复变函数论作业及答案
《复变函数论》试卷一
《复变函数论》试卷一
一、填空（30分）
1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z
2.=+i e π3 ，()i
i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点.
4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是()
z f '1的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数，
则___________________===c b a
6.方程0273=+z 的根为 ， ，
二、简要回答下列各题（15分）
1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？
2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？
3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简单闭曲线，问积分()()
dz z f z f c ⎰'是否等于零，为什么？
三、计算下列积分（16分）
1. c
zdz ⎰，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段
2. 202cos d πθθ+⎰
四、（12分）
求函数
()
11z z +在圆环112z <-
五、（12分）
证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解.
六、（15分）
求映射，把带形区域0Re 2z <
射成0w =，把2z =映射成1w =.
《复变函数》试卷二
一、填空题（20分）
1. －2是 的一个平方根
2. 设2
1i
z --=，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若22z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，()=z e e Re
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案
下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：
1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为2
8.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
复变函数试题与答案
复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
第一章 复数与复变函数
一、 选择题
1．当i i z -+=
11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-
2．设复数z 满足3)2(π
=+z arc ，6
5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-
（D ）i 2123+-
3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ）
（A ）)]2
sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2
3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(
sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ）
（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=-
（C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小
５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线
（D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3
π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）
（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ）
复变函数试题(卷)和答案解析
第一章 复数与复变函数
一、选择题 1．当i
i
z -+=
11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3
)2(π
=
+z arc ，6
5)2(π
=
-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-
（D ）i 2
123+- 3．复数)2
(tan πθπ
θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(
sec θπθπ
θ+++i （B ）)]2
3sin()23[cos(sec θπ
θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(
sec θπθπθ+++-i （D ）)]2
sin()2[cos(sec θπ
θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小
５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点)
,(y x 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转
3
π
，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为
i 31-，则原向量对应的复数是（ ）
（A ）2 （B ）i 31+
（C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2
2
z z =成立的复数z 是（ ）
（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-
复变函数论作业及答案
习题1
第一章 复数及复变函数
1.11222
z =
=-求|z|，Argz 解：123212
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=z
Argz=arctan 212-+2k π=23k π
π+-, ,2,1,0±±=k
2．211i z +=
,=2z i -3,试用指数形式表示2
1
21z z z z 及
解：2
11i z +=
i e 4
π=
=
2z i -3i e
6
2π
-=
所以21z z =i e
6
2π
-i
e 4π
i
e
12
2π
-
=
21z z i
i i i
e e e e 125)64(6
4
21212π
π
ππ
π===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 那么二次方程的根为
1k w a = 〔k=0,1,2,3〕 =24
k i e
a ππ+⋅
〔k=0,1,2,3〕
0w =4
i e
a π⋅
=(1+i)
234
4
1(1)2
i i a w e
a e
a i ππ
π+⋅===-+
54
2(1)2i a w e
a i π==--
74
3(1)2
i a w e
a i π==-
4 .设1z 、2z 是两个复数，求证：
),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=-
证明：()()
21212
21z z z z z z --=-
()
2
12
22
1212122211
2212
221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---=
5． 设123z ,z ,z 三点适合条件：
1230z z z ++=及1231z z z ===
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数
一、
选择题
1．当i
i
z -+=
11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3
)2(π
=
+z arc ，6
5)2(π
=
-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-
（D ）i 2
123+- 3．复数)2
(tan πθπ
θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(
sec θπθπ
θ+++i （B ）)]2
3sin()23[cos(sec θπ
θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(
sec θπθπθ+++-i （D ）)]2
sin()2[cos(sec θπ
θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小
５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点)
,(y x 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转
3
π
，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为
i 31-，则原向量对应的复数是（ ）
（A ）2 （B ）i 31+
（C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2
2
z z =成立的复数z 是（ ）
（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题
第一章复数与复变函数
一、选择题
1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）
A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$
2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）
A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-
\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$
3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，
$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表
示式是（）
A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)
$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-
\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-
\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$
4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与
$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）
复变函数论习题及答案
第一章习题
1
．设
12z -=
，求||z 及Arg z .
2
．设
12z z i =
=，试用指数形式表 z 1 z 2及12z z .
3．解二项方程
44
0(0).z a a +=> 4．证明
2222
121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 5．设z 1、z 2、z 3三点适合条件： 1231230 |z ||||| 1.z z z z z ++=++=及
试证明z 1、z 2、z 3是一个内接于单位圆周||1z =的正三角形的顶点。 6．下列关系表示的点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ （1）
1|212|||,()
z z z z z z -=-≠；
（2）|||4|z z ≤-；
（3）111z z -<+；
（4）
0arg(1) 2Re 3
4
z z π
<-<
≤≤且；
（5）|| 2 z >且|3|1z ->； （6）Im 1 ||2z z ><且；
（7）
||2 0arg 4z z π
<<<
且；
（8）
131 2222i i z z -
>->且.
7．证明：z 平面上的直线方程可以写成 .az az c += （a 是非零复常数，c 是实常数）
8．证明：z 平面上的圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=.
其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且
2
||.AC β> 9．试证：复平面上的三点
1
,0,
a bi a bi +-+共直线。
10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线： （1）(1)z i t =+； （2）cos sin z a t ib t =+；
复变函数论课后题答案 (第四版 钟玉泉)
复变函数论课后题答案 (第四版钟玉泉)复变函数论课后题答案 (第四版钟玉泉)
一、选择题
1. B
2. D
3. A
4. C
5. B
6. A
7. D
8. B
9. C
10. A
二、填空题
1. 解析函数
2. 极限
3. 全纯函数
4. 实部
5. 可微
6. 黎曼-一般黎曼条件
7. 柯西-黎曼方程
8. 积分路径无关
9. 简单闭合路径
10. 等速圆
三、简答题
1. 复数的实部和虚部分别由实部和虚部函数来得到。
实部函数是通过将复数的虚部置零得到。
虚部函数是通过将复数的实部置零得到。
2. 解析函数是指在一个区域内处处可导的函数。
全纯函数是指处处可导的复数函数。
3. 构造一个有界区域，包含有限个奇点，并使该区域与其他奇点不相交。
在奇点上，确保函数无界。
4. 通过直接计算导数或利用柯西-黎曼方程来证明。
五、计算题
1. 解：
根据题意，由柯西-黎曼方程可得：
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
由第一式可得∂u/∂x = -2y
积分得：u = -2xy + f(y)
对u求偏y导数得：∂u/∂y = -2x + f'(y)
由第二式可得∂u/∂y = -(-4y) = 4y
所以，-2x + f'(y) = 4y
f'(y) = 4y + 2x
对f'(y)积分得：f(y) = 2xy + xy^2 + g(x)
综上所述，u = -2xy + 2xy + xy^2 + g(x)
= xy^2 + g(x)
故解为 f(z) = xy^2 + g(x) + i(2xy + f(y))
2. 根据题意，f'(z) = u_x + iv_x = 4x^3 - 12xy^2 + 6x + 2y - 4xyi 对z积分得：f(z) = x^4 - 6x^2y^2 + 6xy + 2xy + C
(完整版)复变函数试题及答案
5、下列函数在 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）
A B C D
6、下列积分之值不等于0的是( )
A B C D
7、函数 在 处的泰勒展式为（ ）
A （ <1）B （ <1）
C （ <1）D （ <1）
8、幂级数 在 内的和函数是（）
A B C D
9、设a ，C： =1，则 （）
A0 B iC 2 ie D icosi
2、计算积分
3、将函数 在 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围
4、计算实积分I=
5、求 在指定圆环 内的洛朗展式
6、求将上半平面 共形映射成单位圆 的分式线性变换
，使符合条件 ，
五、证明题（每小题7分）
1、设（1）函数 在区域 内解析
（2）在某一点 有 ，（ ）
证明： 在 内必为常数
2、证明方程 在单位圆 内有 个根
2、求函数 在所有孤立奇点（包括 ）处的留数
3、将函数 在 的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域
4、计算积分 ,C: ，
5、计算实积分I=
6、求将单位圆 共形映射成单位圆 的分式线性变换
使符合条件 ，
五、证明题（每小题7分）
1、设函数 在区域 内解析，证明：函数 也在 内解析
2、证明：在 解析，且满足的 ， （ ）的函数 不存在
复变函数经典习题及答案
e(1i
)
ln
2
i
4
2
k
e e ln
2
4
2 k
i
4
2
kln
2
ln 2 2k i 2kln 2
4 4
2e
2 k 4
cos
4
ln
2
i
sin
4
ln
2
令 k 0 得主值:
(k 0, 1, 2,)
(1 i)(1i)
2e
4
cos
4
ln
2
arg z , arg z 2
3
3
在圆环内的点不是内点.
o 2 3x
5
例6 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线？
(1) x2 y2 9, (2) x 2. 解 (1) 因为 x2 y2 z 2 9
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1
1
1
C z(z2 1)dz
C1
z(z2
dz 1)
C2 z(z2 1) dz
21
解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式
z(
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
《复变函数论基础》习题解答
《复变函数论基础》习题解答
复变函数论是复变函数的数学理论，它揭示的有关复变函数的性质，可以帮助我们理解复变函数的行为，并用复变函数解决各种数学问题。下面提出几个关于复变函数论基础的习题，以及其解答，以便更好地理解复变函数论。
1.若函数f(z)满足f(z)=f(z+2pi)，则f(z)是谁？
答：f(z)是一个周期函数，周期为2pi。
2.若复变函数f(z)在实轴上有定义，当实数x满足x＞0时，f(z)是什么？
答：当x＞0时，f(z)=f(x)，即实函数f(x)的一般形式的复变函数。
3.若f(z)是复变函数，它在复轴上有定义，当复数z满足|z|＞1时，f(z)是什么？
答：当|z|＞1时，f(z)是一个收敛函数。
4.复变函数f(z)是否一定是连续函数？
答：复变函数f(z)不一定是连续函数，只有当所有的导数都存在且连续时，f(z)才是连续函数。
5.假设f(z)是一个复变函数，它的实部和虚部分别为u(z)和
v(z)，如何确定f(z)的极坐标表示形式？
答：f(z)的极坐标表示形式为f(z)=|z|exp[i arg(z)]，其中arg(z)=arctan[v(z)/u(z)]。
- 1 -
《复变函数论》试题库及答案
《复变函数论》试题库
《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（20分）：
1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )
2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )
3.若
}
{n z 收敛，则
} {Re n z 与
}
{Im n z 都收敛. ( )
4.若f(z)在区域D 内解析，且
0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )
5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )
7.若
)
(lim 0
z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )
8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C
0)(=⎰
C
dz z f .
( )
10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）
1、 =-⎰=-1||0
0)(z z n
z z dz
__________.（n 为自然数）
2.
=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.
4.设
11
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
复变函数14套题目和答案
复变函数14套题目和答案
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()
2.有界整函数必在整个复平面为常数.()
3.若收敛，则与都收敛.()
4.若f(z)在
区域D内解析，且，则（常数）.()5.若函数f(z)在z0处解析，则它在
该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m阶零点，则z0是
1/的m阶极点.()7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则.()9.若f(z)在区域D内解析,则
对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）
1.__________.（为自然数）
2._________.
3.函数的周期为___________.
4.设，则的孤立奇点有__________.
5.幂级数的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若，则
______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为
________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：
1.设，求在内的罗朗展式.
2.
3.设，其中，试求
4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那
么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,
复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案
一、选择题（每题2分，共40分）
1. 下列哪个不是复数的实部？
A. 2
B. -3i
C. -4
D. 5i
答案：B
2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x
和y满足的关系是：
A. x = y
B. x = -y
C. x = 0
D. y = 0
答案：C
3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：
A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x
B. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂x
C. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂y
D. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y
答案：A
4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：
A. 2x^2 - 3y
B. 3y
C. 2x^2
D. 2x^3 + 3y
答案：C
5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：
A. 3z^2
B. z^2
C. 2z
D. 0
答案：A
......
二、计算题（共60分）
1. 计算下列复数的模和辐角：
（1）z1 = 3 + 4i
（2）z2 = -2 + 2i
（3）z3 = -4 - 3i
答案：
（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)
（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4
复变函数论试卷和答案.
《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（20 分） ： 1.若 f(z)在 z0 的某个邻域内可导，则函数 f(z)在 z0 解析. 2.有界整函数必在整个复平面为常数. 3.若 ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) )
{Z n } 收敛，则 {Re zn } 与 {Im zn } 都收敛.
若函数 f(z)是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f(z)在区 ( ) 域 D 内为常数. 6. 若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数 f(z)在 D = {z :| z |≤ 1} 上解析,且 | f ( z ) |≤ 1(| z |= 1) ,则
1. 若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续. 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界. 3. 若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 连续. 4. 有界整函数必为常数. 5. 如 z0 是函数 f(z)的本性奇点，则 lim f ( z ) 一定不存在.
2.
1 ∫|z|=1 cos z dz.
3λ2 + 7λ + 1 f ( z) = ∫ dλ C λ−z ，其中 C = {z :| z |= 3} ，试求 f ' (1 + i ). 3. 设 w=
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习题1
第一章 复数与复变函数
1.11222
z =
=-求|z|，Argz 解：123212
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=z
Argz=arctan 212-+2k π=23k π
π+-, ,2,1,0±±=k
2．已知211i z +=
,=2z i -3,试用指数形式表示2
1
21z z z z 及
解：2
11i z +=
i e 4
π=
=2z i -3i e
6
2π
-=
所以21z z =i e
6
2π-i
e
4
π
i
e
12
2π
-
=
21z z i
i i i
e e e e 125)64(6
4
21212π
π
ππ
π
===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为
1k w a = （k=0,1,2,3） =24
k i e
a ππ+⋅
（k=0,1,2,3）
0w =4
i e
a π⋅
=234
4
1(1)2
i i a w e
a e
a i ππ
π+⋅===-+
54
2(1)2i a w e
a i π==--
74
3(1)2
i a w e
a i π==-
4 .设1z 、2z 是两个复数，求证：
),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=-
证明：()()
21212
21z z z z z z --=-
()
2
12
22
1212122211
2212
221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---=
5． 设123z ,z ,z 三点适合条件：
1230z z z ++=及1231z z z ===
试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。 证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+
因为1230z z z ++=
∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =--
又因为1231z z z ===
∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+
而()()22
22112323x y x x y y +=+=+
()()22
23231x x y y ∴+++=
()232321x x y y ∴+=-
同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=-
可知()()()()()()2
2
2
2
2
2
121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-
即122313z z z z z z -=-=-
123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点得证。
6．下列关系表示的点z 的轨迹是什么图形？他是不是区域？ （1）
1
11
z z -<+ 令z x iy =+,由11z z -<+得()()2211z z <-+即()()2
2
11x x <
-+,所以0x >,故以
虚轴为左界的右半平面;是区域 （2）0arg(1)4
z π
<-<且2Re 3z ≤≤ 解:由0arg(1)4
z π
<-<且2Re 3z ≤≤
得:0arctan
14
y x π
<<-且23x ≤≤ 即为如图阴影所示（不包括上下边界）;不是区域。
7.证明：z 平面上的直线方程可以写成az az c +=(a 是非零复常数，c 是实常数)
证明：设直线方程的一般形式为：ax+by+c=0 (a,b,c 均是实常数，a,b 不全为零)
因为：x =
2z z +, y = 2
z z
-代入简化得： ()()11
022
a bi z a bi z c -+++= 令
()1
02
a bi α-=≠得z z c αα+= 反之（逆推可得）设有方程z z c αα+=（复数α0≠，c 是常数） 用z x iy =+代入上式，且令()1
2
a bi α=+化简即得。 8.试证：复平面上三点a+bi,0,
1
a bi
-+共直线。
证明： 因为1
()
0()a bi a bi a bi -+-+-+=22
1a b
+（实数） 所以三点共直线。
9．求下面方程给出的曲线