大连理工大学

《高等代数下》试卷及答案二

一、填空题（每小题4分，共32分）。

1. 判断下面所定义的变换, 哪些是线性变换, 哪些不是线性变换: 1) 在P [x ] 中, ),1())((+=x f x f σ ];[)(x P x f ∈ 2) 在P [x ] 中, ,1)())((+=x f x f σ ][)(x P x f ∈.

2. 设2222:⨯⨯−→−R R σ的线性变换，，

X d c b a X ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=)(σ 其中R 是实数域， 求σ在基⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E 下的矩阵

3．已知三级矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则E A A A +++-21*相似于对角矩阵

4．设四级矩阵A 的最小多项式为)2()1()(2--=λλλm ，写出A 的所有可能的Jordan 标准形

5．已知矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=2121A ，则A 初等因子组, ， 不变因子组为 ，各阶行列式因子组为

6. 在欧氏空间4R 中（内积按通常定义），向量)0,1,1,0(),1,1,0,0(==βα之间的夹角 7．设321,,εεε是三维欧式空间的一组标准正交基，

),22(3211εεεα-+=k ),22(3212εεεα+-=k )22(3213εεεα--=k 也是一组标准正交基，

则k = 。

8．设),(βαf 是数域P 上三维线性空间V 上的一个双线性函数，321,,εεε是V 的一组基，矩

阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=012120101A 是),(βαf 在321,,εεε下的度量矩阵，设

21321,2εεβεεεα-=-+=，则),(βαf =

二．计算

1．（6分）已知三级实对称矩阵A 的三个特征值为3,2,1321===λλλ，对应21,λλ的特征向量分别为)0,1,0(),1,0,1(21==p p ，求3λ对应的特征向量.

2．（10分）设V 是数域P 上的一个线性空间，321,,εεε是它的一组基，f 是V 上的一个线性函数，已知3)(,1)2(,1)(213221-=+-=-=+εεεεεεf f f ，求)(332211εεεx x x f ++. 三．（12分）在n x P ][中)1(>n ，微分变换)('))((:x f x f D D =是n x P ][上的线性变换 1. 求D 的特征多项式；

2. 证明D 在任何一组基下都不可能是对角矩阵;

3. 求D 的核及值域. 四．（10分）设A 是数域P 上一个n 级矩阵，证明A 与A 的转置矩阵'A 相似. 五．设

3231212

32221321666222),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=

1．(8分) 用正交线性替换化下列二次型为标准形（要有过程）；

2．(2分) 在空间直角坐标系321X X X O -中, 1),,(321=x x x f 表示何种曲面.

六．（10分）设V 是n 维欧氏空间，证明对于任意n 级正定矩阵A ，都存在V 的一组基，使得关于这组基的度量矩阵是A .

七．（10分）设21,σσ是n 维线性空间V 上线性变换，且

v 121=+σσ（v 1是V 上的恒等变换），且 秩=+21σσ秩n ，证明： 1．)()(21V V V σσ⊕=；

2．01221==σσσσ；2,1,2

==i i i σσ.

参考答案

一、填空题（每小题4分，共32分）。 1.1）是线性变换 2)不是线性变换

2. 0000000

0a b a b c d c

d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦ 3． 90

0170023700

3⎡

⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

4． 1000110000100

00

2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1000110000200

00

2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

5． ()

2

2λ-,

()1λ- ，()()21,1,12λλ--， ()()21,1,12λλ--

6.

3π 7． k = 1

3

±。8． -1 二．计算

1．解：设),,(321x x x p =是3λ对应的特征向量，则p 与21,p p 皆正交， 即

130x x +=

20x = 可得 ()1,0,1p =-

于是

33λ=的所有特征向量为 kp ，0k ≠

2．

解：由题意可知

122313()()1()2()1()()2

f f f f f f εεεεεε+=-⎧⎪

-=⎨⎪+=-⎩

⇒

123()2

()1()0

f f f εεε=-⎧⎪

=⎨⎪=⎩

所以 )()()()(332211332211εεεεεεf x f x f x x x x f ++=++=122x x -+

三．解：1. 取n x P ][的一组基 1，x ，2x ，

，1

n x

-，则有

212

101000020(1,,)(1,,)000

10

00

0n n D x x x x x x n --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 即D 在基1

2,,,,1-n x x x 下的矩阵为D =⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-0000

100002000010

n ，所以D 的特征多项式

()n f E D λλλ=-=.

2．由1知D 只有一个特征值0λ=（n 重），唯一的一个特征子空间是一维的，维数小于n ，所以D 在任何一组基下的矩阵都不是对角矩阵。

3．D 的核{}

1(0)()[](())0n D f x P x D f x -=∈= 所以 ()f x p =，p P ∈ 即1

(0)D P -=，

D 的值域121][),,,1())(,),(),1(()][(---===n n n n x P x x L x D x D D L x P D

四．

证明：由于E A λ-与'E A λ-互为转置矩阵，所以具有相同的各级行列式因子，因此具有相同的不变因子，故A 相似于A ’

五．

解：由题意可知此二次型对应的矩阵为

A =233323332--⎡⎤

⎢⎥--⎢⎥

⎢⎥---⎣⎦

A 的特征多项式为2)5)(4(||)(-+=-=λλλλA E f ，因此A 的特征值5,421=-=λλ

对应41-=λ的特征向量为 ()1111'p =，

对应52=λ线性无关的特征向量为2(110)'p =-，3(101)'p =-，将其正交化、单位化后得正交