高三数学(理科)押题精练：专题【2】《函数与导数》ppt课件.
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高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件.ppt
3．函数 f(x)的导函数 fx＋Δx－fx
称函数 f′(x)＝□9 __Δl_ixm→_0_______Δ_x_____为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′。
6
4．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f(x)＝ex
处的导数，记作
f′(x0)或
y′|x＝x ，即 0
f′(x0)＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝□5
5
(2)几何意义
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点□6 _(_x_0_，__f(_x_0)_)___ 处的□7 ___切__线__的__斜__率______。相应地，切线方程为□8 _y_－__y_0_＝__f′__(_x_0)_(_x_－_x_0_)__。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 fx2－fx1
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为□1 ____x_2－__x_1__，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)
Δy
－f(x1)，则平均变化率可表示为□2 __Δ__x____。
7
5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝□18 ___f′ __(_x_)_±_g_′__(x_)_____； (2)[f(x)g(x)]′＝□19 __f′__(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g_′__(_x_)_； (3)gfxx′＝□20 _f_′__x__g_[_xg_－_x_f]_2x__g_′___x__(g(x)≠0)。
称函数 f′(x)＝□9 __Δl_ixm→_0_______Δ_x_____为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′。
6
4．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f(x)＝ex
处的导数，记作
f′(x0)或
y′|x＝x ，即 0
f′(x0)＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝□5
5
(2)几何意义
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点□6 _(_x_0_，__f(_x_0)_)___ 处的□7 ___切__线__的__斜__率______。相应地，切线方程为□8 _y_－__y_0_＝__f′__(_x_0)_(_x_－_x_0_)__。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 fx2－fx1
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为□1 ____x_2－__x_1__，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)
Δy
－f(x1)，则平均变化率可表示为□2 __Δ__x____。
7
5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝□18 ___f′ __(_x_)_±_g_′__(x_)_____； (2)[f(x)g(x)]′＝□19 __f′__(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g_′__(_x_)_； (3)gfxx′＝□20 _f_′__x__g_[_xg_－_x_f]_2x__g_′___x__(g(x)≠0)。
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性课件.ppt
2 个性质——奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0。 (2)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝ 奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
8
3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称。 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝f(x)(其中 a＜b)，则 y ＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数， 其中一个周期为 T＝2|a－b|。
那么函数 f(x)就叫做奇函数。
(3)奇函数的图象关于□3 ___原__点_____对称；偶函数的图象关于□4 ___y__轴_______对
称。
5
2．奇函数、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性□5 相__同__，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性□6 ___相__反___。
答案：13
13
5．设函数 f(x)＝x3cosx＋1。若 f(a)＝11，则 f(－a)＝__________。 解析：令 g(x)＝f(x)－1＝x3cosx， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)， ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数。又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10。 又 g(－a)＝f(－a)－1， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9。 答案：－9
8
3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称。 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝f(x)(其中 a＜b)，则 y ＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数， 其中一个周期为 T＝2|a－b|。
那么函数 f(x)就叫做奇函数。
(3)奇函数的图象关于□3 ___原__点_____对称；偶函数的图象关于□4 ___y__轴_______对
称。
5
2．奇函数、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性□5 相__同__，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性□6 ___相__反___。
答案：13
13
5．设函数 f(x)＝x3cosx＋1。若 f(a)＝11，则 f(－a)＝__________。 解析：令 g(x)＝f(x)－1＝x3cosx， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)， ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数。又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10。 又 g(－a)＝f(－a)－1， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9。 答案：－9
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 导数的应用(二)课件.ppt
答案：C
8
2．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞2，则 f(x)＞2x
＋4 的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：令函数 g(x)＝f(x)－2x－4，则 g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此，g(x)在 R 上是 增函数，又 g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0。所以，原不等式可化为 g(x)＞g(－1)， 由 g(x)的单调性，可得 x＞－1。
5
1 个构造——构造函数解决问题 把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时 常用的方法。
2 个转化——不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要 注意分类讨论和数形结合思想的应用。 (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理。
答案：(－∞，0)
11
5．设函数 f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意 x∈[－1,1]，都有 f(x)≥0 成立， 则实数 a 的值为__________。
解析：若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立。 当 x＞0，即 x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥x32－x13。 设 g(x)＝x32－x13，则 g′(x)＝31－x4 2x， 所以 g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减， 因此 g(x)max＝g12＝4，从而 a≥4。 当 x＜0，即 x∈[－1,0]时，同理，a≤x32－x13。 g(x)在区间[－1,0)上单调递增， 所以 g(x)min＝g(－1)＝4， 从而 a≤4，综上，可知 a＝4。 答案：4
8
2．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞2，则 f(x)＞2x
＋4 的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：令函数 g(x)＝f(x)－2x－4，则 g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此，g(x)在 R 上是 增函数，又 g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0。所以，原不等式可化为 g(x)＞g(－1)， 由 g(x)的单调性，可得 x＞－1。
5
1 个构造——构造函数解决问题 把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时 常用的方法。
2 个转化——不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要 注意分类讨论和数形结合思想的应用。 (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理。
答案：(－∞，0)
11
5．设函数 f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意 x∈[－1,1]，都有 f(x)≥0 成立， 则实数 a 的值为__________。
解析：若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立。 当 x＞0，即 x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥x32－x13。 设 g(x)＝x32－x13，则 g′(x)＝31－x4 2x， 所以 g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减， 因此 g(x)max＝g12＝4，从而 a≥4。 当 x＜0，即 x∈[－1,0]时，同理，a≤x32－x13。 g(x)在区间[－1,0)上单调递增， 所以 g(x)min＝g(－1)＝4， 从而 a≤4，综上，可知 a＝4。 答案：4
高三数学(理科)二轮(专题2)《函数与导数1-2-2》ppt课件
时，w 最大，为 808.5；当 40≤t≤100(t∈N)时，w＝f(t)g(t)＝－2t ＋52 山
×－3t＋1309＝61t2－2613t＋52×3109，对称轴为 t＝2213，故当 t＝40 时，w
东 金 太
阳
最大，为 736.综上，这种商品的日销售额的最大值为 808.5.
书
业
答案：B
有
司
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析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
课时 跟踪 训练
高考专题复习 ·数学（理）
热点三 函数在实际问题中的应用
[命题方向]
以二次函数模型、分段函数模型为载体，以实际生产、生活为背
景，求函数的最值问题，以解答题为主． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
菜 单 隐藏
析热点 高考 聚集
山 东
金
y＝|log2x|和
y＝12x 的图象，由图象可知有
2
个交点，即函数有
2
个零点．
太 阳 书
答案：C
业 有
限
公
司
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高考专题复习 ·数学（理）
析热点 高考 聚集
研思想
方法 提升
课时 跟踪
3．设函数 f(x)＝l4oxg，2xx，≤x0＞0 ，则 f[f(－1)]＝________；若函数 g(x)
B项，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求；C项，函数
山 东
定义域为(0，＋∞)，不符合要求；D项，函数定义域为R，但在(－∞，
金 太
0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不符合要求．
阳 书
答案：B
业
有
限
公
司
高中数学PPT课件-函数的单调性与导数
新知探究
解 当1<x<4时，f′ (x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增； 当x>4或x<1时，f′ (x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减； 当x=4或x=1时，f′ (x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数f(x)图像的大致形状如右图所示.
y y=f(x)
O1
4
x
课堂练习
讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性. 解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0, 解得x>3或x<1, 因此,当 x (,1) 或 x (3, ) 时， f(x)是增函数. 令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当 x (1, 3) 时, f(x)是减函数.
因此,函数 f x = x3 + 3x 在x R 上单调递增 ,如图1.3 - 51所示.
y
fx x3 3x
o x
图1.3 51
新知探究
2因为f x = x2 - 2x - 3, 所以f ' x = 2x - 2 = 2x - 1. 当f ' x > 0,即x > 1时,函数f x = x2 - 2x - 3单调递增; 当f ' x < 0,即x < 1时,函数f x = x2 - 2x - 3单调递减. 函数f x = x2 - 2x - 3的图象如图1.3 - 52所示.
y
o
x
新知探究
例4 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
1 f x = x3 + 3x; 2 f x = x2 - 2x - 3 ; 3 f x = sinx - x, x 0, π ; 4 f x = 2x3 + 3x2 - 24x + 1.
高三数学专项训练：函数与导数,解析几何解答题(二)(理科)
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点 的直线与椭圆交于不同的两点 、 ，则 内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中 、 是过抛物线 焦点 的两条弦，且其焦点 ， ，点 为 轴上一点，记 ，其中 为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时， 为常数，且 ， ，求 的取值范围.
5．已知函数 ，函数 ．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间 上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列 是公差为1．首项为l的等差数列，数列 的前n项和为 ，求证：当 时， .
41．（13分） 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为 ，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足 ＝ ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为 ，点P的坐标是(0，－1)， 与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点 及 ，点 在以 、 为焦点的椭圆 上，且 、 、 构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，点 是直线 上的两点，且 ，
． 求四边形 面积 的最大值．
（2）过右焦点 的直线与椭圆交于不同的两点 、 ，则 内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中 、 是过抛物线 焦点 的两条弦，且其焦点 ， ，点 为 轴上一点，记 ，其中 为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时， 为常数，且 ， ，求 的取值范围.
5．已知函数 ，函数 ．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间 上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列 是公差为1．首项为l的等差数列，数列 的前n项和为 ，求证：当 时， .
41．（13分） 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为 ，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足 ＝ ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为 ，点P的坐标是(0，－1)， 与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点 及 ，点 在以 、 为焦点的椭圆 上，且 、 、 构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，点 是直线 上的两点，且 ，
． 求四边形 面积 的最大值．
高三数学高考复习 《函数与导数》综合问题复习建议 课件(共31张PPT)
关于函数与导数
• 求解步骤（方法显性化，把握大方向）
– 分析问题：归类、联系
– 构建函数：确定研究对象，不要僵化，可能是局 部函数，也可能需要用化归的思想（将复杂的， 困难的问题转化为简单的，容易的，熟悉的问 题），也可能需要进行适当变形 – 研究函数：由性质得草图（比单纯描点效率高）
– 解决问题：看图说话，用形思考（但不能以图代 证），用数说理
《函数与导数》综合问题复习建议
内容提纲
1
关于《函数与导数》
2
举例说明
几点建议
3
关于函数与导数
• 为什么研究函数？
– 出于实际需要：生活中的变化无处不在，运动 是绝对的，静止是相对的，用函数来刻画变量 之间的依赖关系 – 数学建模的过程： 实际 情境 提出 问题 分析 问题
建立 模型
Hale Waihona Puke 确定 参数计算 求解
举例：“适当变形”选择研究对象
• 何时变形？
– 当研究对象的形式或问题的求解过程比较复杂 时：如需多于两次求导，或需分很多情况讨论
• 怎样变形？
– 变形以提取局部函数； – 分离变量（为避免讨论，但前提是方便分离且 分离后的函数方便研究性质）； – 方程、不等式的等价转化
例 设函数 f ( x) x ln x . （1）若对任意 x (0, ) ， 2 f ( x) x2 ax 3 恒成立，求 a 的取值范围.
（17 北京理）已知函数 f ( x) e x cos x x ． （Ⅰ）求曲线 y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
π （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值． 2
关于函数与导数
高三数学二轮复习第一篇专题突破专题二函数与导数刺第3讲导数及其应用第1课时导数与函数性质ppt课件文
则
x1
x2
12m m
1 22, m
x1x2 1,
所以0<x1<1<x2,其中x1=12,xm2= 1,4m 12m 14m
2m
2m
此时,函数F(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减.
综上所述,当m≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减;当0<m< 1
4
1上2m 单 2m 调1递4减m;,12m 2m 14m
典型例题
(2017课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 解析 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). ①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增. ②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0. 故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.
A.
1 2
,
B.
1 2
,
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
答案 D f '(x)=1 +2ax=2 a x 2 (x1>0),根据题意有f '(x)≥0(x>0)恒成
x
x
立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即2a≥- x1 2 (x>0)恒成立,所以a≥0,故实数
2025年高考数学一轮复习-函数与导数【课件】
5.导数的概念及几何意义
Δy
Δy
(1)如果当Δx→0时，平均变化率_Δ_x_无限趋近于一个确定的值，即_Δ_x_有
极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0 处的 导数 (也称 瞬时变化率 )，记作 f′(x0) 或 y′|x＝x0 ，
Δy 即f′(x0)＝_Δl_ix_m→_0 _Δ_x__
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线 x＝ 2 对称. (3)f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点a＋2 b，0对称.
4.函数图象平移变换的相关结论 (1)把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移， c<0时向右平移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数). (2)把y＝f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移， b<0时向下平移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数).
5.函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的a倍，
而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a>0)的图象. (2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩短(b>1)到原来的 1b， 而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b>0)的图象.
PART TWO
常用结论
1.函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数. (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区 间上有相反的单调性. (3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关 于y轴对称.
《函数与导数》专题(理科).pptx
2
/(x)=-x3-8x,由/'(x)=2χ2-8v(),(-l≤χ≤l),
即f(x)递减，x∈[-l,l]
・・・当X∈[TJ时，(Z(X))max=/(-1)，(∕ω)min=/(1),
44
Λ∣∕(x,)-/(X2)l≤/(一1)-/(D=y>(-l≤x1,x2≤l).
9 解： (
1
)
x>0
∕∙(x)=l-(√7)'+(-1.y=-!---1.—1=-―=(G-D2≤o
(2)^xl9x2∈[-l,l],求证：If(M)--(W)K*
(1)判定函数F(X)的单调性:
(2)设0>l,证明:
10.设函数f(x)定义域为R,对于任意实数x,M总有∕α+y)=∕(x)∙∕(y),且当x>0时，0<∕*)vl (1)求/(0)的值； (2)证明：当XV。时，f(x)>1； (3)证明：/(x)在R上单调递减，并举两个满足上述条件的函数/*)； (4)若M=｛yIf(y)∕(l—α)≥/(1)｝,N=[y∣∕(ox2+x+1-y)=1,x∈/?｝,且 "Γ)N=。试求4的取值范围. 参考答案 ,4_1 1.解：(1)由题意得：∖a'υ~4解得：a=4-5fb=4； ah5=1 f(n)=4n^5,=Iog2/(11)=2∕7-1。 •・・{4}为等差数列 ∙*∙Sn=](q+%)=〃(〃-9) 由凡∙S,,≤0得11(∕7-5)(n-9)≤0
：.a=∖t从而f(x)=X2+2x+1,
.G、［(x+l)2 (x>0)
-(x+l)2
(x<0)
C］ C1.
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2.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，
即函数的定义域问题.
[问题2] －x2(x∈[－1,1]) 已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝1 _______________.
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3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不
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2 [问题 5] 设 f(x)＝lg1－x＋a是奇函数，且在 x＝0 处
有意义，则该函数为(
)
A.(－∞，＋∞)上的减函数 B.(－∞，＋∞)上的增函数 C.(－1,1)上的减函数 D.(－1,1)上的增函数
x 1 ∴其值域为 y∈ ，1. 2
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x
1 方法二 y＝1－ x ，∵x≥0， 2 ＋1
1 1 ∴0< x ≤ ， 2 ＋1 2
1 ∴y∈ ，1. 2
答案
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专题二
函数与导数
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函数与导数
要点回扣
易错警示
查缺补漏
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要点回扣
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量 x的代数式有意 义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数.
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数.
(3) 基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的
函数.
(4)导数法：适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围).
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函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，
故f(x)＝y1－y2是增函数.选D. 答案 D
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6.求函数单调区间时，多个接，可用“及”连接，或用“，
4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点
对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使
定义域不受影响.
[ 问 题 4]
lg1－x f(x) ＝ 是 ________ 函 数 ( 填 |x－2|－2
2
“奇”“偶”或“非奇非偶”).
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解析 由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0， 解得a＝－1，
1＋x 故 f(x)＝lg ，函数 f(x)的定义域是(－1,1)， 1－x 1＋x 在此定义域内 f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)， 1－x
” 隔开 . 单调区间必须是 “ 区间 ” ，而不能用集合
或不等式代替.
1 (－∞，0)， [问题 6] 函数 f(x)＝ 的减区间为___________ x __________.
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(0，＋∞)
7.求函数最值(值域)常用的方法：
5.弄清函数奇偶性的性质 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性， 则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区
间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|).
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
故 “f(0) ＝ 0” 是 “f(x) 为奇函数 ” 的既不充分也不 必要条件.
1 ， 1 2
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8.函数图象的几种常见变换
(1) 平移变换：左右平移 ——“ 左加右减 ”( 注意是 针对x而言)；上下平移——“上加下减”. (2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|). (3) 对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图 象上任意点关于对称中心 (轴)的对称点仍在图象上；
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1－x2>0， 解析 由 得定义域为(－1,0)∪(0,1)， |x－2|－2≠0
lg1－x lg1－x f(x)＝ ＝ . －x－2－2 －x
∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数.
答案
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2
2
奇
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(6)分离常数法：适合于一次分式. (7) 有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数 或正、余弦函数的式子 . 无论用什么方法求最值， 都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法， 并且要优先考虑定义域.
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2 [问题 7] 函数 y＝ x (x≥0)的值域为________. 2 ＋1 y 解析 方法一 ∵x≥0，∴2 ≥1，∴ ≥1， 1－ y 1 解得 ≤y<1. 2
数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，
应列出所有的不等式，不应遗漏. 对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范 围就完全相同.
[问题1] 函数y＝ log 1
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1 0 ， 的定义域是 ________. x2 4
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同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，
而不是几个函数.
x 1 e ，x<0， [问题 3] 已知函数 f(x)＝ 则 ff ＝ e ln x，x>0，
1 e ________.
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