旋转矢量表示法B版
大学物理B(Ⅱ)旋转矢量
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0
A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
旋转矢量表示法B版
1 2
⎞ ⎟ ⎠
−
π⎤
3
⎥ ⎦
=
2 π
⎡ 2π ⎢⎣ 3
−
π⎤ 3 ⎥⎦
=
2 3
=
0.667(s)
四、相图（phase diagram）
利用相图描述非线性动力学的方 法是19世纪末法国数学家亨利·庞加 莱（H.Poincare）发明的.
现以坐标和速度为坐标轴定义一 个平面, 称为相平面. 系统的一个运 动状态对应于相平面上的一个点, 称 为相点. 当系统的运动状态发生变化 时, 相点在相平面内运动, 相点的轨 迹则称为相图.
A 端投影:
x = A cos(ωt + ϕ )
与简谐运动方程完全相同, 所以投影点的运动为简谐运动.
二、初相位
ϕ = π平衡位置 2
旋转矢量表示法
π <ϕ <π 2
ϕ
ϕ=π
负向最大
π 0<ϕ<
2
x ϕ=0
正向最大
π < ϕ < 3π 2
3π < ϕ < 2π 2
ϕ = 3π 平衡位置 2
初相位讨论
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox 轴原点作矢量 A , 其模等 于振幅. A 绕 O点逆时针旋转, 角 速度为ω (其数值即为简谐运动的 角频率) , 则 A 称为旋转振幅矢量. 设初始时刻 t = 0 时 A 与 x 轴夹角 等于初相位 ϕ , 经过时间 t , A 与 x 轴夹角等于相位ω t +ϕ .
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法高中物理的运动学、动力学大都以矢量表示，为了简单起见，通常采用“合矢”表示。
将有关运动矢量的矢量和分解成两个平行四边形，并指明两个平行四边形的夹角。
地球绕太阳的公转、卫星绕地球的公转、行星绕太阳的公转等都可用旋转矢量表示，但需要说明的是：所谓“公转”只不过是相对于观测者来说的，从一个观测者看来，地球上的每一点都在自西向东转动；而相对于地球的观测者来说，则是自东向西转动。
所以，由于地球上各点的位置在一年之中都不变，故“公转”也叫“平移”，它与“自转”同属角速度概念，并称为角动量的两个基本分量。
如果把太阳看作质点，则太阳绕地球公转的轨道平面就是以地球为焦点的双曲面。
根据动能定理，若把这一双曲面上的某一点P看作质点，则可得到太阳绕地球公转的轨道平面的另一种表达式——椭圆，其离心率为，为行星的半径，故称太阳为椭圆轨道的半长轴，称太阳轨道的长轴为太阳轨道的周期。
还可以证明：太阳的质量为，半径为，周期为地球的轨道平面与椭圆轨道的切线在赤道处的夹角称为地球的公转角速度。
通常以地球轨道的半长轴作为地球的周期，也就是说，地球绕太阳公转一周的时间称为年。
一般在电工学中经常遇到的情况是利用欧姆定律、焦耳定律、楞次定律或其他类似的定律。
电阻两端的电压u与通过导体横截面的电流i成正比，即，式中，是导体的电阻率，是材料的电阻率。
U是导体的内电压，是电源电动势，它决定于电流的参考方向和导体的电阻率，它是表示电源特征的一个物理量。
欧姆定律又称电功定律，是表示电流做功快慢的物理量。
焦耳定律是表示电流通过导体所消耗的热量多少的物理量。
下面介绍两种常用的方法，前者是由V=ir求欧姆定律，后者是由热功当量求焦耳定律。
前者可以直接由V=ir求出，然后再利用欧姆定律得到I，而后者必须先求出热功当量，然后根据热量、功、温度的关系（即热量=功×温度）求出。
另外，若需要知道闭合电路的欧姆定律或焦耳定律的微分形式，只要将公式略作变换，即可分别求出它们的微分形式。
简谐运动的旋转矢量描述法
π
4
A g a'*
h' * g'* *
t f O b*' T T f'* 3T T 5T
e
c' 4* 2*e' 4
4
-A
d*'
T 2 （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二、旋转矢量法对相位的表示
若某时刻t，测得质点的位移为x =A/2，向OX轴负方
简谐运动的旋转 矢量表示法
一、简谐运动的旋转矢量表示法
P
t=t
t+
o
A t=0
A
x·
x
x Aco（s t ）
x Aco（s t ）
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x
Ah
a
bO
c -Ad
x
x Acos(t )
向运动
M
A
O 3P
X
M
三、旋转矢量法对相位差的表示
A2
A1
O
相位差 2 1 2kπ
x
(k 0，1， 2,)
两个振动同相，步调相同
A1
O
A2
相位差 2 1 (2k 1)π
x
(k 0，1,)
两个振动反相，步调相反
例题 两个同方向、同频率的谐振动，频率为2s-1，
当第一个振子从平衡位置向正向运振动的相位差。
解：
2 1
A 2
t
o
高二物理竞赛课件：简谐振动的旋转矢量图示法
单摆周期 T与角振幅 m的关系为：
T
T0
1
1 22
sin 2
m
2
1 22
32 42
sin 4
m
2
T0 为 m很小时单摆的周期。
根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到 所要求的任何精度。
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t 0
P
X
x
r
Ar 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向X的夹角
振动相位
M 点在 X 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
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A
O
v0
X
O
v0
X
A
速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
v, a沿X 轴的投
影为简谐运动的速度、 加速度表达式。
M 点:
vm A
am 2 A
23 6 t 0.83s
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几种常见的谐振动
(1) 单摆
一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个 很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。
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单摆受力分析如右图所示，
根据牛顿第二运动定律可得
mg sin
ml
d2
dt 2
q 很小时（小于 5o），可取
sin
d2
dt 2
g
l
2
其中2 g
l
C
l F
of
mg
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单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作角谐振动，周期
T 2 2 g
l
转角q 的表达式可写为：
m cos(t 0 )
第三节_旋转矢量法
§ 8.3 旋转矢量法一、旋转矢量1 矢量的模等于简谐振动的振幅A长度 = A ；2 矢量绕O 点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率 以ω为角速度绕o 点逆时针旋转；3 在t = 0时，矢量A 和x 轴的夹角为ϕ ，在任意时刻t ，它与x 轴的夹角为ωt +ϕ ，矢量A 的矢端M 在x 轴上的投影点P 的坐标为 矢量端点在x 轴上的投影做简谐振动例 已知简谐振动，A =4 cm ，ν = 0.5 Hz ， t =1s 时x =-2cm 且向x 正向运动。
写出此简谐振动的表达式。
解：由题意，T = 2 s 由图， ϕ = π/3，当旋转矢量A 旋转一周，投影点P 作一次完全的振动 ，旋转矢量A 的端点在x 轴上的投影点P 的运动为简谐振动例8-5 两个同方向(沿x 轴方向)、同频率的简谐振动，其频率都是2s-1。
当第一个振子从平衡位置向正方向运动0.05s 后，第二个振子正处于正方向的端点。
求这两个简谐振动的相位差。
已知：-1212s ==νν10100,0x υ=>0.05s=∆t Ax =2∴x = 4cos(πt + ) cm π 3t = 1s x()ϕω+=t A x cos求：当第一个振子从平衡位置向正方向运动时，其旋转矢量A 1的位置如图所示 经过0.05s 后，旋转矢量A 1转过一角度此时，第二个振子刚好处在正方向端点，其旋转矢量A 2由图可见，两振子的相位差为第二个振子比第一个振子的相位超前2π4πradω ν==？=∆ϕ解： 简谐振动的角频率4π0.050.2πω t =⨯=π0.2π0.3π2ϕ∆=-=0.3πω1A。
11-1简谐振动旋转矢量表示法
例 一质点沿x轴作简谐运动，振幅 A=0.12 m，周期T=2 s，当t=0时，质点对平衡 位置的位移x0=0.06m.此时刻质点向x正向运动。 试求：
（1）此简谐运动的表达式
解 A 0.12 m 2 π s1
T
t 0，x0 0.06 m
代入 x Acos(t )
v A sin(t )
相位 (位相) (t) t
初相位 t 0时，(t)
相位的意义: 表征任意时刻（t）物体振动状态
（相貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
第十一章 振 动
7
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
3
第十一章 振 动
14
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
将t=T/4=0.5s分别代入位移、速度、加 速度的公式，得：
x 0.104m v 0.188m / s
a 1.03m / s2
A
t 时刻
x/m
0.12 0.06 o π0.06 0.12
3
A
起始时刻
第十一章 振 动
vm A
v A sin(t )
an A 2
a A2 cos(t )
第十一章 振 动
5
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第十一章 振 动
6
大学物 理学
11-1 简谐振动的旋转矢量表示法
相位 t
x A cos(t )
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
9-2旋转矢量共29页文档
2 k m
11
（2）由起始位置运动到x = -0.04m处所需 要的最短时间.
v v0 v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
开 :t 始 0 ： x 0 0 .0 m ,4 v 0 0 最短时间t：x 0.0m 4,v0
12
（2）由起始位置运动到x = -0.04m处所需 要的最短时间.
开 :t 始 0 ： x 0 0 .0 m ,4 v 0 0 最短时间t： x0.0m 4,v0 法一: 代数法
由x： 0.08 coπst(π) 23
0.04 0.0c8oπst (π) 23
13
0.04 0.0c8oπst (π) cosπ(tπ)1 23 2 3 2
(πtπ)
23
3
?
由x0.08coπst(π) 23
vd/x d t0.0 8π 2siπ 2 nt (π 3)<0
sin(πt π) 0 23
(πtπ)
23
3
t
(
)
3
π 3
2 0.667s
π2
3
vx0,v0 v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
0 a v x
(t )
2
(t)
vvm vvmvrm xm civocmsA oit( sor2:)v
dx dt
vA si n t()
anr2A2
aaanniicos
or
:
a
dv dt
xAcots()
aA 2cots ()
5
3、旋转矢量法优 点
直观地表达谐振动的各特征量 便于解题, 特别是确定初相位 便于振动合成
旋转矢量法详细讲解
旋转矢量法详细讲解
旋转矢量法是一种常用的三维空间中的旋转变换方法，它可以将一个三维向量绕着某个轴旋转一定的角度，从而得到一个新的向量。
这种方法在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域都有广泛的应用。
旋转矢量法的基本思想是，将旋转变换分解为两个步骤：先将原向量绕着一个固定的轴旋转到一个特定的位置，再将其绕着另一个轴旋转到最终的位置。
这两个步骤可以用两个旋转矩阵来表示，它们的乘积就是最终的旋转矩阵。
具体来说，假设我们要将一个向量v绕着轴n旋转θ角度，那么首先需要将v投影到n所在的平面上，得到一个新的向量v'。
然后，将v'绕着n旋转θ/2角度，得到一个新的向量v''。
最后，将v''再绕着n的负方向旋转θ/2角度，就得到了最终的旋转向量。
旋转矢量法的优点在于，它可以避免旋转矩阵中的奇异性问题，从而提高计算的稳定性和精度。
此外，它还可以方便地进行复合旋转，即将多个旋转变换组合起来进行计算。
需要注意的是，旋转矢量法只适用于绕着固定轴进行旋转的情况，如果需要进行任意方向的旋转，就需要使用四元数或欧拉角等其他方法。
旋转矢量法是一种简单而有效的三维旋转变换方法，它在计算机图
形学、机器人学、航空航天等领域都有广泛的应用。
掌握旋转矢量法的原理和应用，对于进行三维空间中的旋转变换具有重要的意义。
旋转矢量
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
第九章 振 动
11
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
已知 m 0.01kg, A 0.08 m,T 4 s
t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1）t 1.0 s, x, F
解 A 0.08 m 2 π π s1
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第九章 振 动
5
物理学
第五版
9-2 旋转矢量
讨论 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos(t1 )
x Acos(t )
2
2
(t ) (t )
(A) 0～π/2之间． (B) π/2～π之间． (C) π～3π/2之间． (D) 3π/2～2π之间。
解：位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小
物体落到盘上，则振子系统向下还是向上运动？
考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于 原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。采用旋转矢量 法可知初相位在第四象限。
物理学
第五版
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本章目录
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
9-2 旋转矢量
9-3 单摆和复摆
9-4 简谐运动的能量
9-5 简谐运动的合成
* 9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
第九章 振 动
19
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
v x/m
旋转矢量法
2）简谐运动的动力学描述 d2 x 2 x
dt 2
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t ) v A sin(t )
4）加速度与位移成正比而方向相反 a 2 x
弹簧振子 k m
单摆 g l
复摆
mgl J
小 结：
一.简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 x dt 2
A 在ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影 r A 端点加速度在ox 上的投影
简谐振动 符号或表达式
振幅 角频率 初相
A
ω
r
M
0O
A (ωt +0 )
x
振动周期 T=2/
相位
t+ 0
位移
x =Acos(t+ 0)
速度
v =- Asin(t+ 0)
加速度 a =- 2Acos(t+ 0)
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位
r便于振动合成 由 x、v 的符号确定 A所在的象限：
练习
教材P.410 13-6 / P.40 12-6
已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
四. 孤立谐振动系统的能量
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
➢水平放置的弹簧振子
以平衡位置为坐标原点
{ x Acos(t 0)
Εp
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
0 )
v A sin(t 0)
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旋转矢量表示法
五、相图法研究弹簧振子
旋转矢量表示法
间.
解: 设
x Acost
旋转矢量表示法
由已知条件: 得
2π 2π π
T 42
将初始条件
x0 xt0 0.04m
代入方程得
即 π
3
0.04 0.08cos
由旋转矢量法由旋转矢量法 π
由应取旋应转取矢应量取法应由旋取转矢3π量法
3
舍去舍去舍去舍去
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x= 0.04 m 处, 向 x负轴方向运动, 求
大学物理
振动学基础
第3讲 旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
旋转矢量表示法
一、旋转矢量表示法(参考圆法)
是研究简谐运动规律时所采用的直观的几何描述方法.
自 Ox轴原点作矢量轴原点作 矢量轴原点作矢量轴原点作矢量 AAAA,其模等其模等其模等其模等于 振幅. A绕 O点逆时 针旋转点逆时 针旋转点逆时针旋转点逆 时针旋
(1) 2 1,,同相位同
相位同相位同相位;;
(2) 21 π ,,反相位反
相位反相位反相位..
旋转矢量表示法
A22
2 A1
1x
旋转矢量表示法
例题 一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x= 0.04 m 处, 向 x负轴方向运动, 求
(1)t=1.0 s 时, 物体所处的位置; (2)由起始位置运动到 x= -0.04 m 处所需要的最短时
0.04 0.08 cos2π t π3
cos
2π
t
π3
1 2
πt π 2π 233
4π 舍去 3
得
t
2 arccos π
12
π 3
2
2π π
3
π
32
0.667s
3
四、相图（phase diagram）
利用相图描述非线性动力学的方 法是19世纪末法国数学家亨利·庞加 莱（H.Poincare）发明的.
转,,角速度为(其数值即为 简谐x
运动的角频率) , 则 A称为旋 转振 幅矢量.设初始时刻 t= 0 时 A 与 x
轴夹角等于初相位 , 经过时 间 t, A与 x轴夹角等于相位t++++.
A端投影:
x Acost
二、初相位
2平ππ2衡平衡衡位位位置置置
旋转矢量表示法
ππ 22
ππ
0 ππ
22
π π
负向向最最大最大大
xxx正向00向最最大最
最大大
ππ
3π3π 2
32π3π2π2π
2
2
233平ππ2衡平衡衡位位位置置置
初相位讨论
旋转矢量表示法
初相位讨论
旋转矢量表示法
三、相位差
设两个振动的表达式分别为
x1 A1cos(t1) x2 A2cos(t2 )
则频率相同时它们的相位差为
t2 t12 1
(1)t=1.0 s 时, 物体所处的位置; (2)由起始位置运动到 x= -0.04 m 处所需要的最短时
间. 所以运动方程为
x 0.08cosπ2t π 3m
(1)t=1.0 s 时, 物体所处的位置:
x 0.08cosπ21.0 π3 0.069m
旋转矢量表示法
(2)由起始位置运动到 x= ห้องสมุดไป่ตู้0.04 m 处所需要的最短时间.