概率论与数理统计 -- 第三章{多维随机变量及其分布} 第二节：边缘分布PPT课件
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概率论与数理统计课件第三章
22
=6/16
3 1 P(X=3,Y=1)= C43 0.53 0.51
40
=1/4
P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16
联合概率分布表为:
XY 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 1/16 1 0 0 0 1/4 0 2 0 0 6/16 0 0 3 0 1/4 0 0 0 4 1/16 0 0 0 0
页
数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.
X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为
0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:
P(X=0,Y=4)= 0.54=1/16
X Y P(X=1,Y=3)= C41 0.5 0.53
04
=1/4
1 3 P(X=2,Y=2)= C42 0.52 0.52
上一节例1的联合分布律为 Y
X0 1 2 0 3/15 6/15 1/15 1 3/15 2/15 0
则X和Y的边缘分布律分别为 X 0 1 Y0 1 2
P 2 /3 1/3 P 6/15 8/15 1/15
返回
X
29
三、边缘概率密度
第
页
对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y),分量X,Y的密度函数称
第 页
返回
X
概率论 多维随机变量及其分布ppt课件
解 : (1) ( X , Y )的分布律为 P{ X m, Y n} P{X m}P{Y n | X m} pqm-1 pqn-m-1 p2qn-2 , n 2, 3,L ;m 1, 2,L , n - 1.
(2) 边缘分布律为
P{ X m} p2qn-2 p2 qm1 pqm1 , m 1, 2,L ,
X和Y的边缘分布律分别为
P{ X xi } pi• pij , i 1, 2,L , j 1
P{Y y j } p• j pij , j 1, 2,L , i 1
16
设pi• 0, p• j 0,
P
X xi Y yj
P
X xi , Y yj P{Y y j }
记为FX ( x), FY ( y), 称为二维r.v.( X , Y )关于X和关于 Y的边缘分布函数.
FX ( x) P{X x} P{X x, Y } F ( x, ) (2.1)
同理 FY ( y) F (, y)
(2.2)
10
二、边缘分布律：
设( X , Y )为二维离散型r.v. , 由 (2.1)有
第三章 多维随机变量及其分布
§1 二维随机变量
1、二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是S={e},
设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由 它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维r.v.
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布
第一节二维随机变量的概念
1.二维随机变量
定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:
(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y
称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数
}}(){{(,lim (,)→+∞
=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y
}}(){{,lim (,)→+∞
=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y
分布函数(,)F x y 性质:
1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.
3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,
4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:
定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量
其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P
概率论与数理统计Chapter+3多维随机变量及其分布.ppt
0,
else
fY ( y)
f
(
x,
y)dx
y
6dy 6(
y
0,
y y), 0 y 1 else
例4: 若二维随机变量(X,Y)具有概率密度
f (x, y)
1
exp{ 1 [(x 1)2
21 2 1 2
2(1 2 ) 12
2
(x
1 )( x 1 2
2
)
(
y
2
2 2
)2
]}
x, y R,其中1, 2,1, 2, 为常数,且1 0,
f
(x,
y)
Ae(2x
y),
0
,
求:(1)系数A．
x0, 其它.
(2)分布函数F(x, y), (3) p{Y y}. 解：(1)由 f (x, y)dxdy1知 1 00 Ae(2xy)dxdy
A0e2xdx0eydy A2 .从而A2
(2)当x0或y0时 F(x,
y)
xy
y
说明：分布函数F(x,y)在点(x, y)处
的函数值,就是随机点,落
(x, y)
在以点(x, y)为定点而位于
该点左下方的无穷矩形区
域内的概率.(图示)
０
x
随机点(X ,Y)落在矩y形域[x1xx2,y1x y2]内概率 p{x1 x x2,y1xy1 y2}F(x2,y2)F(x1,y2)F(x1,y1) 其图形为： y2
概率论与数理统计 第三章
第三章
多维随机变量及其分布
二维随机变量
边缘分布
随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
§1、二维随机变量
一、概念 定义1 设在试验E的样本空间S={e}上定义了两个
随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随
机向量.
请 你 注 意 二维随机变量(X,Y)不仅与各个随机变量X,Y有关,
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 2 2 1 2 2
( X , Y ) ~ N (1 , 2 , 1 , 2 , ).
§2、边缘分布
一、边缘分布函数及其求法
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ),X与Y 作为单个随机变量的分布函数分别为 FX ( x), FY ( y) ,称
F ( x, y )
f (u, v)dudv,
y x
则称(X,Y )为二维连续型随机变量,其中 f ( x, y ) 称为 随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X与Y的联
合概率密度.
2、概率密度及其性质
概率密度具有下列性质:
f ( x, y) 0(( x, y) R 2 );
F ( x, y) P{X x, Y y}
与Y的联合分布函数,其中 x, y 为任意实数. 分布函数 F ( x, y ) 在点
多维随机变量及其分布
二维随机变量
边缘分布
随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
§1、二维随机变量
一、概念 定义1 设在试验E的样本空间S={e}上定义了两个
随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随
机向量.
请 你 注 意 二维随机变量(X,Y)不仅与各个随机变量X,Y有关,
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 2 2 1 2 2
( X , Y ) ~ N (1 , 2 , 1 , 2 , ).
§2、边缘分布
一、边缘分布函数及其求法
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ),X与Y 作为单个随机变量的分布函数分别为 FX ( x), FY ( y) ,称
F ( x, y )
f (u, v)dudv,
y x
则称(X,Y )为二维连续型随机变量,其中 f ( x, y ) 称为 随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X与Y的联
合概率密度.
2、概率密度及其性质
概率密度具有下列性质:
f ( x, y) 0(( x, y) R 2 );
F ( x, y) P{X x, Y y}
与Y的联合分布函数,其中 x, y 为任意实数. 分布函数 F ( x, y ) 在点
概率论与数理统计课件-第二节边缘分布
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
2 1
1
1 2
exp{
1
2(1
2
)
(u
2
2u
v2
)}dv
1
u2
e2
1
(v u)2
exp{
}dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
令 t v u ,
1 p2
类似地有
f X (x)
1
1 u2 e2
t2
e 2 dt
2 1
2
fY ( y)
f (x, v)dv
f (x, y)dy
即
f X (x)
f (x, y)dy
z
f X ( x0 ) 的幾何意義如右圖.
y
其值表示紅曲邊梯形的面積.
o a x0 b x
《概率统计》
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结束
三 、二維連續型隨機變數邊緣概率密度函數
即若（X，Y）的聯合概率密度 f(x,y)
則
f X (x)
3/8 1/2
y3
P{X=xI}=pi
1/12 1/4 1/4 3/4 1/3 1
《概率统计》
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例3．設隨機變數（X,Y)在矩形區域G={(x,y) | 0<x<2, 0<y<1}，上服
概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第二节：边缘分布
概率论
f X ( x ) f ( x, y )dy x
事实上 , FX x F x , dx
x
f X x FX x
f x , y dy
f x , y dy
当 x 1 或 x 0 时, y , ,
概率论
y
y x
x x
0
x
都有 f x , y 0, 故 f X x 0 .
当 0 x 1时,
fX x
0 x
x
x x 1 x
f x , y dy
f x , y dy f x , y dy
0
0
12 2 x 2 x , 0 x 1, fX x 5 0, 其它 .
24 12 2 y(2 x )dy x (2 x ), 5 5
暂时固定
y y
概率论
fY y
f x , y dx
y x
当 y 1 或 y 0 时, 对 x , , 都有 f x , y 0, 故 fY y 0.
FX x P X x P X x ,Y F x , FY y P Y y P X ,Y y F , y
概率论与数理统计第三章
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
Y X
y1 y2 …
yj …
x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... p2j ...
xi pi1 pi2 ... pij ...
... ...
... ... ... ... ... ...
联合分布律的性质
(1) pij 0 , i, j＝1, 2, … ； (2)
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第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量的函数的分布
本章内容是第二章内容的推广 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够， 而需要用几个随机变量来描述.
反之，具有以上两个性质的二元函数 f (x, y)，必是 某个二维连续型随机变量的密度函数。
(3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有
2F ( x, y) f ( x, y); xy
(4) 对于任意平面区域G R2,
P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy. ( x , y )G
在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v(两个坐标)来确定的.
概率论与数理统计(二维随机变量的边缘分布)
0
0dx
x 6( x x2 )dx,
1,
0
0,
x0
3x2 2x3, 0 x 1
1,
其他
0 x 1, 其 他.
x0 0 x1 其他
【例3-11】设，试求二维正态分布的边缘概率密度 fX(x)和fY(y)．
解：由于的概率密度为
f (x, y)
1
y,
0,
1 y 0 0 y1 其它
【补充例】设随机变量X 和 Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其 他.
求关于X的边缘概率密度fX ( x) 和边缘分布函数FX ( x).
解:
fX (x)
f (x, y)d y
设二维随机变量(X，Y)具有分布函数F(x，y)．
X和Y都是一维随机变量，也各有对应的分布函数
FX(x)和FY(y)，依次称为二维随机变量(X，Y)关于X 和关于Y的边缘分布函数．
易知
FX ( x)
P{ X
x}
P{ X
x,Y
}
lim F( x,
y
y)
F( x,)
FY
( y)
1 2 2
《概率论》第3章§2边缘分布-精选文档
X 故 r.v 的密度函数为
同理 Y 的分布函数为
Y 的密度函数为
f ( x ) fx ( ,) y d y( x ) X
F () y f (, x v ) d x v d Y
y
f ( y ) fx ( ,) y d x( y ) Y
第三章 多维随机变量及其分布
§2
边缘分布
8/9
2 2 X , Y ) ~( N , , , ,) ,则 若( 1 2 1 2
2 2 X ~ N ( , ) , YN ~ ( , ) 2 2 11
x) 称 f X (为 y) 称 f Y (为
( 关于 X ,Y ) 的 ( 关于 X ,Y ) 的
边缘密度(函数) X 边缘密度 ( 函数 ) Y 第三章 多维随机变量及其分布
§2
边缘分布
6/9
2 yx 6 ,x ,y ) 设 ( X , Y ) 的联合密度为 f (x , 其它 0 求边缘密度 fX (x), fY (y)
1 4
4 1/16 1/16 1/16 1/16
1 4
p j
p ij i1
4
25 / 48
13 / 48 7 / 48 3 / 48
故边缘分布律为
《概率论与数理统计》第三章
分析 (X,Y)所有可能的取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).
解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1,, i .
则： P( X i,Y j)
P( X i) P(Y j X i)
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy 1
(3) F ( x)与f ( x)的关系
xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
f ( x, y)反映(X,Y)落在( x, y) 处附近的概率大小
P(x X x x, y Y y y)
y2
(x,y2)
y1
(x,y1)
F(, y) F(x, ) F(, ) 0
x
3。F x, y关于x, y右连续，即： y2
lim F(x , y) F(x, y)
0
lim F(x, y ) F(x, y)
y1
0
0
4 若x1 x2 , y1 y2
x1 x2
F (x2 , y2 ) F (x2 , y1) F (x1, y2 ) F (x1, y1) 0
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1,, i .
则： P( X i,Y j)
P( X i) P(Y j X i)
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy 1
(3) F ( x)与f ( x)的关系
xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
f ( x, y)反映(X,Y)落在( x, y) 处附近的概率大小
P(x X x x, y Y y y)
y2
(x,y2)
y1
(x,y1)
F(, y) F(x, ) F(, ) 0
x
3。F x, y关于x, y右连续，即： y2
lim F(x , y) F(x, y)
0
lim F(x, y ) F(x, y)
y1
0
0
4 若x1 x2 , y1 y2
x1 x2
F (x2 , y2 ) F (x2 , y1) F (x1, y2 ) F (x1, y1) 0
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
《概率论与数理统计》三
1/12 1/12 1/12 0 1/4
1/16 25/48 1/16 13/48 1/16 7/48 1/16 3/48 1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
设(X,Y) 概率密度为f (x,y)，则
FX(x) F(x,)
x
f
(u,
v)dvdu,
x
由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为
X
Y
12
3
4
j i)
1 1/4 1/8 1/12 1/16
2 0 1/8 1/12 1/16
30
0
1/12 1/16
40
0
0 1/16
三、二维连续型随机变量
➢定义 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y). 若存在一个非负可积函数 f(x,y)，使得对任意x,y， 有
yx
F( x, y)
称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
《概率论与数理统计》第三章 多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布................................................................................................ - 1 - 第一节多维随机变量及其概率分布................................................................................ - 2 - 一多维维随机变量及其分布函数.......................................................................... - 2 -
二二维离散型随机变量及其概率分布.................................................................... - 4 -
三二维连续型随机变量及其概率分布.................................................................... - 8 -
基础练习3.1............................................................................................................. - 12 - 第二节条件分布与随机变量的独立性.......................................................................... - 12 - 一条件分布与独立性的概念.................................................................................. - 12 -
概率论与数理统计 第三章 第二节++边缘分布与独立性
第二节 边缘分布与独立性
一、边缘分布函数 1. FX (x)＝F (x, +)＝ lim F(x, y) =P{Xx}
y
称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数； 2. FY ( y) ＝F (+, y)＝lim F(x, y) =P{Yy}
x
称为二 维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.
解:(1)由归一性
1x
dx cdy 1 c 6
0 x2
0
x 0 or x 1
(2) f X (x) f (x, y)dy x
6dy 6(x x2 ) 0 x 1
x2
例 设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率密度.
x=-y
x=y
f
x,
1 3
1 18
pij 1,
i1 j 1
1 1 1 1 1
6 9 18 3
1 3
2
9
1
9
例8. 设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)
上服从均匀分布, Y的概率密度为
5e5 y ,
fY ( y)
0,
求P{Y≤X}.
y 0,
其它
[解] 由已知条件得
其它
求FX (x) 与FY ( y)。
解：
FX
(
一、边缘分布函数 1. FX (x)＝F (x, +)＝ lim F(x, y) =P{Xx}
y
称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数； 2. FY ( y) ＝F (+, y)＝lim F(x, y) =P{Yy}
x
称为二 维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.
解:(1)由归一性
1x
dx cdy 1 c 6
0 x2
0
x 0 or x 1
(2) f X (x) f (x, y)dy x
6dy 6(x x2 ) 0 x 1
x2
例 设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率密度.
x=-y
x=y
f
x,
1 3
1 18
pij 1,
i1 j 1
1 1 1 1 1
6 9 18 3
1 3
2
9
1
9
例8. 设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)
上服从均匀分布, Y的概率密度为
5e5 y ,
fY ( y)
0,
求P{Y≤X}.
y 0,
其它
[解] 由已知条件得
其它
求FX (x) 与FY ( y)。
解：
FX
(
概率论与数理统计第3章
y1
-F(x1,y2)
x1
x2
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
6
3
联合分布函数的性质
1. F(x,y)分别关于x和y单调不减； 2. F(x,y)关于x右连续，关于y右连续； 3. F(x,y)的值域为[0,1]，并且
F(, y) 0 F(x, ) 0 F(, ) 1
2019-9-16
7
第2节 二维离散型随机变量
8
4
2019-9-16
二维离散型随机变量
定义 若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值
只有限个或可列个，则称（X，Y）为二维离散型随 机变量。
如何表达（X，Y）的取值规律呢？
9
（X，Y）的联合概率分布（分布律）
公式法
P{X xi ,Y y j} pij
表格法（常见形式）
XY
x1
x2
。。。
xi
y y 1
2
。。。
p p 11
12 。。。
p p 21
22 。。。
。。。
pi1
。。。
pi 2
。。。 。。。
(i 1,2, ; j 1,2, )
yj p1 j
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y dx
1 24
24 3
y2
y
5
y(2 x)dx
5
y( 2 y 2
), 2
例4: 设(X,Y)的概率密度是
求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度.
解
fX x
f x, y dy
暂时固定
当 x 0 时,
fX x
0dy 0
y
当 x 0 时,
fX x
e y dy
y(2
x),
0 x 1,0 y x
(2)
f
X
x
f
0
x,
, y
暂时固定其它
dy
y
当 x 1或 x 0时,y ,,
x
y x
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
当 0 x 1时,
x 0 x1 x x
fX
x
0
f
x,
y dy
x
0
f
x,
y dy
Baidu Nhomakorabea
x
f
x,
y dy
x 24 y(2 x)dy 12 x2(2 x),
联合分布与边缘分布的关系:
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
(观察P70-71:例1和例2)
三、连续型随机变量的边缘概率密度
1. 对连续型 r.v. ( X,Y ) ，
X 和Y 的联合概率密度为 f (x, y)
则 (X, Y) 关于 X 的边缘概率密度为:
f X (x)
f (x, y)dy
x
事实上 ,
FX x F x ,
x
dx
f x, ydy
fX x FX x
f x, y dy
(X, Y) 关于Y 的边缘概率密度为:
fY ( y)
f ( x, y)dx
y
例2 设(X, Y)的概率密度是
f
(
x,
y
)
cy(
2 0
解: ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
P{X=1,
Y=1}
3 1
1 2
1 2
2
=3/8
XY 0
P{X=2,
Y=1}
3 2
1 2
2
1 2
=3/8
1 2
P{X=3, Y=0} 1 23 1 8.
x
y x
ey
x
ex
x
故
f
X
x
e 0,
x
,
x x
0, 0.
x0 x
x
暂时固定
fY y
f x, y dx
暂时固定
当 y 0 时,
fY y
0dx 0
当 y 0 时,
fY y
y e y dx ye y
0
y
y x
故
fY
y
ye 0,
y
,
y y
0, 0.
y
0
yx
y
暂时固定
3
P{Y=1}= PX k,Y 1=3/8+3/8=6/8,
k0 3
P{Y=3}= PX k,Y 3=1/8+1/8=2/8.
k0
XY 0 1 2 3
PY y j
13 0 18 38 0 38 0 0 18
68 28
PX xi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上， 由此得出边缘分布这个名词.
3
13
0 18 38 0 38 0 0 18
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8,
P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8,
P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8,
P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
P X xi P X xi ,Y y j pij
j1
j1
X xi X xi ,Y y j
j 1
i 1,2,
(X,Y) 关于Y 的边缘分布律为:
例1: 把一枚均匀硬币抛掷三次,
设X为三次抛掷中正面出现的次数, 而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求 (X, Y) 的边缘分布律 .
05
5
fX
x
12
5
x2
2
x
,0
x
1,
0,
其它 .
暂时固定
y
fY y
f x, ydx
y
y x
当 y 1或 y 0时, 对 x , , 都有 f x, y 0,故 fY y 0.
当0 y 1时,
1 y 0 y1 x y
fY
y
y
f
x,
y dx
1 y
f
x,
y dx
1
f
x,
FX x PX x PX x,Y F x,
FY y PY y PX ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地, 对离散型 r.v. (X,Y ), X 和 Y 的联合分布律为:
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1, 2,
则 (X, Y) 关于X 的边缘分布律为:
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
More You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
第二节 边缘分布
二维随机变量的边缘分布函数 二维离散型随机变量的边缘分布律 二维连续型随机变量的边缘概率密度
一、边缘分布函数 (marginal distribution)
二维随机变量 (X, Y) 作为一个整体, 具有分布函数 F(x, y), 而 X 和 Y 都是随机变量, 也有各自的分布函数, 分别记为 FX(x), FY(y), 依次称为二维随机变量 (X, Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数.
x ), ,
0 x 1,0 y x 其它
求 (1) c的值； (2) 两个边缘密度。
y
解: (1) 1 f x, ydxdy
R2
1
x
0 dx0 cy(2 x)dy
0
c 1 2x2 x3 dx 20
= 5c/24 ,
故 c =24/5.
y x x1 x
f
(
x,
y)
24 5