旋转矢量表示法B版

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大学物理B(Ⅱ)旋转矢量

x Acos(t )
以 o为
原点旋转矢量A的端点
x 在轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
y vm t π
t an
2 A
0 a v
x
vm A an A 2
x Acos(t )
v A cos(t π )
2
a A2 cos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x A
x x Acos(t ) π 4
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1) 2 1
0同步 x
π 反相
x
超前
为其它
落后
x
o
to
o
t
t
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数 k 0.72N m1，物体的质量 m 20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m处停
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻

旋转矢量表示法B版

解: 设
x = Acos(ωt + ϕ )
旋转矢量表示法
由已知条件: 得
2π 2π π ω= = =
T 42
将初始条件
x0 = x t=0 = 0.04m
代入方程得
即 ϕ=±π 3
0.04 = 0.08cosϕ
由旋转矢量法应取ϕ = π 舍去 − π
3
3
旋转矢量表示法
例题一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x = 0.04 m 处, 向 x 负轴方向运动, 求
旋转矢量表示法
初相位讨论
旋转矢量表示法
三、相位差
设两个振动的表达式分别为
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 )
则频率相同时它们的相位差为
∆ϕ = (ωt +ϕ2 ) − (ωt +ϕ1) = ϕ2 −ϕ1
(1) ϕ2 = ϕ1, 同相位; (2) ϕ2 − ϕ1 = π , 反相位.
旋转矢量表示法
A2
ϕ2 ϕ1
A1
x
旋转矢量表示法
例题一物体作简谐运动, 其振幅为 0.08 m, 周期为 4 s . 起始时刻物体在 x = 0.04 m 处, 向 x 负轴方向运动, 求
(1) t =1.0 s 时, 物体所处的位置;

旋转矢量表示法

高中物理的运动学、动力学大都以矢量表示，为了简单起见，通常采用“合矢”表示。将有关运动矢量的矢量和分解成两个平行四边形，并指明两个平行四边形的夹角。

地球绕太阳的公转、卫星绕地球的公转、行星绕太阳的公转等都可用旋转矢量表示，但需要说明的是：所谓“公转”只不过是相对于观测者来说的，从一个观测者看来，地球上的每一点都在自西向东转动；而相对于地球的观测者来说，则是自东向西转动。所以，由于地球上各点的位置在一年之中都不变，故“公转”也叫“平移”，它与“自转”同属角速度概念，并称为角动量的两个基本分量。如果把太阳看作质点，则太阳绕地球公转的轨道平面就是以地球为焦点的双曲面。根据动能定理，若把这一双曲面上的某一点P看作质点，则可得到太阳绕地球公转的轨道平面的另一种表达式——椭圆，其离心率为，为行星的半径，故称太阳为椭圆轨道的半长轴，称太阳轨道的长轴为太阳轨道的周期。还可以证明：太阳的质量为，半径为，周期为地球的轨道平面与椭圆轨道的切线在赤道处的夹角称为地球的公转角速度。通常以地球轨道的半长轴作为地球的周期，也就是说，地球绕太阳公转一周的时间称为年。

一般在电工学中经常遇到的情况是利用欧姆定律、焦耳定律、楞次定律或其他类似的定律。电阻两端的电压u与通过导体横截面的电流i成正比，即，式中，是导体的电阻率，是材料的电阻率。U是导体的内电压，是电源电动势，它决定于电流的参考方向和导

体的电阻率，它是表示电源特征的一个物理量。欧姆定律又称电功定律，是表示电流做功快慢的物理量。焦耳定律是表示电流通过导体所消耗的热量多少的物理量。

简谐运动的旋转矢量描述法

解：
2 1
A 2
t
o
x
2
t
A 1
2 t
2
平衡位置
3
10
第二个振子比第一个振子超前 3
10
π
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A g a'*
h' * g'* *
t f O b*' T T f'* 3T T 5T
e
c' 4* 2*e' 4
4
-A
d*'
T 2 （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二、旋转矢量法对相位的表示
若某时刻t，测得质点的位移为x =A/2，向OX轴负方
简谐运动的旋转矢量表示法
一、简谐运动的旋转矢量表示法
P
t=t
t+
o
A t=0
A
x·
x
x Aco（s t ）
x Aco（s t ）
旋转矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x
Ah
a
bO
c -Ad
x
x Acos(t )

§3.2 简谐振动的旋转矢量图示

v
− 0.08 − 0.04
解
x/m
0.04
0.08
o
A = 0.08m
2π π −1 ω= = s T 2
A = 0.08m
t = 0, x = 0.04m
= A cos( ω t + ϕ ) π ϕ =± 0.04m = (0.08m) cos ϕ π −1 π 3
代入 x
2π π −1 ω= = s T 2
1 cos( t + ) = − 2 3 2
π π
π
解法二
π 2 π −1 ωt = ω = s t = s = 0.667s 3 3 2
t
ω
时刻
ωtπ 3 π 3
o
0.04
起始时刻
x/m
0.08
− 0.08 − 0.04
t = 1.0s
代入上式得
2
x = −0.069m
F = −kx = −mω x
π −1 2 = − (0.01kg )( s ) ( −0.069 m )= 1.70 ×10−3 N 2
（2）由起始位置运动到的最短时间. 的最短时间.
x = −0.04m 处所需要
x/m
0 .04
v
− 0 .08 − 0 .04
简谐振动的旋转矢量图示法 §3.2 简谐振动的旋转矢量图示法

16.3旋转矢量法

例题4：简谐振动的振动曲线，写出其振动表达式．
x A cos(t 0 )
A = 5 (m); T = 2 (s),
2 (rad/s) T
x A cos(t 0 )
t = 0 时： cos0 x0 / A 1 / 2,
0

3
初速度方向指向平衡位置，
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互减弱
再若 A1= A2 , 则 A= 0
其它情况
A1 A2 A A1 A2
例. 有两个同方向的简谐振动，它们的表式如下： x 1= 0.05cos(10t+3π /4)m x 2= 0.06cos(10t+π /4)m (1)求它们合成振动的振幅和初相位； (2)若另有一振动 x 3= 0.07cos(10t+φ 0)m 问φ 0为何值时x1+x3的振幅为最大； φ 0为何值时x2+x3的振幅为最小。 (式中 x 以 m计; t 以 s计)
x

t t
时
A
t
o
x A cos( t )
x
A
←→ 振幅
←→ 圆频率 ←→ 初相位 ←→ 相位
对应关系

t
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图

旋转矢量法的原理和应用

1. 原理介绍

旋转矢量法是一种用于描述物体在三维空间中进行旋转的数学方法。它通过使

用矢量的旋转运算来表示物体的旋转姿态。旋转矢量法基于欧拉角的表达方式，但它使用四元数来进行计算，避免了欧拉角的一些问题，例如万向锁问题。

2. 旋转矢量的表示

旋转矢量通常由一个单位四元数表示，该四元数可以表示物体绕任意轴的旋转。一个旋转矢量可以通过一个轴向量和一个旋转角度来确定。轴向量定义了旋转轴的方向，旋转角度表示物体绕轴旋转的量。

3. 旋转矢量的计算

为了应用旋转矢量进行对象的旋转，需要进行一些数学计算。首先，需要将旋

转矢量转换为一个旋转矩阵。然后，可以使用该旋转矩阵将对象的顶点或其他坐标进行变换，以实现旋转效果。

4. 旋转矢量的应用

旋转矢量法在计算机图形学和游戏开发中得到了广泛应用。它可以用于实现物

体的旋转、旋转动画和摄像机的旋转等效果。此外，旋转矢量法还可以用于物体的插值和平滑过渡，例如在两个姿态之间进行插值，以实现流畅的动画效果。

5. 旋转矢量法的优势

相比于传统的欧拉角表示，旋转矢量法具有以下几个优势： - 万向锁问题：使

用旋转矢量法可以避免欧拉角的万向锁问题，使得旋转计算更加稳定和可靠。 - 插

值效果：旋转矢量法可以实现更顺滑的插值效果，使得物体在动画中的过渡更加自然。 - 计算效率：由于使用四元数进行计算，旋转矢量法通常比欧拉角计算更快，

尤其是在需要进行大量的旋转计算时。

6. 示例应用场景

下面是一些示例应用场景，展示了旋转矢量法的一些实际应用： - 3D建模软件：在3D建模软件中，旋转矢量法被用于实现物体的旋转和变换操作，帮助用户进行

16.3旋转矢量法

A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限速度v < 0 M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限速度v < 0
M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限速度v < 0
M P
A
x
注意：旋转矢量在第 2 象限速度v < 0
M
P
A
x
注意：旋转矢量在第 3 象限速度v 0
P M
A
<
x
注意：旋转矢量在第 3 象限速度v 0
相 x1 A1 cos( t 1 ), x2 A2 cos( t 2 ), 位差两者的相位差（即初相差）可能有下列四种情况：
( 1) 2 1 0, 称同相; (2) 2 1 , 称反相; (3) 2 1 0, 称振动2超前, 振动1落后; (4) 1 2 0, 称振动1超前, 振动2落后.
2
2
A2 y x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 π
3） 2 1 π 2
2 2
A2 y x A1
y
A2
o
A1

简谐运动的旋转矢量描述法

若某时刻t，测得质点的位移为x =A/2，向OX轴负方
向运动
M
A
O 3P
X
M
三、旋转矢量法对相位差的表示
A2
A1
O
相位差 2 1 2kπ
x
(k 0，1， 2,)
两个振动同相，步调相同
A1
O
A2
相位差 2 1 (2k 1)π
x
(k 0，1,)
两个振动反相，步调相反
例题两个同方向、同频率的谐振动，频率为2s-1，当第一个振子从平衡位置向正向运动0.05s后，第二个振子正处于正方向的端点，求这两谐振动的相位差。
解：
2 1
A2
t
o
x
2
t
A1
2 t
2
平衡位置
3
10
第二个振子比第一个振子超前 3
10
简谐运动的旋转矢量表示法
一、简谐运动的旋转矢量表示法
P
t=t
t+
o
A t=0
A
x·
x
x Aco（s t ）
x Aco（s t ）
旋转矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x A cos( t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x
AhFra Baidu bibliotek

旋转矢量法详细讲解

旋转矢量法是一种常用的三维刚体运动描述方法，它可以描述刚体在空间中的旋转状态。本文将详细介绍旋转矢量法的原理、应用以及计算方法。

一、原理

旋转矢量法的基本原理是将刚体的旋转运动分解为绕三个互相垂直的轴的旋转运动的组合。这三个轴分别称为x轴、y轴和z轴，它们的方向与刚体的坐标系有关。在旋转矢量法中，用一个三维向量来表示刚体的旋转状态，这个向量被称为旋转矢量。

二、应用

旋转矢量法广泛应用于机械工程、航空航天、地球物理学等领域。在机械工程中，旋转矢量法可以用于描述机械零件的旋转状态，从而进行运动学和动力学分析。在航空航天领域，旋转矢量法可以用于描述飞行器的姿态和轨迹，从而进行导航和控制。在地球物理学中，旋转矢量法可以用于描述地球的自转和地震波的传播，从而进行地震学研究。

三、计算方法

旋转矢量的计算方法有多种，其中最常用的是欧拉角法和四元数法。

欧拉角法是将旋转运动分解为三个绕不同轴的旋转运动的组合，然后通过三个角度来描述这三个旋转运动的大小和方向。四元数法是将旋转运动表示为一个四元数，通过四元数的乘法和加法来描述旋转运动的组合。

四、总结

旋转矢量法是一种常用的三维刚体运动描述方法，它可以描述刚体在空间中的旋转状态。旋转矢量法广泛应用于机械工程、航空航天、地球物理学等领域。旋转矢量的计算方法有多种，其中最常用的是欧拉角法和四元数法。掌握旋转矢量法的原理和计算方法，对于进行三维刚体运动分析和控制具有重要的意义。

简谐振动旋转矢量图示法-文档资料

或

3
x 0.12 cos( t ) m 3
天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难 9

(2)与解析法同
(3)
x = -0.06m

x = -0.06m时旋转矢量 O
x
第一次回到平衡位置时旋转矢量
来自百度文库
5 3 2 6
5 5 6 t 0.83 s 6 天下事有难易乎,为之,则难者亦易
第一次经过A/2时，相位
O
6.0t

3
A 2
x
3 v 0.3sin( ) 0.3 0.26 m/s 3 2
天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难 12
(3) 由初始条件，t=0,v0=0.30m/s, x0=0.05m,可得
A x02

v02
2

3 t2 3 2

t2 1.83s
因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间：
t t2 t1 0.83s
天下事有难易乎,为之,则难者亦易矣;不为,则易者亦难
8
解法二(旋转矢量法）:
(1)
0
x = 0.06m O x t=0时旋转矢量
5 0 3
解：
1

8.2 简谐运动的旋转矢量表示法

旋转矢量简谐振动旋转矢量相位圆频率简谐振动的周期半径初始角坐标角坐标角速度圆周运动的周期1能直观地表示振子的运动状态当确定了振动的振幅以后描述振动的关键就是相位
8.2 简谐振动的旋转矢量表示法
x = A cos( ω t + )
v 矢量 A 的
端点在轴上的投影点的运动为简谐运动。运动。旋转
简谐振动 A 振幅初相相位圆频率简谐振动的周期旋转矢量半径初始角坐标角坐标角速度圆周运动的周期
ωt+ ω
T
旋转矢量法向量图向量图)的优点旋转矢源自文库法(向量图的优点 1）能直观地表示振子的运动状态分析解析式
x = A cos(ω t + ) 可知
当确定了振动的振幅以后，描述振动的关键就是相当确定了振动的振幅以后，描述振动的关键就是相位。即表达式中余弦函数的角变量 (ωt + ) 即表达式中余弦函数的角变量而旋转矢量图可直观地显示该角变量的值。而旋转矢量图可直观地显示该角变量的值。直观地显示该角变量的值
*例
v
0.08 0.04
x/m
0.04
0.08
o
解
A = 0.08m
2π π 1 ω= = s T 2
A = 0.08m
t = 0, x = 0.04m
π Q v0 < 0 ∴ = 3

简谐振动-旋转矢量法

x
x Acos(t )
矢量以Ao的为端原点点在,旋x 轴转
上的投影点的运动为简谐运动.
t t 时
o
A
t
x
x Acos(t )
对应关系
A
t
←→ 振幅 ←→ 圆频率 ←→ 初相位 ←→ 相位
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
T 2（π 旋转矢量旋转一周所需的时间）
A
M Px
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)

旋转矢量法详细讲解

旋转矢量法是一种常用的三维空间中的旋转变换方法，它可以将一个三维向量绕着某个轴旋转一定的角度，从而得到一个新的向量。这种方法在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域都有广泛的应用。

旋转矢量法的基本思想是，将旋转变换分解为两个步骤：先将原向量绕着一个固定的轴旋转到一个特定的位置，再将其绕着另一个轴旋转到最终的位置。这两个步骤可以用两个旋转矩阵来表示，它们的乘积就是最终的旋转矩阵。

具体来说，假设我们要将一个向量v绕着轴n旋转θ角度，那么首先需要将v投影到n所在的平面上，得到一个新的向量v'。然后，将v'绕着n旋转θ/2角度，得到一个新的向量v''。最后，将v''再绕着n的负方向旋转θ/2角度，就得到了最终的旋转向量。

旋转矢量法的优点在于，它可以避免旋转矩阵中的奇异性问题，从而提高计算的稳定性和精度。此外，它还可以方便地进行复合旋转，即将多个旋转变换组合起来进行计算。

需要注意的是，旋转矢量法只适用于绕着固定轴进行旋转的情况，如果需要进行任意方向的旋转，就需要使用四元数或欧拉角等其他方法。

旋转矢量法是一种简单而有效的三维旋转变换方法，它在计算机图

形学、机器人学、航空航天等领域都有广泛的应用。掌握旋转矢量法的原理和应用，对于进行三维空间中的旋转变换具有重要的意义。

旋转矢量法

矢量分析是研究数量物理学中最重要的方法之一，也是数学上最重要的分析工具之一。矢量是两个平行线段（或者轴），用两个点表示，一个点是矢量的“起点”，另一个点是“终点”。矢量的长度是从矢量的起点到终点的距离。此外，矢量具有向量的属性，如方向和向量的场性质。矢量的分析应用于几何、力学和电磁学等领域。

旋转矢量法（RVM）

旋转矢量法是一种应用于矢量分析的经典方法，它可以用于计算矢量的图形表示，也可以用于计算基本的向量图形。一般来说，旋转矢量法是一种可以将一个向量从一个坐标系统转换到另一个坐标系统的方法。

原理介绍

旋转矢量法的基本原理是使用两个向量的叉积来旋转一个向量到另一个坐标系统，这两个向量分别称为被旋转矢量和旋转矢量。如果从一个坐标系(A)旋转到另一个坐标系(B)，则使用被旋转矢量与旋转矢量的叉积，即可计算出旋转矢量在坐标系B中的表达式。旋转矢量法还可以用来求解向量平面间的夹角和两个向量分量的夹角。

应用

旋转矢量法可用于计算图形学中的位置和方向，也可以应用于机器人、空间分析和三维图形模拟等技术。此外，旋转矢量法还可以用于解决由向量和仿射变换组成的更复杂的数学问题。

总结

本文简要介绍了旋转矢量法，这是一种矢量分析的经典方法，可以用于计算矢量的图形表示和基本的向量图形，也可以用于解决由向量和仿射变换组成的更复杂的数学问题。矢量分析方面的必要知识是可以理解旋转矢量法的基础，它需要计算坐标系之间的变换，以及向量的方向和向量的场性质。在机器人，空间分析和三维图形模拟等技术中，旋转矢量法可以用于计算位置和方向。