第四节万有引力与航天

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课件7：4.4 万有引力与航天

(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线
在相等的时间内扫过相等的面积。 (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它
的公转周期的二次方的比值都相等，表达式： Ta32＝k 。
2．万有引力定律 (1)公式：F＝ Gmr1m2 2，其中 G＝ 6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量。 (2)公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离。
(5)速率一定：运动速度 v＝2πr/T＝3.07 km/s(为恒量)。 (6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
2．极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
对于飞行器，根据万有引力提供向心力得：
G
Mr2m＝m
4π2 T2 r
由几何关系有：R＝rsinθ2
星球的平均密度
ρ＝
M 43πR3
由以上三式知测得周期和张角，可得到星球的平均密度。
故 C 正确；D 项，由 G
Mr2m＝m
4π2 T2 r
可得：M＝
G4πTr23，可知
若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但星球的半径未
C．在对接前，应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号” 并与之对接

第4讲万有引力与航天

③由
得
知：r越大，T越大．
1－1
图4－4－2 2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来(如图4－4－2所示)．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r，则可以确定( )
第4讲
万有引力与航天
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1
和m2的乘积成正比，与它们之间的距离r的平方 2．公式：F＝，其中G＝ 6.67×10－11 成反比．
N·m2/kg2叫引力常量．
3．适用条件：公式适用于质点间的相互作用．也适用于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，但此时r是两球心间的距离，一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．
A．“开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第三宇宙速度 B．“开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第二宇宙速度 C．太阳的平均密度 D．“开普勒”号太空望远镜的质量
解析：考查天体运动中相关的计算．要探测太阳系外类地行星，发射速度要大于第二宇宙速度，这样才能挣脱地球对它的吸引，A错B对；题目所给的量不能算出太阳的半径，也就不能算出太阳的平均密度， C错；在算式中， “开普勒” 号太空望远镜的质量被约去，没有办法计算，D错．本题难度中等．答案：B
A．绕月与绕地飞行周期之比为 B．绕月与绕地飞行周期之比为 C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6 D．月球与地球质量之比为1∶96 解析：由可得月球与地球质量之比：，D正确．
由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似为地球的半径与月球的半径，由由可得：，可得：，C正确．，A正确．

高中物理第四章《第四节万有引力与航天》教学课件

8
2．星体表面上的重力加速度 (1)设在地球表面附近的重力加速度为 g(不考虑地球自转)，由 mg＝GmRM2 ，得 g＝GRM2 . (2)设在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′，由 mg′＝(RG＋Mhm)2，得 g′＝
GM (R＋h)2 所以gg′＝(R＋R2h)2.
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们的向心加速度大小分别为 a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 已火．
知它们的轨道半径 R 金<R 地<R 火，由此可以判定
()
A．a 金>a 地>a 火
B．a 火>a 地>a 金
C．v 地>v 火>v 金
D．v 火>v 地>v 金
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第四章曲线运动万有引力与航天
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
解析：选 C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根
据 GMRm2 ＝m4πT22R，M＝ρ·43πR3，得 ρ＝G3Tπ2，代入数据解得 ρ≈5×1015 kg/m3，C 正确．
地球引力，能够描述 F 随 h 变化关系的图象是
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第四章曲线运动万有引力与航天
12
[解析] 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着 h 的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述 F 随 h 变化关系的图象是 D. [答案] D
Mm G R2

万有引力与航天ppt课件

识整
4．地球同步卫星的特点
合
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合． (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T＝ 24 h .
知能
高频考
(3)高度一定：由 G(RM＋mh)2＝m4Tπ22(R＋h)得，离地面的高
3 度 h＝
G4MπT2 2－R.
达标训练
点
突破
(4)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
整合
的半径为 r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为 m2，则 A．X 星球的质量为 M＝4GπT2r2113
知能
高频
B．X 星球表面的重力加速度为 gX＝4πT212r1 C．登陆舱在 r1 与 r2 轨道上运动时的速度大小之比为
vv12＝
达标训练
考点
m1r1
突
m2r1
破
D．登陆舱在半径为 r2 轨道上做圆周运动的周期为 T2＝T1
GM
an＝GMr2
r
v减小增大时ωT增减大小
an减小
知能达标训练
菜单
第四章曲线运动万有引力与航天
物理
[例1] (2011·浙江理综)为了探测 X 星球，载着登陆舱的探
主干
测飞船在以该星球中心为圆心，半径为
r1 的圆轨道上运动，周
知识
期为 T1，总质量为 m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近
第四章曲线运动万有引力与航天
物理
主干知识整合
知
第四节万有引力与航天
能达
标
训
练
高频考点突破
菜单
第四章曲线运动万有引力与航天

课件4：4.4 万有引力与航天

(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认
为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝G3Tπ2. 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可
第四章曲线运动万有引力与航天
(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴 a 的三次方与它的公转周期 T 的二次方成正比，即Ta32＝k，k 是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量 k 的表达式．已知引力常量为 G，太阳的质量为 M 太． (2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为 3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为 2.36×106 s，试计算地球的质量 M 地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
2－2.(单选)一宇航员在某星球上以速率 v0 竖直上抛一物体，经 t 秒落回原处，已知该星球半径为 R，那么该星球的第一宇宙速度是( B )
A.vR0t
B.
2v0R t
C.
v0R t
D.
v0 Rt
第四章曲线运动万有引力与航天
3．(单选)在日常生活中我们并没有发现物体的质量随物体的运动的变化而变化，其原因是( B ) A．物体运动无法称质量 B．物体的速度远小于光速，质量变化极小 C．物体质量太大 D．物体的质量不随速度变化而变化
2－1.(单选)嫦娥三号的成功登月再次表明我国已具备火星探测能力，假设我国欲发射一颗探测火星的卫星，其发射速度 v 应为( C ) A．7.9 km/s B．7.9 km/s＜v＜11.2 km/s C．11.2 km/s＜v＜16.7 km/s D．v≥16.7 km/s

第4讲万有引力定律与航天

6.4×106
m/s
＝7.9×103 m/s。方法二：由 mg＝mvR21得
v1＝ gR＝ 9.8×6.4×106 m/s＝7.9× 103 m/s。第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速
度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π Rg＝5 075 s≈85 min。
2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤ v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线
上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比。
2．表达式：F＝Gmr1m2 2，G 为引力常量，其值为 G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
3．适用条件：(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体
解析：近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可
得 GMr2m＝mvr2，解得线速度 v＝
GrM，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大
于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项 B 错
误；由万有引力提供向心力，可得 GMr2m＝mr2Tπ2，解得周期 T＝2π GrM3 ，所
答案：D
对点清
1. 四个分析 “四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半
径的关系。
GMr2m＝mmmωvar→22→r→av＝ω＝G＝rM2

万有引力与航天

万有引力与航天万有引力定律是牛顿提出的，它指出自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量m1和m2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。

牛顿通过月球-地球的检验发现，地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。

这个定律可以用公式F=G(m1m2/r^2)来表达，其中G是一个常数。

万有引力与重力之间有一定的关系。

通过“黄金代换”公式推导可得，当G=F时，就会有GM=mgR^2/2R，其中m为物体的质量，g为重力加速度，R为地球半径。

重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。

只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。

重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。

3、假设火星和地球都是球体，火星的质量M1与地球质量M2之比=q，那么火星表面的引力加速度g1与地球表面处的重力加速度g2之比1等于q。

例如，对于太阳系中的行星，可以利用行星公转周期$T$、半径$r$和万有引力常量$G$来估算太阳的质量。

根据向心力公式$F_c=\frac{mv^2}{r}$，可以得到$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m(2\pi r/T)^2}{r}$，从而$GM=\frac{4\pi^2r^3}{T^2}$。

因此，太阳的质量可以估算为$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$。

对于双星系统，两星球向心力相等，即F=mω2r=mωv，其中ω为角速度，v为线速度，r为轨道半径，m为星球质量。

因为角速度相等，周期也相等，即T=2π/ω。

又因为距离等于轨道半径之和，即r1+r2=L，其中L为双星系统的轨道半径。

根据万有引力定律，双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即GMm1m2/r2=m1ω2r1=m2ω2r2，其中G为万有引力常量。

由此可以得到r1/r2=m2/m1，v1/v2=m2/m1，r1r2=L2/(m1+m2)，其中m1、m2分别为两星球的质量。

第四节万有引力与航天

即时应用
2.(2008 年高考江苏卷)火星的质量 1 1 和半径分别约为地球的和，地球表面 10 2 的重力加速度为 g，则火星表面的重力加速度约为( ) A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
6. 4.与天体有关的估算问题
在估算有关天体的一些物理量时应紧扣两个关键： v2 Mm 2π2 2 (1)掌握公式：F 向＝G 2 ＝ma＝m r ＝mω r＝m T r. r 匀速圆周 (2)掌握模型：将天体或卫星的运动看成____________运动，其向心
宇宙速度数值(km/s) 第二宇宙速度意义这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，物体绕太阳运行(脱离速度) 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v≥16.7 km/s，物体将脱离在宇宙空间运行(逃逸速度)
11.2
第三宇宙速度
4.万有引力的特征:
(1)普遍性：普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体间的吸引力.是自然界的基本相互作用之一.
(2)相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力,符合牛顿第三定律. (3)宏观性：通常情况下，万有引力非常小,只有在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的实际意义
第四节万有引力与航天
由于我国航天事业取得举世瞩目的成就，万有引力与航天运动问题是近几年高考的重点，高考命题以选择题为主．本讲的主要内容是开普勒定律、万有引力定律，万有引力定律在天体运动中的应用是本讲重点，天体运动的最基本关系是万有引力提供天体运动的向心力．因此应使学生明确，稳定的天体运动一般可视为匀速圆周运动，向心力是由万有引力提供的，进而结合向心力的不同表达式，推导出已知量和所求量之间的关系．

4.4 万有引力与航天

第4节万有引力与航天【考纲全景透析】一、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积_______，与它们之间距离r的二次方_______.2.公式：F=_______，其中G为引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定.【答案】成正比成反比Gm1m2 r23.适用条件：两个_________的相互作用.(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为______________.(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为____________________.【答案】质点之间两球心间的距离质点到球心间的距离二、三种宇宙速度三、经典时空观和相对论时空观1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随_________而改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_____的.【答案】运动状态相同 2.相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而______，用公式表示为m= ______. (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是______的.【答案】增加不同m 01－v 2c2. 【热点难点全析】考点一万有引力定律在天体运动中的应用 1.利用万有引力定律解决天体运动的一般思路（1）一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．（2）两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2·r ＝ma mg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)．2.天体质量和密度的计算 (1)估算中心天体的质量.①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T 和轨道半径r ，就可以求出中心天体的质量M.②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g 和半径R ，就可以求出中心天体的质量M.（2）设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R 2，即g ＝GM R2(或GM ＝gR 2)若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝GMmR ＋h 2，即g ′＝GMR ＋h2＝R 2R ＋h2g .【例1】“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，根据以上信息得 ( )．A ．绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B ．绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C ．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6D ．月球与地球质量之比为1∶96 【答案】 ACD【详解】由G Mm R 2＝mg 可得月球与地球质量之比：M 月M 地＝g 月g 地×R 月2R 地2＝196，D 正确．由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由G MmR2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，可得：T 月T 地＝ R 月3M 地R 地3M 月＝32，A 正确．由G Mm R 2＝ma 可得：a 月a 地＝M 月R 地2M 地R 月2＝16，C 正确．考点二卫星的在轨运行和变轨问题 (1)圆轨道上的稳定运行G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度v 突然改变时，受到的万有引力G Mm r 2和需要的向心力m v 2r 不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G Mm r 2＞m v 2r 时，卫星做近心运动，其轨道半径r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G Mm r 2＜m v 2r时，卫星做离心运动，其轨道半径r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小． 3.地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.(4)高度一定：据卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R(为恒量).(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 4.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖. (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.【例2】如图所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待神舟八号到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号” ( )．A ．应从较低轨道上加速B ．应从较高轨道上加速C ．应在从同空间站同一轨道上加速D ．无论在什么轨道上只要加速就行【答案】 A【详解】“神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接．据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得T ＝2πr 3GM，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A 对B 错．若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C 、D 都错．考点三双星模型1．模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星． 2．模型特点：(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在m 1、m 2两颗行星上．(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等． (3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r 1＋r 2＝L .【例3】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距L ，试写出它们角速度的表达式．【答案】(1)见解析 (2)G m 1＋m 2L 3【详解】(1)证明两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．设两者的圆心为O 点，轨道半径分别为R 1和R 2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出Gm 1m 2L2＝m 1ω2R 1① Gm 1m 2L 2＝m 2ω2R 2② 所以R 1R 2＝m 2m 1，所以v 1v 2＝R 1ωR 2ω＝R 1R 2＝m 2m 1，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比． (2)由①②两式相加得G m 1＋m 2L 2＝ω2(R 1＋R 2)，因为R 1＋R 2＝L ，所以ω＝ G m 1＋m 2L 3.。

第六章第四节

是这样发现的．
3．海王星和冥王星的轨道与计算结果不完全符合，因此人
们猜测在冥王星外侧还有未发现的大行星．注意：海王星和哈雷彗星的“按时回归”最终确立了万有引力定律的地位．
栏目导引
第六章
万有引力与航天
要点探究讲练互动
要点一天体质量和密度的计算 1．计算天体的质量以地球质量的计算为例，介绍两种计算天体质量的方法： (1)若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得 M地 · m gR2 mg＝G 2 ，解得地球质量为 M 地＝ . R G
万有引力与航天
特别提醒：(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量． (2)要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行，则有R＝r.
栏目导引
第六章
万有引力与航天
例1 (2013· 包头一中高一检测)在某行星上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．【思路点拨】解答该题应明确两个关系：
Mm mv2 故甲运行的角速度小，选项 C 错误；根据 G 2 ＝，得 v r r ＝ GM ，故甲运行的线速度小，选项 D 错误． r
【答案】
A
栏目导引
第六章
万有引力与航天
跟踪训练2 (2012· 高考浙江卷)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小
行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳
(1)在行星表面物体的重力等于星球对它的万有引力．
(2)在行星表面附近飞船飞行的向心力由万有引力提供．

第4章第4讲万有引力与航天

第4讲万有引力与航天知识一万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．公式F ＝G m 1m 2r2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，叫引力常量．3．适用条件两个质点之间的相互作用．(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离．(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r 为质点到球心间的距离．(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G Mm R2计算物体间的万有引力．(×)(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)知识二万有引力定律应用及三种宇宙速度1．万有引力定律基本应用(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．(2)基本公式：G Mmr 2＝mg r＝ma ＝⎩⎪⎨⎪⎧m v 2rmr ω2mr2πT 2mv ω其中g r 为距天体中心r 处的重力加速度．(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度． (3)两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同．当一枚火箭受到的重力只有它在地球表面上受到的重力一半时，它飞到了多大高度？ [提示] 地面上：mg 0＝GMmR 2地. 飞行处：12mg 0＝GMmR 地＋h2解得飞行高度h ＝(2－1)R 地知识三经典时空观和相对论时空观1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．3．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．(1)经典力学的基础是牛顿运动定律．(√)(2)牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题．(×) (3)经典力学可以解决自然界中所有的问题．(×)1．关于万有引力公式F ＝Gm 1m 2r 2，以下说法中正确的是( ) A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的【解析】万有引力公式F ＝Gm 1m 2r，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.【答案】 C2．(多选)由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E ＝F q，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M ，半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，引力常量为G ，如果一个质量为m 的物体位于距离地心2R 处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )A ．GM R2B ．Gm R2C ．GMm R 2D.g4【解析】由万有引力定律知F ＝G Mm R2，引力场的强弱F m ＝GM R2，A 对；在地球表面附近有G Mm R 2＝mg ，所以F m ＝g4，D 对．【答案】 AD3．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的 2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )A ．太阳引力远大于月球引力B ．太阳引力与月球引力相差不大C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【解析】设太阳质量为M ，月球质量为m ，海水质量为m ′，太阳到地球距离为r 1，月球到地球距离为r 2，由题意Mm＝2.7×107，r 1r 2＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F 1＝GMm ′r 21，月球对海水的引力F 2＝Gmm ′r 22，则F 1F 2＝Mr 22mr 21＝2.7×1072＝2 70016，故A 选项正确，B 选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C 选项错误，D 选项正确．【答案】 AD4．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【解析】根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A 错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B 错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C 正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D 错误．【答案】 C5．(2013·福建高考)设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r 3T 2B ．GM ＝4π2r2T2C ．GM ＝4π2r 2T3D ．GM ＝4πr3T2【解析】本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．对行星有：GMm r 2＝m 4π2T 2r ，故GM ＝4π2r3T2，选项A 正确．【答案】 A考点一 [32] 天体质量和密度的估算一、重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .1．由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G.2．天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.二、卫星环绕法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T .1．由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r3GT2.2．若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3.若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r ＝R ，则有ρ＝3πGT2.——————[1个示范例]——————(2013·全国大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为( )A ．8.1×1010 kgB ．7.4×1013kgC ．5.4×1019 kgD ．7.4×1022kg 【解析】天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：GMm r 2＝4π2mr T 2，得M ＝4π2r3GT 2，其中r ＝R ＋h ，代入数据解得M＝7.4×1022kg ，选项D 正确．【答案】 D——————[1个预测例]——————一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GNB.mv 4GNC.Nv 2GmD.Nv 4Gm【审题指导】(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系． (2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系．【解析】设卫星的质量为m ′由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R①m ′v 2R＝m ′g ②由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg ③由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝mv 2N代入①得M ＝mv4GN，故B 项正确．【答案】 B 考点二 [33] 卫星运行参量的比较与运算一、卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T2.二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律1．G Mm r 2＝m v 2r →v ＝GM r→v ∝1r.2．G Mmr2＝m ω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3. 3．G Mm r 2＝m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM→T ∝r 3. 4．G Mm r 2＝ma →a ＝GM r 2→a ∝1r 2.5．mg ＝GMm R 2地(近地时)→GM ＝gR 2地.三、极地卫星和近地卫星1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． 2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.——————[1个示范例]——————(2013·四川高考)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍C ．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 13365倍 D ．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短【解析】行星、地球绕其中心天体做匀速圆周运动．根据万有引力提供向心力解决问题．由题意知，行星、地球的质量之比m 1m 2＝6，半径之比R 1R 2＝1.5，公转周期之比T 1T 2＝13365，中心天体质量之比M 1M 2＝0.31.根据G mm ′R 2＝m ′v 2R ，得第一宇宙速度之比v 1v 2＝Gm 1R 1·R 2Gm 2＝m 1m 2·R 2R 1＝2，选项A 错误；根据m ′g ＝G mm ′R 2，得到人的体重之比m ′g 1m ′g 2＝m 1R 21·R 22m 2＝m 1m 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 2R 12＝83，选项B 正确；根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得与中心天体的距离之比r 1r 2＝3M 1M 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 22＝30.31×⎝ ⎛⎭⎪⎫133652，选项C 错误；米尺在该行星上长度不一定会变短，选项D 错误．【答案】 B——————[1个预测例]——————(多选)(2011·天津高考)质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A ．线速度v ＝ GM RB ．角速度ω＝ gRC ．运行周期T ＝2π R gD ．向心加速度a ＝Gm R2【解析】对航天器：G Mm R 2＝m v 2R ，v ＝ GM R ，故A 正确．由mg ＝m ω2R 得ω＝ g R，故B 错误．由mg ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R 得T ＝2πR g ，故C 正确．由G Mm R 2＝ma 得a ＝GM R 2，故D 错误．【答案】 AC考点三 [34] 赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别一、区别1．同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．2．近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．3．三者的线速度各不相同．二、求解此类题的关键1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a ＝ω2r 而不能运用公式a ＝GM r2.2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v ＝ωr 而不能运用公式v ＝GM /r .3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v ＝GM /r ，而不能运用公式v ＝ωr 或v ＝gr .——————[1个示范例]——————(2012·四川高考)今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m ．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107m)相比( )A ．向心力较小B ．动能较大C ．发射速度都是第一宇宙速度D ．角速度较小【解析】由题意知，中圆轨道卫星的轨道半径r 1小于同步卫星轨道半径r 2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F 向＝G Mm r2知，两卫星的向心力F 1>F 2，选项A 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r＝m ω2r ，得环绕速度v 1>v 2，角速度ω1＞ω2，两卫星质量相等，则动能E k1>E k2，故选项B 正确，选项D 错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v 01<v 02，选项C 错误．【答案】 B同步卫星的六个“一定”——————[1个预测例]——————有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图4－4－1，则有( )图4－4－1A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．c 在4 h 内转过的圆心角是π/6C ．b 在相同时间内转过的弧长最长D ．d 的运动周期有可能是20 h【解析】对于卫星a ，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得，GMm r 2－N ＝ma 向，而GMm r 2＝mg ，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，A 项错；由c 是同步卫星可知卫星c 在4 h 内转过的圆心角是π3，B 项错；由GMm r 2＝m v 2r 得，v ＝GMr，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b 的线速度大于卫星c 的线速度，卫星c 的线速度大于卫星d 的线速度，而卫星a 与同步卫星c 的周期相同，故卫星c 的线速度大于卫星a 的线速度，C 项对；由G Mm r 2＝m (2πT)2r ，得，T ＝2πr 3GM，轨道半径r 越大，周期越长，故卫星d 的周期大于同步卫星c 的周期，D 项错．【答案】 C考点四 [35] 卫星的发射与变轨一、宇宙速度1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的求法：(1)GMm R 2＝m v 21R ，所以v 1＝GM R.(2)mg ＝mv 21R，所以v 1＝gR .(3)第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．二、卫星的变轨分析卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．1．大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆轨道2．空气阻力使速度减少，G Mm r 2>m v 2r→向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v ′＝GMr ′.——————[1个示范例]——————(多选)(2013·新课标全国卷Ⅰ)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【解析】本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手．第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力F n ＝mv 2r减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B 、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D 错误．【答案】 BC——————[1个预测例]——————图4－4－2(多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．如图4－4－2所示，M 、Q 两点在轨道1上，P 点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是( )A ．“神舟十号”必须在Q 点加速，才能在P 点与“天宫一号”相遇B ．“神舟十号”在M 点经一次加速，即可变轨到轨道2C ．“神舟十号”变轨后在M 点的速度大于变轨前的速度D ．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期【解析】飞船经一次加速后由圆轨道1变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道2相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在M 点加速，才能在P 点与“天宫一号”相遇，A 错；飞船在M 点经一次加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道2，B 错；飞船在M 点加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，则变轨后在M 点的速度大于变轨前的速度，C 对；由T ＝2πr 3GM可知轨道半径增大，周期增大，D 项正确．【答案】 CD“双星”模型一、双星系统在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．二、双星系统的条件1．两颗星彼此相距较近．2．两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． 3．两颗星绕同一圆心做圆周运动．三、双星系统的特点1．两星的角速度、周期相等． 2．两星的向心力大小相等．3．两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .轨道半径与行星的质量成反比．——————[1个示范例]——————图4－4－32012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动，如图4－4－3所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )A ．它们做圆周运动的万有引力保持不变B ．它们做圆周运动的角速度不断变大C ．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D ．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小【解析】对双星M 1、M 2，设距离为L ，圆周运动半径分别为r 1、r 2，它们做圆周运动的万有引力为F ＝GM 1M 2L 2，距离L 不变，M 1与M 2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A 错；依题意双星系统绕两者连线上某点O 做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：G M 1M 2L 2＝M 1ω2r 1，G M 1M 2L2＝M 2ω2r 2，r 1＋r 2＝L ，可解得：M 1＋M 2＝ω2L3G，M 1r 1＝M 2r 2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B 、D 错，C 对．【答案】 C , (2013·山东高考)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 【解析】双星间的万有引力提供向心力．设原来双星间的距离为L ，质量分别为M 、m ，圆周运动的圆心距质量为m 的恒星距离为r .对质量为m 的恒星：G Mm L 2＝m (2πT )2·r 对质量为M 的恒星：G Mm L 2＝M (2πT)2(L －r )得G M ＋m L 2＝4π2T 2·L ，即T 2＝4π2L 3G M＋m则当总质量为k (M ＋m )，间距为L ′＝nL 时，T ′＝n 3kT ，选项B 正确．【答案】 B⊙卫星运行比较1．(2013·广东高考)如图4－4－4，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图4－4－4A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大【解析】卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据GMm r 2＝ma 得a ＝GMr2，故甲卫星的向心加速度小，选项A 正确；根据G Mm r 2＝m (2πT )2r ，得T ＝2πr 3GM ，故甲的运行周期大，选项B 错误；根据G Mmr2＝m ω2r ，得ω＝GM r 3，故甲运行的角速度小，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r ，得v ＝GM r，故甲运行的线速度小，选项D 错误．【答案】 A⊙天体质量的估算2．2013年12月2日，我国成功发射了“嫦娥三号”，实施落月探测计划，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星行程为s ，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G ，根据以上数据估算月球的质量是( )A.t 2Gs 3 B.s 3Gt 2 C.Gt 2s3 D.Gs 3t2 【解析】由几何知识得圆心角θ＝s r，其中s 为卫星转动的弧长，即卫星的行程，r 为轨迹半径，代入数据得轨迹半径r ＝s ，卫星转动的角速度ω＝θt ＝1t，由万有引力提供向心力GMm r 2＝m ω2r ，得月球的质量M ＝ω2r 3G ＝s 3Gt2，选项B 正确．【答案】 B⊙考查万有引力与重力加速度3．(2012·新课标全国卷)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎪⎫R R －d 2【解析】设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′R －d 2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g ′g ＝1－dR，选项A 正确；选项B 、C 、D 错误．【答案】 A ⊙变轨问题4．(2013·安徽高考)质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMmr，其中G 为引力常量，M 为地球质量．该卫星原来在半径为R 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R 2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )A ．GMm (1R 2－1R 1)B ．GMm (1R 1－1R 2)C.GMm 2(1R 2－1R 1) D.GMm 2(1R 1－1R 2) 【解析】人造卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供．根据万有引力提供向心力得G Mm r ＝m v 2r①而动能E k ＝12mv 2②由①②式得E k ＝GMm 2r③ 由题意知，引力势能E p ＝－GMm r④ 由③④式得卫星的机械能E ＝E k ＋E p ＝－GMm 2r由功能关系知，因摩擦而产生的热量Q ＝ΔE 减＝E 1－E 2＝GMm 2(1R 2－1R 1)，故选项C 正确．【答案】 C ⊙同步卫星问题5．(多选)(2013·浙江高考)图4－4－5如图4－4－5所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm r －R2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2 C ．两颗卫星之间的引力大小为G m 23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2【解析】应用万有引力公式及力的合成规律分析．地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A 错误，B 正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r ，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为Gm 23r2，选项C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D 错误．【答案】 BC。

高考一轮复习：4.4《万有引力与航天》ppt课件

Mm v2 4��2 r 2 G 2 =m =mrω =m 2 =man。 r r T
(2) 解决力与运动关系的思想还是动力学思想, 解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律。 ①卫星的 an、v、ω、T 是相互联系的, 其中一个量发生变化, 其他各量也随之发生变化。 ②an、v、ω、T 均与卫星的质量无关, 只由轨道半径 r 和中心天体质量共同决定。
第四章
第四节万有引力与航天 9
基础自测
1
2
3
4
1.请判断下列表述是否正确, 对不正确的表述, 请说明原因。 ( 1) 只有天体之间才存在万有引力。( )
Mm R2
( 2) 只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离, 就可以由 F=G 物体间的万有引力。( )
计算
( 3) 当两物体间的距离趋近于 0 时, 万有引力趋近于无穷大。( ( 4) 第一宇宙速度与地球的质量有关。( ) ( 5) 地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。( 太阳运行。(
�� : ① 卫星所需向心力由什么力提供 ? v= 思路引导得, v 甲<v D 项错。乙, �� A ②写出向心力公式。
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解析考点一考点二考点三考点四
答案
第四章
第四节万有引力与航天 15 -15-
规律总结(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力, 即
1.重力是由于地球的吸引而使物体受到的力, 但重力并不是地球对物体的引力, 它只是引力的一个分力, 另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力( 如图所示) 。
考点一
考点二
考点三
考点四
第四章
第四节万有引力与航天 18 -18-

万有引力与航天

第四讲万有引力定律和航天[基础知识]（一）.一个物理模型：匀速圆周运动模型—把环绕天体绕中心天体的椭圆远动理想化为匀速圆周圆周.（二）一组公式：mg.mvωn mr4πT4πmr mrωr v m ma r Mm G 2222222=======（适于匀速圆周）.（三）四个定律：1.开普勒第一定律（轨道定律）：描述所有环绕天体绕中心天体的运动轨迹为椭圆，中心天体位于椭圆的一个焦点上.2.开普勒第二定律（面积定律）：描述某一环绕天体与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等.由vRt 21R L 21S 弧面==得，近地点速度大，远地点速度小.从能量角度解释：地球绕太阳运动，只受万有引力，机械能守恒.从近地点向远地点运动，F 万做负功，动能减小（v 减小）势能增大，在远地点速度最小）（v F 万⊥；从远地点向近地点运动，F 万做正功，动能增加（v 增加）势能减小，在近地点速度最大）（v F 万⊥.3.开普勒第三定律（周期定律）：所有环绕天体的轨道半长轴的立方跟它的公转周期的平方的比值都相等.k T a 23=，k 与环绕天体无关，是只与中心天体的质量有关的常量.4πGM T r T 4πmr r Mm G 223222=⇒= 4.万有引力定律：[表达式]221万r m m GF =，G —引力常量，由卡文迪许扭称实验测定. [适应条件]①两质点间的相互作用②对质量分布均匀的球体，r 为两球心间距 ③一个质量分布均匀的球体和球外一个质点，r 为质点到球心的间距. 5. 万有引力定律的两个推论（1）在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零.（2）在匀质球体内部距离球心r 处的质点（m ）受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体（M /）对它的引力.r mM GF 2/= 题型分类一、开普勒运动定律1. (对开普勒第二定律的理解及应用)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( ) A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大近地点太阳地球万F 万F v v远地点aC ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：（1）运行正确为T 0，只考虑万有引力，机械能守恒，故B 错.由P 到Q 运动时间为2T 0，线速度逐渐减小，由vt L =得，.4Tt ,4T t 0MQ 0PM ><故A 错C 对.（2）由M 到N 阶段，F 万与v 的夹角由钝角变为锐角，则万有引力对它先做负功后做正功，故D 对.2.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：由开普勒第三定律得8,r r T T 3Q3p Q P ==故C 对ABD 错. 3.1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G.则( )A ．v 1>v 2，v 1＝ GM rB ．v 1>v 2，v 1> GM rC ．v 1<v 2，v 1＝GM rD ．v 1<v 2，v 1>GM r解析：（1）由开普勒第二定律得v 1>v 2，则CD 错.（2）由供需关系得，从近地点向远地点运动时，将做离心运动，.rGMv r v m r Mm G 1212>⇒< 故B 对A 错.4.德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名的开普勒行星三定律．设太阳系的行星绕太阳做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k 1，土星的卫星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k 2，地球的卫星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k 3.已知M 太>M 土>M 地，则三者大小关系为( )A ．k 1＝k 2＝k 3B ．k 1>k 2>k 3C ．k 1<k 2<k 3D ．k 1>k 2＝k 3解析：由,k k 故k ,4πGMT r k T 4πmr r Mm G 321223222>>==⇒=ACD 错B 对. 二、重力加速度的计算1.地球表面上的重力加速度：万有引力是重力和向心力的矢量和.地球对物体的万有引力分解为两方向的力（1）竖直向下的重力与地面对物体的支持力平衡，（2）提供随地球自转需要的向心力.在两极上02mg R Mm G =，在赤道上212mRωmg RMm G +=.由于自转向心力远小于重力，常认为万有引力与重力近似相等. 黄金代换式.gR GM mg RMmG 22→=⇒=涉及到中心天体的半径R 和其表面的重力加速度g 在求解过程中均要利用黄金代换式.2.中心天体上空某高度h 处的重力加速度（中心天体的半径R ）由于物体不受中心天体的自转影响，则.h)(R GMg mg h)(R Mm G22+=⇒=+ 1.设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R ，宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F 1=F 0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F 2=F 0/2．假设第三次在赤道平面内深度为0.5R 的隧道底部，示数为F 3；第四次在距星表高度为R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F 4，已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是（）4FF ,4F D.F 0F ,415F C.F 0F ,4F B.F 4F F ,4F A.F 04034034030403========.解析：（1）在极点：012F F RMmG ==. （2）在赤道处：.mRω2F mRωF R MmG 20222+=+= （3）在隧道底部：设半径为0.5R 的球体质量为M /.由于质量分布均匀，密度相同，.8MM R (0.5R)M M 得πR 34ρ由M /33/3=⇒==半径0.5R 的球体对物体的引力2/(0.5R)m M G F =,则232232/mRω2F RMm G 0.5Rωm F (0.5R)m M G +=⇒⋅+= （4）在h=R 处的高空中，2422428mRωRMm Gm2Rω（2R）MmG=⇒=,即F 万全部提供向心力，处于完全失重状态，重力产生的现象消失，弹簧弹力为0.即F 4=0，故AD 错.解以上各式得,4FF 03=故B 对C 错.球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC ．⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2[思路指导]由于重力远大于随地球自转需要的向心力，在没有特别指出考虑自转影响，或存在由于地球自转，某天体自转较快等字词，均认为F 万=mg.解析：地球重力为M ，半径为R ；半径为（R-d ）的球体质量为M /.在地球表面1mg R Mm G 2=，由3πR 34ρM =得M.)Rd R (M R d)(R M M 3/33/-=⇒-=星．假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m ，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(地球表面重力加速度g 取10 m/s 2)( )A ．5∶2B ．2∶5C ．1∶10D ．10∶1解析：（1）在某行星上：,50m/s g h 2g v 20020=⇒= 在地球上g=10m/s 2.3.1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”．若已知引力常量为G ，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1(地球自转周期)，一年的时间为T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2.下列说法正确的是( )A ．地球的质量m 地＝GR 2gB ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22C ．月球的质量m 月＝4π2L 21GT 21D ．由题中数据可求月球的密度解析：（1）求解某天体的质量，须把该天体作为中心天体，并知道其环绕天体的运动参量. 无月球的环绕天体的运动参量，故无法求解月球的质量和密度，故CD 错. （2）在地球表面，已知g 和R ，不考虑地球自转时,GgR mg m R mmG 2地02地=⇒=故A 错. （3）已知地球环绕太阳的周期T 2和轨道半径L 2.则22322太2222地22地太GT L 4πmT 4πL m L mmG=⇒=. 4．2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.67×10－11 N ·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3 解析：1s=103ms,估算数量级.在星体表面的物体对星体无压力时，即N=mg=0时，M 最小.31536-11-23222kg/m 105kg/m 2510710GT 3πρπR 34ρ，M T 4πmR R Mm G ⨯≈⨯⨯⨯≈=⇒==，D 对. 5.(多选)探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想．假设人类某次利用飞船探测火星的过程中，飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周运动时，测得其绕行速度为v ，绕行一周所用时间为T, 已知引力常量为G ，则( )A ．火星表面的重力加速度为πv TB ．火星的半径为Tv 2πC ．火星的密度为3πGT 2D ．火星的质量为Tv 22πG解析：已知火星表面环绕r=R 、v 、T.则由.2πvTR T 2πR v =⇒=故B 对. （1（2（3四、等效思想、推论法解决万有引力定律问题“等效思想”、“推论法”解决问题的宗旨在于满足万有引力定律的条件. “填补法”是在满足万有引力定律的条件下解决问题的科学素养.6.如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西．若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( ) A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大解析：设物体距离地心距离d.由于球壳内任意一点所受球壳的万有引力的合力为零，即只受球壳内部球体的万有引力.半径为d 的球体对其表面的引力：Gρπmd.34d m M G F ,M R d MπR 34ρM 2/万33/3====⇒= 则d,34πGρm F a 万==故a 先减小后增大，ABC 错D 对.7.如图所示，有一个质量为M ，半径为R ，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为R2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )A ．G Mm R 2B ．0C ．4G Mm R 2D ．G Mm2R2解析：（1）把小球体填补归位，由推论得，大球体对质点的引力等效于以大球体球心为球心半径为0.5R 的球体对质点的引力..2RGMm （0.5R）m M G F M,81M R (0.5R)M22//33/==== (2) 由推论得小球体对位于其球心的质点的引力F 2=0.(3) 剩余部分UI 质点的引力.2R GMmF F F F 2/2/==-=故ABC 错D 对.天体运动的“五类”热点问题一、对三种宇宙速度的理解及应用1. 第一宇宙速度（近地环绕速度）：最小的发射速度，也是最大的环绕速度.7.9km/s.m/s 107.9gR RGMv R v m R Mm G ,gR GM 312122=⨯===⇒==2. 第二宇宙速度（脱离速度）：是挣脱地球引力约束的最小发射速度11.2km/s.v 2=3. 第三宇宙速度（逃逸速度）：是挣脱太阳引力约束的最小发射速度16.7km/s.v 3=4. 宇宙速度与运动轨迹的关系：（1）v 发=v 1时，卫星绕地球做匀速圆周运动. （2）v 1<v 发<v 2时，卫星绕地球运动轨迹为椭圆. （2）V 2<v 发<v 3时，卫星绕太阳运动轨迹为椭圆.（3）v 发>v 3时，卫星挣脱太阳引力约束，飞离太阳系.1．(对宇宙速度的理解)(多选)2019年10月11日，中国火星探测器首次公开亮相，暂命名为“火星一号”，并计划于2020年发射．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的23解析：（1）发射火星探测器，脱离地球约束，但不脱离太阳的约束，v 2<v 发<v 3,故AB 错C 对. （2）.v 32v 321291R R MMv v RGM v 1地1火火地地火1地1火1=⇒=⨯=⨯=⇒=故D 对. 2．(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先从发射点P 进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )A ．该卫星在P 点的速度大于7.9 km/s ，且小于11.2 km/sB ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ解析：（1）v P =7.9km/s ，近地匀速圆周运动，7.9km/s<v P <11.2km/s,沿椭圆运动，A 对.（2）同步轨道Ⅱ的运行速度一定小于7.9 km/s （第一宇宙速度是最大的环绕速度），故B 错.（3）近地点的速度大于远地点的速度，故C 对.（4）在Q 点加速实现离心运动进入高轨道，故D 对.二、环绕天体的运动参量的比较和分析（一）同步卫星“六一定”：1.轨道平面一定，与赤道平面重合，2.周期运动，与地球自转周期相同T=24h.3.角速度运动，与地球自转角速度相同，4.高度运动，在赤道上方一定的高度处.5.线速度一定6.绕行方向一定，与地球自转方向一致. （二）极地卫星和近地卫星1.极地卫星运行一周经过南北两极，由于地球的自转，极地卫星可以实现全球覆盖.2.极地卫星，在地球表面附近环绕地球匀速圆周运动，轨道半径近似等地球半径，v 最大.3.两种卫星轨道平面一定通过地球的球心.（三）运动参量的比较，一定要明确向心力的来源，来源不同遵守的规律不同. 1.匀速环绕天体：万有引力全部充当向心力.遵守下列规律.⇒====22222T 4πmr mrωr v m ma r Mm G .GMr 2πT ,r GM ω,r GM v ,r GM a 332==== 三速及周期均是轨道半径的函数，随r 的增大三速减小周期增大.2. 地球表面上的物体随地球自转做圆周运动需要的向心力是由万有引力的分力提供的. 不遵守上述规律，但与地球自转角速度、周期相同，遵守：rω.v ,rωa 2==3.地球表面上的物体和环绕天体的圆周运动参量的比较，以同步卫星为桥梁，比较大小关系，（1）同步卫星与地球表面物体遵守rω.v ,rωa 2==（2）同步卫星和其他环绕天体遵守.GMr 2πT ,r GM ω,r GM v ,r GM a 332====3．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，地球的第一宇宙速度为v 2，半径为R ，则下列比例关系中正确的是( )A ．a 1a 2＝r RB ．a 1a 2＝(r R )2C ．v 1v 2＝r RD ．v 1v 2＝Rr解析：（1）同卫和赤道上物体ω相同，遵守a=r ω2,则.Rra a 21=故A 对B 错. （2）v 1和v 2均属于环绕速度，遵守rRv v r GM v 21=⇒=,故C 错D 对. 4.有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星．各卫星排列位置如图，则有( )A.a 的向心加速度等于重力加速度gB.b 在相同时间内转过的弧长最长C.c 在4h 内转过的圆心角是π6D.d 的运行周期有可能是20h解析：（1）对a 有n 2ma mg R MmG+=，g a ma 且mg n n≠⇒>>，故A 错.（2）对b 、c 、d 同为环绕天体，由GM r 2π，T r GM v 3==得.T T ，T v v v d c b d c b <<>> 对a 、c 遵守.v v rωv 24h,T T a c c a >⇒===故v b 最大，B 对.T d <24h ，D 错.,3π4h 24h 2πθc =⨯=故C 错. 答案：B 三、供需关系谈变轨——卫星发射、回收、变轨分析.当rv m r Mm G 22=时，做稳定的匀速圆周运动.当r v m r Mm G 22<时，即在某点加速，卫星将做离心运动，卫星的发射原理. 当rv m r Mm G 22>时，即在某点减速，卫星将做近心运动，卫星的回收原理.设Ⅰ轨道速度v 1,Ⅲ轨道速度v 3，轨道Ⅱ上A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .（1）速度关系：.v v v v v ，v v v ,v v B 31A B 3311A >>>⇒>>> （2）周期关系：由开普勒第三定律得.T T T 321<<（3）加速度关系：正常运行时只受万有引力，Ⅰ、Ⅱ轨道上A 点加速度同，Ⅱ、Ⅲ轨道上B 点加速度同. （4）机械能关系：在同一轨道上运行时机械能守恒，轨道升高机械能增大.（5）卫星的对接：通常卫星在较低轨道加速，变轨离心，进入较高轨道与该轨道的卫星对接.5．(卫星轨道渐变时各物理量的变化分析)(多选)“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室在太空中自动交会对接的成功，显示了我国航天科技力量的雄厚．已知对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下列说法正确的是( )A ．为实现对接，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，“天宫二号”的动能可能会增加C ．如不加干预，“天宫二号”的轨道高度将缓慢降低D ．进入“天宫二号”的航天员处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用解析：（1）第一宇宙速度是最大的环绕速度，故A 错.宇航员处于失重状态，但仍受地球的引力，提供向心力.故D 错，BC 对.（2）“天宫二号”做匀速圆周运动时、由于存在稀薄大气的阻力作用，v 减小，将做近心运动，万有引力做的正功大于克服稀薄气体的阻力做的功，动能增加，故BC 对.6. (多选)我国计划于2019年在海南文昌发射场将“嫦娥五号”送上38万公里外的月球，采回月壤，实现航天工程绕、落、回的收关阶段．到时着陆器将自动从月面取样后从月表起飞，并在近月轨道实现自动交会对接后和返回舱一起返回地面，供科学家分析．了解这则新闻后物理兴趣小组进行了热烈讨论，绘制出了“嫦娥五号”奔向月球和返回地球的示意图，图中对接为取样后的对接点，实线圆为绕行器在半径为r 的圆轨道绕月等待着陆器返回的轨道，设着陆器取样并返回到绕行器的时间t 内绕行器飞行N 圈，全过程不考虑空气阻力的影响．已知引力常量为G ，月球的半径为R ，则兴趣小组提出了下列有关结论，其中表示正确的是( )A ．从地表发射后的“嫦娥五号”需要进行多次变轨，当其速度达到第二宇宙速度时才能飞抵月球B ．“嫦娥五号”沿椭圆轨道向38万公里外的月球飞行时，只有月球也运动到椭圆轨道的远地点附近时才能将“嫦娥五号”捕获，否则还要沿椭圆轨道返回C ．结合题中信息可知月球的质量为4π2r 3N2Gt2，二者在对接过程中有一定的机械能损失 D ．绕行器携带样品沿椭圆轨道返回地球时，虽然引力做功，动能增大，但系统的机械能不变解析：选BC ．从地表发射后的“嫦娥五号”需要进行多次变轨，以提高其绕行速度，但由于月球在地月系内，因此“嫦娥五号”不需要达到逃离地球的第二宇宙速度，A 项错误；由于月球也在绕地运行，只有当“嫦娥五号”沿椭圆轨道运动到远地点时，刚好月球也运动到这一位置，才能减速被月球捕获，若月球尚未到达目的地，地球的引力还会使“嫦娥五号”沿椭圆轨道返回，等待月球的下次到来，B 项正确；着陆器取样返回后与绕行器对接过程是合二为一的过程，相当于完全非弹性碰撞，一定有机械能损失，绕行器由万有引力提供向心力知G Mm r 2＝mr 4π2T 2，又T ＝t N ，故M ＝4π2r 3N2Gt 2，C 项正确；绕行器携带样品沿椭圆轨道返回近地轨道时，先经历了一个加速离心上高轨的过程，再沿椭圆轨道绕地球运动，接近地球时又要减速才能下低轨，进入近地轨道，这一返回过程有两个时段内有外力做功，只有椭圆一段外力不做功，由于题中指代不清，故D 项错误．四、双星和多星模型在天体运动中彼此相距较近，在相互间的万有引力作用下，围绕同一点做匀速圆周运动的星体系统称为宇宙多星模型．要充分利用宇宙多星模型中各星体运行的周期、角速度都相等这一特点. 要明确向心力的来源，明确圆周运动的圆心和轨道半径. 1.三式解决双星问题（设双星间距L ，角速度ω）.L.r r ,ωr m L m m G,ωrm Lmm G21222221211221=+==两式相等得2211r m r m =，轨道半径跟质量成反比. 两式相加求角速度：321L)m G(mω+=.2.三星、四星常见类型7.(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度解析：（1）由题设可知二者间距：n 2πr v n,2πr v 12r/s,400km，转速n r r L 221121===≈+= 则,v v 2πnL 21+=故C 对，各自自转角速度无法求出，D 错. （2）由L.r r ,ωr m L m m G,ωr m L mm G21222221211221=+==得32221L n 4π)m G(m=+,A 错B 对.8.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a (4＋2)Gm解析：（1）根据各个星体的受力特点，合外力均指向O 点，故A 对.2r 1r 1m2m0amm m m aa轨道半径a,22r =合外力的大小.2a 1）Gm 2（2cos45a m 2G a)2(m G F 2202222合+=+=故B 错.（2）对某一星体：.)Gm2(4a 2πa T T 4πmr 2a 1)Gm2（2F F 2222n 合+=⇒=+⇒=故D 对. （3）在某星体表面：.R Gmg g m R mm G220=⇒=故C 对. 五、天体的追及和相遇问题初始位置在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻.1．由最近到最近（最远到最远）两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1，2，3，…)．2．由最近到最远（最远到最近）当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足 (ωA －ωB )t ＝(2n －1)π(n ＝1，2，3…)．9.(多选)如图，三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M(M 远大于m 1及m 2)，在万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次解析：（1）由开普勒第三定律得8:1T :T b a =，故A 对B 错.（2）b 转一周t=T b ,从此位置到第一次相距最近经t 1,设初始夹角为ɑ<900，则α-2π)t ω（ω1b a =-，即2πα1t T 7α2π)t T 2π-T 2π（1b 1b a -=⇒-=从第一次最近在t 2=T b -t 1时间内又有N 此相距最近，则.2πα6N 2Nπ)t ω（ω2b a +=⇒=-,故从初始位置经历7次最近时刻. （3）同理，在T b 也有7次相距最远的时刻，即共线次为14次，故C 错D 对.10. (多选)2013年4月出现了“火星合日”的天象．“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知( )A ．“火星合日”约每1年出现一次B ．“火星合日”约每2年出现一次C ．火星的公转半径约为地球公转半径的34倍D ．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍解析：（1）设每出现一次“火星合日”经t 时间.T 地=1年，T 火=2年.则2年t 2π）t T 2π-T 2π（火地=⇒=（由最远到最远），故A 错B 对.（2）由开普勒第三定律得C 对D 错.六、天体运动中的几何张角问题根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，列式求解．11.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h 解析：由于轨道半径越小周期越小，如图所示卫星轨道半径最小.2R r R cos60最小半径r 202=⇒=，由GMr 2πT 322=.当T 1=24h 时，r 1=6.6R,则GMr 2πT 311=，则8h,T 1h )3.31(r r T T 23313212<<⇒== 故B 对ACD 错.12.．地球资源卫星“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G ，则地球的密度为( )A ．3πGT 2sin 3θ2 B ．3πGT 2sin 3θ2 C ．3πGT 2sin 3θ D ．3πG T 2sin 3θ 解析：设地球半径为R ，“04”卫星轨道半径.θ21sin Rr =由.θ21sin GT 3πρπR 34ρM ,T 4πmr r Mm G 323222=⇒==故B 对ACD 错.。

高考物理必修2第4章第4讲万有引力与航天

第4讲万有引力与航天知识排查开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 a 3T 2＝k ，k 是一个与行星无关与中心天体有关的常量万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比。

2.表达式：F ＝G m 1m 2r 2引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。

宇宙速度1.三个宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v 1＝7.9 km/s ，是人造卫星的最小发射速度第二宇宙速度 v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度2.第一宇宙速度的求解第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也称为最大环绕速度。

(1)由G MmR2＝mv2R得v＝GMR＝7.9 km/s(2)由mg＝m v2R得v＝gR＝7.9 km/s时空观1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

2.相对论时空观在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

小题速练1.思考判断(1)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。

()(2)发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。

()(3)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。

()答案(1)×(2)×(3)√2.下列说法正确的是()A.伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量B.根据表达式F＝G m1m2r2可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C.在由开普勒第三定律得出的表达式r3T2＝k中，k是一个与中心天体有关的常量D.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力解析牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测得了引力常量，故选项A错误；表达式F＝G m1m2r2中，当r趋近于零时，万有引力定律不适用，故选项B错误；表达式r3T2＝k中，k是一个与中心天体有关的常量，故选项C正确；物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故选项D错误。

第四节 万有引力与航天

课件7：4.4 万有引力与航天

第4讲 万有引力与航天

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第4讲 万有引力定律与航天

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