149102 nm3 APF=6×(2V Al+3VO)V=6×(2×6.233+3×114.9)×10-40.2548=0.84 3.44 计算金刚石立方晶体结构的原子致密度（图3.16）。

假定成键原子
相互接触，键角为109.5，晶胞内部的每个原子与最近邻晶胞面心之间的距离为a/4（a为晶胞边长）。

答：=109.5/2 = 54.75
X
=a/4，
Y = 2r C
则Y cos(54.75) = a/4
求得：
a= 4
2r C
cos(54.75) = 4.617 r C
晶胞的体积为: V = a 3 = (4.617r C )3 = 98.419 r C 3
金刚石晶胞中存在8个独立原子，其体积为：
V C =８
4 r C 3/3 = 33.493r C 3
APF = 33.493r C 3/98.419 r C 3= 0.340 g/cm 3
3.45 利用表3.4的离子半径数据，计算氯化铯的原子致密度。

假设离子
沿着体对角线相切。

答：
r Cs = 0.170 nm ，r Cl = 0.181 nm
AC = 2
r Cs + 2r Cl = 0.702 nm ， AC = √2a AB = a
根据勾股定理：AC 2 = AB 2 + BC 2 0.7022 = a 2 + (√2a )2，求得：a = 0.405 nm 每个晶胞中含有一个独立的分子，其体积
为：
V CsCl = 4(r Cs )3/3 + 4(r Cl )3/3
= 4(0.170)3/3 + 4(0.181)3/3
= 40.00491/3 + 40.00593/3 = 0.0454 nm 3 晶胞体积为：V = a 3 = (0.405)3 nm 3 = 0.0664 nm 3
APF = V CsCl /V = 0.0454/0.0664 = 0.68
3.46 根据成键，解释硅酸盐材料为何具有相对低的密度。

答：空间结构不如金属的空间结构排列的那么紧密；O ，Si 的结合有空
间键而且较长，但金属就不同，他们结合的键极短，并且原子量较大，所以没有金属那样较高密度。

3.47 确定SiO44 四面体中共价键之间的键角。

答：共价键之间的键角为：109.5
3.48 画出正交晶胞及其中的[121]晶向和(210)晶面。

A C B
3.49 画出单斜晶胞及其中的[011]晶向和(002)晶面。

3.50 （a
晶向1：
x y
z
投影： 0a 1/2b c
以a,b,c 为单位的投影： 0 1/2 1
化简为整数： 0 1 2 用中括号围起来： [012]
晶向2：
x y z
投影： 1/2a 1/2b c
以a ,b,c 为单位的投影： 1/2 1/2 1
化简为整数： 1 1 2 用中括号围起来： ]211[
（b ）给出两个晶面的指数
晶面1：
x y z
截距： a 1/2b c 以a ,b,c 为单位的截距：
1/2
取倒数：0 2 0
用圆括号围起来：(020)
晶面2：
x y z
截距：1/2a 1/2b c
以a,b,c为单位的截距：
1/2 1/2 1
取倒数： 2 2 1
用圆括号围起来：(221)
3.51 立方晶胞中画出下列晶向：
[。