第一章 1.2.1

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高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1

A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，，即xx≥≤11，，所以 x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函数的定义域是{x|x≠±1}.

人教版(2019)高一化学必修第一册第一章1.2.1离子反应-电解质的电离(23张PPT)

导电能力非常弱,上
述装置不能测出
灯泡变亮, （有电流产生）
NaCl溶都液能、导KN电O3溶液
【氯化钠在水溶液里导电】
金属导电：有自由移动的电子。类比
氯化钠溶液导电：有自由移动的离子。【氯化钠的熔融状态也可以导电】
电解质与非电解质为什么NaCl、KNO3的固体不导电，水溶液或熔融状态导电？
练习：书写H2SO4 、NaOH、(NH4)2C3、HNO3、Ba(OH)2、 Al2(SO4)3的电离方程式
H2SO4 = 2H+ + SO42-
HNO3 = H+ + NO3酸
电离时生成的阳离子全部是是H+的化合物
NaOH = Na+ + OH-
Ba(OH)2 = Ba2+ + 2OH碱
电离时生成的阴离子全部是OH-的化合物
自由移动离子的浓度 ⑦硫酸溶液的导电性一定比盐酸溶液的导电性强溶液导电性
离子所带电荷的多少
A．①④
B．⑤⑦
C．③⑥
D．②⑦
小结
混合物物质
单质
既不是电解质也不是非电解质
纯净物
化合物
能导电
溶于水或熔融状态
均不导电
电解质电离非电解质
电离方程式
1.下列说法正确的是( AC)
A.电离时生成的阳离子全部是氢离子的化合物叫做酸 B.只有酸电离时，阳离子才是氢离子 C.电离时生成的阴离子全部是氢氧根离子的化合物叫做碱 D.所有的盐电离时都生成金属离子和酸根离子
②氨溶于水得到的溶液氨水能导电，所以氨水是电解质 NH3·H2O是电解质 ③氯化氢溶于水能导电，但液态氯化氢不能导电
④KNO3溶液能导电，所以KNO3溶液是电解质 KNO3是电解质 ⑤溶于水后能电离出H＋的化合物都是酸 NaHSO4 = Na+ + H+ + SO42⑥电解质未必能导电，能导电的未必是电解质

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学

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忽视排列问题中的限制条件致误【例 4】在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___．【错解】排列的个数是 12 个或 8 个．【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条件．
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知识点一排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
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(2)计算AA5525的值．解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
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类型三列举法解决排列问题【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
Hale Waihona Puke [目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
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要点整合夯基础课堂达标练经典
典例讲练破题型课时作业
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人教版高中数学选修2-3第一章1.2.1排列

导入新课由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？你能用树形图列出所有结果吗？先看下面的问题234112 13 14 1231 2 4 1 3 2 1 3 41 42 14 3 3 43 2 3 13 1 2 3 14 3 4 23 2 132 434 1 2 1 2 3 2 4 2 1 3 21 423 1 2 3 424 1 2 4 3 4 1 4 24 34 1 2 4 1 34 2 1 4 2 3 4 3 1 4 3 2下题又如何呢？假如由数字1~9这几个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？上节课，我们一起学习了两个基本原理及基本原理的简单应用，这一节，我们将继续应用基本原理研究排列问题.1.2.1排列教学目标知识目标（1）基本概念：元素、排列、排列数、全排列、阶乘;（2）基本公式：排列数公式.能力目标(1) 理解排列的意义；(2) 熟悉阶乘运算；(3) 掌握排列数的计算公式；(4) 注意体会由特殊到一般的研究问题的方法；(5) 掌握运用科学计算器进行阶乘运算；(6) 能够应用排列数公式解决一些简单的问题.情感目标在排列的概念理解上，在排列数公式的推导过程中，要求学生学会透过现象抓本质，通过对事物现象本质的进一步分析，得出一般的规律.教学重难点重点理解排列的概念，能用列举法、树形图列出排列，从简单排列问题的计数过程中体会排列数公式 .难点对排列要完成的“一件事”的理解；对“一定顺序”的理解 .某学校计划在元旦安排一场师生联欢会，需要从甲、乙、丙三名候选人选2名作主持人，其中1名作正式主持人，一名作候补主持人，有多少种不同的方法？解答解决上述问题，可以应用分步计数原理进行，可分两步：第1步，确定正式主持人，从3人中任选1人，有3种不同选法；第2步，确定候补主持人，从余下的2人中选取，有2种不同的方法.根据分步计数原理，在3名同学中选2名，按照参加正式主持人在前，候补主持人在后的不同顺序排列方法有3×2＝6种.我们把上面问题中被取的对象叫做元素.于是，所提出问题就是从3个不同的元素a、b、c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法．所有不同排列为ab，ac，ba，bc，ca，cb，所有排列的种数为3×2＝6.如果我们把上述问题再推广到更为一般的情形，就得到排列及排列数的概念.知识要点1 排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素取出m个元素的排列.你能归纳一下排列的特征吗？根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.知识要点2 排列数从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示.m n A上面的问题，是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，记为，已经算得23A 23=3*2=6A 注：A 是英文arrangement(排列)的第一个字母知识要点3 排列数公式这里，n ，m ∈N*，并且m≤n . m n=n(n-1)(n-2)...(n-m-1).A4 全排列 n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．这是公式中m=n,即有也就是说，n 个元素全部取出的排列数，等于1到n 的连乘积.即n 的阶乘，用n!表示. m n =n*(n -1)*(n -2)*...*3*2*1.A 0！=1例题16！=6×5×4×3×2×1=72012111098765=51211109876⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 161514=3360⨯⨯.81271266316(1) ; A A(2)A (3) A ；例题2求下列各式中n 值：432n+1n (1) A =140A ;n n-189(2) 3A =4A . 解析：该题是对排列数公式的考察解：(1)由排列数公式得(2n ＋1)·(2n )·(2n -1)·(2n -2)＝140·n (n -1)(n -2) 整理得： ∴ (4n -23)·(n -3)＝0∴ n ＝3或n ＝(舍去)∴ n ＝3．24n -35n +69=0(2)由排列数公式得3*8!4*9!=(8-n)!(10-n)!化简得：解得n ＝6或n ＝13∵ n ≤8，∴ n ＝62n -19n +78=0继续解答例题3某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普通客票？1321112A 212=⨯=解：例题4用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法一:对排列方法分步思考.百位十位个位 648899A A A 181919=⨯⨯=⋅⋅648899A A 2919=⨯⨯=⋅解法二：对排列方法分类思考.符合条件的三位数可分为两类：百位十位个位A39百位十位个位A29百位十位个位A296482AA2939=+根据加法原理解法三：间接法.从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为， A 310∴ 所求的三位数的个数是其中以0为排头的排列数为 . A 2910A 32109A -A =10*9*8-9*8=648课堂小结1. 知识要求：（1）要求大家在理解排列的意义的基础上，掌握排列数的运算；（2）了解科学计算器的阶乘运算功能，为进一步学习排列的应用打好基础.2．重点掌握排列的两个公式： mn =n(n-1)(n-2)...(n-m-1).A m n=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1.A1 (1995年全国·理文)用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有______个. A 24 B 30 C 40 D 60高考链接A 先分类，再分步2（2001年高考•文理）如图，小圆圈表示网络的结点，节点之间的连线表示它们有网络相连. 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为_____.DA 26B 24C 20D 193.(2009年湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ______. A 18 B 24 C 30 D 36C解析:用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是 24C 33A 33A 233433C A -A =30课堂练习1.填空（1）从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_____种不同的摆放方法（用数字作答）.（2） 5人成一排，要求甲、已相邻，有_____种排法. 1800 482.选择（1）将5列车停在5条不同的轨道上，其中a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（）.A 120种B 96种C 78种D 72种（2）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法（）种.A 960种B 840种C 720种D 600种 √√3.解答题(1)有棋盘型街道如图，某人由 A 点到 B 点取捷径① 共有几种走法？②若不过 D 点，取捷径的走法共有几种？解： 7!(1)=35.4!3!种4!3(2)35-*=172!2!21！！！（2）用0、1、2、3、4、5六个数字，若数字可以重复，则可以构成几个三位数？其中奇数共几个？解：由于0不能排在百位，所以百位有5种方法，而十位与个位皆有6种方法，故共可排成 5 × 6 × 6 = 180 个三位数.若所排成的三位数为奇數，则个位可以排1、3、5共3种方法，而百位有5种，十位有6种排法，故共可排成 5 × 6 × 3 = 90 个奇数.（3）计划展出不同的画10幅，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？解：245245A A A 依题意，不同的陈列方式有种.习题解答1．(1)ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc(2)ab，ac，ad，ae，ba，bc，bd，be，ca，cb，cd，ce，da，db，dc，de，ea，eb，ec，ed415(1) A =15*14*13*12=32760;77(2) A =7!=5040;4288(3) A -2A =8*7*6*5-2*8*7=1568;871212771212A 5A (4)==5.A A 2.3.N 2 3 4 5 6 7 8 N! 2 6 24 120 720 5040 40320 ．4.(1)证明：左＝n•(n -1)•(n -2)•…•(n -m ＋1)右＝n•(n -1)(n-2)•…•［(n-1)-(m-1)＋1］＝n•(n -1)(n-2)•…•(n -m ＋1)＝左m m-1n n-1A =nA .∴（2）证明： 87677778767777A -8A +7A =8A -8A +A =A.346. A=24().种355. A =60().种。

高一数学必修四第一章 ..

关
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.1
答案 B
本
课解析 ①③正确，②是错误的，对于不同的 x，y 的值可以
栏
目开
相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，
关而函数并不是都能用具体的式子表示出来．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.1
应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有
本
作“无穷大”，“＋∞”读作“____正__无__穷__大______”，“－∞”
本课栏
读作“___负__无__穷__大_____”．
目开
我们把满足 x≥a，x>a，x≤b，x<b 的实数 x 的集合分别表示
关为___[a_，__＋__∞__)____，____(_a_，__＋__∞_)____，___(_－__∞__，__b_]____，
开关
在集合 B 中都有__唯__一__确__定__的__数__f_(_x_)_和它对应，那么就称 f：
__A__→__B____为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
___y_＝__f_(_x_)，___x_∈__A_.____其中 x 叫做___自__变__量_____，x 的取值
范围 A 叫做函数的____定__义__域______，
对应，记作：f：A→B.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.1
问题 4 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定
义域及值域是指什么？
本答函数的概念：A、B 是非空的数集，如果按照某种确定
课栏
的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B

化学选择性必修一第一章化学反应的热效应二节反应热的计算第一课时 1.2.1盖斯定律及其应用课件3份

然后从L到S，体系吸收热量(∆H2>0)
推论：同经一过个一热个化循环学，反体应系方仍程处式于S，态正，向因为反物应质∆没H1有与发逆生向变反化，应所∆H2大小相
等，符号相以就反不，能即引：发∆能H量1=变–∆化H，2 即∆H1+∆H2=0
4.图例说明
从反应途径角度：A→D： ΔH＝ΔH1＋ΔH2＋ΔH3＝－(ΔH4＋ΔH5＋ΔH6)；从能量守恒角度： ΔH1＋ΔH2＋ΔH3＋ΔH4＋ΔH5＋ΔH6＝0。
【思考】
C的燃烧，很难控制C只生成CO而不继续生成CO2，C（s）+ ½ O2（g）=CO（g）因此这个反应的ΔH无法直接测得。但这个反应的反应热是冶金工业中非常有用的数据，应该如何获得呢？能否利用一些已知反应的反应热来计算其他反应的反应热呢？
答案自然是肯定的应用盖斯定律，可间接地把它的反应热计算出来。
H2(g)+1/2O2(g) = H2O (l) △H＝△H1＋ △H2＝－285.8kJ/mol
实例2
同素异形体相互转化但反应热相当小而且转化速率慢，有时还很不完全，测定反应热很困难。现在可根据盖斯提出的观点“不管化学反应是一步完成或分几步完成，这个总过程的热效应是相同的”。已知：
P4(s、白磷)+5O2(g)=P4O10(s)；
H1 = -2983.2 kJ/mol
P(s、红磷)+5/4O2(g)=1/4P4O10(s)； H2 = -738.5 kJ/mol
试写出白磷转化为红磷的热化学方程式 ①－4×②：
P4_(_白_磷_、__s_) _=__4_P_(_红_磷_、__s_)；_____H_=__-_29_._2_k_J_/m_。ol
C(s)+O2(g)=CO(g) ∆H1=-393.5 kJ/mol CO(g)+ 12O2 (g)=CO2(g) ∆ H2=-283.0 kJ/mol 上述三个反应具有如下关系：

高一数学必修1 数学第一章完整知识点梳理大全(最全)

【1.1.1】集合的含义与表示1、集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2、常用数集及其记法N ——自然数集，N *或N +——正整数集，Z ——整数集，Q ——有理数集，R ——实数集.集合与函数概念3、集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4、集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5、集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅.【1.1.2】集合间的基本关系6、子集、真子集、集合相等7、已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算8、交集、并集、补集)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1、含绝对值的不等式的解法0)〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念1、函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 2、区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a ≥b ，而后者必须a b <．3、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．（暂不讲）⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．（暂不讲）⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 4、求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法5、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．6、映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B→．②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元a Ab B素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值1、函数的单调性①定义及判定方法yxo②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．简称：同增异减。

【人教版】七上数学第一章《有理数》教案：1.2有理数教案(4课时)

第一章有理数1．2有理数1．2.1有理数1．理解有理数的意义．2．能把给出的有理数按要求分类．3．了解0在有理数分类中的作用．重点会把所给的各数填入它所属于的集合里．难点掌握有理数的两种分类．一、创设情境，导入新课师：同学们都已经知道除了我们小学里所学的数之外，还有另一种形式的数，即负数．大家讨论一下，到目前为止，你已经认识了哪些类型的数．学生讨论．二、合作交流，解读探究师：你能列举出一些你已经学过的各类型的数吗？学生列举：3，5.7，－7，－9，－10，0，13，25，－356，－7.4，5.2，…师：你能说说这些数的特点吗？学生回答，并相互补充．教师指出，我们把所有的这些数统称为有理数．你能对以上各种类型的数作出分类吗？有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎨⎧正整数0负整数分数⎩⎨⎧正分数负分数说明：以上分类，若学生有因难，可加以引导：整数和分数统称为有理数，所以有理数可分为整数和分数两大类，那么整数又包含哪些数？分数呢？以上按整数和分数来分，那可不可以按性质(正数、负数)来分呢？试一试．有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎨⎧正整数正分数零负有理数⎩⎨⎧负整数负分数说明：让学生感受分类的方法和原则，统一标准，不重不漏．三、应用迁移，巩固提高例1：把下列各数填入相应的集合内：3．1415926，0，2008，－12，－7.88，10%，10.1，0.67，－89.正数集合负数集合整数集合分数集合例2：以下是两位同学的分类方法，你认为他们的分类结果正确吗？为什么？有理数⎩⎨⎧正有理数⎩⎨⎧正整数正分数负有理数⎩⎨⎧负整数负分数有理数⎩⎪⎨⎪⎧正数整数分数负数零四、练习与小结练习：教材练习题．小结：谈一谈今天你的收获．五、作业习题1.2第1题本课在引入了负数后对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理数的概念．分类是数学中解决问题的常用手段，通过本节课的学习使学生了解分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现，本课具有开放性的特点，给学生提供了较大的思维空间，能促进学生积极主动地参加学习，亲自体验知识的形成过程，可避免直接进行分类所带来的枯燥性。

高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.2排列的应用a23a高二23数学

12/13/2021
(1)“捆绑”排列问题排列问题中诸如将某些元素必须安排在一起(如相邻)的问题，我们称之为“捆绑”排列问题，也称为“集团排列”问题，即先排 “集团内部”的元素，再把它们看成一个整体作为一个大“元素”，与其他元素一起排列． (2)间隔排列问题——“插空”法我们把排列中部分元素不能相邻的排列问题称为间隔排列问题，解决间隔排列问题的常用方法是“插空”法，也就是先排不需要间隔(可以相邻)的元素，再将需要间隔的元素用插空方式插入排列即可．
12/13/2021
【解】解法 1：先不考虑甲、乙、丙的顺序，任意排列共有 A77种，因为在上述排列中，每 A33种有且仅有一种恰好是符合甲、乙、丙按一定顺序排列，因此符合要求的排法共有 A77÷A33＝ 840 种．
12/13/2021
解决此类问题，一是明确是否为排列问题，二是明确完成这件事是分类还是分步，还是既要分类又要分步.
12/13/2021
(1)从 5 本不同的书中选两本送给 2 名同学，每人一本，则
不同的送书方法的种数为( C )
A．5
B．10
C．20
D．60
解析：此问题相当于从 5 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即共有 A25＝20 种不同的送书方法．
12/13/2021
类型二元素的“在”与“不在”问题【例 2】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法． (1)甲不站右端，也不站左端． (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端．
12/13/2021
【解】 (1)方法 1：特殊位置法分两步：第一步：先排左、右两端有 A25种排法．第二步：再排中间四个位置，有 A44种排法．由分步乘法计数原理共有 A25·A44＝480 种站法．方法 2：特殊元素法在这里甲是特殊元素，可先排甲，分两步：

北师大版八年级数学下册第一章1.2.1直角三角形的性质与判定课件

（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
与同伴交流.
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
证明：如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
例3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a2＞b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．
AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12 ＝ 36 ，即点C到AB的距离为 3 6 .
15 5
5
新知小结
应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．
巩固新知
1 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.

高中数学必修四第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义

解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(��∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ��的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
��
=
−
2 2
,
则sin
题型一题型二题型三题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,

第1章1.2.1函数的概念

必修一：第一章：函数的概念与表示
新课导入
1.2 函数的概念与表示
必修一：第一章：函数的概念与表示
新课导入
在初中，我们就学习过函数，我们不仅知道了什么叫函数，还学习了一次、二次、反比例、正比例函
数.
——不系统，不全面
为什么我们还要学函数呢？
在高中，我们将比较系统、全面地学习“函数”
的知识.
必修一：第一章：函数的概念与表示
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】判断下列对应是否是A到B的函数？（1）A=B=N*，f：x →y=|x-3|；
1 （x 0）（2）A=R，B={0，1}，f ：x→ y 0 （x 0）（3）A=B=R，f：x→y= x
（4）A=Z，B=Q，f：x→
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】2.函数 y 4 3 2 x x 2 的值域为( A.(-∞,2］ B.(-∞ ,4］
C )
C.［2,4］
D.［2, +∞)
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】3.求函数 y x 2 x 1 的值域.
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【温馨提示】
（1）已知函数表达式求定义域，就是根据表达式有意义，列出不等式（组），然后解之，从而得
之；
（2）最后结果一定要写成集合或区间形式.
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】1.求下列函数的定义域.
1 (1) f ( x ) x | x |
知识导学
【升华提高】 1.一个对应是函数必须满足两个条件：
（1）必须是非空数集间的对应；

高中数学第一章集合与函数概念 12 函数及其表示 121 函数的概念学案(含解析)新人教版必修1

§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三求函数值【例3】已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2，于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。

第一章 §1.2 第1课时空间向量基本定理

§1.2 空间向量基本定理第1课时空间向量基本定理学习目标 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交分解．导语回顾平面向量基本定理，如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a ，b ，c 表示呢？一、空间向量基本定理问题1 如图，设i ，j ，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O ，对于任意一个空间向量p ＝OP →，p 能否用i ，j ，k 表示呢？提示如图，设OQ →为OP →在i ，j 所确定的平面上的投影向量，则OP →＝OQ →＋QP →. 又向量QP →，k 共线，因此存在唯一的实数z ，使得QP →＝z k ，从而OP →＝OQ →＋z k .在i ，j 确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OQ →＝x i ＋y j .从而OP →＝OQ →＋z k ＝x i ＋y j ＋z k .问题2 你能证明唯一性吗？提示假设除(x ，y ，z )外，还存在有序实数组(x ′，y ′，z ′)，使得p ＝x ′i ＋y ′j ＋z ′k ，则x ′i ＋y ′j ＋z ′k ＝x i ＋y j ＋z k .不妨设x ′≠x ，则(x ′－x )i ＝(y －y ′)j ＋(z －z ′)k . 两边同除以(x ′－x )，得i ＝y －y ′x ′－x j ＋z －z ′x ′－xk .由平面向量基本定理可知，i ，j ，k 共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x ，y ，z )是唯一的．知识梳理1．空间向量的基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .2．基底：我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解假设OA →，OB →，OC →共面．则存在实数λ，μ使得OA →＝λOB →＋μOC →， ∴e 1＋2e 2－e 3＝λ(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋μ(e 1＋e 2－e 3) ＝(－3λ＋μ)e 1＋(λ＋μ)e 2＋(2λ－μ)e 3， ∵e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＋μ＝1，λ＋μ＝2，2λ－μ＝－1此方程组无解，∴OA →，OB →，OC →不共面，∴{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底．反思感悟基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．跟踪训练1 (多选)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有( ) A ．{a ，b ，x } B ．{x ，y ，z } C ．{b ，c ，z } D ．{x ，y ，a ＋b ＋c }答案 BCD解析如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→，由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面．二、空间向量的正交分解知识梳理1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k }表示．2．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．三、用基底表示空间向量例2 如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点．用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.解 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤12(OB →＋OC →)－12OA → ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →.OQ →＝12OM →＋12OP →＝14OA →＋112OA →＋16OB →＋16OC → ＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 反思感悟用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →；(2)若D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值．解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12 D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12AB →－12AA 1→＝12(a －c )＝12a －12c .(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1→＋D 1B —→) ＝12(－c ＋a －b －c ) ＝12a －12b －c ，又D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1．知识清单： (1)空间的基底． (2)空间向量基本定理． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件． (2)运算错误，利用基底表示向量时计算要细心．1．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底，当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇏q ，q ⇒p .2．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的是( ) A.OA → B.OB → C.OC → D.OA →或OB → 答案 C解析 ∵OC →＝12(a －b )，∴OC →与a ，b 共面，∴a ，b ，OC →不能构成空间基底．3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 D解析 OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c .4．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，AC ′—→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，则( ) A ．x ＝y ＝z ＝12B ．x ＝y ＝z ＝1C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2答案 B解析 AC ′—→＝AB →＋BC ′—→＝AB →＋BB ′—→＋BC →＝AB →＋AA ′—→＋AD →＝12(AB →＋AD →)＋12(AB →＋AA ′—→)＋12(AA ′—→＋AD →)＝12AC →＋12AB ′—→＋12AD ′—→＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→，对比AC ′—→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，得x ＝y ＝z ＝1.课时对点练1．(多选)若{a ，b ，c }是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是( ) A ．a ,2b ,3cB ．a ＋b ，b ＋c ，c ＋aC ．a ＋b ＋c ，b ＋c ，cD ．a ＋2b ,2b ＋3c ,3a －9c答案 ABC解析因为{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以a ，b ，c 不共面，对于A ，B ，C 选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D ，a ＋2b ,2b ＋3c ,3a －9c 满足3a －9c ＝3[(a ＋2b )－(2b ＋3c )]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底． 2．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．已知A ，B ，M ，N 是空间中的四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底答案 ABC解析 A 中，假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与已知条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面，即A 是真命题；B 中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然B 是真命题；C 中，由BA →，BM →，BN →有公共点B ，所以A ，B ，M ，N 四点共面，即C 是真命题； D 中，因为a ，b ，c 共面，所以{a ，b ，c }不能构成基底，故D 错误．3．在正四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则用a ，b ，c 表示OE →为( ) A.OE →＝13a ＋13b ＋13cB.OE →＝12a ＋23b ＋cC.OE →＝12a ＋12b ＋12cD.OE →＝12a ＋14b ＋14c答案 D解析 OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋14(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)，所以OE →＝12a ＋14b ＋14c . 4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则( ) A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底答案 C解析假设c ＝k 1p ＋k 2q ，即c ＝k 1(a ＋b )＋k 2(a －b )，得c ＝(k 1＋k 2)a ＋(k 1－k 2)b ，这与{a ，b ，c }是空间的一个基底矛盾，故c ，p ，q 是空间的一组基底，故选C.5.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可表示为( )A.－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC.－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c答案 A解析取AC 的中点N ，连接BN ，MN ，如图所示，∵M 为A 1C 1的中点，AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，∴NM →＝AA 1→＝c ，BN →＝12(BA →＋BC →)＝12(－AB →＋BC →)＝－12a ＋12b ，∴BM →＝BN →＋NM →＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋c ＝－12a ＋12b ＋c . 6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别在棱BB 1，BC ，BA 上，且满足BE →＝34BB 1→，BF →＝12BC →，BG →＝12BA →，O 是平面B 1GF 、平面ACE 与平面B 1BDD 1的一个公共点，设BO →＝xBG →＋yBF →＋zBE →，则x ＋y ＋z 等于( ) A.45 B.65 C.75 D.85 答案 B解析因为BO →＝xBG →＋yBF →＋zBE →＝xBG →＋yBF →＋3z 4BB 1→，O 在平面B 1GF 内，所以x ＋y ＋3z 4＝1，同理可得x 2＋y2＋z ＝1，解得x ＋y ＝25，z ＝45.所以x ＋y ＋z ＝65.7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1→作为基向量，则AC 1→＝____________.答案 12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)解析 ∵2AC 1→＝2AA 1→＋2AD →＋2AB →＝(AA 1→＋AD →)＋(AA 1→＋AB →)＋(AD →＋AB →)＝AD 1→＋AB 1→＋AC →， ∴AC 1→＝12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)．8．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为________．答案－23，－16，16解析取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝⎛⎭⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.9.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点．(1)用基底{a ，b ，c }表示向量DB 1→，BE →，AF →； (2)化简DD 1→＋DB →＋CD →，并在图中标出化简结果．解 (1)DB 1→＝DC →＋CB 1→＝DC →＋BB 1→－BC →＝a －b ＋c . BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E —→＝－a ＋12b ＋c .AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(b ＋c )＝a ＋12b ＋12c .(2)DD 1→＋DB →＋CD →＝DD 1→＋(CD →＋DB →)＝DD 1→＋CB →＝DD 1→＋D 1A 1—→＝DA 1→. 如图，连接DA 1，则DA 1→即为所求．10．如图所示，在空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用向量a ，b ，c 表示向量GH →.解因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝13OA →＋23OD →＝13OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )，又OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝OH →－OG →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .11.如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，0，－1 解析 DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 12．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d ＝αa ＋βb ＋γc 时，α＋β＋γ＝________. 答案 3解析由已知得，d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3. 又d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3.13.如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OG →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 16a ＋13b ＋13c解析 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →) ＝12OA →＋23⎝⎛⎭⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC → ＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤OB →－12OA →＋12(OC →－OB →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 14．如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，点G 为△ACO 1的重心，若OA →＝a ，OC →＝b ，OO 1→＝c ，OG →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ＋y ＋z ＝________.答案 1解析易知△ACO 1为正三角形，连接OB ，设AC ，BO 相交于点M ，连接O 1M ，如图所示，显然点G 在线段O 1M 上，且满足O 1G —→＝2GM →，有OG →－OO 1→＝2(OM →－OG →)，得OG →＝23OM →＋13OO 1→，即OG →＝23×12(OA →＋OC →)＋13OO 1→＝13OA →＋13OC →＋13OO 1→＝13a ＋13b ＋13c ，可得x ＋y ＋z ＝1.15．已知四面体O －ABC ，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14 B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，23答案 A解析如图所示，连接AG 1并延长，交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)，AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)，∵OG →＝3GG 1→，∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →. ∴x ＝14，y ＝14，z ＝14.16.如图，在三棱锥P －ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段P A ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD →＝mP A →，PE →＝nPB →，PF →＝tPC →，求证：1m ＋1n ＋1t为定值，并求出该定值．解连接AG 并延长交BC 于点H ，连接DM (图略)．由题意，可令{P A →，PB →，PC →}为空间的一个基底， PM →＝34PG →＝34(P A →＋AG →)＝34P A →＋34×23AH →＝34P A →＋12×AB →＋AC →2＝34P A →＋14(PB →－P A →)＋14(PC →－P A →)＝14P A →＋14PB →＋14PC →. ∵点D ，E ，F ，M 共面，∴存在实数λ，μ使得DM →＝λDE →＋μDF →，即PM →－PD →＝λ(PE →－PD →)＋μ(PF →－PD →)，∴PM →＝(1－λ－μ)PD →＋λPE →＋μPF →＝(1－λ－μ)mP A →＋λn PB →＋μt PC →，由空间向量基本定理，知14＝(1－λ－μ)m ，14＝λn ，14＝μt ，∴1m ＋1n ＋1t ＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．。

人教版七上数学第一章1

人教版七上数学第一章1.2.1有理数课时易错题三刷（第一刷）一、单选题1．下列说法正确的个数为（）①0是整数；②-0.2是负分数；③3.2不是正数；④自然数一定是正数．A ．1B ．2C ．3D ．42．在15，﹣0.23，0，513，π，0.65，2，﹣35，316%这几个数中，是正分数的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．下列数中：2，1.0010001， 53，0，﹣π，有理数的个数是（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4．在-1，0.01，π，0，-（-3）， 227，这六个数中，正有理数有（）个 A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 5．在0，＋3.5， −117， π3 ，0. 13 ，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列各数2，-1，0，1.25， −83，-3， 0.34 中是非负数的个数是（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个7．关于-100的说法：①是有理数，②是自然数，③是整数，④是负无理数，正确个数( )A ．1B ．2C ．3D ．48．下列各数 25，-6，25，0，3.14，20%中，分数的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．在有理数-3，13，0，−72，-1.2，5中，整数有，负分数有． 10．下列说法：①负分数一定是负有理数；②自然数一定是正数；③3.2不是整数；④0是整数；⑤一个有理数，它不是整数就是分数．其中正确的有．（填序号）三、解答题11．把下面一组数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称.0.7，﹣10，＋3.4，﹣413，0，85，0.412．把下列各数填在相应的集合内.－3，2，－1，−14，－0.58，0，－3.1415926，0.618，139整数集合：{ ……}负数集合：{ ……}分数集合：{ ……}非负数集合：{ ……}正有理数集合：{ ……}负分数集合：{ ……}13．把下列各数分别填入相应的集合：+26，0，-8，π，-4.8，-17，227，0.6，−58自然数集：{ ……}；正有理数集：{ ……}；负有理数集：{ ……}；非负数集：{ ……}；整数集：{ ……}；非负整数集：{ ……}；分数集：{ ……}；14．把下列各数填入相应的集合里：＋5，－12，4.2，0，－5.37，37，－π，－3.（1）正有理数集合：{ …}；（2）负数集合：{ …}；（3）分数集合：{ …}；（4）非正整数集合｛…｝；四、综合题15．把下列各数分别填入相应的集合内．−12，3，7.8，−0.01，223，−15，0，−213．（1）正数集合：{ ……}；（2）负分数集合：{ ……}；（3）非正整数集合：{ ……}．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：①0是整数，则说法符合题意；②-0.2是负分数，则说法符合题意；③3.2是正数，则说法不符合题意；④自然数包括0和正数，则说法不符合题意；所以说法正确的个数为①②，有2个．故答案为：B【分析】根据整数，负分数，正数的定义求解即可。