一类函数的局部凸拓扑

Vol.28No.2
Feb.2012
第28卷第2期（上）
2012年2月赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）D 及其所属于的广义函数理论本质上是基本空间上的泛函分析，广义函数的基本运算，性质有关的概念都是从基
本空间所具有的解析性质引导出来的.1D 空间介绍
下面先给出D 空间的一个定义.
设Ω是R n 中的一个区域，C 0∞
(Ω)中的一个函数序列{覬n }叫做在D (Ω)空间意义下收敛到函数覬∈C 0∞
(Ω)，假如满足以下条件：
（1
）存在K 奂奂Ω，使得对一切n ，supp(覬n -覬)奂K.（2）对于每个多重指标α，
lim n →∞
D α
覬n (x)=D n 覬(x)在K 上是一致的.
在向量C 0∞
(Ω)上存在一个局部凸拓扑，关于这个拓扑一个线性泛函是连续的充要条件是当在D (Ω)空间意义下
覬n →覬时在C 中就有T(覬n )→T(覬),这个TVS 就叫做D (Ω).
这里的D α
=鄣α1+α2+…+αn
鄣x 1α1
鄣x 2αn
鄣x n
αn
.
下面对C 0∞
(Ω)上的这个局部凸拓扑空间进行一点讨论，即是说若记C ∞
(K i )=E i ，则记E i 奂E i+1，而且嵌入映射τ:E i →E i+1，是连续的，同时C 0∞
(Ω)=j
胰E j ，在C 0∞
(Ω)上可以赋一种
“归纳极限拓扑”，由于这种拓扑中原点邻域的基本系构造较复杂.
我们只举出其中一个序列趋于0的定义：
{覬k }奂C 0∞
(Ω)在上述极限下趋于0是指存在K 奂Ω使得sup 覬k 奂K(k=1,2….),而且在K 上对任意固定指标αi {D α覬k }一致（对x 一致而不必对α一致）收敛于0.这样D (Ω)即是C 0∞
(Ω)如上述拓扑后的拓扑空间，并称为C ∞
(K i )的归纳极限.2
D 空间的邻域系
先给定C 0∞
(Ω)的一个函数f(x)=φ(1-|x|2)=
exp(1/(|x|2-1),|x|<1,
0,|x|≥胰
1
（1）
其支集是球心在原点的闭单位球体.
同样，对任意正常数r ，φ(x-x 0)/r ∈C 0∞
(Ω)，其支集是x 0以r 为半径的闭球体.
现在取g(x)为C 0∞
(Ω)函数，并设supp g 位于以原点,0∈Ω,1为半径(半径可任意取)的球内,而且
c=∫g(x)dx ≠0
于是作f ε(x)=1g x
ε胰胰
，有
∫f ε(x)dx=1c εn ∫g x
胰胰
dx=1c
∫g(x)dx=1
以f ε(x)为核按（1）式作其与连续函数φ(x)的卷积φε(x)=
∫φ(τ)f ε(x-τ)d τ=(J εφ)(x).
定理2.1
如果f ∈C ∞
(Ω)，则在任一紧集K 上一致地
有
lim ε→0
D α覬ε(x)=D α覬(x),|α|≤k 如果进一步设f ∈C 0∞
(Ω)，则
suppf ε奂{x;dist(x,suppf)≤ε}
这里的dist(x,suppf)=inf y ∈supf
|x-y|为x 到suppf 的距离.
证明
D x α
φε(x)=∫φ(τ)D x α
f ε(x-τ)d τ
=(-1)|α|∫φ(τ)D τα
f ε(x-τ)d τ=∫φ(τ)D τα
f ε(x-τ)d τ
这里没有积分号外的项，这是因为，若假定x 位于某点附近，则φε(x-τ)当|τ|充分大时必为0.
又因∫f ε(x-τ)d τ=∫f ε(τ)d τ=1
所以D x α
φε(x)=∫φ(x)D x α
f ε(x-τ)d τ
因此|D x α
φε(x)-D x α
φ(x)|=|∫[D τα
φ(τ)-D x α
φ(x)]f ε(x-τ)d τ|
≤sup |x-τ|<ε
|D τα
φ(τ)-D x α
φ(x)|∫|f ε(x-τ)|d τ
=sup |x-τ|<ε
|D ταφ(τ)-D x α
φ(x)|∫|φε(τ)|d τ
当x ∈K 时，因|x-τ|<ε,τ∈K ε={x;dist(x,K)≤ε}，由f ∈C
∞
(Ω)知道D α
φ(x)在K ε一致连续，故当ε→0时上式一致趋于0.
定理2.2并且在D (Ω)内的收敛lim n →∞
φn =0满足：存在Ω
的某个紧子集K 使得supp(φn )哿K(n=1,2,…).
一类函数的局部凸拓扑
鲍伊达
（上海大学，上海
200080）
摘要：D (Ω)空间是一个基本空间，它的对偶空间D '(Ω)就是我们所熟知的（SCHWAR TZ ）广义函数空间，很多年来广义函数论在数学的各个分支（特别是偏微分方程理论）和理论物理学中得到越来越广泛的应用，是现代教学中的一个重要的分支.下面我们一起观察D (Ω)空间的一些基本定理的证明，
包括它是一个线性的局部凸的拓扑空间，并且是不可度量的.关键词：D (Ω)空间；局部凸的；C 0∞
(Ω)线性拓扑空间；不可度量的中图分类号：O174
文献标识码：A
文章编号：1673-260X （2012）02-0001-02
1--
证明
假若相反，则存在属于Ω的一个点序列{x (k)}，它
在Ω内没有聚点以及{φn (x)}的一个子序列{φn (x j
)}使得{φn (x j
)}≠0确定了D (Ω)的0的一个邻域U={f ∈C 0∞
(Ω);φn (x j )≤1}.然而诸φn k
无一在U 内.
有了以上的结论可以定义D (Ω)的一个原点0的基本邻域系.
设Ω={Ω0=覬,Ω1,Ω2,…,Ωv ,…}为开集的无穷序列使Ωv-1奂Ωv 且R n 中任何一个紧集在v 充分大时均包含Ωv 中，我们可以取，比如说球|x|<v ，来作为Ωv.用{ε}={ε0,ε1,ε2,…,εv ,…}表示一列单调下降趋于0的正数，而用{m}={m 0,m 1,m 2,…，m v ,
…}表示一列单调上升趋于+∞的整数，我们令V({m};{ε};{Ω})为对任意的v 以及任意的x 埸Ωv,和|α|≤m v ，均满足|D αφ(x)|≤εv 的函数φ∈(D )的集合.
显然，当序列{m},{ε},{Ω}以所有可能的方式变化时，这些V({m},{ε},{Ω})构成了D (Ω)上一个与它的向量空间结构相容的拓扑的原点0的基本邻域系.3D 空间的拓扑性的证明
下面进行证明其是一个拓扑线性空间
证明
首先C 0∞
(Ω)在运算（φ1+φ2）(x)=φ1(x)+φ2(x),(αφ)(x)
=αφ(x)成立,则C 0∞
(Ω)是一个线性空间成立.
在原点0处定义一个邻域可以表示为
G 0={φ∈C 0∞
,suo α≤m |D αφ(x)|≤εJ }的集合是一个开集，
令μ0∈G 0,sup α≤m
|D αφ1(x)|<c
又因为sup α≤m
|D α(φ1+φ)(x)|≤sup α≤m
|D αφ1(x)|+sup α≤m
|D αφ(x)|
≤c+(ε-c)=ε
所以任何φi ∈C 0∞
必有一个包含φi 的开集.
任意个开集并或有限个开集的交都是开集，则D (Ω)是
一个拓扑空间.
下面证明其满足Hausdorff 分离公理证明任取φ1，φ2，则存在两个开集G 1，G 2且G 1∩G 2=覬因为U 是{φj }关于原点0的邻域，只要对{φ1}奂{φ2}的情况进行讨论即可.
可以令sup α≤m
|D αφ2(x)|=ε>0，这是G 1=φ∈C 0∞,D αφ(x)<
ε
2埸埸
是开集，显然{φ1}∈G 1.
现在问题变成了只需证明G 2={φ2}+G 1与G 1没有公集合.
用反证法，设{y}∈G 1∩G 2,{y}={φ2}+{g}对某个{g}∈G 1成立,sup α≤m |D αy(x)|≥sup α≤m |D αφ2(x)|-sup α≤m |D αg(x)|≥α-α2=α2
与前提
矛盾.所以该邻域基满足2.4中拓扑线性空间的三个条件，(Ω)是一个拓扑线性空间，证毕.4D (Ω)的局部凸拓扑证明
显然的，D (Ω)是一个局部凸的拓扑线性空间，下面予以证明.
首先设τ是D (Ω)中的拓扑，β是τ的局部基，假设V 1,V 2∈τ,覬∈V 1∩V 2,τ定义说明存在覬1∈D (Ω)和W 1∈β使得
覬∈覬1+W 1奂V 1(i=1,2)
选择K 使得D k 包含覬1,覬2和覬，因为D k ∩W i 是D k 中的
开集，对某个δ1>0我们有覬-覬1∈(1-δi )W i ，
因此，W i 的凸性蕴含覬-覬+δt W t 奂(1-δt )W i +δi W t =W t .
于是覬+δ1W 1奂覬1+W 1奂V 1（i=1,2…
）从而取W=(δ1W 1)∩(δ2W 2),继续假设覬1和覬2是D (Ω)中不相同的元素，令W={覬∈D (Ω)：||覬||0<||覬1-覬2||0}.其中||覬||0的定义为||覬||N =max{|D α覬(x)|:x ∈Ω,|α|≤N},N=0,1,2….
则K ∈β并且覬1不在覬2+W 中，由此推出单点集{覬1}是
相对于τ的闭集.加法τ是连续的，
因为每个W ∈β的凸性意味着对于任何覬1∈D (Ω)，覬2∈D (Ω)，
覬1+12埸埸W +覬2+12
埸埸
W =(覬1+覬2)+W.如果W ∈β,存在α0和覬0∈Ψ(Ω)，则α覬-α0覬0=α（覬-覬0）+（α-α0）覬0.
如果W ∈β,存在δ>0使得δ覬0∈12
W,取c 使得2c
(|α0|+δ)=1,因为W 是凸的和均衡的，推出α覬-α0覬0∈W.只要|α-α0|<δ并且覬-覬0∈cW,根据拓扑空间局部凸的
第一个充要条件，
D (Ω)是一个局部凸的拓扑空间，证毕.5Ψ的不可度量化
定理5.1下面证明D (Ω)的完备性.证明若φj ∈(D )构成了拓扑空间（D ）中的Cauchy 序列或滤子，则φj 一致收敛到一个无穷可导的极限φ且对任
意α，
函数D αφj 也一致收敛到D p φ.随后可知φ具有紧支集，因此属于（D ）：因为对于任意序列{ε}以及充分大的i,j,当|x|≥v 时，我们有：|φi (x)-φj (x)|≤εv ，
于是对于充分大的j,当|x|≥v 时，也有：|φ(x)-φj (x)|≤εv .又因φj 有紧支集，从而对任意序列{ε}，当v 充分大时，
对任意|x|≥v ，
我们有：|φ(x)|≤εv .然而，若φ没有紧支集，则将存在一列点x v ∈R n 使得|x v |≥v ，且φ(x v )≠0，从而|φ(x)|≤εv 对于εv =12
|φ(x v )|所定义的序列{ε}来说是错的，最后立刻可
得φj 在拓扑空间（D ）中收敛于φ.
拓扑空间的D 完备性得以证明.
每个x ∈Ω确定D (Ω)上的一个线性泛函δx .如果x=0是R n 的原点,泛函δ=δ0通常叫做R m 上的Dirac 测度.K 奂Ω,因为当x 遍历K 的余集时，D k (D k 表示支撑在K 中所有f ∈C ∞)是这些δx 的零空间之交，因为D (Ω)是完备的，而D k (Ω)是D (Ω)的归纳极限，即D (Ω)的一些性质可映射到D k (Ω)，则(Ω)是完备的.因为存在集合K i 奂Ω可数集，使得D (Ω)=∪D k ,D (Ω)关于其自身是无处稠密集的可数并集，显然每个D k 相对于D (Ω)有空的内部.又因为D (Ω)的完备性，则根据baire 定理，它是不可度量的.——————————————————
—参考文献：〔1〕James
R.Munkres.拓扑学[M].北京：机械工业出版社，
2006.58-60,58-167.
〔2〕R.A.Adams.索伯列夫空间[M].北京：人民教育出版社，
1983.1-2,22-23.
〔3〕L.施瓦兹.广义函数论[M].北京：高等教育出版社，
2010.7-8,43-45.
〔4〕刘浩岳.广义函数论[M].河南：河南大学出版社，1995.〔5〕Walter Rudin.泛函分析[M].北京：机械工业出版社，
2006.1-32，111-115.
2--。