导数思维导图及真题解析

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专题03 导数与函数零点(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题

用思维导图突破导数压轴题

专题3 导数与函数零点

()

f x()

f x

()

f x y h x

=（）y g x

=（）

求函数f(x)的零点

：求导判断f(x)的单调性，适当选取区间，确定端点函数值异号

：a=g(x)或h(x)=q(x)判断相应函数单调性、值域，确定零点个数或范围

结合具体问题运用分析法和相关性质确定端点（一般不唯一，见例2等）结合图象确定零点范围（见例3、例6），有时还需证明（见例1）

()sin (1)

f x x ln x =-+()

f x '()

f x ()f x '(1,)

-()

f x 思路点拨

第（1）题：若1

()cos 1f x x x

'=-

+在区间(1,)2

-的极大值点x 0，则在x 0左边，()

f x '递增，在x 0右边()f x '递减.这需要考虑()f x ''在x 0左边为正，右边为负，也就是说x 0是()

f x '的零点，从而()f x '在0(1,)x -上单调递增；在0(x ，)2

上()f x ''<0，可得()f x '单调递减.

第（2）结论等价于方程sinx=ln(1+x)有且仅有两个不等的实数根.在同一坐标系中分别作出图象可知一根为0，另

一根介于(2]2

，之间. 从图象可以看出当(1,0)x ∈-和

(0,)2

时，sin ln(1)0x x -+>，即()0f x >；当[2,)x ∈+∞，()0f x <.

这就需要考虑f ′(x )在(−1,0)、

(0,π

2]、(π

2,2]、(2,+∞)单调性以及端点值的正负.由于x 0位于(0,x 0)和(x 0,π

高等数学导数与微分思维导图

{"code":"InvalidRange","message":"The requested range cannot beBaidu Nhomakorabeasatisfied.","requestId":"ec38c813-9b43-4108-ac98-94a428a951fb"}

专题04 导数与切线(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题

思路点拨

h x的导函数，并令其为0，然后分区间讨论符号即可确定单调区

第（1）题只需求出()

间；第（2）先求各自的斜率，令其相等，化简即得；第（3）题分别求出两个函数的切线方程，若两个函数有公切线，则这两条切线表示同一条直线，通过待定系数法转化为二元方程组解的问题，通过消元将方程组化为一元方程.而方程是否有解问题可归结为连续函数的零

点定理，即只要在区间上存在零点，其函数值异号即可.

满分解答

（1）由已知， ()x

h x a xlna =-，有()-'=x

h x a lna lna .令()0h x '=，解得x =0.

由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：

所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.

（3）由()x

f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()

11,x f x 处的切线斜率为1x

a lna .

由()1

g x xlna

'，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .

因为这两条切线平行，故有121x

a lna x lna

，即()1221x

x a lna =. 令，证明

两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlna

x g x lna

+=-

. （3）曲线()y f x =在点11(,)x

x a 处的切线l 1：111ln ()x

y a a a x x -=⋅-，曲线()

y g x =在点22(,log )a x x 处的切线l 2：2221

数学思维导图

①二次根式的乘法法则：错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。 (a≥0，b≥0) 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
②积的算术平方根的性质：错误！未找到引用源。 (a≥0，b≥0) 两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积． ③二次根式的除法法则：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 (a≥0，b＞0) 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． ④商的算术平方根的性质：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 (a≥0，b＞0)
B
E
C
D
A
实数
一、思维导图
1.无理数定义：无限不循环小数 2.实数的分类：分为有理数和无理数。有理数分为：正有理数、负有理数、零 3.算术平方根：若一个正数 x 的平方等于 a，即 x²=a，则这个正数 x 为 a 的算术平方根。a 的算术平方根记作错误！未找到引用源。，读作“根号 a”，a 叫做被开方数。规定：0 的算术平方根为 0。 4.平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。 5.二次根式的定义：一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数，被开方数必须大于或等于 0。 6.最简二次根式满足：①.分母中不含根号=根号下没有分母=根号下没有分数 ②．根号下不含可以开得尽方的数 7.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 8. (错误！未找到引用源。) =a (a≥0) 错误！未找到引用源。=a(a≥0)

大一数学知识点思维导图

数学是一门重要的学科，大一学生正式接触数学课程时，常常会感到有些吃力。为了帮助大家更好地掌握大一数学知识，我整理了一份思维导图，以系统地呈现大一数学的重要知识点。以下是思维导图的内容：

1. 微积分

1.1 极限与连续性

- 数列极限

- 函数极限

- 连续函数与间断

1.2 导数与微分

- 导数的定义

- 导数的性质

- 微分的应用

1.3 积分与不定积分

- 不定积分的定义

- 不定积分的计算法则

- 定积分及其应用

2. 线性代数

2.1 矩阵与线性方程组

- 矩阵的基本概念

- 矩阵的运算法则

- 线性方程组的求解方法 2.2 行列式与特征值

- 行列式的性质与计算方法 - 特征向量与特征值

- 对角化与相似矩阵

2.3 向量空间与线性变换

- 向量空间的基本概念

- 线性变换的定义与性质 - 线性变换的矩阵表示

3. 概率论与数理统计

3.1 概率的基本理论

- 随机试验与样本空间

- 事件与概率

- 条件概率与独立性

3.2 随机变量与概率分布

- 随机变量的概念

- 离散型随机变量与概率分布

- 连续型随机变量与概率密度函数 3.3 统计推断与假设检验

- 参数估计

- 假设检验的基本原理

- 常见的假设检验方法

4. 微分方程

4.1 常微分方程基础

- 微分方程的基本概念

- 一阶常微分方程的解法

- 高阶常微分方程的解法

4.2 线性常微分方程与特殊函数 - 齐次线性常微分方程

- 非齐次线性常微分方程

- 常见的特殊函数及其应用

5. 数学分析

5.1 数列与级数

- 数列的极限

- 级数的收敛与发散

- 常见的级数及其性质

5.2 函数与极限

专题01 导数与函数的最(极)值(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题

用思维导图突破导数压轴题

解答数学题的“思维导图”：

逛公园顺道看景，好风光驻足留影. 把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.

这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”----找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的.

这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。

专题01 导数与函数的最（极）值问题

利用导数求函数f (x )极值、最值的基本方法是先求f (x )的导数f 'x （），再求f 'x （）的零点i x ，

i N ∈，根据f 'x （

）在i x 两边的符号判断的单调性，最后确定i f x （）是极大值或极小值，再确定最值。

先求导数再定零点考查单调

极值来了

思路点拨

第（1）只要直接计算即可。第（2）题先求出()f x 和()f x '的含参数零点（用a 、b 表示），

再根据零点均在集合{3-，1，3}中确定a 、b 的值。第（3）题求出()f x '的零点12,x x （设12x x <），

导数与微分思维导图

在学习数学的时候，导数和微分是不可忽视的主题，它们是深入理解数学和科学的重要组成部分。了解导数和微分有助于我们深入理解数学中的原理。因此，本文将介绍一种基于导数和微分的思维导图，来帮助读者有效地获取对导数和微分的整体认识。

首先，让我们来了解一下在数学中所使用的术语“导数”和“微分”的定义。导数是函数的局部变化率，用来描述函数的变化率。另外，微分是函数的导数，它可以描述函数的局部性质。

接下来，我们将介绍导数与微分思维导图中的具体内容。导图第一步包括定义函数，计算和分析有关函数的导数和微分。首先，要定义函数，可以使用各种函数，如线性函数、幂函数、指数函数等。然后，可以计算函数的导数，这可以通过求导公式、梯形法（积分法）、指数函数、导数定义等方法来实现。最后，可以分析函数的微分，它是函数的导数，并可以描述函数的局部性质，可以使用有理函数和可积函数等类型的函数来分析。

接着，我们再来了解导数与微分思维导图中的其他内容。首先，积分可以用来求函数的局部性质，可以用定积分、不定积分和复合积分的方法来解决；其次，可以使用傅里叶变换，用来求函数的函数变换，比如傅里叶级数和反变换等；最后，可以使用微积分的相关知识，比如极限、极值点、凸函数、椭圆和其他几何形状等。

最后，可以总结出导数与微分思维导图中的重要内容：首先，定义函数；其次，计算函数的导数和微分；第三，使用积分法求函数的

局部性质；第四，使用傅里叶变换求函数的函数变换；最后，使用微积分的相关知识，比如极限、极值点、凸函数、椭圆和其他几何形状等。