高考数学二轮复习 中档大题规范练(六)不等式选讲 理
高考数学复习：不等式选讲练习及答案
－ 2<x<1， 或
－（ x－ 1）＋（ x＋ 2） ≥５
x≤－2， 或
－（ x－1）－（ x＋ 2） ≥５， 解得 x≥２或 x≤－3. 故原不等式的解集为 { x|x≤－ 3 或 x≥2}． 答案 { x|x≤－ 3 或 x≥2} 高频考点二 不等式的证明
例 2．【 2017 课标 II ，理 23】已知
.
（ 2）当 x 1,1 时， g x 2 .
所以
的解集包含 1,1 ，等价于当 x 1,1 时 f x 2 .
又 f x 在 1,1 的学科 & 网最小值必为 f 1 与 f 1 之一，所以 f 1 2 且 f 1 2 ，得 1 a 1 .
所以 a 的取值范围为 1,1 .
1.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分） ,选修 4—5：不等式选讲
4. （ 2018 年江苏卷） [ 选修 4—5：不等式选讲 ] 学 -科网
若 x， y， z 为实数，且 x+2 y+2z=6，求
的最小值．
【答案】 4
【解析】证明：由柯西不等式，得
．
，故当且仅当
因为
，所以
，
当且仅当
时，不等式取等号，此时
，
所以
的最小值为 4．
1.【 2017 课标 II ，理 23】已知
1. （ 2018 年全国 I 卷理数） [选修 4–5：不等式选讲 ]
已知
.
（ 1）当 时，求不等式
的解集；
（ 2）若
时不等式
成立，求 的取值范围 .
【答案】（1）
．
（2） ． 【解析】 [来源 学科网 ZXXK]
2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习精选《不等式选讲》训练23 新人教版
2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习精选《不等式选讲》训练23新人教版A 组(供高考题型为选择、填空题的省份使用) 1．不等式x ＋|2x －1|<3的解集为________． 2．不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的解集为________．3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．4．(xx·广州模拟)不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是________．5．使关于x 的不等式|x ＋1|＋k <x 有解的实数k 的取值范围是________．6．(xx·湖南六校联考)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|>a 的解集是全体实数，则a 的取值范围是______．7．(xx·陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．8．(xx·江西)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．9．(xx·江西重点盟校二次联考)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．10．(xx·临沂模拟)对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 满足________． 11．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________． 12．(xx·西安八校联考)已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，13．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．14．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．B 组(供高考题型为解答题的省份使用) 1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．2．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.3．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 4．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．5．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．6．(xx·沈阳模拟)已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)．(1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． A 组1．解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋2x －1<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －2x －1<3.解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <43.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <432．解析 法一 由－2,1把数轴分成三部分：x <－2，－2≤x ≤1，x >1.当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5， 解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5， 因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1；当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5，解得1<x <2. 综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．法二 不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3<x <2}． 答案 {x |－3<x <2}3．解析 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.答案 94．解析 ∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，∴a ≤3.答案 (－∞，3]5．解析 |x ＋1|＋k <x ⇔k <x －|x ＋1|，又x －|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <－1，－1，x ≥－1，∴x －|x ＋1|的最大值为－1.∴k <－1. 答案 (－∞，－1]6．解析 令f (x )＝|x －3|＋|x －4|，则|x －3|＋|x －4|≥|x －3＋4－x |＝1， 则f (x )min ＝1，故a ≤1. 答案 (－∞，1]7．解析 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32 9．解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4，即－3≤m ≤5. 答案 [－3,5]10．解析 ∵|2－x |＋|3＋x |≥5，∴要使|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立， 即5≥a 2－4a ， 解得－1≤a ≤5.答案 [－1,5]11．解析|3x －b |<4⇒b －43<x <b ＋43⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4⇒5<b <7，即b 的取值范围为(5,7)． 答案 (5,7)12．解析 |x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7. 答案 －713．解析 ∵二次方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则由Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14，由绝对值的几何意义知0≤a ≤14.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1414．解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，所以|a －5|＋1<2， 即|a －5|<1，∴4<a <6. 答案 (4,6) B 组1．解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.当x <－12时，由f (x )＝－x －5>2得x <－7，∴x <－7；当－12≤x <4时，由f (x )＝3x －3>2得x >53，∴53<x <4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5>2，得x >－3，∴x ≥4. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)画出f (x )的图象如图：∴f (x )min ＝－92.2．证明 因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b3＋1c3≥3abc .所以1a3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc＋abc .而3abc＋abc ≥23abc·abc ＝23，所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.3．证明 法一 因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，② 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac≥6 3.③所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．4．解 ∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)． 由u ≥5，知0<1u ≤15，∴a ≥15.5．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件； 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －a ＋1，x ≥1，f (x )的最小值为1－a .若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －a ＋1，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1、2的距离之和大于等于2.∴x ≥52或x ≤12.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥52.注：也可用零点分段法求解． (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|， ∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0.又a >0，∴a ≥4.20552 5048 偈22422 5796 垖 }33862 8446 葆+33500 82DC 苜24655 604F 恏39751 9B47 魇831714 7BE2 篢29482 732A 猪&C。
高考数学总复习 考前三个月 中档大题规范练 6 不等式
6.不等式选讲1.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，得1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1，1].2.已知函数f (x )＝||2x －a ||＋x －1， a ∈R .(1)若不等式f (x )≥2－||x －1恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，求m 的取值范围. 解 (1)因为f (x )≥2－||x －1恒成立， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1恒成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|min ≥1成立， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2－x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≥1，解得a ≤0或a ≥4，所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).(2)当a ＝1时， f (x )＝||2x －1||＋x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x ≤12，x ，12＜x ＜1，3x －2，x ≥1，作出f (x )的图象，如图所示.由图象可知，当12＜m ≤1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，故所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.3.设函数f (x )＝||x ＋2||－x －1.(1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解，求实数m 的取值范围.解 (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时， f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时， f (x )＝2x ＋1>1⇒x >0，即0＜x ＜1；当x ≥1时， f (x )＝3>1，即x ≥1.综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞).(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解等价于()f (x )＋4max ≥||1－2m ，由(1)可知，f (x )max ＝3，(也可由||f (x )＝||||x ＋2||－x －1||≤()x ＋2－(x －1)＝3，得f (x )max ＝3)， 即||1－2m ≤7，解得－3≤m ≤4.4.已知f (x )＝||x ＋a ， g (x )＝||x ＋3－x ，记关于x 的不等式f (x )＜g (x )的解集为M .(1)若a －3∈M ，求实数a 的取值范围；(2)若[]－1，1⊆M ，求实数a 的取值范围.解 (1)依题意有||2a －3＜||a －()a －3，若a ≥32，则2a －3＜3，∴32≤a ＜3，若0≤a ＜32，则3－2a ＜3，∴0＜a ＜32，若a ≤0，则3－2a ＜－a －()a －3，无解.综上所述， a 的取值范围为()0，3.(2)由题意可知，当x ∈[]－1，1时，f (x )＜g (x )恒成立，∴||x ＋a ＜3恒成立，即－3－x ＜a ＜3－x ，当x ∈[]－1，1时，－2＜a ＜2.5.已知函数f (x )＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜4；(2)求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的最小值.解 (1)∵ a ＝1，∴原不等式为2||x ＋1||＋x －1＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，2x ＋2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ＋2＋x －1＜4， ∴－53＜x ＜－1或－1≤x ＜1或∅，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53＜x ＜1.(2)由题意得g (x )＝f (x )＋f (－x )＝2()||x ＋a ＋||x －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2||2a ＋2||a ＝4||a ＋2||a ≥42，当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22， 且－22≤x ≤22时，g (x )取最小值4 2.6.已知f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤3；(2)f (x )≤2a ＋x 在[)a ，＋∞上有解，求a 的取值范围.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，1－x －1－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x －1＋2x ＋1≤3，－1≤x ＜－12或－12≤x ≤1或∅，所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}.(2)因为x ∈[)a ，＋∞，所以f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1||＝x －a ＋2x ＋1≤2a ＋x ，推出||2x ＋1≤3a 有解， 所以a ≥0，所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解，即2a ＋1≤3a ⇒a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞).。
高考不等式选讲专题复习(经典)
不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式∑∑∑===•nininiiiiibaba112122)(≥，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：.)1,0,1＞(＞1)1(的正整数为大于nxxnxx n≠-++本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络§1 绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为∅；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件.若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3.综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得lga ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c2≥lg ac . 而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0. 故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立， 即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).① 因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0).(1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa-1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln(1＋x )x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.§3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b )＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，则 a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a 2＋(1－a )2＋12＜252.所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a 2 ＋ b 2≥ 2(a ＋ b 2)2来证明比较好，它可以将具备a 2＋b 2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0， 求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明： 设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜a k ＋1＜(k ＋2)22.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N *，都有n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081，观察上述结果推测出计算S n 的公式且用数学归纳法加以证明. 【解析】猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时，S 1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2.则S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.即当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立. 题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a 1＝a (1＋14)－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54(54a －b )－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a 3＝54a 2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54－4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时).(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a 2＋1＞||a ，n (n ＋1)＞n ； (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2；(4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k，1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k ； 1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.§4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a 1，a 2，…，a n 都为正实数，证明：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】方法一：由柯西不等式，有(a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1)(a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)≥ (a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 1)2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2. 不等式两边约去正数因式a 1＋a 2＋…＋a n 即得所证不等式.方法二：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式有a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b ac b c b b a ++++•＋2b a a c a c b a ++++•＋2c b ac a c c b ++++•＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4(当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x ＋2y ＋z )2，所以(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【证明】(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和得 1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1， 即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n，②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.③(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞x n.由①②仍然成立，于是③也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934⇒S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇。
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .题型三 不等式的证明与应用例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【答案】略.【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一 解绝对值不等式1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（1）图中画出的图像；()123f x x x =+--()y f x =（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）. 【解析】⑴如图所示：（2）()()()()+∞⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞->∴><<<><≤∴<>>-≥<<<<-∴<>>-<<--≤∴<>>-≤>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤-=5,1,331,解集为1x f ，5x 或3x 1或31x 综上，5x 或3x 23，3x 或5x 解得14x ，23x 当23x 1或31x 131x 或1x 解得1,23x ，23x 1当1x ，3x 或5x 解得1,4x ，1x 当1,x f 23x x,423x 12,3x 1x 4,x f2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，()1f x >()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．3.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【答案】略.【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。
专题13 不等式选讲-2021年高考数学二轮专项复习
专题13 不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i，b i(i ∈N *)为实数，则(∑ni ＝1a 2i)(∑ni ＝1b 2i)≥(∑ni ＝1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．【复习要求】（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：① ;b a b a +≤+② ;b c c a b a -+-≤-（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c b ax ≤+ c b ax ≥+ a b x c x ≥-+-（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。
高考理科数学总复习中档大题规范练6：新定义、推理证明含真题分类
6.与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是()A.7B.6C.5D.4答案A解析设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的部分)，因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分).假设只同时持有了B和C股票的人数为a，那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2，1.与之对应的a值为：2，5，8，11，14，17，20，23，26.因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人数是7，故选A.2.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30答案C解析因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}所以集合A中有5个元素(即5个点)，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即7×7－4＝45(个).3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋510 B.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410 C.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310 D.y ＝⎣⎡⎦⎤x 10 答案 C解析 根据题意，当x ＝16时，y ＝1，所以选项A ，B 不正确，当x ＝17时，y ＝2，所以D 不正确，故选C.4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A.设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B.由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab D.由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 答案 A解析 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确.5.给出以下数对序列： (1，1) (1，2)(2，1) (1，3)(2，2)(3，1) (1，4)(2，3)(3，2)(4，1) …若第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3，2)，则a nm 等于( )A.(m ，n －m ＋1)B.(m －1，n －m )C.(m －1，n －m ＋1)D.(m ，n －m ) 答案 A解析 由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm ＝(m ，n －m ＋1).6.若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 对①，ʃ1－1⎝⎛⎭⎫sin 12x ·cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝－12cos x|1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数；对②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x |1－1≠0，则f (x )，g (x )不是区间[－1，1]上的正交函数；对③，ʃ1－1x 3d x ＝14x 4|1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数. 7.已知点A (0，1)，点B 在曲线C 1：y ＝e x －1上，若线段AB 与曲线C 2：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称点B 为曲线C 1与曲线C 2的一个“相关点”，记曲线C 1与曲线C 2的“相关点”的个数为n ，则( ) A.n ＝0 B.n ＝1 C.n ＝2 D.n ＞2 答案 B解析 设B (t ，e t－1)，则AB 的中点为P ⎝⎛⎭⎫t 2，e t2，所以有e t2＝2t ，e t ＝4t，所以“相关点”的个数就是方程e x ＝4x 解的个数，由于y ＝e x 的图象在x 轴上方，且是R 上的增函数，y ＝4x 在(0，＋∞)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即n ＝1，故选B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n 等于( )A.7B.8C.11D.15 答案 C解析 由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数(23－1)要多，比四个盘子不同时操作的次数(24－1)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.9.定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象的两个端点为A ，B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，λ∈[0，1].已知向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”.若函数y ＝x －1x在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A.[0，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫112，＋∞C.⎣⎡⎭⎫32＋2，＋∞D.⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞ 答案 D解析 由题意可知，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，32， M ⎝⎛⎭⎫2－λ，2－λ－12－λ，N ⎝⎛⎭⎫2－λ，32(1－λ)， ∴|MN →|＝⎪⎪⎪⎪32－32λ－(2－λ)＋12－λ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2＋12－λ－32，∵2－λ2＋12－λ≥22－λ2·12－λ＝2，当且仅当2－λ2＝12－λ，λ＝2－2时，等号成立， 又∵λ∈[0，1]，∴2－λ∈[1，2]， ∴2－λ2＋12－λ≤32，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2＋12－λ－32max ＝32－2，即实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞. 10.(四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝||2x －t 的“不动区间”，则实数t 的取值范围是( ) A.(0，2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤12，2 D.⎣⎡⎦⎤12，2∪[4，＋∞) 答案 C解析 易知y ＝|2x －t |与y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 在[1，2]上单调性相同，当两个函数递增时，y ＝|2x －t |与y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 的图象如图1所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2t ≤1，－log 2t ≤1，解得12≤t ≤2；当两个函数递减时，y ＝|2x －t |的图象如图2所示，此时y ＝|2x －t |关于y 轴对称的函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 不可能在[1，2]上为减函数.综上所述，12≤t ≤2，故选C.11.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…根据以上排列规律，数阵中第n (n ＞3)行从左至右的第3个数是________. 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个，即n 2－n2个，因此第n 行从左至右的第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”. 已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为__________.答案 b n ＝2n －1(n ∈N *)解析 设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0， 因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *). 13.已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， …，(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________.答案 (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cosn π2n ＋1＝12n (n ∈N *). (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.14.(·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析 对于①，若令A (1，1)，则其伴随点为A ′⎝⎛⎭⎫12，－12，而A ′⎝⎛⎭⎫12，－12的伴随点为(－1，－1)，而不是P .故错误；对于②，令单位圆上点的坐标为P (cos x ，sin x )，其伴随点为P ′(sin x ，－cos x )仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线f (x ，y )＝0关于x 轴对称，则f (x ，－y )＝0与曲线f (x ，y )＝0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f n ⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0与f n⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0与f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0的图象关于y 轴对称，所以③正确；对于④，反例为直线y ＝1，取三个点A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，这三个点的伴随点分别是A ′(1，0)，B ′⎝⎛⎭⎫12，－12，C ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而这三点不在同一条直线上.故④错误.所以正确的序号为②③.。
高考数学二轮复习第2部分 不等式选讲选修
-10命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
对点训练2(2020全国Ⅱ,文23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
当x≥1时,f(x)≥0.
所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).
(2)因为f(a)=0,所以a≥1.
当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.
所以,a的取值范围是[1,+∞).
-9命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
题后反思1.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方
ax+b≤c,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解
即可.
(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;
②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想;
③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.
所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.
当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.
所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
-11命题热点一
命题热点二
高三数学二轮复习不等式选讲课时巩固过关练理新人教版
高三数学二轮复习不等式选讲课时巩固过关练理新人教版不等式选讲(建议用时:30分钟)1.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象.(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)如图所示:(2)f(x)=|f(x)|>1,当x≤-1时,|x-4|>1,解得x>5或x<3,所以x≤-1.当-1<x<时,|3x-2|>1,解得x>1或x<,所以-1<x<或1<x<.当x≥时,|4-x|>1,解得x>5或x<3,所以≤x<3或x>5.综上,x<或1<x<3或x>5,所以|f(x)|>1的解集为∪(1,3)∪(5,+∞).【加固训练】(2016·贵阳一模)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(1)求证:-3≤f(x)≤3.(2)解不等式f(x)≥x2-2x.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=3,成立;当-1<x<2时,f(x)=-2x+1,-4<-2x<2,所以-3<-2x+1<3,成立;当x≥2时,f(x)=-3,成立;故-3≤f(x)≤3.(2)当x≤-1时,x2-2x≤3,所以-1≤x≤3,所以x=-1;当-1<x<2时,x2-2x≤-2x+1,所以-1≤x≤1,所以-1<x≤1;当x≥2时,x2-2x≤-3,无解;综合上述,不等式的解集为:[-1,1].2.(2016·衡阳二模)已知a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2.(1)求+的最小值.(2)若对∀a,b∈(0,+∞),+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求实数x的取值范围. 【解析】(1)因为a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2,所以+=·=++≥+2=+2=,所以=,此时a=,b=.(2)因为+≥|2x-1|-|x+1|对∀a,b∈(0,+∞)恒成立,所以|2x-1|-|x+1|≤⇔或或⇔-≤x≤-1或-1<x≤或<x≤⇔-≤x≤.所以x∈.【加固训练】(2016·哈尔滨一模)已知函数f(x)=m-|x-3|,不等式f(x)>2的解集为(2,4).(1)求实数m的值.(2)若关于x的不等式|x-a|≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)由已知得|x-3|<m-2,得5-m<x<1+m,从而m=3.(2)|x-a|≥f(x)得|x-3|+|x-a|≥3恒成立,因为|x-3|+|x-a|≥|x-3-(x-a)|=|a-3|(当且仅当(x-3)(x-a)≤0时取到等号),所以|a-3|≥3解得a≥6或a≤0,故a的取值范围为a≤0或a≥6.3.(2016·衡水二模)已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x+2|-a).(1)当a=7时,求函数f(x)的定义域.(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求a的取值范围.【解析】(1)由已知得,|x-1|+|x+2|>7,由绝对值的几何意义可得x<-4或x>3,从而函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(3,+∞).(2)不等式f(x)≥3,即|x-1|+|x+2|≥a+8,则x∈R,恒有|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,又不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R,故a+8≤3,即a≤-5,即a的取值范围是(-∞,-5].【加固训练】设f(x)=|ax-1|.(1)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值.(2)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)显然a≠0,当a>0时,解集为,-=-6,=2,无解;当a<0时,解集为,令-=2,=-6,得a=-.综上所述,a=-.(2)当a=2时,令h(x)=f(2x+1)-f(x-1)=|4x+1|-|2x-3|=由此可知,h(x)在上单调减,在上单调增,在上单调增,则当x=-时,h(x)取到最小值-,由题意知,-≤7-3m,则实数m的取值范围是.4.(2016·乌鲁木齐二模)设函数f(x)=x2-3x.(1)若λ+μ=1(λ,μ>0),求证:f(λx1+μx2)≤λf(x1)+μf(x2).(2)若对任意x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|,求L的最小值.【解析】(1)因为f(λx1+μx2)-[λf(x1)+μf(x2)]=(λx1+μx2)2-3(λx1+μx2)-[λ(-3x1)+μ(-3x2)]=λ(λ-1)+2λμx1x2+μ(μ-1)=-λμ+2λμx1x2-λμ=-λμ(x1-x2)2≤0,所以f(λx1+μx2)≤λf(x1)+μf(x2).(2)因为|f(x1)-f(x2)|=|-3x1-+3x2|=|x1-x2||x1+x2-3|,因为0≤x1,x2≤1,所以0≤x1+x2≤2,所以-3≤x1+x2-3≤-1,所以|x1+x2-3|≤3,所以使|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|恒成立的L的最小值是3.(建议用时:30分钟) 1.设函数f(x)=|x-3|-|x+a|,其中a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)<1.(2)若对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立,求a的取值范围.【解析】(1)a=2时,f(x)<1就是|x-3|-|x+2|<1,当x<-2时,3-x+x+2<1,得5<1,不成立;当-2≤x<3时,3-x-x-2<1,得x>0,所以0<x<3;当x≥3时,x-3-x-2<1,即-5<1,恒成立,所以x≥3.综上可知,不等式f(x)<1的解集是(0,+∞).(2)因为f(x)=|x-3|-|x+a|≤|(x-3)-(x+a)|=|a+3|,所以f(x)的最大值为|a+3|.对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立等价于|a+3|≤2a,解得a≥3;所以a的取值范围是[3,+∞).2.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.(2)不等式f(x)≤4在x∈[-2,3]时恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1,当x≤-3时,不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1,恒不成立,当-3<x<-1时,不等式转化为-(x+1)-(x+3)≤1,解之得-≤x<-1;当x≥-1时,不等式转化为(x+1)-(x+3)≤1,恒成立;综上不等式的解集为.(2)若x∈[-2,3]时,f(x)=|x-a|-(x+3),则f(x)≤4即|x-a|≤x+7,所以-x-7≤x-a≤x+7,即为-7≤a≤2x+7恒成立,又因为x∈[-2,3],所以-7≤a≤3,所以a的取值范围为[-7,3].【加固训练】已知a,b∈R,f(x)=|x-2|-|x-1|.(1)若f(x)>0,求实数x的取值范围.(2)对∀b∈R,若|a+b|+|a-b|≥f(x)恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)由f(x)>0得|x-2|>|x-1|,两边平方得x2-4x+4>x2-2x+1,解得x<,即实数x的取值范围是.(2)|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,因为f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)max=1,所以2|a|≥1⇒|a|≥⇒a≥或a≤-,所以a的取值范围为∪.3.设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式f(x)≥2.(2)当x∈R,0<y<1时,证明:|x+2|-|x-2|≤+.【解析】(1)由已知可得:f(x)=所以,f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.(2)由(1)知,|x+2|-|x-2|≤|(x+2)-(x-2)|=4;+=[y+(1-y)]=2++≥4,当且仅当=,即y=时取等号,所以|x+2|-|x-2|≤+.4.已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2.(2)若a>0,求证:f(ax)-af(x)≤f(a).【解析】(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|,因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2.当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,即≤x≤1.当1<x≤2时,原不等式等价于1≤2,即1<x≤2.当x>2时,原不等式等价于2x-3≤2,即2<x≤.综上,原不等式的解集为.(2)由题f(ax)-af(x)=|ax-1|-a|x-1|.当a>0时,f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|=f(a).【加固训练】已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)求不等式f(x)≥-2的解集.(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)f(x)≥-2,当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,所以x∈∅;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,所以-≤x<1,当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,所以1≤x≤6.综上,.(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示:令y=x-a,-a表示直线的纵截距, 当直线过(1,3)点时,-a=2;所以当-a≥2,即a≤-2时成立; 当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a,得x=2+,所以a≥2+,即a≥4时成立, 综上a≤-2或a≥4.。
高考数学二轮复习 专项精练 中档大题规范练(六)不等式选讲 理
(六)不等式选讲1．(2017·唐山月考)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|mx －1|.(1)若m ＝1，求f (x )的最小值，并指出此时x 的取值范围；(2)若f (x )≥2x ，求m 的取值范围．解 (1)当m ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号，故f (x )的最小值为2，此时x 的取值范围是[－1,1]．(2)当x ≤0时，f (x )≥2x 显然成立，所以此时m ∈R ；当x >0时，由f (x )＝x ＋1＋|mx －1|≥2x ，得|mx －1|≥x －1.由y ＝|mx －1|及y ＝x －1的图象，可得|m |≥1且1m≤1， 解得m ≥1或m ≤－1.综上所述，m 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x(a >0)的最小值大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，此时不成立；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，解得x <0，即－1≤x <0；当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，解得x <－1.综上，原不等式的解集是{x |x <0}．(2)因为g (x )＝ax ＋1x－1≥2a －1， 当且仅当x ＝a a时等号成立， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ＝2a －1.当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2，所以f (x )∈[－3,1)．所以2a －1≥1，解得a ≥1.所以实数a 的取值范围为[1，＋∞)．3．设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)显然a ≠0.f (x )≤2可化为－1≤ax ≤3，当a >0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，3a ，易知－1a ＝－6，3a ＝2，无解； 当a <0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ，－1a ，易知－1a ＝2，3a ＝－6，解得a ＝－12. 综上所述，a ＝－12. (2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －4，x ≤－14，6x －2，－14<x <32，2x ＋4，x ≥32，由此可知，h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－14上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，32上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增， 则当x ＝－14时，h (x )取得最小值－72， 由题意知7－3m ≥－72，解得m ≤72. 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72. 4．设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.(1)求f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)由f (x )≤x ＋2，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x ≤－1，1－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，－1<x <1，1－x ＋x ＋1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x ≥1，x －1＋x ＋1≤x ＋2，解得0≤x ≤2，所以所求的解集为[0,2]．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ≤0时取等号．由不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，1－x －x －1≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，1－x ＋x ＋1≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋1≥3， 解得x ≤－32或x ≥32.所以所求x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.5．不等式|x 2＋3x －18|<6－2x 的解集为{x |a <x <b }．(1)求a ，b 的值；(2)已知p ，q ∈(－1,1)，且pq ＝b a ，求u ＝a 8(p 2－1)＋b4(q 2－1)的最小值．解 (1)由|x 2＋3x －18|<6－2x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 6－2x >0，|x 2＋3x －18|2<4(x －3)2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <3，(x －3)2(x ＋8)(x ＋4)<0， 解得－8<x <－4，从而a ＝－8，b ＝－4.(2)由(1)知u ＝－88(p 2－1)＋－44(q 2－1)＝11－p 2＋11－q 2，pq ＝b a ＝12，故p 2＋q 2≥2pq ＝1，当且仅当p ＝q ＝±22时取等号．而u ＝11－p 2＋11－q 2≥211－p 2·11－q 2 ＝2154－p 2－q 2≥2154－1＝4， 或u ＝11－p 2＋11－q 2＝2－p 2－q254－p 2－q 2＝1＋3454－(p 2＋q 2)≥1＋3454－1＝4.。
全国高考数学第二轮复习 不等式选讲 文
选修4—5 不等式选讲真题试做1．(2012·天津高考，文9)集合A ＝{ x ∈R |}|x －2|≤5中的最小整数为__________． 2．(2012·上海高考，文2)若集合A ＝{x |2x －1＞0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩B ＝__________.3．(2012·江西高考，理15)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为__________．4．(2012·课标全国高考，理24)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．5．(2012·辽宁高考，文24)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值； (2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．考向分析该部分主要有三个考点，一是带有绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运用．对于带有绝对值符号的不等式的求解，主要考查形如|x |＜a 或|x |＞a 及|x －a |±|x －b |＜c 或|x －a |±|x －b |＞c 的不等式的解法，考查绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法．试题多以填空题或解答题的形式出现．对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合，试题多以解答题为主．对于不等式的证明问题，此类问题涉及的知识点多，综合性强，方法灵活，主要考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现．预测在今后高考中，对该部分的考查如果是带有绝对值符号的不等式往往在解不等式的同时考查参数取值范围、函数与方程思想等；如果是不等式的证明与运用，往往运用均值不等式．试题难度中等．热点例析热点一 绝对值不等式的解法【例1】不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为__________． 规律方法 1．绝对值不等式的解法(1)|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ；|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a ； (2)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的解法有三种：一是根据绝对值的意义结合数轴直观求解；二是用零点分区间去绝对值，转化为三个不等式组求解；三是构造函数，利用函数图象求解．2．绝对值三角不等式(1)|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |； (2)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.变式训练1 不等式|2x －1|＜3的解集为__________． 热点二 与绝对值不等式有关的参数范围问题【例2】不等式|2x ＋1|＋|x ＋a |＋|3x －3|＜5的解集非空，则a 的取值范围为__________．规律方法 解决含参数的绝对值不等式问题，往往有以下两种方法： (1)对参数分类讨论，将其转化为分类函数来处理；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，然后再根据题目要求，进一步求解参数的范围．变式训练2 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果关于x 的不等式f (x )≤2有解，求a 的取值范围． 热点三 不等式的证明问题【例3】(1)若|a |＜1，|b |＜1，比较|a ＋b |＋|a －b |与2的大小，并说明理由；(2)设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2.规律方法 证明不等式的基本方法：(1)证明不等式的基本方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．(2)不等式证明还有一些常用方法，如拆项法、添项法、换元法、逆代法、判别式法、函数的单调性法、数形结合法等．其中换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．变式训练3 设f (x )＝x 2－x ＋13，实数a 满足|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝N D ．不能确定2．若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|＜a ，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1) D ．(3,4)3．已知集合A ＝{x ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝__________.4．不等式|2x ＋1|＋|3x －2|≥5的解集是__________． 5．(2012·河北唐山三模，24)设f (x )＝|x －3|＋|x －4|， (1)解不等式f (x )≤2；(2)若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．－3 解析：∵|x －2|≤5，∴－5≤x －2≤5， ∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3. 2．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <1 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <1.3．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤324．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1，或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． 5．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】{x |x ≥1} 解析：原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，∴x ∈∅或1≤x ＜2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}．【变式训练1】{x |－1＜x ＜2} 解析：由|2x －1|＜3得－3＜2x －1＜3，∴－1＜x ＜2. 【例2】－3＜a ＜1 解析：不等式|2x ＋1|＋|x ＋a |＋|3x －3|＜5的解集非空，即|2x ＋1|＋|3x －3|＜5－|x ＋a |有解．令f (x )＝|2x ＋1|＋|3x －3|，g (x )＝5－|x ＋a |，画出函数f (x )的图象知：当x ＝1时f (x )min ＝3，∴g (x )＝g (1)＝5－|1＋a |＞3即可，解得－3＜a ＜1.【变式训练2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x ＜－1时，由－2x ≥3，得x ≤－32.当－1≤x ≤1时，f (x )＝2，无解．当x ＞1时，由2x ≥3，得x ≥32.综上可得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2)f (x )＝|x －1|＋|x －a |表示数x 到1的距离与到a 的距离和．由f (x )≤2有解可得－1≤a ≤3.故a 的取值范围为[－1,3]．【例3】(1)解：|a ＋b |＋|a －b |＜2.理由：(|a ＋b |＋|a －b |)2－4＝2|a |2＋2|b |2＋2|a 2－b 2|－4＝2(|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2|－2)．设|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2|＝2t ，其中t ＝max{|a |2，|b |2}，∵|a |＜1，|b |＜1，∴2t ＜2，∴2(|a |2＋|b |2＋|a 2－b 2|－2)＜0. 所以|a ＋b |＋|a －b |＜2.(2)证明：因为|x |＞m ≥|b |且|x |＞m ≥1，所以|x |2＞|b |.又因为|x |＞m ≥|a |，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2.故原不等式成立．【变式训练3】证明：∵f (x )＝x 2－x ＋13，∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2＋a | ＝|x －a |·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|. 又∵|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1| ≤|x －a |＋|2a －1|＜1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)， ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)． 创新模拟·预测演练 1．B 2．B3．{x |－2≤x ≤5} 解析：∵A ＝{x ||x ＋3|＋|x －4|≤9} ＝{x |－4≤x ≤5}， B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≥24t ×1t －6，t ∈(0，＋∞)＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－4≤x ≤5}∩{x |x ≥－2}＝{x |－2≤x ≤5}．4．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫65，＋∞ 解析：当x ≤－12时，不等式为－(2x ＋1)－(3x －2)≥5，解得x ≤－45；当－12＜x ≤23时，不等式为(2x ＋1)－(3x －2)≥5，解得x ≤－2，此时无解；当x ＞23时，不等式为(2x ＋1)＋(3x －2)≥5，解得x ≥65.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫65，＋∞. 5．解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x <3，1，3≤x ≤4，2x －7，x >4，作出函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为52和92.由图象知f (x )≤2的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，92. (2)函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设中的x .由图象易知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
2022大二轮高考总复习理数解答题6选修4-5(不等式选讲)
2022大二轮高考总复习理数解答题6选修4-5（不等式选讲）第一单元高考中档大题突破解答题06：选修4－5(不等式选讲)年份卷别Ⅰ卷2022Ⅱ卷Ⅲ卷具体考查内容及命题位置不等式的证明·T23绝对值不等式的解法及恒成立问题·T23绝对值不等式的解法及不等式有解求参数问题·T23含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T24绝对值不等式的解法及图象·T24绝对值不等式解法·T241.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求命题分析甲卷2022乙卷丙卷Ⅰ卷2022Ⅱ卷Ⅰ卷2022Ⅱ卷绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积解，以及绝对值不公式·T24不等式的证明、充要条件的判断·T24基本不等式·T24绝对值的三角不等式、基本不等式、一元二次不等式·T24等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一，稳定，难度中等，备考本部分Ⅰ卷2022Ⅱ卷绝对值不等式的求解、分段函数及其图象及不内容时应注意分类等式恒成立问题·T24基本不等式的应用·T24基本考点——绝对值不等式讨论思想的应用.1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(某)|>a(a>0)f(某)>a或f(某)(3)对形如|某－a|＋|某－b|≤c，|某－a|＋|某－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点．(2)划区间、去绝对值号．(3)分别解去掉绝对值的不等式(组)．(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．3．图象法求解绝对值不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，可在直角坐标系中作出不等式所对应函数的图象，利用函数图象求解．1．(2022·全国乙卷)已知函数f(某)＝|某＋1|－|2某－3|．(1)画出y＝f(某)的图象；(2)求不等式|f(某)|>1的解集．3某－2，－13－某＋4，某>.2故y＝f(某)的图象如图所示．某－4，某≤－1，(2)由f(某)的函数表达式及图象可知，当f(某)＝1时，可得某＝1或某＝3；1当f(某)＝－1时，可得某＝或某＝5．3故f(某)>1的解集为{某|1f(某)5}．3所以|f(某)|>1的解集为{某|某5}．32．(2022·全国卷Ⅰ)已知函数f(某)＝－某2＋a某＋4，g(某)＝|某＋1|＋|某－1|．(1)当a＝1时，求不等式f(某)≥g(某)的解集；(2)若不等式f(某)≥g(某)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，不等式f(某)≥g(某)等价于某2－某＋|某＋1|＋|某－1|－4≤0.①当某＜－1时，①式化为某2－3某－4≤0，无解；当－1≤某≤1时，①式化为某2－某－2≤0，从而－1≤某≤1；当某＞1时，①式化为某2＋某－4≤0，－1＋17从而1＜某≤．2所以f(某)≥g(某)的解集为－1＋17某－1≤某≤．2(2)当某∈[－1,1]时，g(某)＝2，所以f(某)≥g(某)的解集包含[－1,1]等价于当某∈[－1,1]时，f(某)≥2．又f(某)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1．所以a的取值范围为[－1,1]．常考热点——证明不等式1．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．2．算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b定理2：如果a、b为正数，则≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2a＋b＋c3定理3：如果a、b、c为正数，则≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．3定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an 为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．n3．证明不等式的3种基本方法(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种．(2)用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．1．(2022·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2．证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4．3a＋b23a＋b3(2)因为(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，4433223所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2．112．(2022·全国甲卷)已知函数f(某)＝|某－|＋|某＋|，M为不等式f(某)<2的解集．22(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|11(1)解：f(某)＝1，－21－2某，某≤－，2当某≤－时，由f(某)<2得－2某<2，解得某>－1；211当－22当某≥时，由f(某)<2得2某<2，解得某<1．2所以f(某)<2的解集M＝{某|－1(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1因此|a＋b|1．(2022·全国卷Ⅲ)已知函数f(某)＝|某＋1|－|某－2|．(1)求不等式f(某)≥1的解集；(2)若不等式f(某)≥某2－某＋m的解集非空，求m的取值范围．－3，某＜－1，解：(1)f(某)＝2某－1，－1≤某≤2，3，某＞2.当某＜－1时，f(某)≥1无解；当－1≤某≤2时，由f(某)≥1，得2某－1≥1，解得1≤某≤2；当某＞2时，由f(某)≥1，解得某＞2．所以f(某)≥1的解集为{某|某≥1}．(2)由f(某)≥某2－某＋m，得m≤|某＋1|－|某－2|－某2＋某．而|某＋1|－|某－2|－某2＋某≤|某|＋1＋|某|－2－某2＋|某|355|某|－2＋≤，＝－24435且当某＝时，|某＋1|－|某－2|－某2＋某＝，245－∞，．故m的取值范围为42．(2022·莆田一模)已知函数f(某)＝|某－4|＋|某－2|．(1)求不等式f(某)＞2的解集；(2)设f(某)的最小值为M，若2某＋a≥M的解集包含[0,1]，求a的取值范围．6－2某，某≤2解：(1)f(某)＝|某－4|＋|某－2|＝2，2＜某＜4.2某－6，某≥4∴当某≤2时，f(某)＞2,6－2某＞2，解得某＜2；当2＜某＜4时，f(某)＞2得2＞2，无解；当某≥4时，f(某)＞2得2某－6＞2，解得某＞4．所以不等式f(某)＞2的解集为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(2)∵|某－4|＋|某－2|≥2，∴M＝2，∵2某＋a≥M的解集包含[0,1]，∴20＋a≥2,21＋a≥2，∴a≥1．故a的取值范围为[1，＋∞)．3．(2022·濮阳一模)已知函数f(某)＝|某－1|，不等式f(某＋5)≤3m(m＞0)的解集为[－7，－1](1)求m的值；(2)已知a＞0，b＞0，且2a2＋b2＝3m，求2a1＋b2的最大值．解：(1)函数f(某)＝|某－1|，不等式f(某＋5)≤3m(m＞0)，即|某＋4|≤3m，即－3m≤某＋4≤3m，即－4－3m≤某≤3m－4，即不等式的解集为[－4－3m,3m－4]．－4－3m＝－7再根据它的解集为[－7，－1]，可得，3m－4＝－1∴m＝1．(2)已知a＞0，b＞0，且2a2＋b2＝3m＝3，2a2＋1＋b2∴2a1＋b＝2·2a·1＋b≤2·＝22，222当且仅当2a＝1＋b2时，即a＝b＝1时，等号成立，故2a1＋b2的最大值为22．4．(2022·清远一模)已知不等式|某＋3|－2某－1＜0的解集为(某0，＋∞)．(1)求某0的值；(2)若函数f(某)＝|某－m|＋|某＋|－某0(m＞0)有零点，求实数m 的值．m某≤－3解：(1)不等式转化为－某＋3－2某－1＜0某＞－3或，某＋3－2某－1＜0解得某＞2，∴某0＝2．11某＋－某0(m＞0)有零点，等价于|某－m|＋|某＋|＝2(m＞0)有(2)由题意f(某)＝|某－m|＋mm解，111∵|某－m|＋|某＋|≥m＋，当且仅当(某－m)(某＋)≤0时取等号，mmm11∵|某－m|＋|某＋|＝2(m＞0)有解，∴m＋≤2，mm11∵m＋≥2，∴m＋＝2，∴m＝1mm5．(2022·汕头一模)已知函数f(某)＝|某－2|＋|2某＋a|，a∈R．(1)当a＝1时，解不等式f(某)≥5；(2)若存在某0满足f(某0)＋|某0－2|＞3，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(某)＝|某－2|＋|2某＋1|，由f(某)≥5得|某－2|＋|2某＋1|≥5．当某≥2时，不等式等价于某－2＋2某＋1≥5，解得某≥2，所以某≥2;当－＜某＜2时，不等式等价于2－某＋2某＋1≥5，2即某≥2，所以此时不等式无解；当某≤－时，不等式等价于2－某－2某－1≥5，244解得某≤－，所以某≤－．334－∞，－∪[2，＋∞)．所以原不等式的解集为3(2)f(某0)＋|某0－2|＝2|某0－2|＋|2某0＋a|＝|2某0－4|＋|2某0＋a|≥|2某0＋a－(2某0－4)|＝|a＋4|，因为原命题等价于(f(某0)＋|某0－2|)min＞3，所以|a＋4|＞3，所以a的取值范围为a＜－7或a＞－1．86．(2022·梅州一模)设函数f(某)＝|某＋|＋|某－2m|(m＞0)．m(1)求证：f(某)≥8恒成立；(2)求使得不等式f(1)＞10成立的实数m的取值范围．8(1)证明：函数f(某)＝|某＋|＋|某－2m|(m＞0)，m8888∴f(某)＝|某＋|＋|某－2m|≥|某＋－(某－2m)|＝|＋2m|＝＋2m≥2mmmm 当且仅当m＝2时，取等号，故f(某)≥8恒成立．8(2)解：f(1)＝|1＋|＋|1－2m|，m1当m＞时，288f(1)＝1＋－(1－2m)，不等式即＋2m＞10，mm化简为m2－5m＋4＞0，求得m＜1或m＞4，故此时m的范围为2，1∪(4，＋∞)．188当0＜m≤时，f(1)＝1＋＋(1－2m)＝2＋－2m关于变量m单调递减，2mm1故当m＝时，f(1)取得最小值为17，2故不等式f(1)＞10恒成立．综上可得，m的范围为(0,1)∪(4，＋∞)．8·2m＝8，m。
高考数学第二轮复习不等式含详解
2009年高考数学第二轮执点专题测试：不等式（含详解）2、已知集合{1,1}M=-，1{|22,}4x N x x Z -=<<∈则M N =I （ ） (A) {1,1}- (B) {1}- (C) {1}(D) {1,0}-3、设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①22(3)2611a a a +>++；②)1(222--≥+b a b a ；③3322a b a b ab +>+；④2>+abb a 。
上述4个式子中恒成立的有 （ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4、对于实数a b 、，“()0b b a -≤”是“1ab≥”成立的( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件5、若关于x 的不等式4)1(42+≤+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有 （ ）A ．2∈M ，0∉MB ．2∉M ，0∉MC ．2∉M ，0∈MD ．2∈M ，0∈M6、函数y ＝)3(2log x x -的定义域是（ ）（A ）{x ∣0＜x ＜3} （B ）{x ∣x<0或x ＞3} （C ）{x ∣x ≤0或x ≥3} （D ）{x ∣0≤x ≤3} 7、已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （ ）(A)21≤ab (B) 21≥ab (C) 322≤+b a (D) 222≥+b a 8、若不等式f （x ）＝2ax x c --＞0的解集{}|21x x -<<，则函数y ＝f （－x ）的图象为（ ）9．若直线）0,(022>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ba 11+的最小值是（ ）A ．4B ．2C ．41 D ．21 10、若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( ) A ．34B ．1C ．74D ．511、若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 12、已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，则事件A 发生的概率为（ ） （A ）165 （B ）83 （C ）85 （D ）87 二、填空题13、集合{}2|430A x x x =-+<，{}|(2)(4)0B x x x =--<，则A B =I ．14、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ．15、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为＿＿＿16、若不等式142x x a +--≥0在[1，2]上恒成立，则a 的取值范围为 ．三、解答题17、记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．18、如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为,x y (单位:米)的矩形,上部是斜边长为x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米. （Ⅰ）求,x y 的关系式，并求x 的取值范围； （Ⅱ）问,x y 分别为多少时用料最省?19、某物流公司购买了一块长30AM =米，宽20AN =米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．（1）要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？（2）若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计） 20、某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备？MCB A21、命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，命题:q 实数x 满足260x x --≤或2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．22、某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造解：由11224x -<<，得211222x --<<，即,－2＜x －1＜1，即－1＜x ＜2，又x ∈Z ，所以x 为0，1，即N ＝{0，1}，故可选（C ）。
高考数学 (理科)二轮复习【专题8】不等式选讲(含答案)
第4讲 不等式选讲考情解读 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．考查形式以解答题为主，难度中等．1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 3．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N*)为实数，则(∑ni ＝1ai2)(∑ni ＝1b i2)≥(∑ni ＝1a ib i )2，当且仅当b i ＝0 (i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 5．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.热点一 含绝对值不等式的解法例1 (20xx·辽宁)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4， 解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．(20xx·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知， 当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， ∴原不等式的解集是{x |0<x <2}． (2)∵a >－1，则－a 2<12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ⎝⎛⎭⎫x <－a2a ＋1 ⎝⎛⎭⎫－a 2≤x <124x ＋a －1 ⎝⎛⎭⎫x ≥12当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43. 热点二 不等式的证明 例2 求证下列不等式：(1)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2；(3)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .证明 (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2·(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2)． ∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>0. ∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0. ∴3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. (2)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2，∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.(3)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ， a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ， 4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ， ∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .思维升华 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．(20xx·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 热点三 利用算术—几何平均不等式或柯西不等式证明或求最值例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立；(2)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解 (1)方法一 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )－13，所以(1a ＋1b ＋1c)2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立． 方法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ， c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立． (2)方法一 利用算术—几何平均不等式 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1 ≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)] ＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2. 方法二 利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a＋1)2＋(3b＋1)2＋(3c＋1)2]≥(1·3a＋1＋1·3b＋1＋1·3c＋1)2∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．又∵a＋b＋c＝1，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤18，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32，当且仅当3a＋1＝3b＋1＝3c＋1时，等号成立．∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝3 2.思维升华利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．(1)(20xx·福建)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.(1)解因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.1．对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．2．使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6.3．易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术一几何平均不等式、柯西不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件.真题感悟1．(20xx·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)·(1＋x2＋y)≥9xy.证明 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .2．(20xx·湖南改编)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，求a 的值．解 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.押题精练1．已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2 (a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1、2的距离之和大于等于2. ∴x ≥52或x ≤12.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥52.注：也可用零点分段法求解． (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0，又a >0，∴a ≥4.2．设a ，b ，c 均为正实数，试证明不等式12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，并说明等号成立的条件．解 因为a ，b ，c 均为正实数， 所以12⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ， 当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ， 当且仅当b ＝c 时等号成立；12⎝⎛⎭⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a ， 当且仅当a ＝c 时等号成立． 三个不等式相加，得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ， 当且仅当a＝b ＝c 时等号成立.(推荐时间：60分钟)1．(20xx·重庆改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]．2．(20xx·福建)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号， 所以f (x )的最小值为3.3．(20xx·课标全国Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42， 且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 4．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}．由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.5．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值． 解 由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，① 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，解得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.6．(20xx·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明 由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥ ⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是(1＋52，5＋212)．7．已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围． 解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2] ≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2 即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2， ∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立． ∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}．8．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4；当x >1时，由2x <4，得1<x <2.∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2,2)． (2)证明 ∵a ，b ∈M ，即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》知识点总复习附解析
高考数学《不等式选讲》练习题一、141．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}． 故选：B ． 【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
【详解】由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是{}06a a a ≤≥或，故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。
3．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D 【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．4．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．40【答案】B 【解析】 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.5．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ） A ．平行或垂直 B ．平行C ．异面D ．垂直【答案】C 【解析】 【分析】利用反证法证明得解. 【详解】不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，， 由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面， 设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，①当b α⊂时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α⊂，而这与c d ，为异面直线矛盾；②当b α⊄时，由a b ∥可知b P α，又c α⊂，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》专项训练及答案
【高中数学】高考数学《不等式选讲》解析一、141．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。
2．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ） A ．45[,)33B ．2112(,][,)3333--⋃ C ．12[,)33⋃45(,]33D ．随a 的值而变化【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=13，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-，又当203x <≤时,()f x 单调递增，∴11113(1)()(1)(){23313x f x f f x f x ->->⇔->⇔-≤，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33⋃45(,]33，故选C考点：本题考查了抽象函数的运用点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用3．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.4．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x ax a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立， 变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.5．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ） AB ．13C．2D【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，22||OM a b =+，根据柯西不等式得到a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，22||OM a b =+，所以222222291||()()(31)4OM a b a b a b=+=+++=…，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，6e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．6．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。
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(六)不等式选讲
1．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－|x －1|.
(1)当a ＝2时，求不等式0<f (x )≤1的解集；
(2)若∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤a 2－3，求a 的取值范围．
解 (1)当a ＝2时，
因为f (x )＝|x －2|－|x －1|≤|(x －2)－(x －1)|＝1，
所以f (x )≤1的解集为R ；
由f (x )>0，得|x －2|>|x －1|，
则|x －2|2>|x －1|2，
即x 2－4x ＋4>x 2－2x ＋1，
解得x <32
. 故不等式0<f (x )≤1的解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，32. (2)当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，
f (x )＝x －a －|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－a ，x ≥1，2x －a －1，0<x <1， 则f (x )max ＝1－a ≤a 2
－3， 又a ≤0，所以a ≤－1＋172； 当0<a <1，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝1－a >0>a 2－3，
故0<a <1不合题意；
当a ≥1，x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝|x －a |－|x －1|≤|(x －a )－(x －1)|
＝|a －1|＝a －1，
当且仅当0<x ≤1时等号成立，
则a 2
－3≥a －1，
又a ≥1，所以a ≥2.
综上，a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－1＋172∪[2，＋∞)． 2．(2018·滨州、淄博模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|2x ＋1|.
(1)解不等式f (x )≤2；
(2)若∃b ∈R ，不等式|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≤－12，
1－3x ，－12<x <2，－x －3，x ≥2， 原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，x ＋3≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <2，1－3x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，－x －3≤2，
解得x ≤－1或－13
≤x <2或x ≥2， 综上所述，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－1或x ≥－13. (2)∃b ∈R ，|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立等价于
(|a ＋b |－|a －b |)max ≥f (x )max .
因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，
所以|a ＋b |－|a －b |的最大值为2|a |；
当x ≤－12时，f (x )≤52
； 当－12<x <2时，－5<f (x )<52
； 当x ≥2时，f (x )≤－5，
所以f (x )max ＝52
， 所以由原不等式恒成立，得2|a |≥52
， 解得a ≥54或a ≤－54
. 即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫54，＋∞. 3．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|(x ∈R )．
(1)解不等式f (x )≤1；
(2)设函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为m ，且a ＋b ＝m (a ，b >0)，求4a ＋1b
的取值范围． 解 (1)由f (x )≤1，
即|2x ＋1|≤1，得－1≤2x ＋1≤1，
解得x ∈[－1,0]．
即不等式的解集为{x |－1≤x ≤0}．
(2)g (x )＝f (x )＋f (x －1)＝|2x ＋1|＋|2x －1|
≥|2x ＋1－(2x －1)|＝2，
当且仅当(2x ＋1)(2x －1)≤0，
即－12≤x ≤12
时取等号， ∴m ＝2.
∴a ＋b ＝2(a ，b >0)，
∴4a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24b a ·a b ＝92
， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0，4b a ＝a b ，a ＋b ＝2，即a ＝43，b ＝23
时等号成立， 综上，4a ＋1b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫92，＋∞. 4．(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝3|x －a |＋|3x ＋1|，g (x )＝|4x －1|－|x ＋2|.
(1)求不等式g (x )<6的解集；
(2)若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)和g (x 2)互为相反数，求a 的取值范围．
解 (1)由题意可得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3，x ≤－2，－5x －1，－2<x <14，3x －3，x ≥14
， 当x ≤－2时，g (x )＝－3x ＋3<6，得x >－1，无解； 当－2<x <14时，g (x )＝－5x －1<6，得x >－75
， 即－75<x <14
； 当x ≥14时，g (x )＝3x －3<6，得x <3，即14
≤x <3. 综上，g (x )<6的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －75<x <3. (2)因为存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)＝－g (x 2)成立，
所以{y |y ＝f (x )，x ∈R }∩{y |y ＝－g (x )，x ∈R }≠∅，
又f (x )＝3|x －a |＋|3x ＋1|
≥|(3x －3a )－(3x ＋1)|＝|3a ＋1|，
当且仅当(3x －3a )(3x ＋1)≤0时取等号．
由(1)可知，g (x )∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－94，＋∞， 则－g (x )∈⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，94， 所以|3a ＋1|≤94，解得－1312≤a ≤512
. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1312，512. 5．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M .
(1)求M ；
(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )．
(1)解 将f (x )＝|x ＋4|代入不等式，
整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.
①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8，
解得x <－103
，所以x ≤－4； ②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，
解得x <－2，所以－4<x <－2；
③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8，
解得x >2，所以x >2.
综上，M ＝{x |x <－2或x >2}．
(2)证明 因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |， 所以要证f (ab )>f (2a )－f (－2b )，
只需证|ab ＋4|>|2a ＋2b |，
即证(ab ＋4)2>(2a ＋2b )2
，
即证a 2b 2＋8ab ＋16>4a 2＋8ab ＋4b 2，
即证a 2b 2－4a 2－4b 2＋16>0，
即证(a 2－4)(b 2－4)>0，
因为a ，b ∈M ，所以a 2>4，b 2>4，
所以(a 2－4)(b 2－4)>0成立，
所以原不等式成立．。