APT定价模型组题

资产组合理论： 1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。

股票A 的收益为15%的概率是40%，而收益为10%的概率是60%，股票B 的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。

（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？ （2）如果50%的资金投资于股票A ，而50%的资金投资于股票B ，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？
答案：（1）股票A 的期望收益E(R )0.415%0.610%12%;A =⨯+⨯=股票A 的标准差
A 0.0245σ==。

股票B 的期望收益E(R )0.535%0.5(5%)15%;B =⨯+⨯-=股票B 的标准差
0.2B σ==
因为股票A 和股票B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。

（2）该投资组合的期望收益
P E R 0.5E(R )0.5E(R )0.512%0.515%13.5%,A B =⨯+⨯=⨯+⨯=（）
标准差P 0.1007σ===
2、假设有两种基金：股票基金A ，债券基金B ，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A ：期望收益 10% 标准差 20% B ：期望收益 5% 标准差 10% 计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？ （2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？
答案：（1）设组合中A 基金投资比例为X ，那么B 基金投资比例为1-X 。

组合的方差
222222222P x (1x)2x(1x)0.2x 0.1(1x)0.10.20.1x(1x)
A B A B σσσρσσ=+-+-=+-+⋅⋅-是关于X 的一元二次方程，其最小的条件是关于X 的导数为0。

对X 求导，并使其等于0，得：
0.096x 0.018=，解得：X=0.1875,1-X=0.8125
所以最小方差组合中A 基金的投资比例为0.1875，B 基金的投资比例为0.8125。

（2）最新方差组合的期望收益
()=xE()(1x)E()0.187510%0.81255% 5.9375%P A B E R R R +-=⨯+⨯=
标准差
P 0.0912
σ===
CAPM：
3、假设国库券利率是4%，市场组合的期望收益率是12%，根据CAPM：
（1）画图说明期望收益和β之间的关系
（2）市场的风险溢价是多少？
（3）如果一个投资项目的β为1.5，那么该投资的必要回报率是多少？
（4）如果一个β为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的β是多少？
答案：（1）
（2）市场的风险溢价是：12%-4%=8%
（3）E（R）=4%+（12%-4%）*1.5=16%
（4）该项目必要回报率E（R）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不应该投资该项目。

（5）11.2%=4%+（12%-4%）*β，解得：β=0.9。

4、假设无风险收益率为6%，市场组合的预期收益率为10%，某资产组合的β系数等于1.2。

根据CAPM计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其β=0.8，预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。

请问投资者应该看多还是应该看空该股票？
答案：（1）该资产组合的预期收益率E（R）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%
(2)该股票的期望收益率为E(R)= 6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。

而该股票的现价20<21.06，说明该股票被低估了，所以投资者应该看多该股票。

APT：
5、考虑一个单因素APT 模型，股票A 和股票B 的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B 的β为1.0。

如果不存在套利机会，股票A 的β应该是多少？
答案：根据APT ，对于股票B ：18%=6%+1.0F ，解得：F=12% 对于股票A ：15%=6%+βF=6%+12%β，解得：β=0.75。

6、考虑一个多因素APT 模型，股票A 的期望收益率是17.6%，关于因素1的β是1.45，关于因素2的β是0.86。

因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？
答案：根据APT ，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26% 因此，因素2的风险溢价是9.26%。

7、考虑一个多因素APT 模型，假设有两个独立的经济因素F1和F2，无风险利率是6%， 两个充分分散化了的组合的信息如下：
如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少？
答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2，根据APT ，有： 对于组合A ：19%=6%+1.0R1+2.0R2 对于组合B ：12%=6%+2.0R1
联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%
因此，因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。

8、已知股票A 和股票B 分别满足下列单因素模型：
0.10.9
0.05 1.10.2()0.3()0.1
A M A
B M B
M A B R R R R εεσσεσε=++=++==
=
（1）
分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。

（2） 用股票A 和B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4和0.6，求该组合的非系
统性标准差。

答案：（1）股票A 的标准差0.3499A σ===
股票A 的标准差0.2417B σ===
股票A 和股票B 的协方差
22(,)(0.10.9,0.05 1.1)(0.9,1.1)
0.990.990.20.0396
AB A B M A M B M M M COV R R COV R R COV R R σεεσ==++++===⋅=（2）组合的收益率
0.40.60.4(0.10.9)0.6(0.05 1.1)
P A B M A M B R R R R R εε=+=+++++
组合的非系统性标准差
0.1342εσ===
9、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：1122()it
it i t i t R E R F F ββ=++，
其中：it R 表示第i 种证券在时间t 的收益，1t F 和2t F 表示市场因素，其数学期望等于0，协方差等于0。

此外，资本市场上有2种证券，每种证券的特征如下：
（1） 建立一个包括证券1和证券2的投资组合，但是其收益与市场因素1t F 无关。

计算该投资组合的期望收益和贝塔系数β2。

（2） 设有一个无风险资产的期望收益等于5%，β1=0，β2=0，是否存在套利机会？
答案：(1)设组合中证券1的投资比例为X ，那么证券2的投资比例为1-X 。

1211111222211222(1)[()](1)[()]
pt t t
t t t t t t R XR X R X E R F F X E R F F ββββ=+-=+++-++
因为其收益与市场因素1t F 无关，所以组合关于1t F 的贝塔应该为0，即：
1121(1)0(1)1.50
X X X X ββ+-=+-=
解得：X=3，1-X=-2，所以()3(10%)2(10%)10%pt E R =-=
21222
(1)3(0.5)2(0.75)0
p X X βββ=+-=-=
所以其收益与市场因素1t F 和2t F 都无关。

（2） 因为（1）中投资组合收益与市场因素1t F 和2t F 都无关，所以是无风险的投资组合，其收益为10%，高于无风险资产5%的期望收益，所以应该借入期望收益为5%的无风险资
产，然后投资于（1）中10%的投资组合。