APT定价模型组题

资产组合理论： 1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。股票A 的收益为15%的概率是40%，而收益为10%的概率是60%，股票B 的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。

（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？ （2）如果50%的资金投资于股票A ，而50%的资金投资于股票B ，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？

答案：（1）股票A 的期望收益E(R )0.415%0.610%12%;A =⨯+⨯=股票A 的标准差

A 0.0245σ==。

股票B 的期望收益E(R )0.535%0.5(5%)15%;B =⨯+⨯-=股票B 的标准差

0.2B σ==

因为股票A 和股票B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。 （2）该投资组合的期望收益

P E R 0.5E(R )0.5E(R )0.512%0.515%13.5%,A B =⨯+⨯=⨯+⨯=（）

标准差P 0.1007σ===

2、假设有两种基金：股票基金A ，债券基金B ，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A ：期望收益 10% 标准差 20% B ：期望收益 5% 标准差 10% 计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？ （2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？

答案：（1）设组合中A 基金投资比例为X ，那么B 基金投资比例为1-X 。组合的方差

222222222P x (1x)2x(1x)0.2x 0.1(1x)0.10.20.1x(1x)

A B A B σσσρσσ=+-+-=+-+⋅⋅-是关于X 的一元二次方程，其最小的条件是关于X 的导数为0。 对X 求导，并使其等于0，得：

0.096x 0.018=，解得：X=0.1875,1-X=0.8125

所以最小方差组合中A 基金的投资比例为0.1875，B 基金的投资比例为0.8125。 （2）最新方差组合的期望收益

()=xE()(1x)E()0.187510%0.81255% 5.9375%P A B E R R R +-=⨯+⨯=

标准差

P 0.0912

σ===

CAPM：

3、假设国库券利率是4%，市场组合的期望收益率是12%，根据CAPM：

（1）画图说明期望收益和β之间的关系

（2）市场的风险溢价是多少？

（3）如果一个投资项目的β为1.5，那么该投资的必要回报率是多少？

（4）如果一个β为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的β是多少？

答案：（1）

（2）市场的风险溢价是：12%-4%=8%

（3）E（R）=4%+（12%-4%）*1.5=16%

（4）该项目必要回报率E（R）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不应该投资该项目。

（5）11.2%=4%+（12%-4%）*β，解得：β=0.9。

4、假设无风险收益率为6%，市场组合的预期收益率为10%，某资产组合的β系数等于1.2。根据CAPM计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其β=0.8，预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票？

答案：（1）该资产组合的预期收益率E（R）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%

(2)该股票的期望收益率为E(R)= 6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现价20<21.06，说明该股票被低估了，所以投资者应该看多该股票。

APT：

5、考虑一个单因素APT 模型，股票A 和股票B 的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B 的β为1.0。如果不存在套利机会，股票A 的β应该是多少？

答案：根据APT ，对于股票B ：18%=6%+1.0F ，解得：F=12% 对于股票A ：15%=6%+βF=6%+12%β，解得：β=0.75。

6、考虑一个多因素APT 模型，股票A 的期望收益率是17.6%，关于因素1的β是1.45，关于因素2的β是0.86。因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？

答案：根据APT ，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26% 因此，因素2的风险溢价是9.26%。

7、考虑一个多因素APT 模型，假设有两个独立的经济因素F1和F2，无风险利率是6%， 两个充分分散化了的组合的信息如下：

如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少？

答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2，根据APT ，有： 对于组合A ：19%=6%+1.0R1+2.0R2 对于组合B ：12%=6%+2.0R1

联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%

因此，因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。

8、已知股票A 和股票B 分别满足下列单因素模型：

0.10.9

0.05 1.10.2()0.3()0.1

A M A

B M B

M A B R R R R εεσσεσε=++=++==

=

（1）

分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。

（2） 用股票A 和B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4和0.6，求该组合的非系

统性标准差。 答案：（1）股票A 的标准差0.3499A σ===

股票A 的标准差0.2417B σ===

股票A 和股票B 的协方差