整数线性规划

4.1.4固定费用问题 例题5：固定费用IP G服装公司能够生产3种 服装：衬衣、短裤和长裤。每种服装的生产 都要求G公司具有适当类型的机器。 生产每 种服装所需要的机器将按照下列费用租用： 衬衣机器，每周200元；短裤机器，每周150 元；长裤机器，每周100元。 每种服装的生产 还需要表 2 所示数量的布料和劳动时间。每周 可以使用的劳动时间为150个小时，布料为160 平方米。 下表给出了每种服装的单位成本和 售价。表述一个可以使G公司每周利润最大的IP.
j
一根圆钢所截各类轴件数
1 A(3.1) 1 B(2.1) 1 C(1.2) 0 余料 0.3
j
2 1 0 2 0
3 0 2 1 0.1
4 0 1 2 1
5 0 0 4 0.7
轴件需要量 100 200 400
现在问题归结为：采用上述五种截法用 多少根圆钢，才能配成 100 套轴件，且 使 总下料根数最少？
依据问题，若直接以要用的圆钢数作为决策 变量,则建模变得很困难. 所以避免直接由题 意建模，先进行分析，实际问题抽象成线性 规划的数学模型经常要求进行转化。
首先考虑一根长5.5m 的圆钢截成 A，B,C 三种轴的毛坯有哪些具体下料方式。为此， 只需找出全部省料截法，如下表所示余料 12m 的各种截法，其中1.2m 是各类轴件 长度中最短者。
按照每天所需售货员的人数写出约束条件，由 于除了周二和周三开始工作的之外，其余都会 在周一工作，所以周一应有 x1 x4 x5 x6 x7 个人工作, 相应的约束为
x1 x4 x5 x6 x7 16
类似可得其它约束, 于是约束条件为:
x3 x4 x5 x6 x7 18 x1 x4 x5 x6 x7 16 x1 x2 x5 x6 x7 15 x1 x2 x3 x6 x7 16 x1 x2 x3 x4 x7 19 x1 x2 x3 x4 x5 14 x2 x3 x4 x5 xax z 16 x1 22 x2 12 x3 8 x4
由于最多只能投资14 000元，所以 x j ( j 1 2 3 4)必须满足
5 x1 7 x2 4 x3 3 x4 14
把目标函数和约束条件组合以后，将 得到下列0-1型IP： max z 16 x1 22 x2 12 x3 8 x4 st 5 x1 7 x2 4 x3 3 x4 14 x j {0 1} j 1 2 3 4
从而数学模型为:
min s.t. z 100( x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ) x1 x2 x3 x4 x5 18 x2 x3 x4 x5 x6 16 x3 x4 x5 x6 x7 15 x1 x4 x5 x6 x7 16 x1 x2 x5 x6 x7 19 x1 x2 x3 x6 x7 14 x1 x2 x3 x4 x7 12 x1 , x2 ,, x7 0且为整数
解：如同LP表述那样，我们首先针对该公司必 须做出的每个决策定义一个变量。这时我们将 定义一个0-1型变量：
1 如果对项目j投资 x j ( j 1 2 3 4) 0 如果不对项目j投资
公司获得的总净利润(单位为千元)是:
16 x1 22 x 2 12 x 38 x 4
设按第 j 种截法下料 x j ( j 1, 2,3, 4,5) 根。这样 就可以建立该问题的 LP 模型为:
min s.t. z x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 100 x1 2 x3 x4 200 2 x2 x3 2 x4 4 x5 400 x1 ,, x5 0且为整数
la
i 1
m
i ij
l aij 0 且为整数
按下面方式确定一个初始可行基， 令:
0 a11 0 0 a 0 22 P P2 … Pm 1 0 0 amm
上述例子也被称为一维下料问题，该问题的一般 描述是：
l 制造某种产品， 需要 m 种轴件， 其长度分别为：1… lm 。
各类轴件都用 长为 l 的同一种圆钢下料。 设长度为 li 的轴件需要量为bi ，问最少要用多少根圆钢？
用非负的整数向量 Pj (a1 j a2 j amj ) 表示第 j 种下料 方式，其中 aij 表示下料长度为 li 的轴件的数目。记所 有下料方式 Pj 的下标集合为 J ，则对 j J ， 下料方 式 Pj 满足：
时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
所需售货员人数 18 16 15 16 19 14 12
解 (一): 设 为星期一开始工作的人数， 为 星期二开始工作的人数，， 为星期六开始 工作的人数， 为星期日开始工作的人数。 于是目标函数为：
min z 100( x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 )
G公司的资源要求 服 装 劳动时间（小 布料（平 类型 时） 方码） 衬衣 3 4 短裤 2 3 长裤 6 4
G公司的收入和成本信息 服装类型 衬衣 短裤 长裤 售价（元） 12 8 15 成本（元） 6 4 8
i 1
m
st
l y
i 1 i
m
i
l,
yi 0且为整数
记上述问题的最优解为 Pk ，相应的最优值为 k 。
3. 若 k 0 ，停止，当前解 xB b xN 0 是最优解，最
T 优值是 z 0 cB b 。
4. 计算
a 1k a 2 k B 1Pk Pk a mk
la
i 1
m
i ij
l aij 0 且为整数
设采用第 j 种下料方式的圆钢数目为 x j
则问题数学模型为：
min st
x
jJ jJ
j
a x
ij
j
bi i 1 2 m
x j 0 且为整数 j J
称其为一维下料问题的主规划，其约束系数 aij 满足式
其中
l aii i 1 2 m li
算法
列生成方法
T cB b z0
1. 首先按上面的方式确定问题(2)的一个基本可行 解 ， 计 算 b B 1b 0 ， ， 令
J B {B1 B2 Bm } {1 2 m} k m 1
x 解 (二): 设 x1为星期一开始休息的人数， 2 为星期二开始休息的人数， x6为星期六开 x 始休息的人数，7为星期日开始休息的人数。 于是目标函数为：
min z 100( x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 )
由于除了周日和周一开始休息的之外，其余 都会在周一工作，周一有 x2 x3 x4 x5 x6 个人工作, 相应的约束为
4.1.3背包问题
例题 3 某公司正在考虑4个投资项目。投资 项目1将产生16，000元的净利润（NPV）， 项目2将产生22000元的净利润，项目3将产 生12000元的净利润， 项目4将产生8000元 的净利润。每个投资项目现在都需要一定的 现金流出量：投资项目1需5000元；项目2需 7000元； 项目3需4000元；项目4需3000元。 目前可用于投资的现金为14000元。表述一 个IP， 它的解将告诉该公司如何最大化由投 资项目1～4获得的净利润。
第4章 整数线性规划 4.1 常用整数线性规划模型
4.1.1下料问题
例题1：制造某种产品，需要A，B，C 三种轴 件，其规格与数量如下表所示。各类轴件都用 5．5m 长的同一种圆钢下料。若计划生产100 台机床，最少要用多少根圆钢？
轴类 规格：长度（m） 每台机床所需轴件数 A 3.1 1 B 2.1 2 C 1.2 4
设小王的背包最多能携带14公斤的物品， 对 j 1 2 3 4 ，定义：
1 如果携带物品j xj 0 如果不携带物品j
同样得到上面的模型。
例题4：修改上例的表述，把下列每个要求 考虑在内： （1）公司最多可以投资 2个投资项目。 （2)如果公司对投资项目2进行投资，那么 还必须对投资项目 1进行投资。 （3）如果公司对投资项目 2进行投资，那 么就不能对投资项目 4进行投资。
从而数学模型为: min z 100( x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ) s.t. x3 x4 x5 x6 x7 18 x1 x4 x5 x6 x7 16 x1 x2 x5 x6 x7 15 x1 x2 x3 x6 x7 16 x1 x2 x3 x4 x7 19 x1 x2 x3 x4 x5 14 x2 x3 x4 x5 x6 12 x1 , x2 ,, x7 0且为整数
像这样只有一个约束条件的IP称为背包 问题。假设小王打算进行夜间徒步旅行， 小王考虑在旅途中携带 4样物品。下表 给出了每样物品的重量以及小王觉得能 够从每样物品得到的利益。 背包中物品的重量和利益
物品 重量（kg） 利益 物品 重量（kg） 利益 1 5 16 3 4 12 2 7 22 4 3 8
2. 计算
T k max{ j cB B 1Pj c j
j J }
T 记 w ( w1 w2 wm ) cB B 1 ， Pj ( y1 ym )T ， 注 意 到
c (11)T ， k 的计算等价于：
max wi yi 1
x2 x3 x4 x5 x6 16
类似可得其它约束, 于是约束条件为: