3.4圆周角同步练习2
九年级数学上册 2.4 圆周角同步练习 (新版)苏科版
2.4 圆周角1．A 判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.2． A 如图，已知在⊙O中，∠B OC=150°，求∠A3．A 已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是多少度？4．A 给你一把直尺和一把圆规，你能画出公共边为斜边的一对直角三角形么?5．B 在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．A．42° B．138°C．84° D．42°或138°6．B 如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．A．16° B．32° C．48° D．64°7．B ∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为( )A.50°B.80°或50°C.130°D.50°或130°8．B 已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°.求⊙O的直径．9．B 如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）A. 140°B. 135 °C. 130 °D. 125 °——————————————————2.4 圆周角1．(3)是圆周角，其它都不是2．75°3．100°4．先用圆规画一个圆, 并找出其直径AB. 在圆周上找任意异于A、B的两点C、D, 连接AC、BC、AD、BD.5．D6．D7．D8．cm9．D.。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB ＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+24．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD7．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°8．已知⊙O的半径为3，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝3，AC＝3，则∠BAC的度数是（）A．75°或105°B．15°或105°C．15°或75°D．30°或90°二．填空题9．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4，CD＝8，则AB ＝．11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为．12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE ＝．14．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝．15．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．16．已知：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，若以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE∥AB，DE与AC相交于点E，则DE＝．三．解答题17．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且＝．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB．20．已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O 于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．21．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF＝AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A＝∠GEF．参考答案一．选择题1．解：连接BC，延长ED交⊙O于N，连接OD，并延长交⊙O于M，∵∠AOC＝80°，∴的度数是80°，∵点D为弦AC的中点，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，即M为的中点，∴和的度数都是80°＝40°，∵＞，∴40°＜的度数＜80°，∴20°＜∠CED＜40°，∴选项C符合题意；选项A、选项B、选项D都不符合题意；故选：C．2．解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．3．解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．4．解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，∴∠GBC＝∠ADC＝50°，∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD＝90°﹣50°＝40°，延长AE交⊙O于点M，∵AO⊥CD，∴，∴∠DBC＝2∠EAD＝80°．故选：C．5．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：B．6．解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．7．解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选：C．8．解：分为两种情况：①当圆心O在∠BAC的内部时，如图所示，过O作OE⊥AB于E，OD⊥AC于D，连接OA，∵OE⊥AB，OE过圆心O，AB＝3，∴AE＝BE＝，由勾股定理得：OE＝＝＝，即OE＝AE，∴∠BAO＝45°，∵OD⊥AB，OD过圆心O，AC＝3，∴AD＝CD＝，∵OA＝3，∴AD＝OA，∴∠AOD＝30°，∴∠CAO＝60°，∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝45°+60°＝105°；②当O在∠BAC的外部时，由①得：∠CAO＝60°，∠BAO＝45°，所以∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝60°﹣45°＝15°；故选：B．二．填空题9．解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝15°，故答案为：15°10．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，∴CP＝4，根据相交弦定理得，16＝AP×4AP，解得AP＝2，∴AB＝10．11．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°12．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝OB＝BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°．故答案为：60°或120°．13．解：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝∠BOD＝60°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝60°．故答案为：60°．14．解：∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠EBF＝∠A+∠E＝85°，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°，∵∠BCD＝∠F+∠CBF，∴∠F＝125°﹣85°＝40°．故答案为40°．15．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．16．解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴D为BC的中点，又∵DE∥AB，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×4＝2．三．解答题17．解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连接AE，如图，∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AE•BC＝BD•AC，∴BD＝＝，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝，∴sin∠ABD＝＝＝．18．解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．19．证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE；（2）如图，∵AD2＝AE•AC，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴＝，∴CD＝CB．20．（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝P A，∵∠DF A+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，∴P A＝PF，即：P是AF的中点；（3）解：∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°，∴△FDA∽△ADB，∴＝，由题意可知圆的半径为5，∴AB＝10，∴＝＝＝，∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，即：tan∠ABF＝．21．（1）证明：∵AE＝EB，AD＝DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB＝∠ABF，又∵∠C＝∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF＝2AD，∴．22．证明一：（1）连接DF，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴BD＝DC＝AB，∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC，∴BF＝FC，即F是BC的中点；（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，∴∠A＝∠BDF，∵∠BDF＝∠GEF（圆周角定理），∴∠A＝∠GEF．证明二：（1）连接DF，DE，∵DC是⊙O直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°．∵∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．∴EF＝CD，DF＝EC．∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴EF＝CD＝BD＝AB．∴△DBF≌△EFC．∴BF＝FC，即F是BC的中点．（2）∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF＝∠FEC，∠B＝∠EFC．∵∠ACB＝90°（也可证AB∥EF，得∠A＝∠FEC），∴∠A＝∠FEC．∵∠FEG＝∠BDF（同弧所对的圆周角相等），∴∠A＝∠GEF．（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）。
北师大版九年级下册数学 3.4圆周角和圆心角之间的关系 同步练习(含解析)
3.4圆周角和圆心角之间的关系同步练习一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝30°，则sin∠COB的等于（）A．B．C．D．2．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一点，则∠ACB等于（）A．80°B．100°C．120°D．130°3．如图，＝＝，AD为⊙O的弦，∠BAD＝50°，则∠AED等于（）A．50°B．60°C．70°D．75°4．如图，圆心为C、直径为MN的半圆上有不同的两点A、B，在CN上有一点P，∠CBP ＝∠CAP＝10°，若的度数是40°，则的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于（）A．B．C．D．6．如图所示，AB是直径，点E是弧AB中点，弦CD∥AB且平分OE，连AD，∠BAD度数为（）A．45°B．30°C．15°D．107．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（）A．α＝βB．α+2β＝90°C．2α+β＝90°D．α+β＝45°8．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（）A．70°B．35°C．40°D．20°9．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）A．33°B．56°C．57°D．66°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE ∥AC，交BC的延长线于点E．若⊙O的半径为5，AB＝8，则CE的长为（）A．4B．C．D．二．填空题11．如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠GEO＝46°，则∠DCF＝．12．如图，AD是⊙O的直径，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为．13．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝70°，则∠BAE＝°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为．三．解答题16．如图，以△ABC的一边为直径的半圆与其它两边AC、BC分别交于点D、E，＝．（1）求证；AC＝AB；（2）若BC＝8，BA＝6，求CD的长．17．如图，在⊙O中．（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．18．如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．（1）求EF的长．（2）若点E为OC的中点，①求弧CD的度数．②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．参考答案一．选择题1．解：∵OA＝OC，∠ACO＝30°，∴∠OAC＝∠ACO＝30°，∵∠COB是△AOC的外角，∴∠COB＝∠ACO+∠OAC＝60°，∴sin∠COB＝sin60°＝．故选：C．2．解：如图：在优弧上取点D，连接AD，BD，∵⊙O中，∠AOB＝100°，∴∠ADB＝∠AOB＝50°，∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°．故选：D．3．解：连接OA，OB，OC，OD，∵∠BAD＝50°，＝＝，∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，∵＝＝，∴AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠BOD＝50°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝150°，∴∠AED＝∠AOD＝75°．故选：D．4．解：∵的度数是40°，∴∠ACM＝40°∵∠CBP＝∠CAP＝10°，∴A、C、P、B四点共圆，∴∠ACM＝∠ABP＝40°，∵∠CPB＝10°，∴∠ABC＝40°﹣10°＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，∴∠BCN＝180°﹣∠ACM﹣∠ACB＝20°，∴的度数是20°．故选：C．5．解：连接BD．则∠CDA＝∠ABC．（同圆中同弧AC所对的圆周角相等）同理∠DCB＝∠DAB，所以△PCD∽△P AB，＝＝．∵AB直径，∴∠ADB＝90°．∴∠PDB＝∠ADB＝90°，在Rt△PDB中，cos∠DPB＝＝，∴sin∠DPB＝．（sin2∠DPB+cos2∠DPB＝1）tan∠BPD＝＝．故选：A．6．解：设CD与OE交于P，则连接OC，∵CD∥AB且平分OE，∴OP＝•OC，∴sin∠PCO＝，∴∠PCO＝30°，又∵CD∥AB，∴∠COA＝∠PCO＝30°，∴∠BAD＝∠BOD＝15°．故选：C．7．解：如图，设AC与DO交点为E，如图，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠BDO＝α，∴∠DOA＝2∠OBD＝2α，又∵D为中点，AB为⊙O直径，∴OD⊥AC，∴∠EAO+∠EOA＝90°，即2α+β＝90°．故选：C．8．解：如图，连接DE，数学∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠BED＝70°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，故选：D．9．解：如图，连接OC，OB．∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝66°，∴∠ADC＝∠AOC＝33°，数学故选：A．10．解：∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∴AD＝CD＝5，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝8，∴BC＝6，∵∠BAD＝∠DCE，∵∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴，∴，∴CE＝，故选：B．二．填空题11．解：∵CD是直径，EG＝GF，∴CD⊥EF，∴＝，∴∠CDF＝∠EOD，∵∠OGE＝90°，∠GEO＝46°，∴∠EOD＝44°，∴∠DCF＝22°．故答案为：22°．12．解：连接CD．∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠B＝40°，∴∠DAC＝90°﹣40°＝50°．故答案为50°．13．解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝70°，∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝110°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝70°，∠B＝180°﹣∠BCD＝70°∴∠BAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为：4015．解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．∵＝，∴OM⊥PD，∴∠MOD＝90°，∴∠MCD＝∠MOD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝10，∴AT＝AC•sin45°＝5，∵AM≥AT，∴AM≥5，∴AM的最小值为5，故答案为5．三．解答题16．（1）证明：∵＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，∴∠ABC＝∠C，∴AC＝AB；（2）解：∵∠CAE＝∠CBD，∠ACE＝∠BCD，∴△CAE∽△CBD，∴＝，即＝，∴CD＝．17．解：（1）∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∴∠BOC＝2∠A＝40°；（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，即点O到BC的距离为12．18．解：（1）连接OD，∵⊙O的直径AB＝12，∴圆的半径为12÷2＝6，∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴EF＝OD＝6；（2）①∵点E为OC的中点，∴OE＝OC＝OD，∴∠EDO＝30°，∴∠DOE＝60°，∴弧CD的度数为60°；②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值＝DG，∵∠G＝∠COD＝30°，∵EG＝9，数学∴DG＝＝＝6，∴PC+PD的最小值为6．。
2022-2023学年苏科版九年级数学上册 《圆周角》同步练习题(含答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+3．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．3B．4C．5D．66．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（）A．B．1C．D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．二．填空题8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．9．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，连接DE，则线段DE的最小值为．10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．11．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．三．解答题12．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．15．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．16．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O 于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．19．已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．20．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝时，四边形ABCD为正方形．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．23．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON：AN ＝2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．2．解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥P A，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．3．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，故①符合题意；∵C是中点，∴AC＝BC，故②符合题意；∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，∴AB＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB＝，∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≈△BCE，∴CD＝CE，AD＝BE，∴OECD是正方形，设正方形的边长为a，∴OA﹣a＝OB+a，∴2a＝OA﹣OB＝4，∴a＝2，∴点C坐标为：（2，﹣2），故④符合题意，故选：A．4．解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：＝＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴CM＝EM，∵E是BC的中点，∴CM＝BC，∵AB是半圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DM⊥BC，∴DM∥AC，∴AD＝AB，设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，∵AC＝CD，∴AD＝2AF，∴＝，∴AB＝2AC，BC＝＝AC，∴＝＝，∴BC：AB＝；故选：B．5．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∴AH＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴＝，∴AP＝5，故选：C．6．解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA 交CA的延长线于G．∴AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACD，∴＝，∴AD＝BD，∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，∴EM＝EN，DH＝DH，∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，∴EM＝EN＝，∵∠ECN＝∠CEN＝45°，∴CN＝EN＝，∴EC＝，∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），∴AG＝BH，同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），∴CG＝CH，∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，∴CG＝DG＝7，∴CD＝7，∴DE＝7﹣＝，∴＝＝．7．解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共角，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，∴CF＝．故选：A．二．填空题8．解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝6，AC＝4，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝60°，∴∠FED＝∠ACD＝60°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EFD＝30°，∵△JAD是等边三角形，∴∠AJD＝60°，∴∠AFD＝∠AJD，∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆，∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大，此时FJ＝6，JM＝＝，∴FM的最大值为6+，故答案为：6+．9．解：连接CE，∵CH是⊙O的直径，∴∠CEH＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴点E在以CF为直径的⊙M上，连接EM、DM，∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，∴FM＝MC＝EM＝1，在Rt△DMC中，DM＝＝＝，∵DE≥DM﹣EM，∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，∴线段DE的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为CD2＝16，故答案为：16．11．解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．三．解答题12．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝P A，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝P A+PB．13．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．14．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．15．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．16．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．17．解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+．19．（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE．（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3．20．证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．21．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；22．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．23．解：（1）如图1，∠P即为所求：（2）如图2，∠CBQ即为所求．24．解：∵AB＝10，∴OA＝5，∵ON：AN＝2：3，∴ON＝2，∵∠ANC＝30°，∴∠ONM＝30°，∴OM＝ON＝1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2＝CO2﹣OM2＝25﹣1＝24，∴CM＝2，∴CD＝2CM＝4．25．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．。
九年级数学圆的经典题
九年级上册圆经典题同步练习A 组1.如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠N ＝50°，则∠MON 的度数为()A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°2.已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是()A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．点A 与圆心O 重合3.如图所示，圆中弦的条数是()A ．2B ．3C ．4D ．54.如图，AC 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，下列说法错误的是（）A.弦BC 所对的弧有两条B.图中共有四条弦C.图中共有两条劣弧D.图中共有两条优化5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，则图中共有劣弧______条，写出其中的一条优弧，如_____________．6.如图，矩形ABCD 的边AB=4cm ，AD=5cm.以A 为圆心，4cm 为半径作⊙A ，试判断点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系.7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，以点B 为圆心，6为半径作⊙B.（1）AB 与AC 的中点D ，E 与⊙B 有怎样的位置关系?（2）若要让点A 和点C 有且只有一个点在⊙B 内，则⊙B 的半径应满足什么条件?N OM第1题A OC第3题BDE C OB第4题A B第5题AB CDCBAEDB 组8.在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法中不正确的是()A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外9.已知⊙O 外有一点P ，⊙O 上有一点Q ，线段PQ 长的最小值为4cm ，最大值为9cm ，则⊙O 的半径为___________．C 组10.如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，延长DC 与BA 的延长线相交于点P ，且PC ＝OB ，∠BOD ＝99°，求∠P 的度数．BOPDCA3.1圆（2）A 组1.能确定一个圆的是()A ．已知圆心B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过三角形的三个顶点2.三角形的外心具有的性质是()A ．到三边的距离相等B ．到三个顶点的距离相等C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内3.如图所示，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M4.用直尺和圆规作出如图三角形的外接圆（只需要作出图形，并保留作图痕迹，不必谢作图过程）5.如图，已知线段AB.（1）经过A ，B 两点可做_______个圆，这些圆的圆心都在_______________.（2）作经过A ，B 两点的所有圆中最小的圆.6.已知A ，B ，C 三点.（1）当AB ＝1cm,BC ＝2cm ，AC ＝3cm 时，A ，B ，C 三点_________（填“能”或“不能”）确定一个圆，理由是_______________________________.（2）当AB ＝6cm,BC ＝8cm ，AC ＝10cm 时A ，B ，C 三点_________（填“能”或“不能”）确定一个圆，理由是_______________________________.第3题A BCBACBA7.在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，那么这个三角形的外接圆直径是_____________.B 组8.已知一个等边三角形的边长为6，则这个三角形的外接圆的半径长为()A ．2B.3C ．3D ．239.如图所示，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；（2）若在△ABC 中，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．C 组10.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 点是△ABC 的外心，求点C 的坐标．BAC3.2图形的旋转A 组1.下列现象中属于旋转的是()A ．电梯的升降运动B ．飞机起飞后冲向空中的过程C ．汽车方向盘的转动D ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车2.如图所示，△ABC 按顺时针方向旋转一个角度后得△A′B ′C′，图中的旋转中心是()A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．B ′点3.风力发电机可以在风力作用下发电．如图所示的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是()A ．45B ．60C ．90D ．1204.如图所示，直角三角形ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转90°后到达△A 1B 1C ，延长AB 交A 1B 1于点D ，则∠ADA 1的度数是()A ．30°B ．60°C ．75°D ．90°5.如图所示，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，若△ABD 经过逆时针旋转后到△ACP 位置，若点B ，D ，P 三点在同一直线上，则∠DPC ＝__________．6.如图，已知△ABC 和点O ，将△ABC 绕O 点旋转，点A 的对应点为A’，画出△ABC 经旋转后所得到的图形.A （A ’）BB ’C B第2题图第3题图BAC B 1A 1D 第4题图ABCD P 第5题图ACBO7.如图所示，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图（1）中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图（2）中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．B 组8.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－1，－2)，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OA ′，点A′的坐标为(a ，b )，则a ＋b 等于()A.1B.－1C ．3D ．－39.如图所示，已知AC ⊥BC ，垂足为点C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AD ，连结DC ，DB.（1）线段DC ＝__________；（2）求线段DB 的长度．C 组10.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连结BE.（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）当AD ＝BF 时，求∠BEF的度数．ABCDE FC ABD3.3垂径定理（1）A 组1.圆的对称轴有()A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条2.下列命题中，正确的是()A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心3.如图，在圆O 中，AB 是弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若AB =8，OC =3，则圆O 的半径OA 等于（）A.8B.6C.5D.44.如图，在圆O 中，AB 是弦，OC ⊥AB ，若AO =10，AB =16，则AB 的弦心距等于（）A.4B.8C.6D.105.已知在圆O 的半径为13cm ，一条弦心距为5cm ，则这条弦长为____________cm.6.如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC ＝6cm ，则∠ACB=_______°，OD ＝________cm.7.如图，AB 是圆O 的弦，半径OC ⊥AB 与点D ，（1）若半径为5，CD =2，求弦AB 的长（2）若CD =4，AB =16，求其半径长.AOC B第3题AO C B第4题AOCB 第6题D AO D B第7题CB 组8.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC.（1）则∠C=___________°（2）若⊙O 的半径为r ，则弦AB=________（用含r 的代数式表示）9.已知：如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，求证：弧AB=弧BDC 组10.图所示，在半径为5的扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E.（1）当BC ＝6时，求线段OD 的长；（2）求DE 的长；（3）在△ODE 中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是何角，并写出它的度数．AO D B第8题C CBODEA A OD BC3.3垂径定理（2）A 组1.如图所示，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，AD 是⊙O 的一条直径，BC 与AD 相交于点E ，BD ︵＝CD ︵，下列结论中不一定正确的是()A.AB ︵＝AC︵B ．BE ＝CEC ．BC ⊥ADD ．AB ＝BC2.下列说法错误的是（）A.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦B.平分弦的直径平分弦所对的的弧C.垂直平分弦的直线必定经过圆心D.垂直于弦的直径平分这条弦。
3.3 圆周角 同步练习(含答案) (3)
3.3 圆周角一、双基整合：1．如图1，AB 、CE 是⊙O 的直径，∠COD=60°，且»»AD BC =，•那么与∠AOE相等的角有_____，与∠AOC 相等的角有_________．BABA（1） （2） （3）2．一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为________． 3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____．4．如图2，AB 为圆O 的直径，»»BC BD =，∠A=25°，则∠BOD=______．5．如图3，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且∠AMN=∠CNM ，•AB=6，则CD=_______．6．如果两条弦相等，那么（ ）A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对7．如图4，在圆O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=BCB ．»»AN BN = C ．¼¼AM BM = D ．OC=CNB（4） （5） （6）8．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）A ．42B ．82C ．24D ．169．如图5，在半径为2cm 的圆O 内有长为23cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为（ •）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°10．如图6，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不．一定成立．．．．的是（ •） A ．∠COE=∠DOE B ．CE=DE C ．OE=BE D ．»»BDBC 11．已知如图，在⊙O 中，AD 是直径，BC 是弦，D 为»BC的中点，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，写出六条以上结论）二、拓广探索:12．如图7所示，已知C 为»AB 的中点，OA ⊥CD 于M ，CN ⊥OB 于N ，若OA=r ，•ON=•a ，•则CD=_______．BC ADO NMCAO（7） （8） （9）13．如图8，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），•则该圆弧所在圆的圆心坐标为_________．14．如图9所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC•的三边所得的弦长相等，•则∠BOC=（ ）_B_C_A _E _D_OA ．140°B ．135°C ．130°D ．125°15．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，•求证:»»AC BD =．三、智能升级:16．如图：⊙O 1和⊙O 2是等圆，P 是O 1O 2的中点，过P 作直线AD 交⊙O 1于A 、B ，交⊙O 2于C 、D ，求证：AB=CD ．参考答案1．略 略 2．90° 3：2 90° 4．50° 5．6 6．D 7．D 8．B 9．C 10．C 11．略 12．13．（2，0） 14．D15．提示：连接OC ，OD ，由OM=12OA ，ON=12OB ，得OM=ON ，OC=OD ， ∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ，•∵∠COA=∠DOB ，∴»»AC BD = 16．提示：过点O 1作O 1M ⊥AB 于M ，过点O 2作O 2N ⊥CD 于N ， 再证明△O 1MP ≌△O 2NP ，•得OM=ON ，∴AB=CD_B。
北师大版九年级数学下册练习：3.4 圆周角和圆心角的关系
北师大版九年级数学下册练习：3.4 圆周角和圆心角的关系C.55°D.60°5.(2019·广东)同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB ＝AC，则∠ABC＝35°.知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2019·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A)A.∠2B.∠3C.∠4D.∠58.(2019·哈尔滨)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是(B)A.43°B.35°C.34°D.44°9.如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E.若∠C＝25°，则∠D＝65°.10.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC. 证明：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵.∴∠ADB＝∠BDC.∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°. 中档题12.(2019·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D)A.64°B.58°C.32°D.26°13.(2019·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于(B)A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°14.(2019·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D)A.45°B.60°C.75°D.85°15.(2019·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为4 2.16.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上.(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数；(2)若OC ＝3，OA ＝6，求tan∠DEB 的值. 解：(1)连接OB.∵OD⊥AB，∴AD ︵＝BD ︵.∴∠BOD＝∠AOD＝52°. ∴∠DEB＝12∠BOD＝26°. (2)∵OD⊥AB ，OC ＝3，OA ＝6， ∴OC＝12OA ，即∠OAC＝30°. ∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝12∠AOC＝30°. ∴tan∠DEB＝33. 17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD＝30°，∠BCD ＝20°，试求∠BAC 的度数.解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°， ∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°， ∠BAC＝12∠BOC＝50°. 综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1 圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2019·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2 圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2019·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2019·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2019·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2019·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2019·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB 为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积. 解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AE B＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE，又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE＝CE＝2，设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2.∴(7＋x)2－72＝42－x2.∴x1＝1或x2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15.∴S菱形ABFC＝815.综合题17.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长.解：(1)证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DEBA＝CECA，∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为23，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB＝4 3.在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°.∴DEBA＝CECA＝12，即DE＝2 3.。
北师大版九年级数学下册：第三章3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆周角和圆心角的关系》的内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的度量等知识的基础上进行教授的。
这一节内容主要介绍了圆周角和圆心角的关系，即圆周角等于其所对圆心角的一半。
这是圆的重要性质之一，对于学生理解圆的性质和应用具有重要的意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本概念和度量知识有一定的了解。
但是，对于圆周角和圆心角的关系的理解，可能还需要进一步的引导和解释。
因此，在教学过程中，我将会注重学生的参与和实践，通过举例和练习，让学生深入理解圆周角和圆心角的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。
2.过程与方法：学生通过观察、实践和思考，培养观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，提高自信心，培养合作和探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。
2.教学难点：学生能够理解和证明圆周角等于其所对圆心角的一半。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和案例教学法。
通过提问和举例，引导学生思考和探索圆周角和圆心角的关系。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT 和动画，来辅助解释和展示圆周角和圆心角的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过提问和回顾，引导学生回顾已知的圆的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.讲解：详细讲解圆周角和圆心角的关系，通过图示和实例，让学生直观地理解这一性质。
3.练习：给出一些练习题，让学生运用圆周角和圆心角的关系解决问题，巩固所学知识。
4.拓展：给出一些拓展题，让学生进一步思考和探索圆周角和圆心角的关系的应用。
5.小结：对本节课的内容进行总结，强调圆周角和圆心角的关系的重要性。
苏科版数学九年级上24圆周角(2)同步练习含答案.docx
第2章对称图形一一圆2.4圆周角（2）如图，AB 是半圆的直径，D 是AC 的屮点，ZABO50。
，则ZDAB 的度数为（【基础提优】 1. A.如图, 15° AB 为OO 的直径, 点C 在。
O 上，ZA=30°,则ZB 的度数为（ ） 如图, 35° 若AB 为OO 的直径，CD 是＜90的弦, B. 45。
C. 55° 2. A. 3.如图，DC 是＜30的直径，弦AB 丄CD 于点F,连接BC, DB, ZABD=55°,则ZBCD 的度数为( D. 75°则下列结论错误的是（A. AD=BDB. AF= BFC. OF=CFD. ZDBC=90°4. A.5. 55° B. 60° C. 65° D. 70°在下列四条圆弧与直角三角板的位置关系屮，可判断其屮的圆弧为半圆的是（BA第3题)cm.ZCAB=30°,贝ij BC= 第6题 B第7题7. 如图，AB 是OO 的直径，C 是圆上一点，ZBAO70。
，则ZOCB= __________ • 8. 如图,AB 为的直径，弦AC=6,BC=8, ZACB 的平分线交于点D,则BD= _______________ 9•如图，在 RtAABC 中，已知ZACB=90°, AC=5, CB=12, AD 是Z\ABC 的角平分线, 过A, C, D 三点的圆与斜边AB 交于点E,连接DE.(1) 求BE 的长；(2) 求AACD 外接圆的半径.【拓展提优】1.如图，OO 的弦CD 与直径AB 相交，若ZBAD=50°,则ZACD 的度数为() 2. 如图，AABC 内接于OO,若ZB=30°, AC=A /3 ,则OO 的直径为(3. 如图，OO 是AABC 的外接圆，CD 是直径，ZB=40°,则处的度数是(B. 40° C. 50° D. 60°B. 4C. 6D. 2>/3BA. 2cBDA. 80°B. 100°C. 120°D. 130°4.如图，AB是OO的直径，AE是弦，C是AE的中点，过点C作CD±AB于点G, CD交AE于点F, AF=8,则CF的长为( )5.____________________________________________________________________ 如图，AABC 内接于OO, ZBAC= 120°, AB=AC,BD 为（DO 的直径,AD=6,则DC= _________6.在平面直角坐标系xO)，屮，已知点A(4, 0), B(-6, 0), C是y轴上的一个动点，当ZBCA=45°时，点C的坐标为________ .7.如图，AD是AABC的角平分线，以点C为圆心，CD的长为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且ZB=ZCAE.求证：F是AD的中点.8.如图，AB为OO的直径，点C在＜90上，连接BC并延长至点D,使CD=BC,延长DA与OO的另一个交点为E,连接AC, CE.(1)求证：ZB=ZD；(2)若AB=4, BC-AC=2,求CE 的长.9.如图，(DC经过原点且与两樂标轴分别交于点A和点B, C 在第一象限内的一点且ZODB=60°.(1)求©C的半径；(2)求圆心C的坐标.参考答案【基础提优】1-5 DACCB AOB6. 57.20°8.5>/25713 9.(1) & (2)——6 【拓展提优】1-4 BDBC5.2>/36.(0, 12)或(0, -12)7 •证明略8.(1)证明略；(2) 1+衙9.(1) 2； (2) (>/3 , 1)。
北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系 中考试题精选(含答案)
北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系中考试题精选（含答案）一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8 5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2 9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12 12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2 17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD 18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB ＝°．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝．39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝．40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．3.4 圆周角与圆心角的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选A．2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选B．3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝2．故选C．5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选B．6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，∴∠D＝∠A．故选D．7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选A．8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选D．9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选B．10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选A．11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝×6＝3，∴CD＝2CE＝6．故选A．12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选A．14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选D．15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选C．16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选B．17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选C．18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选C．19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选C．20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选C．二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为4π．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为52°．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为20．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为155．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为2．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为40°．解：∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝20°，∵AC∥OB，∴∠CAB＝∠B＝20°，∴∠OAC＝40°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝40°，∴∠BOC＝∠C＝40°，故答案为40°．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝22.5°．解：连接OC，∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵点C为的中点，∴∠BOC＝45°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝×45°＝22.5°，故答案为22.5°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝60°．解：连接DC，∵AC为⊙O的直径，OD⊥AC，∴∠DOC＝90°，∠ABC＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∵∠BDO＝15°，∴∠BDC＝30°，∴∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，故答案为60°．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝40°．解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为70°．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是50°．解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝30°．解：∵点C是半径OA的中点，∴OC＝OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO＝30°，∴∠DOA＝60°，∴∠DF A＝30°，故答案为30°39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝15°．解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝15°，故答案为15°40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝125°．解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝125°．故答案为125°．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°＝．（2）如图2中，连接OP，P A．设OP交AB于H．∵＝，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝OA＝．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC＝BC＝，∵AQ＝QO＝AO＝．∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP＝＝＝．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．（1）证明：∵BC∥AE，∴∠ACB＝∠EAC，∵∠ACB＝∠BAD，∴∠EAC＝∠BAD，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，∴CE＝CA．（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．∵∠EAD＝∠CAB，∴＝，∴DM＝BC＝10，∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，∴∠MDE＝∠CAM，∵∠E＝∠CAE，∴∠E＝∠MDE，∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，∴EH＝DH，∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，∴cos∠E＝＝，∴EH＝4，∴DE＝2EH＝8．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos∠ABC＝，∴BE＝AB•cos∠ABE＝，∴AE＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝﹣10＝．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF＝90°，∴∠ABC+∠ADF＝90°，∵cos∠ABC＝，∴sin∠ADF＝cos∠ABC＝．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，sin∠ADF＝，∴AD＝＝＝6．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB＝90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°∴∠B＝25°∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；（2）∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2，∴AB＝2AE＝4，在Rt△ABC中，AC＝AB•sin B＝4，∴BC＝＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，∵AC2+CD2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．（1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）∴∠B＝∠C，（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4，∴•2＝4CD，∴CD＝．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2整理得a＝，即：CD＝．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB＝∠EF A＝60°∴∠B＝30°，∵∠EF A＝∠B+∠FDB，∴∠B＝∠FDB＝30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝a，在Rt△DAM中，AD＝AF＝2a，AM＝，∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF+BF＝8a，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a，∵AE＝EF＝AF＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝2a，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝60°，∴∠CFE＝30°，∴∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+30°＝90°，∴CF⊥AB．。
浙教版九年级数学上册 第三章 圆的基本性质3.4圆心角同步测试
浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质3.4圆心角同步测试C. 9πcmD. 8πcm3.一条弦将圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4.下列命题中，正确的分别是（）A. 相等的圆心角，所对的弧也相等B. 两条弦相等，它们所对的弧也相等C. 在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等 D. 顶点在圆周的角是圆周角5.如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°6.如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A. =B. =C. =D. EF=GH7.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（）A. 52°B. 57°C. 66°D. 78°8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C 为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A. 26°B. 64°C. 52°D. 128°9.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A. 122°B. 120°C. 61°D. 58°10.下列语句中正确的是（）A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 平分弦的直径垂直于弦C. 长度相等的两条弧是等弧D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴二、填空题（共6题；共6分）11.如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，则图中阴影部分的面积是________ ．12.如图，若∠1=∠2，那么与________相等．（填一定、一定不、不一定）13.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=________．14.在半径为3的⊙O中，弦AB的长为3，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是________ ．15.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=________．16.如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=20°，点B 为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB 的最小值为________．三、解答题（共4题；共20分）17.如图，AB是⊙O的直径，且AD∥OC，若弧AD的度数为80°，求弧CD的度数．18.如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：=．19.已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．20.O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：（1）∠AOE=∠BOD；（2）=．四、综合题（共4题；共45分）21.已知直径CD⊥弦BF于 E，AB为ʘO的直径．（1）求证：= ；（2）若∠DAB=∠B，求∠B的度数．22.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知=．（1）求证：BE=DE．（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AE的长．23.如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．24.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若AD=12，⊙O的半径为10，求弦DF的长．答案一、单选题1.B2.D3.C4.C5.B6.C7.B8.C9.A10.D二、填空题11.72π 12.一定13.125° 14.60° 15.30°16.4三、解答题17.解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵弧AD的度数为80°，∴∠DBA=40°，∴∠DAB=50°，∵AD∥OC，∴∠COB=50°，∴弧CD的度数为：180°﹣50°﹣80°=50°．18.【解答】证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，∵OC=OE，∴∠C=∠E，∴∠DOB=∠BOE，∴=．19.解：AOBC是菱形．证明：连OC，如图：∵C是的中点∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°∵CO=BO（⊙O的半径），∴△OBC是等边三角形∴OB=BC同理△OCA是等边三角形∴OA=AC又∵OA=OB∴OA=AC=BC=BO∴AOBC是菱形．20.解：（1）∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，∴∠AOD=∠BOE，∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，∴∠AOE=∠BOD；（2）∵∠AOD=∠BOE，∴=．四、综合题21.（1）证明：∵直径CD⊥弦BF，∴ = ，∵∠AOC=∠BOD，∴ = ，∴ =（2）解：由圆周角定理得，∠BOD=2∠DAB，∵∠DAB=∠B，∴∠BOD=2∠B，∵CD⊥BF，∴∠B=30°22.（1）证明：∵=∴AB=CD，在△ABE与△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴BE=DE．（2）解：过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得：AF=FD，BG=OG，∵AD=BC，∴AF=OG，在Rt△AOF与Rt△OCG中，∴Rt△AOF≌Rt△OCG，∴OF=OG，∵AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF，设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，∴OF2+AF2=OA2，即：x2+（x+1）2=52，解得：x=3，x=﹣4（舍去），∴AF=4，∴AE=7．23.（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD（2）解：如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵ ，∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），∴NE=ME，∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，∴DE﹣AE=2NE=224.（1）证明：连接OD，如图，∵AD∥OC，∴∠1=∠A，∠2=∠ODA，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠1=∠2，∴ = ，即点E是的中点（2）证明：在△OCD和△OCB中，∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线（3）解：连接BD，∵DF⊥AB，∴DG=FG，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，BD= = =16，∵ •DG•AB= •AD•BD，∴DG= = ，∴DF=2DG= ．。
3.4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)
3.4 圆周角和圆心角的关系 （第2课时）
课前复习
1.求图中角X的度数
C
D
120°
O
70°
.
.
x BC
O
X
A
X=
A
B
X=
35°
120°
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半
2.求图中角X的度数
x 60°
∠ABF=20°，∠FDE=30°
B
C
x
D
30°
20°
A
X=
E
F
X=
60°
D
B ∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15° ∴∠BCD=90°-15=75° ∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）
（直径所对的圆周角为直角）
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。 方法二： C
A D
解：连接OD ∵∠ACD=15° ∴∠AOD=2∠ACD =30°
解： ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C=4:5 ∴ C 5 180
9
即∠C的度数为100°。
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。 D 解：∵∠BOD =80° ∴ DAB 1 BOD 40 A 2 C O
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 A A
B O C
B
O
C
几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径
随堂练习
3.4圆周角和圆心角的关系-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试
北师大版九年级数学下册第三章3．4圆周角和圆心角的关系同步测试(原卷版)一．选择题1．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在CD 上不同于点C 的任意一点，则⊙BPC的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．90°2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝10，AC＝CD＝5，则⊙ABD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°3．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙CAD＝35°，则⊙B+⊙E的度数是（）A．210°B．215°C．235°D．250°4．下列命题中，正确的命题个数是（）⊙顶点在圆周上的角是圆周角；⊙圆周角度数等于圆心角度数的一半；⊙90°的圆周角所对的弦是直径；⊙圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，⊙O的半径为6，AB为弦，点C为的中点，若⊙ABC＝30°，则弦AB的长为（）A．B．6C．D．6．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A．点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，⊙BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．7．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，若⊙ABC=40°，则⊙AOC的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于H，⊙A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是（）A．2B．C．1D．29．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC．AD，若⊙CAB=35°，则⊙ADC的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°10．如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A．PC•CA＝PB•BD B．CE•AE＝BE•EDC．CE•CD＝BE•BA D．PB•PD＝PC•PA11．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A 要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（）A．2米B．3米C．4米D．5米12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝9，AD＝15，⊙BCD＝120°，弦AC 平分⊙BAD，则AC的长是（）A．B．C．12D．13二．填空题13．如图，⊙ABC的顶点A．B．C均在⊙O上，⊙OAC=20°，则⊙B的度数是14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，则BC•CD＝．15．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊙AB，⊙AOC=40°，则⊙BDC的度数是16．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin⊙AOB的值是．17．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则⊙ADC ＝．18．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2＝8，则AB等于．三．解答题19．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角⊙ACB=60°，求⊙O的直径．20．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）连结AE，若⊙D＝25°，求⊙BAE的度数．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙BOD＝88°，求⊙BCD的度数．22．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊙CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．23．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．24．如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC的中点，连接BC，OD．（1）求证：OD⊙BC；（2）如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦BC的长．25．如图，⊙ABC中，⊙BAC＝60°，⊙ABC＝45°，AB＝6，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF 长度的最小值为多少？北师大版九年级数学下册第三章3．4圆周角和圆心角的关系同步测试(解析版)一．选择题1．如图，AB．CD都是⊙O的弦，且AB⊙CD．若⊙CDB=62°，则⊙ACD的大小为（）A．28° B．31° C．38° D．62°解：⊙AB⊙CD，⊙⊙DPB=90°，⊙⊙CDB=62°，⊙⊙B=180°-90°-62°=28°，⊙⊙ACD=⊙B=28°．故选A．2．如图，在圆内接五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD＝DE，且⊙D＝100°，连接AC和EC．则⊙ACE的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．48°解：⊙DE＝DC，⊙⊙DEC＝⊙DCE＝（180°﹣100°）＝40°，⊙BC＝CD，⊙＝，⊙⊙BAC＝⊙CED＝40°，⊙⊙EAC+⊙EDC＝180°，⊙⊙EAC＝180°﹣100°＝80°，⊙⊙EAB＝⊙EAC+⊙BAC＝120°，⊙⊙ECB＝180°﹣⊙EAB＝60°，⊙AE＝AB，⊙＝，⊙⊙ACE＝⊙ACB＝⊙ECB＝30°，故选：A．3．如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与⊙AOB相等的是（）A．2⊙C B．4⊙B C．4⊙A D．⊙B+⊙C解：如图，由圆周角定理可得：⊙AOB=2⊙C．故选：A．4．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊙AC，BC＝CD，在下列四个说法中，⊙＝2；⊙AC＝2CD；⊙OC⊙BD；⊙⊙AOD＝3⊙BOC，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：⊙OB⊙AC，BC＝CD，⊙，，⊙＝2，故⊙正确；AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故⊙错误；OC⊙BD，故⊙正确；⊙AOD＝3⊙BOC，故⊙正确；故选：C．5．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则⊙AED的正切值等于（）A．B．C．2 D．1 26．在同圆或等圆中，下列说法正确的有（）⊙平分弦的直径垂直于弦；⊙圆内接平行四边形是菱形；⊙一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；⊙如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个解：⊙平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，才能成立．⊙圆内接平行四边形是菱形，错误，圆内接平行四边形是矩形．⊙一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，正确．⊙如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．错误，弦所对的圆周角有两个，也可能互补．故选：A．7．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且⊙A：⊙B：⊙C=1：3：8，则⊙D的度数是（）A．10° B．30° C．80° D．120°解：设⊙A=x，则⊙B=3x，⊙C=8x，因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以⊙A+⊙C=180°，即：x+8x=180，⊙x=20°，则⊙A=20°，⊙B=60°，⊙C=160°，所以⊙D=120°，故选D．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，⊙CBE＝50°，⊙AOD的大小为（）A．130°B．100°C．120°D．110°解：⊙⊙ADC+⊙ABC＝180°，⊙ABC+⊙CBE＝180°，⊙⊙ADC＝⊙CBE＝50°，⊙DA＝DC，⊙⊙DAC＝⊙DCA＝（180°﹣50°）＝65°，⊙⊙AOB＝2⊙ACD＝130°，故选：A．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角⊙DCE=70°，则⊙BOD=（）A．35° B．70° C．110° D．140°解：⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙⊙A=⊙DCE=70°，⊙⊙BOD=2⊙A=140°．故选D．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，⊙BDC＝50°，则⊙ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°解：连接OA，OB，OC，⊙⊙BDC＝50°，⊙⊙BOC＝2⊙BDC＝100°，⊙，⊙⊙BOC＝⊙AOC＝100°，⊙⊙ABC＝⊙AOC＝50°，⊙⊙ADC＝180°﹣⊙ABC＝130°．故选：B．11．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊙AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（）A．24B．9C．6D．27解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．⊙CD2＝AD•DB，AD＝9，BD＝4，⊙CD＝6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ＝DE•EM＝CE•EN，设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），解得x＝3．所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．所以PE•EQ＝3×9＝27．故选：D．12．如图，A，C，D，B四点在⊙O上呈顺时针方向排列，AB是⊙O的直径，OC⊙OD，AC＝3，CD＝3，则弦BD的长为（）．A．6B．9C．6D．6解：连接AD，BC，AD和BC交于P，⊙OC⊙OD，⊙⊙COD＝90°，⊙OC＝OD，CD＝3，⊙由勾股定理得：2OC2＝（3）2，⊙OC＝3，⊙AB＝2OC＝6，⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，在Rt⊙ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝9，在Rt⊙ACP中，AC＝3，⊙CAP＝COD＝45°，⊙CP＝AC＝3，⊙PB＝BC﹣CP＝6，在Rt⊙PDB中，PB＝6，⊙DBC＝COD＝45°，⊙BD＝PB＝6，故答案为：C．二．填空题13．如图，圆O的直径AB过弦CD的中点E，若⊙C＝24°，则⊙D＝66°．解：⊙圆O的直径AB过弦CD的中点E，⊙AB⊙CD，⊙⊙AED＝90°，⊙⊙A＝⊙C＝24°，⊙⊙D＝90°﹣24°＝66°．故答案为66°．14．如图，⊙ABC内接于⊙O，⊙ABC=70°，⊙CAB=50°，点D在⊙O上，则⊙ADB的大小为．解：⊙⊙ABC=70°，⊙CAB=50°，⊙⊙ACB=180°-⊙ABC-⊙CAB=60°，⊙⊙ADB=⊙ACB=60°．故答案为60°．15．如图，在⊙ABC中，⊙B=60°，⊙C=70°，若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D，则⊙BOD的度数是度．解：⊙在⊙ABC中，⊙B=60°，⊙C=70°，⊙⊙A=50°，⊙⊙BOD=2⊙A，⊙⊙BOD=100°．故答案为：100．16．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP ＝6．解：由相交弦定理得，AP•BP＝CP•DP，则DP＝＝6，故答案为：6．17．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN＝2：3，目MN＝10，那么弦AN的长为4．解：连接MA并延长至M'，使AM'＝AM，连接M'N，交半圆于D，连接AD，如图所示：⊙MN是半圆的直径，⊙⊙MAN＝90°，⊙AN⊙AM，⊙AM'＝AM，⊙M′N＝MN＝10，⊙MB：BN＝2：3，⊙MB＝4，BN＝6，由折叠的性质得：AD＝AB，BN＝DN，⊙DM'＝BM＝4，⊙四边形AMND是圆内接四边形，⊙⊙M'AD＝⊙M'NM，⊙⊙M'＝⊙M'，⊙⊙M'AD⊙⊙M'NM，⊙＝，⊙M′A•M′M＝M′D•M′N，即M′A•2M′A＝4×10＝40．则M′A2＝20，又⊙M′A2＝M′N2﹣AN2，⊙20＝100﹣AN2，⊙AN＝4．故答案为：4．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝AD＝8，点E在BC的延长线上，若⊙DCE＝60°，则⊙O的半径OB＝．解：连接BD，如图所示：⊙四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙⊙DCE＝⊙A＝60°，⊙⊙BOD＝2⊙A＝120°，⊙AB＝AD，⊙⊙ABD是等边三角形，⊙BD＝AB＝8，作OF⊙BD于F，则BF＝DF＝4，⊙⊙BOD＝120°，OB＝OD，⊙⊙OBF＝30°，⊙OF＝BF＝，OB＝2OF＝，故答案为：．三．解答题19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点H，⊙A＝30°，CD＝2，求⊙O 的半径的长．解：连接BC，如图所示：⊙AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于H，⊙⊙ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，⊙⊙A＝30°，⊙AC＝2CH＝2，在Rt⊙ABC中，⊙A＝30°，⊙AC＝BC＝2，AB＝2BC，⊙BC＝2，AB＝4，⊙OA＝2，即⊙O的半径是2；20．如图所示，⊙BAC 是⊙O 的圆周角，且⊙BAC=45°，，试求⊙O 的半径大小．答案：⊙⊙BAC=45°，⊙⊙B0C=90°，，⊙OB=OC=2．即⊙O 的半径为2．21．如图，在半径为6cm 的圆中，弦AB 长cm ，试求弦AB 所对的圆周角的度数．答案：如图，设弦AB 在优弧上所对的圆周角为⊙P ，劣弧上所对的圆周角为⊙P′， 连接OA ，OB ，过O 点作OC⊙AB ，垂足为C ，由垂径定理，得AC=12在Rt⊙AOC 中，OA=6，sin⊙AOC=62AC OA ==， 解得⊙AOC=60°，所以，⊙AOB=2⊙AOC=120°， 根据圆周角定理，得⊙P=12⊙AOB=60°， 又APBP′为圆内接四边形，所以，⊙P′=180°-⊙P=120°，故弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°22．如图，已知圆内接四边形ABDC 中，⊙BAC ＝60°，AB ＝AC ，AD 为它的对角线．（1）求⊙ADB 与⊙ADC 的大小；（2）求证：AD ＝BD+CD ．（1）解：连接BC ，由题意得⊙ABC 为等边三角形，有⊙ABC ＝⊙ACB ＝60°， ⊙⊙ADC ＝⊙ABC ，⊙ADB ＝⊙ACB ，⊙⊙ADB ＝⊙ADC ＝60°；（2）证明：在AD 上取点E 、F ，使DE ＝DB 、DF ＝DC ，连接BE 、CF ， ⊙⊙ADB ＝⊙ADC ＝60°，⊙⊙BDE 、⊙CDF 为正三角形，⊙⊙DEB ＝⊙DFC ＝60°，⊙⊙AEB ＝⊙CFA ＝120°，又⊙FAC+⊙FCA ＝⊙DFC ＝60°、⊙FAC+⊙EAB ＝⊙BAC ＝60°，⊙⊙EAB ＝⊙FCA ，在⊙ABE 和⊙CAF 中，⊙⊙⊙ABE⊙⊙CAF（AAS），⊙AE＝CF，⊙AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．23．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．解：（1）连接AD、BC．⊙⊙A＝⊙C，⊙D＝⊙B，⊙⊙ADM⊙⊙CBM⊙即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．⊙M为CD中点，⊙OM⊙CD在Rt⊙OMC中，⊙OC＝3，OM＝2⊙CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．⊙AM•MB＝•＝5．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，其外角⊙EAD的平分线交CD 的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．解：连接AC，⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙⊙BAD+⊙BCD＝180°，又⊙BAD+⊙EAD＝180°，⊙⊙EAD＝⊙BCD，⊙AB＝AD，⊙＝，⊙⊙ACB＝⊙ACD＝BCD，⊙AF平分⊙EAD，⊙⊙FAD＝⊙EAD，⊙⊙FCA＝⊙FAD，又⊙AFC＝⊙DFA，⊙⊙ACF⊙⊙DAF，⊙＝，即＝，⊙DF＝5﹣5，故DF的长为5﹣5．25．如图，四边形ABCD内接于圆，⊙ABC＝60°，对角线BD平分⊙ADC．（1）求证：⊙ABC是等边三角形；（2）过点B作BE⊙CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求⊙BDE 的面积．（1）证明：⊙四边形ABCD内接于圆．⊙⊙ABC+⊙ADC＝180°，⊙⊙ABC＝60°，⊙⊙ADC＝120°，⊙DB平分⊙ADC，⊙⊙ADB＝⊙CDB＝60°，⊙⊙ACB＝⊙ADB＝60°，⊙BAC＝⊙CDB＝60°，⊙⊙ABC＝⊙BCA＝⊙BAC，⊙⊙ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊙CD，垂足为点M，过点B作BN⊙AC，垂足为点N．⊙⊙AMD＝90°，⊙⊙ADC＝120°，⊙⊙ADM＝60°，⊙⊙DAM＝30°，⊙DM＝AD＝1，AM＝＝＝，⊙CD＝3，⊙CM＝CD+DM＝1+3＝4，⊙S⊙ACD＝CD•AM＝×＝，Rt⊙AMC中，⊙AMD＝90°，⊙AC＝＝＝，⊙⊙ABC是等边三角形，⊙AB＝BC＝AC＝，⊙BN＝BC＝，⊙S⊙ABC＝×＝，⊙四边形ABCD的面积＝+＝，⊙BE⊙CD，⊙⊙E+⊙ADC＝180°，⊙⊙ADC＝120°，⊙⊙E＝60°，⊙⊙E＝⊙BDC，⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙⊙EAB＝⊙BCD，在⊙EAB和⊙DCB中，，⊙⊙EAB⊙⊙DCB（AAS），⊙⊙BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．。
数学九年级上浙教版3.4圆周角同步练习1
3.4 圆周角 同步练习一、填空题： 1. 如图1，AB 是O 的直径，BC BD =，假设50BOD ∠=，那么A ∠的度数为．图1 图2 图3 2. 如图2，，，C 为O 上三点，假设50OAB ∠=，那么ACB ∠=度．3. 如图3，PA 、PB 是O 圆的切线，点、为切点，AC 是O 圆的直径，20BAC ∠=，那么P ∠的大小是 度．4. 如图4，在O 中，50BOC OC AB ∠=，∥．那么BDC ∠的度数为 ．图4 图5 图6 5. 如图5，ABC △内接于O ，30B ∠= ，2cm AC =，那么O 半径的长为6. 如图6，AB 为O 圆的直径，点为其半圆上任意一点〔不含、〕，点Q 为另一半圆上一定点，假设POA ∠为度，PQB ∠为度．那么与的函数关系是 ．7. 如图7，在100O AOB C AB ∠=中，，为优弧的中点，那么CAB ∠=PＣyx ＯＡＡＢBＡＣ图7 图8 图98. 如图8，AB 是O 圆的弦，PA 是O 圆的切线，是切点，如果30PAB ∠=，那么AOB ∠＝ ．二、选择题： 1. 如图9，BD 是O 的直径，弦AC 与BD 相交于点，那么以下结论一定成立的是〔〕Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠ Ｃ．AOD AED ∠=∠Ｄ．ABD BDC ∠=∠2. 如图10，四边形ABCD 内接于O ，假设它的一个外角70DCE ∠=，那么BOD ∠=〔〕Ａ．35Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140图10 图11 图12 3. 如图11，A C B 、、是O 圆上三点，假设40AOC ∠=，那么ABC ∠的度数是 〔 〕Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．804. 如图12，O 圆中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于〔 〕A ．150B ．130C ．120D ．605. 如图，圆心角∠AOB =120︒，P 是AB 上任一点〔不与A ，B 重合〕，点C 在AP 的延长线上，那么∠BPC等于〔 〕A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒三、解答题： 1. 如图，在O 中，60ACB CDB ∠=∠=，3AC =，求△ABC 的周长．Ｅ2. 如图，在O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交O 于．求BC ，AD 和BD 的长．3. 如图，O 的直径8cm AB =，45CBD ∠=，求弦CD 的长．4. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点，假设3CD =，4AB =，求sin APC ∠的值．5. 如图，半圆O 的直径4AB =，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O转动时，ＡＡ三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、两点，连结AD 、BC 交于点．（１）求证：ACE BDE △∽△； （２）求证：BD DE =恒成立；（３）设BD x =，求AEC △的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．6. O 圆的内接四边形ABCD 中，AD BC ∥．试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明．AOBEDC图①图②7. 如图，在半圆AOB 中，30AD DC CAB =∠=，，AC =AD 的长度．参考答案一、填空题： 1. 如图1，AB 是O 的直径，BC BD =，假设50BOD ∠=，那么A ∠的度数为 ．答案：25图1 图2 图3 2. 如图2，，，C 为O 上三点，假设50OAB ∠=，那么ACB ∠=度．答案：40ＯＢＡ30ＡＣ3. 如图3，PA 、PB 是O 圆的切线，点、为切点，AC 是O 圆的直径，20BAC ∠=，那么P ∠的大小是 度． 答案：404. 如图4，在O 中，50BOC OC AB ∠=，∥．那么BDC ∠的度数为 ．答案：75图4 图5 图6 5. 如图5，ABC △内接于O ，30B ∠= ，2cm AC =，那么O 半径的长为答案：26. 如图6，AB 为O 圆的直径，点为其半圆上任意一点〔不含、〕，点Q 为另一半圆上一定点，假设POA ∠为度，PQB ∠为度．那么与的函数关系是 ． 答案：1902y x =-+ 7. 如图7，在100O AOB C AB ∠=中，，为优弧的中点，那么CAB ∠=答案：65图7 图8 图98. 如图8，AB 是O 圆的弦，PA 是O 圆的切线，是切点，如果30PAB ∠=，那么AOB ∠＝． 答案：60 二、选择题： 1. 如图9，BD 是O 的直径，弦AC 与BD 相交于点，那么以下结论一定成立的是〔〕Ａ．ABD ACD ∠=∠Ｂ．ABD AOD ∠=∠PＣyx ＯＡＡＢBＣ．AOD AED ∠=∠Ｄ．ABD BDC ∠=∠ 答案：Ａ2. 如图10，四边形ABCD 内接于O ，假设它的一个外角70DCE ∠=，那么BOD ∠=〔〕Ａ．35 Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140答案：Ｄ图10 图11 图12 3. 如图11，A C B 、、是O 圆上三点，假设40AOC ∠=，那么ABC ∠的度数是 〔 〕Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．80答案：B4. 如图12，O 圆中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于〔 〕A ．150B ．130C ．120D ．60答案：C5. 如图，圆心角∠AOB =120︒，P 是AB 上任一点〔不与A ，B 重合〕，点C 在AP 的延长线上，那么∠BPC等于〔 〕A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒ 答案：B 三、解答题： 1. 如图，在O 中，60ACB CDB ∠=∠=，3AC =，求△ABC 的周长．答案：92. 如图，在O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交O 于．求BC ，AD 和BD 的Ｅ长．答案：8BC =cm，AD =cm，BD = 3. 如图，O 的直径8cm AB =，45CBD ∠=，求弦CD 的长．答案：连接OC ，OD ，那么290COD CBD ∠=∠=，由得4cm OC OD ==，故CD ==．4. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点，假设3CD =，4AB =，求sin APC ∠的值．答案：连结AC ，BCD ∠=，△CPD ∽△APB ．34PC CD PA AB ∴==，由AB 是直径得．设3x =， 那么4PA x =，AC ∴==，sin AC APC PA ∴∠===． 5. 如图，半圆O 的直径4AB =，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O 转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、两点，连结AD 、BC 交于点．（４）求证：ACE BDE △∽△； （５）求证：BD DE =恒成立；（６）设BD x =，求AEC △的面积与的函数关系式，Ａ AOEC并写出自变量的取值范围．答案：．解：〔１〕ACD ∠与ADB ∠都是半圆所对的圆周角，90,ACD ADB AEC DEB ∴∠=∠=∠=∠又〔对顶角相等〕．所以.ACE BDE △∽△ 〔２〕9090DOC AOC BOD ∠=∴∠+∠=，45BAD ABC ∴∠+∠=45BED BAD ABC ∴∠=∠+∠=． 又90BDE ∠=，BED ∴△是等腰直角三角形， BD DE ∴=． 〔３〕BD x BD DE ==，,DE x AD AE AD DE∴===-=,ACE BDE △∽△AEC ∴△也是等腰直角三角形，)AC AE x ∴==．ACE BDE AC EC ∴=△∽△，．)22111224y AC EC AC x ∴=⨯==144)2x =-<<． 〔此题解答中，假设用1452DBE DOC ∠=∠=来解答〕 6. O 圆的内接四边形ABCD 中，AD BC ∥．试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明． 答案：〔１〕如图①，当AD BC =时，四边形ABCD 为矩形．AD BC AD BC =∴∥，，四边形ABCD 为平行四边形．四边形ABCD 内接于.180.O B D ∴∠+∠=90B D ∴∠=∠=．四边形ABCD 为矩形．〔２〕如图②，当AD BC ≠时，四边形ABCD 为等腰梯形，图①.AD BC AB CD AB CD ∴∴=∥，=，AD BC ≠．四边形ABCD 为等腰梯形．7. 如图，在半圆AOB 中，30AD DC CAB =∠=，，AC =AD 的长度．答案：解：AB 为直径，90ACB ∴∠=，13060..2CAB ABC BC AC ∠=∴∠=∴=， 1.2AD DC AD DC AC BC AD =∴==∴=，．BC AD ∴=．在ABC Rt △中30CAB AC ∠==，tan BC AC CAB =∠． tan 302BC ∴==．2AD ∴=．ＯＢＡ30。
九年级数学上册3.4圆周角同步练习4
3.4 圆周角 同步练习1、 已知：在直角三角ABO 中;090=∠A ;AC=3cm;BC=4cm;CD 是AB 边上的高;则D 在以A 为圆心;AC 为半7、如图所示;BC 为⊙O 的直径;弦AD ⊥BC 于E;060=∠C ;求证：ABD ∆为等边三角形。
8、 如图;弦CD ⊥AB 于P;AB=8;CD=8;⊙O 半径为5;则OP 长为________。
9、 在⊙O 中;弦CD 与直径AB 相交于点E;且∠=︒AEC 30;AE=1cm;BE=5cm;那么弦CD 的弦心距OF=_________cm;弦CD 的长为________cm 。
10、 矩形ABCD 的边AB 过⊙O 的圆心;E 、F 分别为AB 、CD 与⊙O 的交点;若AE=3cm;AD=4cm;DF=5cm;则⊙O 的直径等于__________。
13．⊙O 的半径为R;圆心到点A 的距离为d;且R 、d 分别是方程 x 2－6x ＋8＝0的两根;则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点A 在⊙O 内部B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外部D ．点A 不在⊙O 上14、已知AB 、CD 是互相垂直的两条弦;OE ⊥AD;求证：OE=21BC 。
15、如图;弧AC 是劣弧;M 是弧AC 中点;B 为弧AC上任意一点;自M 向BC 弦引垂线;垂足为D;求证：AB+BD=DC 。
16．下图是由一个圆;一个半圆和一个三角形组成的图形;请你以直线AB 为对称轴;把原图形补成轴对称图形．（用尺规作图;不要求写作法和证明;但要保留作图痕迹）（6分）M17．如图;已知半圆O 的直径AB;将—个三角板的直角顶点固定在圆心O 上;当三角板绕着点O 转动时;三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、D 两点;连结AD 、BC 交于点E ． (1)求证：△ACE ∽△BDE;（5分） (2)求证：BD = DE 恒成立;（5分）BA。
九年级数学上册3.4圆周角同步练习5
3.4 圆周角同步练习【知识要点】1．顶点在圆上；并且两边都和圆相交的角；叫做圆周角．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．3．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．4．园内接四边形对角互补．课内同步精练●A组基础练习1. 如图；四边形ABCD 内接于⊙O；∠BOD=1600；则∠BAD的度数是；∠BCD的度数是.（第3题）2. 如图；正方形ABCD内接于⊙O；点P在AB上；则∠DPC = .3. 如图；已知AB是⊙O的直径；点C为AB的一个三等分点；则BC : AC : AB .4. BD是⊙O的直径；OA；OC是⊙O的半径；且OA；OC在BD两侧．如果∠AOD:∠COD=4:1；那么∠ABD:∠CBD .5. 如图；AB是⊙O的直径；弦CD⊥AB；E是AD上一点；若∠BCD=350；求∠AED的度数．●B组提高训练6. 已知；A；B；C是⊙O上的三点；∠AOC=1000；则∠ABC = .7. 如图；弦AB；CD相交于点E ；AD=600；BC=400；则∠AED= .8. 如图；P为圆外一点；PA交圆于点A；B；PC交圆于点C；D；BD=750；AC=150；则∠P=9. 如图；AB；AC 是⊙O的两条弦；且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC；连结DB并延长；交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．课外拓展练习●A组基础练习1. 如图；AB是半圆直径；∠BAC=200；D是AC的中点；则∠DAC的度数是（）A . 300 B. 350 C. 450 D . 7002. 下面每张方格纸上都画有一个圆；只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（）3. 已知AB是⊙O的直径；AC；AD是弦；且AB=2；AC=2；AD=1；则圆周角∠CAD的度数是( )A. 450或600B. 600 C . 1050 D. 150或10504. 如图；A；B；C为⊙O上三点；∠ABO=650；则∠BCA 等于（）A. 250B. 32.50 C . 300 D. 4505. 已知：如图；四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠BOD=1400；则∠DCE= .6. 如图；AB是⊙O的直径；C；D；E都是⊙O上的点；则∠1＋∠2 = .7. 如图；已知AB为⊙O的直径；AC为弦；OD//BC交AC于点D；AC=6cm；则DC= cm .8. 如图；OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B；点A的坐标为（0；4 ) ；M是圆上一点；∠BMO=120．求：⊙C的半径和圆心C的坐标.●B组提高训练9．如图；AB；AC是⊙O的两条弦；且AB=AC；D是BC上一点；P是AC上一点；若∠BDC=1500；则∠APC .10. 在⊙O中；己知∠AOB=1000 ；C为AB的中点；D在圆上；则∠ADC= .11. 如图；PB交⊙O于点A ；B；PD交⊙O于点C ；D；已知DQ=420；BQ=380；则∠P＋∠Q的度数为.（第9题）BD BC CE DE ；则∠A的度数为.12. 如图；∠A的两边交⊙O于点B . C ；E ；D；若:::1:3:4:413. 如图；在⊙O中AB是直径；CD是弦；AB⊥CD.(1)P是CAD上一点（不与C；D重合）．求证：∠CPD=∠COB；(2)点P’在劣弧CD上（不与C ；D重合）时；∠CP/D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论．。
2414圆周角课时同步练习人教新课标九年级上
圆24.1.4圆周角课时同步练习、选择题1 .下列说法正确的是（）A .相等的圆周角所对的弧相等B .直径所对的角是直角C .顶点在圆上的角叫圆周角D .如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2 .如图，量角器外缘上有 A B 两点，它们的读数分别为70°, 30°，则/ 1的度数应为（）3.正三角形ABC 内接于圆0，动点P 在圆周上运动，且不与A,B,C 重合，则/ BPC 等于（）A. 60° B . 120° C. 60° 或 120°D .不确定 4 . （2008年湖州市）如图，已知圆心角 .BOC =78，则圆周角.BAC 的度数是（）5 . （2008年泸州市）如图，正方形ABCD 是O O 的内接正方形，点 P 在劣弧CD 上不同于点 C 得到任意一点，则/ BPC 的度数是（C ）A . 45B . 60C . 75D . 90二、填空题16. _______________________________________________________________________ 如图，OA 是圆O 的半径，BD=2AB ，已知 AE=6，则AB= ________________________________ 。
C . 35°D .40 A . 156 B . 78 C . 39 D .127. __________________________________________________________________ 如图，正方形ABCD内接于O O,点E在劣弧AD上，则/ BEC等于____________________________& 如图,已知，如图：AB 为O O 的直径，AB = AC , BC 交O O 于点D , AC 交O O 于点E , /BAC = 45°。
-苏科版数学九年级上册2.4 圆周角-同步练习
2.4 圆周角（1）班级 姓名 学号【学习目标】1．认识圆周角，掌握圆周角的两个特征；2．经历探索同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程，体验“观察—猜想—验证—归纳”的过程，初步应用其解决问题；3．引导学生体会分类的思想、转化等数学思想方法，学会理性的分析思考问题． 【探索活动】 操作与思考一：（1）如图，点A 在⊙O 内，点B 1、B 2、B 3在⊙O 上，点C 在⊙O 外， 度量⊙A 、⊙B 1、⊙B 2、⊙B 3、⊙C 的大小，你能发现什么？⊙B 1、 ⊙B 2、⊙B 3有什么共同的特征？它们与圆心角有什么区别？记下你的发现： . （2）你认为圆周角概念中是否有值得注意的地方？试写下来： . （3）判断下列各图中的角是否是圆周角？说说你的理由.操作与思考二：1．如图，弧BC 所对的圆心角有多少个？弧BC 所对的圆周角有多少个？ 请你在图中画出弧BC 所对的圆心角和圆周角.2．观察上图，你所画的圆周角与圆心有几种不同的位置关系？它们分别是 ；OO O O O OOCB3．设弧BC 所对的圆周角为⊙BAC ，请你探索⊙BAC 与圆心角⊙BOC 有怎样的数量关系？和同学们交流你的发现，并讨论如何证明自己的发现.（请你在下面空白处画出图形，并写出证明过程）4．如果同学们画的是等弧所对的圆周角，或者是同弧所对的圆周角，它们之间又会有什么关系呢？为什么？5．通过上述讨论，你获得的结论是： 【基础训练】1．如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则⊙1的度数为 ． 2．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC=60°，则∠BOC= ，若∠AOB=90°，则∠ACB= ． 3．如图，AC 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，EC ∥AB ，交⊙O 于点E 。
请写出与BOC 21相等的角 ．4．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC=40°，∠AED=75°，则∠ABD= ．【典型例题】例1、如图AB 、AC 为⊙O 的两条弦，延长CA 到D ，使AD=AB ，如果∠ADB=35°，求∠BOC 的度数.E O BCAOCAE O BCA第2题 第3题第4题第1题O BCA例2．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 中，∠ADC=∠BDC=60°，判 断ΔABC 的形状，并说明理由.操作与思考（三）（1）∠A 与圆周上的角大小有什么关系？ ∠C 与圆周上的角大小又有什么关系？（2）成果展示如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在圆外，BD 交⊙O 于点F ， 比较⊙BAC 与⊙BDC 的大小，并说明理由．【法眼观察】人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，往往会给问题本身带来很大的区别。
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3.4 圆周角 同步练习
【知识要点】
1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角．
2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
3．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径．
4．园内接四边形对角互补． 课内同步精练●A 组 基础练习
1. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=1600, 则∠BAD 的度数是 ，∠BCD 的度数是 .
2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠DPC = .
3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为AB 的一个三等分点，则BC : AC : AB .
4. BD 是⊙O 的直径，OA,OC 是⊙O 的半径，且OA ，OC 在BD 两侧．
如果∠AOD:∠COD=4:1，那么∠ABD :∠CBD .
5. 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB, E 是AD 上一点，若∠BCD=350，
求∠AED 的度数．
●B 组 提高训练
6. 已知，A, B, C 是⊙O 上的三点，∠AOC=1000, 则∠ABC = .
7. 如图，弦AB, CD 相交于点E , AD =600, BC =400，则∠AED= .
8. 如图，P 为圆外一点，PA 交圆于点A,B ，PC 交圆于点C, D, BD =750,
AC =150，则∠P=
9. 如图，AB, AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ．延长CA 到点D ．使AD=AC ，
连结DB 并延长,交⊙O 于点E ．求证：CE 是⊙O 的直径．
（第3题）
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课外拓展练习●A 组 基础练习
1. 如图，AB 是半圆直径，∠BAC=200，D 是AC 的中点，则∠DAC 的度数是（ ）
A . 300 B. 350 C. 450 D . 700
2. 下面每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）
3. 已知AB 是⊙O 的直径，AC, AD 是弦，且
AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是 ( )
A. 450或600
B. 600 C . 1050 D. 150或1050
4. 如图，A, B, C 为⊙O 上三点，∠ABO=650，则∠BCA 等于（ ）
A. 250
B. 32.50 C . 300 D. 450
5. 已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD=1400，则∠DCE= .
6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C, D, E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2 = .
7. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD//BC 交AC 于点D, AC=6cm ，则DC= cm .
8. 如图，OC 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 与点B, 点A 的坐
标为（0, 4 ) , M
是
圆上一点，∠BMO=120．求：⊙C的半径和圆心C的坐标.
●B组提高训练
9．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC, D是BC上一点，P是AC上一点，若∠BDC=1500, 则∠APC .
10. 在⊙O中，己知∠AOB=1000 , C为AB的中点，D在圆上，则∠ADC= .
11. 如图，PB交⊙O于点A , B，PD交⊙O于点C , D，已知DQ=420 , BQ=380，则∠P＋∠Q的度数为.
12. 如图，∠A的两边交⊙O于点B . C , E , D，若:::1:3:4:4
BD BC CE DE ，则∠A的度数为.
13. 如图，在⊙O中AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是CAD上一点（不与C, D重合）．求证：∠CPD=∠COB；
(2)点P’在劣弧CD上（不与C , D重合）时，∠CP/D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论．
（第9题）
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