最新高三数学专题复习资料直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考纲下载1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种研究方法：2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数有何关系？提示：当两圆外离时，有4条公切线；当两圆外切时，有3条公切线；当两圆相交时，有2条公切线；当两圆内切时，有1条公切线；当两圆内含时，没有公切线．2．若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( )A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离解析：选B 依题意圆心(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝0，所以直线过圆心．12122．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切 B．相交 C．外切 D．相离解析：选B 两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：选D 因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，所以所得弦长|AB|＝2.4．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是____________．解析：依题意知2k 212>1，解得－3<k < 3.答案：(－3，3)5．已知直线5x ＋12y ＋m ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则m ＝________. 解析：由圆x 2－2x ＋y 2＝0，得(x －1)2＋y 2＝1，则圆心为(1,0)，半径为r ＝1.由于直线和圆相切，则|5＋m |52＋122＝1，得m ＝8或－18. 答案：8或－18[例1] (1)(B.陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(A.温州模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是________________．[自主解答] (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b2<1，所以直线与圆相交．(2)把圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12k 2＋(y ＋1)2＝16－34k 2，所以16－34k 2>0，解得－833<k <833，由题易知点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，即(k －2)·(k ＋3)>0， 解得k >2或k <－3，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，833. [答案] (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，8331．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 解析：选B 法一：由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得x 2＋x ＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝1>0，所以直线与圆相交．又圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心． 法二：圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22. 因为0<22<1，所以直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交但直线不过圆心．2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( )A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选D 圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径长r2＝1.∴d＝1－221－12＝13，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．[例2] (1)(A.浙江高考)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2 B．－4 C．－6 D．－8(2)(B.江西高考)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )A.33B．－33C．±33D．－ 3[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圆心C(－1,1)，半径r满足r2＝2－a，则圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝21＋1＝2，所以r2＝4＋2＝2－a⇒a＝－4.(2)由于y＝1－x2，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12×1×1×sin ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33.[答案] (1)B (2)B 方法规律计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝1＋k 2[x A ＋x B2－4x A x B ].1．直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．解析：法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程 ⎩⎨⎧y ＝x ，x2y －22＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2－022－02＝2 2.答案：2 22．(A.绍兴模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝01．与圆有关的切线问题，是近年来高考在本节命题的一个热点问题，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中、低档题目．2．高考对圆的切线问题的考查主要有以下几个命题角度： (1)过圆上一点求圆的切线方程； (2)过圆外一点求圆的切线方程； (3)与切线长有关的问题； (4)与切线夹角有关的问题．[例3] (1)(A.杭州模拟)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．(2)(B.江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．①若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； ②若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[自主解答] (1)如图所示， |OP |＝|OA |sin ∠OPA＝2，设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．(2)①由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 依题意知，|3k －2＋3|k 2＋1＝1， 所以k ＝0或－34，因此，切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即切线方程为y －3＝0或3x ＋4y －12＝0. ②因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 22a －32≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为0，125. [答案] (1)(2，2)与圆的切线有关的问题的常见类型与解题策略(1)过圆上一点求圆的切线方程．首先考虑切线斜率不存在时，是否符合要求，其次考虑斜率存在时，由直线与圆相切，求出斜率k ，进而得出切线方程．(2)过圆外一点求圆的切线方程．方法同上．(3)与切线长有关的问题．解题时应注意圆心与切点的连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形，然后求解．(4)与切线有关的夹角问题．与(3)相同，利用直角三角形解决问题．1．(A.嘉兴模拟)已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 解析：选D 设圆心的坐标为(a,0)(a >0)， 又因为直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切， 所以|3a ＋4|32＋42＝2，解得a ＝2或－143(舍)，因此圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22， 即x 2＋y 2－4x ＝0.2．(A.金华模拟)圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝9 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1652C ．(x －1)2＋(y －3)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1852D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9解析：选A 设所求圆的圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3a (a >0)，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3a (a >0)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35＝3a ＋12a ＋35≥23a ×12a＋35＝3，当且仅当3a ＝12a ，即a ＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，32，半径是3，圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝9.——————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法 见本节考点二方法规律3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时，要注意过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错．前沿热点(十一) 直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、转化与化归、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例] (A.丽水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． [解题指导] (1)曲线与坐标共有三个交点，由这三点即可求出圆的方程；(2)设交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系及即可求出a 的值．[解] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，x －32y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.[名师点评] 解答本题的关键有以下几点：(1)正确找到确定圆的三个条件．(2)注意到OA⊥OB⇔＝0.(3)a的值必须满足圆C与直线x－y＋a＝0相交．1．已知直线2ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B．2C. 2D.2－1解析：选A 直线2ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线2ax＋by＝1的距离d＝12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，∴a2＝2－b22(－2≤b≤2)，则|PM|＝a2b－12＝b22－2b＋2＝2|b－2|2，∴当b＝－2时，|PM|max＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，等价于圆心到直线的距离小于1，即|c|12252<1，解得－13<c<13.答案：(－13,13)[全盘巩固]1．(A.湖南高考)若圆C1：x2＋y2＝1 与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19 C．9 D．－11解析：选C 圆C1的圆心是原点(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3,4)，半径r2＝25－m，由两圆相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9.2．(A.舟山模拟)已知M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是( )A．相切 B．相交C．相离 D．相切或相离解析：选C 因M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，故x20＋y20＜a2，圆心到直线x0x＋y0y＝a2的距离d＝|a2|x2＋y20＞|a2||a|＝a，故直线与圆相离．3．(A.杭州模拟)设m∈R，则“m＝5”是“直线l：2x－y＋m＝0与圆C：(x －1)2＋(y－2)2＝5恰好有一个公共点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 若直线与圆只有一个公共点，其充要条件为|m|5＝5⇔m＝±5，故m＝5是直线与圆有一个公共点的充分不必要条件．4．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C ．[－3，3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0解析：选B 如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.∵直线方程为y ＝kx ＋3， ∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝1，解得k ＝±33. 若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. 5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14 解析：选A 设的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79，＝3×3cos 2θ＝－7.7．(A.重庆高考)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.答案：0或68．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝10<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析：圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：49．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：因为直线l 与x ，y 轴均有交点，所以m ≠0且n ≠0，由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：310．(A.丽水模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M 、N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． 解：(1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等，∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)，∴k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过点D (2,2)，∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1，当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13，综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得，k <－17或k >1. 故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－17∪(1，＋∞)．11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：∵圆C 过原点O ， ∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x＝0，得y1＝0，y2＝4 t ；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴S△OAB＝12OA·OB＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN. ∵k MN＝－2，∴k OC＝1 2 .∴直线OC的方程是y＝12 x.∴2t＝12t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝15<5，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝95>5，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC＝ba＝－1，故b ＝－a ， 则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎨⎧m －42＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，m ＋22n －22＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意．[冲击名校]1．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，O 为坐标原点，若圆C 上存在一点Q ，使得∠OPQ ＝30°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[0,1]C ．[－2,2]D ．[0,2]解析：选D 由题意知，在△OPQ 中，|OQ |sin ∠OPQ ＝|OP |sin ∠OQP ，即1sin 30°＝|OP |sin ∠OQP ，∴|OP |≤2，又P (x 0，x 0－2)，∴x 20＋(x 0－2)2≤4，解得x 0∈[0,2]．2．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32.答案：x ＝32[高频滚动]1．设s ，t 为正整数，直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t2sx －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n >1)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则数列{x n }的通项公式为x n ＝( )A.2s n ＋1B.s n ＋1C.3s n ＋1D.4sn ＋1解析：选A 由题意得直线l 1和l 2的交点是⎝⎛⎭⎪⎫s ，12t ，所以x 1＝s .过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 的方程为y ＝－t x n －1x ＋t ，与l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧t2s x －y ＝0，y ＝－tx n －1x ＋t ，消去y 可得1x ＝12s ＋1x n －1，即1x n ＝12s ＋1x n －1，所以1x n －1x n －1＝12s ，又1x 1＝1s ，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1x n 是首项为1s ，公差为12s 的等差数列，则1x n ＝1s ＋(n －1)12s ＝n ＋12s ，故x n ＝2sn ＋1.2.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F 点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4，又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E 2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)。