【三维设计】届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第十一章 离散型随机变量的均值与方差配套课时训练
【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)等差数列及其前n项和课时训练 理(含14
课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n 项和(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·泰州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 27＝12，则a 13＝________. 2．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为________． 3．(2014·镇江月考)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为________．4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．5．(2013·南通二模)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.6．(2013·常州质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．7．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 7＝13，则S 6S 7＝________.8．(2013·无锡期末)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.9．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．10．(2014·南京学情调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *.(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.2．(2014·盐城二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．3．(2014·南通一模)已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n a n －a 12.(1)求a 1；(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (3)设lg b n ＝a n ＋13n，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，请说明理由．4．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n＋2＋k (k 为常数)．(1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n∈N *都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4. 答案：42．解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17， 又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：103．解析：由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10， 所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1， 所以d ＝a 5－a 32＝5－12＝2.答案：24．解析：在等差数列{a n }中， 由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0， 所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *， 所以k ＝5或6. 答案：{5,6}5．解析：由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.答案：1056．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t2sx －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝s －t x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧t 2s x ＋y －t ＝0，t2s x －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，…猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝t n ＋1. 所以x n －y n ＝2s n ＋1－t n ＋1＝2s －tn ＋1. 法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为 2sx n－2sx n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝t n ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －t n ＋17．解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．解：(1)由a 3＝a 27 得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2.① 由a 2＝a 4＋a 6得a 1＋d ＝2a 1＋8d ， 即a 1＝－7d .② 将②代入①得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意．舍去)． 则a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40.(2)S n ＝－5n ＋n 2＝n－5n2. 不等式S n －2a n －20>0， 即n－5n2－2(－5n ＋40)－20>0， 整理得n 2－19n ＋40<0. 所以19－2012<n <19＋2012.因为n ∈N *，则19－142≤n ≤19＋142，即52≤n ≤332. 所以所求n 的集合为{3,4，…，16}．10．解：(1)在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2.因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a . 因为数列{a n }是等差数列， 所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3. 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n n ＋2，S n －1＝3nn －2满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1.所以a ＝3.(2)由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1 得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ， 故(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n . 因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2(n ≥2)， ① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2.② ②－①得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3(n ≥2)． ③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9.④④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列． 因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <12－2a ，3n ＋2a －n ＋－2a ＋6n 为大于或等于3的奇数，3n －2a ＋n ＋＋2a －6n 为偶数，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 答案：41782．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n}的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max ＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．解：(1)令n ＝1，则a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0.(2)证明：由S n ＝n a n －a 12，即S n ＝na n2， ①得S n ＋1＝n ＋a n ＋12.② ②－①得(n －1)a n ＋1＝na n ，③于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1. ④④－③得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1， 即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．(*) 易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解． 当p ≥3，且p ∈N *时，p ＋3p ＋1－2p 3p ＝2－4p3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列， 于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． 4．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中， 令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2， 即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0， 即a 2－a 1＝a 3－a 2. 故a 1，a 2，a 3成等差数列． (2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *. 因为数列{a n }的各项都为正数， 所以数列{a n }是等比数列． 设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4， 即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0. 解得q ＝1或q ＝1＋52(负根舍去)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－kab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1. 证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *. 所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1， 即a n a n ＋2＋a 2n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1.(*) 由于a n >0，(*)式两边同除以a n a n ＋1 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n. 所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2， 即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka.所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.。
【三维设计】2015届高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)数列求和课时训练 理(含14年最新
课时跟踪检测(三十二) 数 列 求 和(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·某某、宿迁三检)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列{S nn}的前20项和为________．2．(2013·苏北四市三调)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n项和，则S 2 014＝________.3．(2014·东城一模)已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________. 5．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝－1n ＋12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.6.创新题对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7．(2013·某某、宿迁三检)已知数列{a n }满足a 1＝a ＋2(a ≥0)，a n ＋1＝ a n ＋a2，n ∈N *.(1)若a ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|a n ＋1－a n |，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <a 1.8．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝x 2x ＋m的图像经过点(4,8)．(1)求该函数的解析式；(2)数列{a n }中，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a n ＝f (S n )(n ≥2)，证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(3)另有一新数列{b n }，若将数列{b n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：b 1b 2b 3b 4 b 5 b 6b 7 b 8b 9 b 10…记表中的第一列数b 1，b 2，b 4，b 7，…构成的数列即为(2)中数列{a n }，上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当b 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·某某三模)正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝________.2．(2014·某某期末)如图所示，矩形A n B n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另两个顶点，D n 在函数f (x )＝x ＋1x(x >0)的图像上．若点B n 的坐标为(n,0)(n ≥2，n ∈N *)，矩形A n B n D n 的周长记为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝________.3．(2014·苏中三市、某某、某某调研(二))已知数列{a n }是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为q (q ＞1)的等比数列．(1)若a 5＝b 5，q ＝3，求数列{a n ·b n }的前n 项和；(2)若存在正整数k (k ≥2)，使得a k ＝b k ，试比较a n 与b n 的大小，并说明理由．4．(2014·某某质检)已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n ＝n a n －a 12(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且14a 2m －S n ＝11，求m ，n 的值；(3)是否存在实数a ，b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足a n ＋b ≤p 的最大项恰为第3p －2项？若存在，分别求出a 与b 的取值X 围；若不存在，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，从而S n ＝－2n ＋n n －12，则S n n ＝n 2－52，即数列{S n n }是以－2为首项，12为公差的等差数列，故所求数列的前20项和为－2＋202－522×20＝55.答案：552．解析：由题意得数列{a n }的各项为－12，1，－12，1，…，以2为周期的周期数列，所以S 2 014＝12×1 007＝10072.答案：100723．解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n 为奇数n 2n 为偶数＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1) ＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n[n 2－(n ＋1)2] ＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.答案：－1004．解析：∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18n >3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18n >35．解析：由题意知，a 1＝－12，a 2＝1，a 3＝－32，a 4＝2，a 5＝－52，a 6＝3，…，所以数列{a n }的奇数项构成了首项为－12，公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得S 2 013＝⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1 007＋1 007×1 0062×]－1＋⎝⎛⎭⎪⎫1×1 006＋1 006×1 0052×1＝－1 0072.答案：－1 00726．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－27．解：(1)若a ＝0，则a 1＝2，a n ＋1＝ a n2，所以2a 2n ＋1＝a n ，且a n >0.两边取对数得lg 2＋2lg a n ＋1＝lg a n ， 即lg a n ＋1＋lg 2＝12(lg a n ＋lg 2)，因为lg a 1＋lg 2＝2lg 2，所以数列{lg a n ＋lg 2}是以2lg 2为首项，12为公比的等比数列．所以lg a n ＋lg 2＝2×(12)n －1·lg 2，所以a n ＝222－n－1.(2)证明：由a n ＋1＝a n ＋a2得2a 2n ＋1＝a n ＋a ，①当n ≥2时，2a 2n ＝a n －1＋a ，② ①－②，得2(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝a n －a n －1，由已知a n >0，所以a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．因为a 2＝a ＋1，且a ≥0，所以a 21－a 22＝(a ＋2)2－(a ＋1)＝a 2＋3a ＋3>0恒成立， 所以a 2－a 1<0，所以a n ＋1－a n <0. 因为b n ＝|a n ＋1－a n |， 所以b n ＝－(a n ＋1－a n )，所以S n ＝－[(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )]＝ －(a n ＋1－a 1)＝a 1－a n ＋1<a 1. 即原命题成立． 8．解：(1)由函数f (x )＝x 2x ＋m的图像经过点(4,8)得m ＝－2， 所以函数的解析式为f (x )＝x 2x －2.(2)证明：由已知，当n ≥2时，a n ＝f (S n )，即a n ＝S 2nS n －2.又因为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 所以S n －S n －1＝S 2nS n －2，即2S n ＋S n ·S n －1＝2S n －1， 所以1S n －1S n －1＝12.又因为S 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n n ＋1因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n n ＋1，n ≥2.(3)设表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{b n }的前78项，故b 81在表中第13行第三列，因此b 81＝a 13q 2＝－491. 又因为a 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，则S ＝a k 1－q k 1－q ＝－2k k ＋1·1－2k 1－2＝21－2kk k ＋1(k ≥3)．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解析：正整数组中每组的中间数依次为1,3,7,13，…，第n 组中中间一个数为(n －1)n ＋1，故由等差数列性质可知A n ＝[(n －1)n ＋1](2n －1)，即A n ＝2n 3－3n 2＋3n －1.而自然数的立方构成的数组中B n ＝n 3－(n －1)3＝3n 2－3n ＋1，所以A n ＋B n ＝2n 3. 答案：2n 32．解析：由题意知B n (n,0)，(n ，n ＋1n )，又D n 与x 轴平行，所以D n (1n ，n ＋1n )，A n (1n，0)，所以a n ＝2(A n B n ＋A n D n )＝4n ，故a 2＋a 3＋…＋a 10＝4×9×2＋102＝216.答案：2163．解：(1)依题意，b n ＝3n －1，a 5＝b 5＝b 1q5－1＝1×34＝81，故d ＝a 5－a 15－1＝81－14＝20，所以a n ＝1＋20(n －1)＝20n －19.故S n ＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n －19)·3n －1，则3S n ＝1×3＋21×32＋…＋(20n －39)·3n －1＋(20n －19)·3n，所以－2S n ＝1＋20×(3＋32＋…＋3n －1)－(20n －19)·3n＝1＋20×31－3n －11－3－(20n －19)·3n＝(29－20n )·3n－29，所以S n ＝20n －29·3n＋292.(2)因为a k ＝b k ，所以1＋(k －1)d ＝q k －1，即d ＝q k －1－1k －1，故a n ＝1＋(n －1)q k －1－1k －1，又b n ＝q n －1，所以b n －a n ＝q n －1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋n －1q k －1－1k －1＝1k －1[(k －1)(q n －1－1)－(n －1)(q k －1－1)] ＝q －1k －1[(k －1)(q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1)－(n －1)(q k －2＋q k －3＋…＋q ＋1)]． ①当1＜n ＜k 时，由q ＞1知b n －a n ＝q －1k －1[(k －n )(q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1)－(n －1)(q k －2＋q k －3＋…＋q n －1)]＜q －1k －1[(k －n )(n －1)q n －2－(n －1)(k －n )qn －1]＝－q －12k －nn －1q n －2k －1＜0，即b n ＜a n ；②当n ＞k 时，由q ＞1知b n －a n ＝q －1k －1[(k －1)(q n －2＋q n －3＋…＋q k －1)－(n －k )(q k －2＋q k －3＋…＋q ＋1)]＞q －1k －1[(k －1)(n －k ) qk －1－(n －k )(k －1)qk －2]＝(q －1)2(n －k )qk －2＞0，即b n ＞a n .综上所述，当1＜n ＜k 时，a n ＜b n ； 当n ＞k 时，a n ＞b n ；当n ＝1，k 时，a n ＝b n .4．解：(1)由已知得a 1＝S 1＝1·a 1－a 12＝0，所以S n ＝na n2，则S n ＋1＝n ＋1a n ＋12，所以2(S n ＋1－S n )＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即(n －1)a n ＋1＝na n ，n ∈N *， 所以na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1，两式相减得2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，n ∈N *， 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *， 故数列{a n }是等差数列．又a 1＝0，a 2＝a ，所以a n ＝(n －1)a . (2)若a ＝2，则a n ＝2(n －1)， 所以S n ＝n (n －1)．由14a 2m －S n ＝11得n 2－n ＋11＝(m －1)2，即4(m －1)2－(2n －1)2＝43， 所以(2m ＋2n －3)(2m －2n －1)＝43，因为43是质数，2m ＋2n －3＞2m －2n －1,2m ＋2n －3＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －2n －1＝1，2m ＋2n －3＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝11.(3)由a n ＋b ≤p 得a (n －1)＋b ≤p . 若a ＜0，则n ≥p －ba ＋1，不合题意，舍去； 若a ＞0，则n ≤p －ba＋1. 因为不等式a n ＋b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2， 所以3p －2≤p －ba＋1＜3p －1， 即2a －b ＜(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立． 所以3a －1＝0，解得a ＝13，此时23－b ＜0≤1－b ，解得23＜b ≤1.故存在实数a ，b 满足条件，且a ＝13，b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1.。
【三维设计】届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第十二章 曲线与方程配套课时训练(含14年最新题及
课时跟踪检测(七十) 曲线与方程第Ⅰ组：全员必做题1. 长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴，y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹方程是____________．2. 已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为____________．3．(2014·长春模拟) 设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为____________．4．(2014·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是____________．5．(2014·焦作模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为____________．6．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________________．8．(2014·武汉调研)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则动点P 的轨迹方程为________．9．(2014·锦州模拟) 设A，B分别是直线y＝22x和y＝－22x上的动点，且|AB|＝2，设O为坐标原点，动点P满足OP＝OA＋OB.(1)求点P的轨迹方程；(2)过点(3，0)作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．10. (2014·广州模拟)如图，已知抛物线P：y2＝x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，OA＋OB＝OC，OC与AB交于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)求四边形AOBC的面积的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是____________．2．(2014·苏州调研)动直线y ＝kx ＋1与y 轴交于点A ，与抛物线y2＝x －3交于不同的两点B ，C ，点P 在动直线上，且满足BP ＝λPC ，AB ＝λAC ，其中λ ∈R ，且λ≠0，若D(0，－1)，则△DAP 的重心Q 的轨迹方程为____________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：设C(x ，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9 ①又AC ＝2CB ，所以(x －a ，y)＝2(－x ，b －y)，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3x ，b ＝32y ， ②代入①式整理可得：x2＋y24＝1. 答案：x2＋y24＝1 2．解析：设P(x0，y0)，M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x0＋22，y ＝y02.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝2x －2，y0＝2y.由于y20＝x0，所以4y2＝2x －2.即y2＝12(x －1)． 答案：y2＝12(x －1)3．解析：∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b2＝a2－c2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x225＋4y221＝1. 答案：4x225＋4y221＝1 4．解析：设Q(x ，y)，则P 为(－2－x,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.答案：2x －y ＋5＝05.解析：如图，设P(x ，y)，圆心为M(1,0)．连结MA ，则MA ⊥PA ，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，∴|PM| ＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2，∴(x －1)2＋y2＝2.答案：(x －1)2＋y2＝26．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x24＋y23＝1(y≠0)7．解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x ＞3)．答案：x29－y216＝1(x ＞3) 8．解析：由抛物线定义知点P 的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y2＝2px ，从而可知p ＝4，所以动点P 的轨迹方程为y2＝8x.答案：y2＝8x9．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x ，y)，∵OP ＝OA ＋OB ，∴x ＝x1＋x2，y ＝y1＋y2，∵y1＝22x1，y2＝－22x2， ∴x ＝x1＋x2＝2(y1－y2)， y ＝y1＋y2＝22(x1－x2)． ∵|AB|＝－＋－＝2， ∴12x2＋2y2＝2， ∴点P 的轨迹方程为x24＋y2＝1. (2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l1的方程为x －3＝ky.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝ky ，x24＋y2＝1得(k2＋4)y2＋23ky －1＝0，∴y1＋y2＝－23k k2＋4，x1＋x2＝83k2＋4. ∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43k2＋4，－3k k2＋4. 同理可得N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43k24k2＋1，3k 4k2＋1. ∴直线MN 的斜率kMN ＝3k 4k2＋1＋3k k2＋443k24k2＋1－43k2＋4＝5k －.∴直线MN 的方程为y ＋3k k2＋4＝5k －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43k2＋4. 整理化简得4k4y ＋(43－5x)k3＋12k2y －16y ＋(－20x ＋163)k ＝0，∴x ＝435，y ＝0， ∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫435，0. 10．解：(1)设M(x ，y)，A(y21，y1)，B(y22，y2)，∵OA ＋OB ＝OC ，∴M 是线段AB 的中点．∴x ＝y21＋y222＝＋－2y1y22， ①y ＝y1＋y22. ② ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝0.∴y21y22＋y1y2＝0.依题意知y1y2≠0，∴y1y2＝－1. ③把②、③代入①得：x ＝4y2＋22， 即y2＝12(x －1)． ∴点M 的轨迹方程为y2＝12(x －1)． (2)依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S ＝|OA ||OB | ＝21＋y21·2＋y22＝21＋2＋＝y21y22＋y21＋y22＋1＝2＋y21＋y22. ∵y21＋y22≥2|y1y2|＝2，当且仅当|y1|＝|y2|时，等号成立，∴S≥2＋2＝2.∴四边形AOBC 的面积的最小值为2.第Ⅱ组：重点选做题1．解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．答案：一条直线和一条射线 2．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，y2＝x －3得k2x2＋(2k －1)x ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ k≠0，Δ>0⇒－12<k<16且k≠0， 由题知A(0,1)，设P(x′，y′)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，Q(x ，y)，则x1＋x2＝1－2k k2，x1x2＝4k2. 由BP ＝λPC ⇒(x′－x1，y′－y1)＝λ(x2－x′，y2－y′)⇒x′－x1＝λ(x2－x′)． 由AB ＝λAC ⇒(x1，y1－1)＝λ(x2，y2－1)⇒x1＝λx2.因为λ≠0，所以x′－x1x1＝x2－x′x2⇒x′＝2x1x2x1＋x2＝81－2k， y′＝kx′＋1＝8k 1－2k ＋1＝6k ＋11－2k ， 又由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x′3，y ＝y′3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝3x ，y′＝3y ，代入上式，得3x －6y －6＝0，即x －2y －2＝0.由－12<k<16且k≠0⇒4<x′<12且x′≠8⇒43<x<4且x≠83. 故点Q 的轨迹方程是x －2y －2＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫43<x<4且x≠83. 答案：x －2y －2＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫43<x<4且x≠83。
【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第十一章 计数原理、概率、随
第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节分类计数原理与分步计数原理1．分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．1．分类计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．2．分步计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．[试一试]1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的有________种．解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：62．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．解析：∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．答案：361．应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．2．混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．[练一练]1．(2014·郑州模拟)在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24(种)． 第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．答案：2 8802.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、…、9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．解析：把区域分为三部分，第一部分1、5、9，有3种涂法．第二部分4、7、8，当5、7同色时，4、8各有2种涂法，共4种涂法；当5、7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．答案：108对应学生用书P1531．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个．解析：利用分类计数原理：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：362．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有________种．解析：分类：第一类，两人拿对：2×C 25＝20种；第二类，三人拿对：C35＝10种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31种．答案：31种3．椭圆x2m ＋y2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．解析：以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n>m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n>m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n>m ，n 有4种选择；第四类：m ＝4时，使n>m ，n 有3种选择；第五类：m ＝5时，使n>m ，n 有2种选择．由分类计数原理，符合条件的椭圆共有20个．答案：20[备课札记][类题通法]利用分类计数原理解题时应注意(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)[典例] 如图所示的几何体是由一个正三棱锥与正三棱柱ABCA1B1C1 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．[解析] 先涂三棱锥PABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C1×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．[答案] 12[备课札记][类题通法]利用分步计数原理解决问题时应注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．[针对训练]在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．解析：第一步安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A33种排法，共有2×4×2×A3＝96种．答案：96两个原理的综合应用[典例] {1,2,3,4,5}．选择集合A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有________种．[解析] 从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．[答案] 49解：(1)选集合A，B，有C14C13＝12；(2)选集合A，C，有C14C12＝8；(3)选集合B，C，有C13C12＝6；故可以组成12＋8＋6＝26个集合．[类题通法]在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．[针对训练]上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类加法计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：16对应学生用书P154[课堂练通考点]1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为________．解析：分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．答案：132.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为________．解析：从甲地经乙地到丙地，分两步：第1步，从甲地到乙地，有3条公路；第2步，从乙地到丙地，有2条公路．根据分步计数原理，有3×2＝6种走法．从甲地到丙地，分两类：第1类，从甲地经乙地到丙地，有6种走法；第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走法．根据分类计数原理，有6＋2＝8种走法．答案：6,83.(2014·临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．解析：每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48(个)．答案：484．(2013·济南模拟)集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点．答案：145.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？解：先给最上面的一块着色，有4种方法，再给中间左边一块着色，有3种方法，再给中间右边一块着色，有2种方法，最后再给下面一块着色，有2种方法，根据分步计数原理，共有4×3×2×2＝48种方法．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有________种．解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37种．答案：372．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是________．解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，6个对角面构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)．故共有36＋12＝48(个)．答案：483．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有________种．解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步计数原理，知选法为C210·C18·C17＝2 520种．答案：2 5204．将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为________．解析：法一：分成两种情况，①甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中的一人被分到同一个班共有2C12A33＝24种分法；②丙和丁两人被分到同一个班共有A33＝6种分法．于是所求的分法总数为24＋6＝30.法二：将4名老师分到3个不同的班，有C24C13A22，甲、乙两名老师分到同一个班有C13A22. ∴满足要求的分法有C24C13A22－C13A22＝30.答案：305．(2013·山东高考改编)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．解析：能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.答案：2526.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．答案：137.(2014·南充模拟)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有________种．解析：从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法，同理，若先游览B景点，有16种不同的方法，若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48种．答案：488．(2013·深圳调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有________个．解析：依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．答案：159．一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．解析：“完成这件事”需选出男、女队员各一人，可分两步进行：第一步选一名男队员，有5种选法；第二步选一名女队员，有4种选法，共有5×4＝20(种)选法．答案：2010．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．解析：当相同的数字不是1时，有C13个；当相同的数字是1时，共有C13C13个，由分类计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12个．答案：1211．(2014·沈阳模拟)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是________．解析：另两边长用x ，y 表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12.当y 取11时，x 可取1,2,3，…，11，有11个三角形；当y 取10时，x 可取2,3，…，10，有9个三角形；…；当y 取6时，x 只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：3612.(2014·泉州质检)如图所示，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛里种不同的花，则不同的种法共有________种．解析：法一：按所种花的品种多少分成三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．所以不同的种法共有A24＋2A34＋A44＝84种．法二：按ABCD 的顺序种花，可分A ，C 种同一种花与不种同一种花两种情况，共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种不同的种法．答案：84第Ⅱ组：重点选做题1．标号为A ，B ，C 的三个口袋，A 袋中有1个红色小球，B 袋中有2个不同的白色小球，C 袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解：(1)若两个球颜色不同，则应在A ，B 袋中各取一个或A ，C 袋中各取一个或B ，C 袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．(2)若两个球颜色相同，则应在B 或C 袋中取出2个．∴应有1＋3＝4(种).2．编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在1,2号，B 球必须放在与A 球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？解：根据A 球所在位置分三类：(1)若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C ，D ，E ，则根据分步计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A 球放在5号盒子内，则B 球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C ，D ，E ，则根据分步计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A 球放在4号盒子内，则B 球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C ，D ，E 有A33＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，3×3×2×1＝18种不同方法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种． 第二节排列与组合对应学生用书P1551．排列与排列数(1)排列：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作Am n .2．组合与组合数(1)组合：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作Cm n .3排列数公式Am n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)＝n ！n －m ！ 组合数公式Cm n ＝Am n Am m ＝n n －1…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．2．计算Am n 时易错算为n(n －1)(n －2)…(n－m)．3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．[试一试]1．电视台在直播2012伦敦奥运会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播．则不同的播放方式有________种．解析：有C12C13A33＝36(种)．答案：362．2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答) 解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．答案：241．排列问题与组合问题的识别方法：2．组合数的性质中(2)的应用主要是两个方面，一个简化运算，当m ＞n 2时，通常将计算Cm n 转化为计算Cn －m n .二是列等式，由Cx n ＝Cy n 可得x ＝y 或x ＋y ＝n.性质(3)主要用于恒等变形简化运算．[练一练]1．有A ，B ，C ，D ，E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A ，B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________．解析：由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.答案：182．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)解析：先排甲、乙之外的3人，有A33种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A24种排法，故共有A33·A 24＝72(种)排法．答案：72对应学生用书P156排列问题1．(2014·扬州模拟条棱代表8种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①②③④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同放法种数为________．解析：由题意分析，先把标号为1,2,3,4的化工产品分别放入①②③④的4个仓库内，共有A44＝24种放法；再把标号为5,6,7,8的化工产品对应地按要求安全存放：7与1放一起，8与2放一起，5与3放一起，6与4放一起；或者6与1放一起，7与2放一起，8与3放一起，5与4放一起，有两种放法．综上所述，共有A44×2＝48种放法．答案：482．(2014·东北三校联考)在数字1,2,3与符号“＋”，“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有________种．解析：本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”，“－”，有A22种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A33种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有A22A33＝12种．答案：123．(2014·西安检测)8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有________种．解析：法一：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6A33A55＝4 320种安排方式．法二：先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列，有A33种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余5名运动员全排列，有A66种排法，故共有A33A66＝4 320种安排方式．答案：4 320[备课札记][类题通法]求解排列应用题的主要方法组合问题[典例] (2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．[解析] 直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C33·C14·C15＋C34·C13·C15＋C35·C 13·C 14＋C24·C 25·C 13＋C23·C 25·C 14＋C23·C 24·C 15＝590. [答案] 590[备课札记] [类题通法]组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． [针对训练](2014·四平质检)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种．解析：法一(间接法)：当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有C35＋C34＝14种组队方案．当从9名医生中选择3名医生时，共有C39＝84种组队方案，所以男、女医生都有的组队方案共有84－14＝70种．法二(直接法)：当小分队中有1名女医生时，有C14C25＝40种组队方案；当小分队中有2名女医生时，有C24C15＝30种组队方案，故共有70种不同的组队方案． 答案：70分组分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配，归纳起来常见的命题角度有： 1整体均分问题； 2部分均分问题；3不等分问题.角度一 整体均分问题1．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A 3＝90种分派方法． 答案：90角度二 部分均分问题 2．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种． ①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有C36C13C12C11A33＝20种； ②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有C26C24A22·C12C11A22＝45种．所以不同的分组方法共有20＋45＝65种．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A 4＝1 560种． 答案：1 560角度三 不等分问题3．将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法． 根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法． 再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法． 答案：360[备课札记] [类题通法]解决分组分配问题的策略1．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以An n (n 为均分的组数)，避免重复计数．2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． 3．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 对应学生用书P157[课堂练通考点] 1．(2014·开封模拟)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．解析：将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A22·A 2种排法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A 2·A 23＝24种排法． 答案：242．(2013·四川高考改编)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．解析：lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看ab 不同值的个数，所以共有A25－2＝20－2＝18个不同值．答案：183．(2014·台州模拟)甲、乙两人计划从A ，B ，C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有________种．解析：本题用排除法，甲、乙两人从A ，B ，C 三个景点中各选两个游玩，共有C23·C 23＝9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种． 答案：6 4．(2014·江西八校联考)将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．解析：先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C15C14C33A22＋C25C23C11A22·A 3·C 24＝900(种)． 答案：9005．(2013·浙江高考)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 解析：“小集团”处理，特殊元素优先，C36C12A22A33＝480. 答案：480[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题 1．(2013·开封第一次模拟)把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为________．解析：依题意，满足题意的放法种数为A22·A 3＝12. 答案：12 2．(2013·昆明重点高中检测)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为________．解析：根据题意，分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加，有C12·C 35·A 4＝480种；若甲、乙2人都参加，共有C22·C 25·A 4＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有C22·C 25·A 2·A 3＝120种，故有240－120＝120种．则不同的发言顺序种数为480＋120＝600. 答案：600 3．(2014·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________． 解析：核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296. 答案：1 2964．(2013·合肥调研)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为________种． 解析：穿红色衣服的人相邻的排法有C14A22A33＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有。
【新编】【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷 提能增分卷)数列的概念与简单表示法课时训练 理(含
课时跟踪检测(二十九) 数列的概念与简单表示法第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·盐城二调)数列{a n }满足a n ＋a n －1＝12(n ∈N *)，a 1＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21＝________.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于________．3．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2 013的值为________．4．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn≤2的正整数n 的集合为________． 6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________． 8．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 014＝________. 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·南通期末)在数列{a n }中，a 1＝6且a n －a n －1＝a n －1n＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则这个数列的通项公式a n ＝________.2.创新题已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2a n 为偶数，a n －2n a n 为奇数若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．3．(2013·南通一模)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，对任意正整数n ，m (n >m )满足a 2n －a 2m ＝a n －m a n ＋m ，则a 119＝________.4．(2013·扬州期末)若数列{a n }满足a 1为大于1的常数，a n ＋1－1＝a n (a n －1)(n ∈N *)，且1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝2，则a 2 013－4a 1的最小值为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：这个数列为“等和数列”，分别计算数列的前几项可以发现该数列为周期数列，周期为2.故S 21＝(1－12)×10＋1＝6.答案：62．解析：由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2. 又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)， 解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案：43．解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.答案：－14．解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 答案：75．解析：因为S n ＝2a n －1， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列， 又因为a 1＝2a 1－1， 解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ＝1,2,3,4. 答案：{1,2,3,4} 6．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08. 答案：107．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥28．解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n＋3，两式相减得a n ＝3n.答案：3n9．解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝1.答案：110．解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：法一：由题意得a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，a 4＝30，…由此猜想出a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．法二：由题意得a n n ＋1＝a n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，故a nn ＋1＝3＋1·(n －1)＝n ＋2，故a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．答案：(n ＋1)(n ＋2)2．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5；当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103．解析：法一：采用特殊值法求出a 3，a 4，a 5，a 6分别为－1,0,1,0，由不完全归纳法得出a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.法二：令m ＝2，得a 2n －a 22＝a n －2·a n ＋2，即a 2n ＝a n －2·a n ＋2，所以奇数项成等比数列，偶数项均为0.再令m ＝1，得a 2n －a 21＝a n －1·a n ＋1，当n 为奇数时，a 2n ＝a 21；当n 为偶数时，a n －1·a n＋1＝－1，故a 1＝－a 3＝a 5＝－a 7＝…，因此a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1. 答案：－14．解析：因为a 1>1，易知对所有的n ∈N *，a n >1，对a n ＋1－1＝a n (a n －1)两边取倒数得1a n ＋1－1＝1a na n －＝1a n －1－1a n ，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝1a 1－1－1a 2 013－1＝2.整理得a 2 013＝2－a 13－2a 1(由a 2 013>1得1<a 1<32)，所以a 2 013－4a 1＝2(3－2a 1)＋1－2a 1－112≥2－2a 11－2a 1－112＝－72，当且仅当a 1＝54时取等号．故a 2 013－4a 1的最小值为－72.答案：－72。
【三维设计】届高考数学大一轮(夯基保分卷 提能增分卷)第二章 变化率与导数、导数的计算配套课时训练(含
课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·泰州期末)曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与y 轴交点的坐标为________．2．曲线y ＝x3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝________.3．(2014·常州模拟)已知点A(1,1)和B(－1，－3)在曲线C ：y ＝ax3＋bx2＋d(a ，b ，d 均为常数)上．若曲线C 在点A ，B 处的切线互相平行，则a3＋b2＋d ＝________.4．(2013·南通一模)曲线f(x)＝e ·ex－f(0)x ＋12x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．5．(2013·南京、盐城三模)设点P 是曲线y ＝x2上的一个动点，曲线y ＝x2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为________．6．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________.7．已知函数f(x)＝ln x －f′(－1)x2＋3x －4，则f′(1)＝________.8．已知f1(x)＝sin x ＋cos x ，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn －1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 9．(2014·南京摸底)已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x ＋aln x(a 为常数)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f(x)在x ＝1处切线的方程；(2)当a>0时，讨论函数y ＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．10．(2013·苏北四市三调)设函数f(x)＝x2－aln x 与g(x)＝1ax －x 的图像分别交直线x ＝1于点A ，B ，且曲线y ＝f(x)在点A 处的切线与曲线y ＝g(x)在点B 处的切线斜率相等．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；(3)当a<1时，不等式f(x)≥m·g(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，求实数m 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题(2014·苏州调研)已知函数f(x)＝aln x －bx2图像上一点P(2，f(2))处的切线方程为y ＝－3x ＋2ln 2＋2.(1)求a ，b 的值；(2)若方程f(x)＋m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内有两个不等实根，求实数m 的取值范围(其中e 为自然对数的底，e≈2.7)；(3)令g(x)＝f(x)－nx ，如果g(x)图像与x 轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<x2，线段AB 的中点为C(x0,0)，求证：g′(x0)≠0.答 案第Ⅰ卷：全员必做题1．解析：由曲线y ＝2ln x 得y′＝2x ，所以k ＝2e ，所以点(e,2)处的切线方程为y －2＝2e(x －e)，令x ＝0得y ＝0，所以曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为(0,0)． 答案：(0,0)2．解析：由题知y′＝3x2＋a ，设切点为(x0，x30＋ax0＋1)，则切线方程为y －(x30＋ax0＋1)＝(3x20＋a)(x －x0)，即y ＝(3x20＋a)x ＋(－2x30＋1)．又切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x20＋a ＝2，－2x30＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝0，a ＝2.答案：23．解析：由题意得y′＝3ax2＋2bx ，因为k1＝k2，所以3a ＋2b ＝3a －2b ，即b ＝0.又a ＋d ＝1，d －a ＝－3，所以d ＝－1，a ＝2，即a3＋b2＋d ＝7.答案：74．解析：因为f′(x)＝e ·ex －f(0)＋x ，故有⎩⎪⎨⎪⎧ ＝e ，＝－＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ ＝1，＝e ，原函数表达式可化为f(x)＝ex －x ＋12x2，从而f(1)＝e －12，所以所求切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12＝e(x －1)， 即y ＝ex －12. 答案：y ＝ex －125．解析：设P(x0，x20)，又y′＝2x ，则直线PQ 的方程为y ＝－x 2x0＋12＋x20.代入y ＝x2得x2＋x 2x0－12－x20＝0， 即(x －x0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x0＋12x0＝0，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－x0－12x0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋12x02.从而PQ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋12x02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x202，令t ＝4x20，则PQ2＝f(t)＝t ＋3t ＋1t2＋3(t>0)，则f′(t)＝＋－t3，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t ＝2时，PQ 有最小值332. 答案：3326．解析：因为y′＝2ax －1x， 依题意得y′|x＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12. 答案：127．解析：∵f′(x)＝1x－2f′(－1)x ＋3， f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x －sin x ，f3(x)＝(cos x －sin x)′＝－sin x －cos x ，f4(x)＝－cos x ＋sin x ，f5(x)＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出fn(x)＝fn ＋4(x)，又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝503f1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 答案：09．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝x2＋x －ln x ，则f′(x)＝2x ＋1－1x， 所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.所以曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x.(2)由题意得f′(x)＝2x －(1＋2a)＋a x ＝2x2－＋＋a x ＝－－x (x>0)．由f′(x)＝0，得x1＝12，x2＝a. ①当0<a<12时，由f′(x)>0且x>0，得0<x<a 或12<x<1； 由f′(x)<0且x>0，得a<x<12. 所以函数f(x)的单调递增区间是(0，a)和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12； ②当a ＝12时，f′(x)＝－2x ≥0，当且仅当x ＝12时， f′(x)＝0.所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数；③当12<a<1时，由f′(x)>0且x>0， 得0<x<12或a<x<1； 由f′(x)<0且x>0，得12<x<a. 所以函数f(x)的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(a,1)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ； ④当a≥1时，由f′(x)>0且x>0，得0<x<12； 由f′(x)<0且x>0，得12<x<1. 所以函数f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 10．解：(1)由f(x)＝x2－aln x ，得f′(x)＝2x2－a x. 由g(x)＝1a x －x ，得g′(x)＝2x －a 2a x. 又由题意可得f′(1)＝g′(1)，即2－a ＝2－a 2a ，故a ＝2或a ＝12. 所以当a ＝2时，f(x)＝x2－2ln x ，g(x)＝12x －x ； 当a ＝12时，f(x)＝x2－12ln x ， g(x)＝2x －x.(2)当a>1时，h(x)＝f(x)－g(x) ＝x2－2ln x －12x ＋x ，所以h′(x)＝2x －2x －12＋12x ＝－＋x －x －12x＝(x－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x ＋x ＋－x 2x . 由x>0，得x ＋x ＋x ＋－x 2x >0.故当x ∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以函数h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln 1－12＋1＝32. (3)当a ＝12时，f(x)＝x2－12ln x ， g(x)＝2x －x. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时， f′(x)＝2x －12x ＝4x2－12x<0， f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数， f(x)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12ln 2>0. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，g′(x)＝2－12x ＝4x －12x>0，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， g(x)≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－22， 且g(x)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0. 要使不等式f(x)≥m·g(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立， 当x ＝14时，m 为任意实数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12时，m≤.而⎣⎢⎡⎦⎥⎤min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋24ln(4e)， 所以m≤2＋24ln(4e)． 实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2＋24ln 4e第Ⅱ组：重点选做题解：(1)由题知，f′(x)＝a x －2bx ，则f′(2)＝a 2－4b ，f(2)＝aln 2－4b ，所以a 2－4b ＝－3，且aln 2－4b ＝－6＋2ln 2＋2.解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2ln x －x2.令h(x)＝f(x)＋m ＝2ln x －x2＋m ，则h′(x)＝2x －2x ＝－x .令h′(x)＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，h′(x)>0，所以h(x)是增函数；当x ∈(1，e]时，h′(x)<0，所以h(x)是减函数．则方程h(x)＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内有两个不等实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤0，，，解得1<m≤1e2＋2.所以实数m 的取值范围是(1，1e2＋2]．(3)证明：由题知g(x)＝2ln x －x2－nx ，g′(x)＝2x －2x －n.假设g′(x0)＝0，则有错误!①－②得2ln x1x2－(x21－x22)－n(x1－x2)＝0，所以n ＝2ln x1x2x1－x2－2x0.由④得n ＝2x0－2x0，所以ln x1x2x1－x2＝1x0，即ln x1x2x1－x2＝2x1＋x2，即ln x1x2＝2x1x2－2x1x2＋1. ⑤令t ＝x1x2，u(t)＝ln t －2t －2t ＋1(0<t<1)． 则u′(t)＝－＋>0， 所以u(t)在0<t<1上是增函数．u(t)<u(1)＝0，所以⑤式不成立，与假设矛盾．故g′(x0)≠0.。
2020届三维设计一轮复习第十一章 概 率第一节 随机事件的概率
第十一 章
概率
全国卷5年考情图解 高考命题规律把握
第一 节
随机事件的概率
课前自修区
基础相对薄弱,一轮复习更需重视
基础知识的强化和落实
课堂讲练区
考点不宜整合太大,挖掘过深
否则会挫伤学习的积极性
课时跟踪检测
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课 前自 修区
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一、基础知识批注——理解深一点
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不可
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当一个事件包含多个 结果时,要用到概率加 法公式的推广,即 P(A1∪A2∪…∪An)＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋ … ＋ P(An)．
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保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
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考点三 互斥事件、对立事件的概率
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返回Biblioteka 返回“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测(六十七)” (单击进入电子文档)
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二、基础小题强化——功底牢一点
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课 堂讲 练区
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考点一 随机事件的关系
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考点二 随机事件的频率与概率
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上年度出 险次数
0
12
3
4 ≥5
保费
0.85a
a
1.25 a
1.5 a
1.75 a
2a
出险次数 0
1
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【三维设计】届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第十一章 分类计数原理与分步计数原理配套课时训练
课时跟踪检测(六十三) 分类计数原理与分步计数原理第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有________种．2．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是________．3．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有________种．4．将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为________．5．(2013·山东高考改编)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．6.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．7.(2014·南充模拟)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有________种．8．(2013·深圳调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有________个．9．一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．10．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．11．(2014·沈阳模拟)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是________．12.(2014·泉州质检)如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛里种不同的花，则不同的种法共有________种．第Ⅱ组：重点选做题1．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？2．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37种．答案：372．解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，6个对角面构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)．故共有36＋12＝48(个)．答案：483．解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步计数原理，知选法为C210·C18·C17＝2 520种．答案：2 5204．解析：法一：分成两种情况，①甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中的一人被分到同一个班共有2C12A33＝24种分法；②丙和丁两人被分到同一个班共有A33＝6种分法．于是所求的分法总数为24＋6＝30.法二：将4名老师分到3个不同的班，有C24C13A22，甲、乙两名老师分到同一个班有C13A22. ∴满足要求的分法有C24C13A22－C13A22＝30.答案：305．解析：能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.答案：2526．解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．答案：137．解析：从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法，同理，若先游览B景点，有16种不同的方法，若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48种．答案：488．解析：依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112. 共计：3＋6＋3＋3＝15个．答案：159．解析：“完成这件事”需选出男、女队员各一人，可分两步进行：第一步选一名男队员，有5种选法；第二步选一名女队员，有4种选法，共有5×4＝20(种)选法．答案：2010．解析：当相同的数字不是1时，有C13个；当相同的数字是1时，共有C13C13个，由分类计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12个．答案：1211．解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x可取1,2,3，...，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2,3， (10)有9个三角形；…；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：3612．解析：法一：按所种花的品种多少分成三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．所以不同的种法共有A24＋2A34＋A44＝84种．法二：按ABCD的顺序种花，可分A，C种同一种花与不种同一种花两种情况，共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种不同的种法．答案：84第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4(种)．2．解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，3×3×2×1＝18种不同方法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。
三维设计高考数学人教版理科大一轮复习课时检测9.9离散型随机变量的均值与方差、正态分布(含答案详析)
课时跟踪检测(七十)离散型随机变量的均值与方差、正态分布(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.62．(2014·衡水模拟)若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为() A．3·2－2B．3·2－10C．2－4D．2－83．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.148 B.124C.112 D.164．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a ＋2)，则a＝()A．3 B.5 3C．5 D.7 35．随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝53，则D(ξ)的值是________．6．(2013·杭州二模)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.7．(2013·西安第二次质检)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个是奇数的概率；(2)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.8．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都为13，且面试是否合格相互不影响．(1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数的分布列和数学期望．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·北京东城模拟)为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．2．(2013·全国课标卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1 2，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．3．(2013·荆州模拟)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据： 若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2.2．选B E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，P (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210.3．选D 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤16，当且仅当3a ＝2b 即a ＝13，b ＝12时，等号成立．4．选D 因为ξ服从正态分布N (3,4)，P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，a ＝73.5．解析：根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，a ＋2b ＋3c ＝53，解得b ＝13，c ＝16，a ＝12.∴D (ξ)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532＝59.答案：596．解析：S ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×17＝5. 答案：57．解：(1)记“这3个数恰有一个是奇数”为事件A ，则P(A )＝C 15·C 24C 39＝514.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列为所以ξ的数学期望为E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.8．解：(1)用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝P (C )＝13，所以至少有一人面试合格的概率为1－P (A B C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝79.(2)由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝49；P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝49；P (ξ＝2)＝P (A BC )＝118；P (ξ＝3)＝P (ABC )＝118.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×49＋1×49＋2×118＋3×118＝1318. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.(2)设A i 表示所选3人中有i 个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A ，则P (A )＝P (A 2)＋P (A 3)＝C 24C 112C 316＋C 34C 316＝19140.(3)X 的可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ～⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，X 的分布列为故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.2．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝416×116＋116×12＝364.(2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为E (X )＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.3．解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为(162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100)×4＝168.72，高于全市的平均值168.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.(3)∵P(168－3×4＜ξ≤168＋3×4)＝0.997 4，∴P(ξ≥180)＝1－0.997 42＝0.001 3,0.001 3×100 000＝130.∴全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．随机变量ξ可取0,1,2，于是P(ξ＝0)＝C28C210＝2845，P(ξ＝1)＝C18C12C210＝1645，P(ξ＝2)＝C22C210＝145，∴E(ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.。
【三维设计】2015届高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)导数与函数的综合问题课时训练 理(
课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·某某模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．2．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．3．(2013·某某12月统考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值X 围是________．4．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．5．函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值X 围是________．6．(2014·某某模拟)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m 的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE (抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内)，D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A (0,4)，另一端点C (3,1)，点B (2,0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m 到6 m 之间(包括4 m 和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值X 围．(注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)7．(2014·苏北三市调研)已知函数f (x )＝a x＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (1)求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调增区间；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－1(e 是自然对数的底数)，某某数a 的取值X 围．8．(2014·某某调研)已知函数f (x )＝ax 2＋1，g (x )＝x 3＋bx ，其中a >0，b >0. (1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x ) 在它们的交点P (2，c )处有相同的切线(P 为切点)，某某数a ，b 的值；(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )，若函数h (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，－b 3.①求函数h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值M (a )；②若|h (x )|≤3在x ∈[－2,0]上恒成立，某某数a 的取值X 围．第Ⅱ卷：提能增分卷1．设f (x )是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1，＋∞)都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P(a )．(1)设函数f (x )＝ln x ＋b ＋2x ＋1(x ＞1)，其中b 为实数． ①求证：函数f (x )具有性质P(b )； ②求函数f (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )具有性质P(2)．给定x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m )x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2，且α＞1，β＞1，若|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值X 围．2．(2014·某某调研)记函数f n (x )＝a ·x n－1(a ∈R ，n ∈N *)的导函数为f ′n (x )，已知f ′3(2)＝12.(1)求a 的值；(2)设函数g n (x )＝f n (x )－n 2ln x ，试问：是否存在正整数n 使得函数g n (x )有且只有一个零点？若存在，请求出所有n 的值；若不存在，请说明理由；(3)若实数x 0和m (m >0且m ≠1)满足f n ′x 0f n ＋1′x 0＝f n mf n ＋1m，试比较x 0与m 的大小，并加以证明．3．(2013·某某、某某一模)已知f (x )是定义在集合M 上的函数．若区间D ⊆M ，且对任意x 0∈D ，均有f (x 0)∈D ，则称函数f (x )在区间D 上封闭．(1)判断f (x )＝x －1在区间[－2,1]上是否封闭，并说明理由； (2)若函数g (x )＝3x ＋ax ＋1在区间[3,10]上封闭，某某数a 的取值X 围；(3)若函数h (x )＝x 3－3x 在区间[a ，b ](a ，b ∈Z ，且a ≠b )上封闭，求a ，b 的值． 答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.答案：12．解析：因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.答案：203．解析：由f (x )＝ln x ＋2x，x ∈(0，＋∞)得f ′(x )＝1x＋2x ln 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (x 2＋2)<f (3x )，得0<x 2＋2<3x ，所以x ∈(1,2)． 答案：(1,2)4．解析：由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； 当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值． 答案：405．解析：f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0. 答案：(－∞，0)6．解：(1)设助跑道所在的抛物线方程为f (x )＝a 0x 2＋b 0x ＋c 0， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧c 0＝4，4a 0＋2b 0＋c 0＝0，9a 0＋3b 0＋c 0＝1，解得 a 0＝1，b 0＝－4，c 0＝4， 所以助跑道所在的抛物线方程为f (x )＝x 2－4x ＋4，x ∈[0,3]．(2)设飞行轨迹所在抛物线为g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝g 3，f ′3＝g ′3，即⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝1，6a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2－6a ，c ＝9a －5，所以g (x )＝ax 2＋(2－6a )x ＋9a －5＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －3a －1a 2＋1－1a.令g (x )＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫x －3a －1a 2＝1a2.因为a <0，所以x ＝3a －1a －1a ＝3－2a.当x ＝3a －1a 时，g (x )有最大值，为 1－1a，则运动员的飞行距离d ＝3－2a －3＝－2a，飞行过程中距离平台最大高度h ＝1－1a －1＝－1a， 依题意，4≤－2a ≤6，即2≤－1a≤3，即飞行过程中距离平台最大高度的取值X 围为在2 m 到3 m 之间． 7．解：(1)因为函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0)，a ≠1)，所以f ′(x )＝a xln a ＋2x －ln a ，f ′(0)＝0，又因为f (0)＝1，所以函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)由(1)知f ′(x )＝a xln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x－1)ln a .因为当a >0，a ≠1时，总有f ′(x )在R 上是增函数，又f ′(0)＝0，所以不等式f ′(x )>0的解集为(0，＋∞)，故函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－1成立，而当x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ，所以只要f (x )max －f (x )min ≥e－1即可．当x 变化时，f ′(x ) ，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )时，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )的最大值f (x )max 为f (－1)和f (1)中的最大值．f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋1＋ln a＝a －1a－2ln a .令g (a )＝a －1a－2ln a (a >0)，因为g ′(a )＝1＋1a2－2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2≥0，所以g (a )＝a －1a－2ln a 在a ∈(0，＋∞)上是增函数.而g (1)＝0，故当a >1时，g (a )>0， 即f (1)>f (－1)；当0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．所以当a >1时，f (1)－f (0)≥e－1，即a －ln a ≥e－1，易得函数y ＝a －ln a 在a ∈(1，＋∞)上是增函数，解得a ≥e；当0<a <1时，f (－1)－f (0)≥e－1，即1a ＋ln a ≥e－1，易得函数y ＝1a ＋ln a 在a ∈(0,1)上是减函数，解得0<a ≤1e . 综上可知，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ]∪[e ，＋∞. 8．解：(1)由P (2，c )为公共切点，f (x )＝ax 2＋1，g (x )＝x 3＋bx (a >0)，得f ′(x )＝2ax ，k 1＝4a ，g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝12＋b .又f (2)＝4a ＋1，g (2)＝8＋2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝12＋b ，4a ＋1＝8＋2b ，解得a ＝174，b ＝5.(2)①h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为函数f (x )＋g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，－b 3，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，－b 3时，有3x 2＋2ax ＋b ≤0恒成立．此时x ＝－b3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的一个根，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 32＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3＋b ＝0， 得a 2＝4b ，所以h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.又函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a6，＋∞上单调递增．若－1≤－a2，即a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －a 24；若－a 2<－1<－a6时，即2<a <6时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1；若－1≥－a6时，即a ≥6时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1，综上所述，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －a 24，0<a ≤2，1，a >2.②由①可知h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a6，＋∞上单调递增．所以h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2为极大值，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6为极小值，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝－a 354＋1，因为|h (x )|≤3在x ∈[－2,0]上恒成立，又h (0)＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧h －2≥－3，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6≥－3，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a 2＋4a －7≥－3，－a354＋1≥－3，解得⎩⎨⎧4－22≤a ≤4＋22，a ≤6.故实数a 的取值X 围是{}a |4－22≤a ≤6.第Ⅱ卷：提能增分卷 1．解：(1)由f (x )＝ln x＋b ＋2x ＋1，得f ′(x )＝x 2－bx ＋1x x ＋12. ①证明：因为x ＞1时，h (x )＝1xx ＋12＞0，所以函数f (x )具有性质P(b )．②当b ≤2时，由x ＞1得x 2－bx ＋1≥x 2－2x ＋1＝(x －1)2＞0， 所以f ′(x )＞0.从而函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 当b ＞2时，令x 2－bx ＋1＝0得x 1＝b －b 2－42，x 2＝b ＋b 2－42.因为x 1＝b －b 2－42＝2b ＋b 2－4＜2b＜1，x 2＝b ＋b 2－42＞1，所以当x ∈(1，x 2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ＝x 2时，f ′(x )＝0.从而函数f (x )在区间(1，x 2)上单调递减，在区间(x 2，＋∞)上单调递增．综上所述，当b ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(1，＋∞)； 当b ＞2时，函数f (x )的单调减区间为(1，b ＋b 2－42)，单调增区间为(b ＋b 2－42，＋∞)．(2)由题设知，g (x )的导函数g ′(x )＝h (x )(x 2－2x ＋1)，其中函数h (x )＞0对于任意的x ∈(1，＋∞)都成立， 所以当x ＞1时，g ′(x )＝h (x )(x －1)2＞0， 从而g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． ①当m ∈(0,1)时，有α＝mx 1＋(1－m )x 2＞mx 1＋(1－m )x 1＝x 1，α＜mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，即α∈(x 1，x 2)，同理可得β∈(x 1，x 2)．所以由g (x )的单调性知g (α)，g (β)∈(g (x 1)，g (x 2))，从而有|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，符合题意．②当m ≤0时，α＝mx 1＋(1－m )x 2≥mx 2＋(1－m )x 2＝x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2≤(1－m )x 1＋mx 1＝x 1，于是由α＞1，β＞1及g (x )的单调性知g (β)≤g (x 1)＜g (x 2)≤g (α)，所以|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题意不符． ③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，进而得|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题意不符． 综上所述，所求的m 的取值X 围为(0,1)．2．解：(1)f 3′(x )＝3ax 2，由f 3′(2)＝12得a ＝1. (2)g n (x )＝x n－n 2ln x －1，g ′n (x )＝nx n －1－n 2x ＝n x n －n x.因为x >0，令g n ′(x )＝0得x ＝nn ， 当x >nn 时，g n ′(x )>0，g n (x )是增函数； 当0<x <nn 时，g n ′(x )<0，g n (x )是减函数． 所以当x ＝nn 时，g n (x )有极小值，也是最小值，g n (nn )＝n －n ln n －1.当x →0时，g n (x )→＋∞； 当x →＋∞时，g n (x )→＋∞.当n ≥3时，g n (n n )＝n (1－ln n )－1<0，函数g n (x )有两个零点； 当n ＝2时，g n (n n )＝－2ln 2＋1<0，函数g n (x )有两个零点； 当n ＝1时，g n (nn )＝0，函数g n (x )有且只有一个零点． 综上所述，存在n ＝1，使得函数g n (x )有且只有一个零点． (3)f n ′(x )＝n ·x n －1.因为f n ′x 0f n ＋1′x 0＝f n mf n ＋1m，所以nx n －10n ＋1x n 0＝m n －1m n ＋1－1，解得x 0＝n m n ＋1－1n ＋1m n －1.则x 0－m ＝－mn ＋1＋m n ＋1－nn ＋1m n －1，当m >1时，(n ＋1)(m n－1)>0. 设h (x )＝－xn ＋1＋x (n ＋1)－n (x ≥1)，则h ′(x )＝－(n ＋1)x n ＋n ＋1＝－(n ＋1)·(xn－1)≤0，当且仅当x ＝1时取等号，所以h (x )在[1，＋∞)上是减函数． 又m >1，所以h (m )<h (1)＝0， 所以x 0－m <0，所以x 0<m . 当0<m <1时，(n ＋1)(m n－1)<0. 设h (x )＝－xn ＋1＋x (n ＋1)－n (0<x ≤1)，则h ′(x )＝－(n ＋1)x n＋n ＋1＝－(n ＋1)·(x n－1)≥0，当且仅当x ＝1时取等号，所以h (x )在(0,1]上是增函数．又因为0<m <1，所以h (m )<h (1)＝0， 所以x 0－m >0，所以x 0>m .综上所述，当m >1时，x 0<m ，当0<m <1时，x 0>m .3．解：(1)因为函数f (x )＝x －1在区间[－2,1]上单调递增， 所以当x ∈[－2,1]时，f (x )的值域为[－3,0]．而[－3,0]⊄[－2,1]，所以函数f (x )在区间[－2,1]上不是封闭的． (2)因为g (x )＝3x ＋a x ＋1＝3＋a －3x ＋1.①当a ＝3时，函数g (x )＝3，显然{3}⊆[3,10]，故a ＝3满足题意； ②当a >3时，在区间[3,10]上，函数g (x )单调递减，此时g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＋a 11，9＋a 4.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＋a 11，9＋a 4⊆[3,10]得⎩⎪⎨⎪⎧30＋a11≥3，9＋a 4≤10，解得3≤a ≤31，故3<a ≤31；③当a <3时，在区间[3,10]上，有g (x )＝3＋a －3x ＋1<3，不合题意．word 11 / 11 综上所述，实数a 的取值X 围是[3,31]．(3)因为h (x )＝x 3－3x ，所以h ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 因为当x <－1或x >1时，h ′(x )>0；当x ＝－1或x ＝1时，h ′(x )＝0；当－1<x <1时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．从而h (x )在x ＝－1处取得极大值2，在x ＝1处取得极小值－2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ h a ＝a 3－3a ≥a ，h b ＝b 3－3b ≤b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a a ＋2a －2≥0，b b ＋2b －2≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2.因为a <b ，所以－2≤a ≤0,0≤b ≤2.又a ，b ∈Z ，故a 只可能取－2，－1,0，b 只可能取0,1,2.①当a ＝－2时，因为b >0，故由h (－1)＝2得b ≥2，因此b ＝2.经检验，a ＝－2，b ＝2符合题意；②当a ＝－1时，由h (－1)＝2，得b ＝2，此时h (1)＝－2∉[－1,2]，不符合题意； ③当a ＝0时，显然不符合题意．综上所述，a ＝－2，b ＝2.。
【三维设计】2015届高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)函数的单调性与最值课时训练 理(含
课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·苏北四市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b＝________.2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________.3.创新题定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值X 围是________．5．(2014·苏中三市、宿迁调研)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋e x (e 为自然对数的底数)，则f (ln 6)的值为________．6．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．使函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值X 围是________．9．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值X 围．10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·某某二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|.下列不等关系：①f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6；②f (sin l)>f (cos l)； ③f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3；④f (cos 2)>f (sin 2)． 其中正确的是________(填序号)．2．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值X 围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.答案：02．解析：依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.答案：253．解析：由已知得当－2≤x ≤1时， f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案：64．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上也是减函数， ∴a >0.∴a 的取值X 围是(0,1]．答案：(0,1]5．解析：由f (x )是奇函数得f (ln 6)＝－f (－ln 6)＝－(－ln 6)－e－ln 6＝ln 6－16. 答案：ln 6－166．解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f 2＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －2＝12，1a －12＝2， 解得a ＝25. 答案：25 7.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1) 8．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2x －2＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2， 使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4)9．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.10．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第Ⅱ组：重点选做题1．解析：当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，从而f (x )＝f (x ＋4)＝2－|x |，因为sin π6<cos π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6； 因为sin l>cos l ，所以f (sin l)<f (cos l)；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2π3<⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3； 因为|cos 2|<|sin 2|，所以f (cos 2)>f (sin 2)． 综上所述，正确的是④. 答案：④2．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23。
【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)矩阵及其变换课时训练 理(含14年最新题
课时跟踪检测(七十三) 矩阵及其变换1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 6 p －q p ＋q 5，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy －11 x ＋y ，若M ＝N ，求x ，y ，p ，q .2．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．3．求出曲线y 2＝4x 依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程x 2＝2y ，求实数t .4．已知曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求矩阵M .5．如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，求a ＋b 的值．6．若一个变换所对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，求抛物线y 2＝－4x 在这个变换下所得到的曲线的方程．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b0，直线l 1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l 3：x ＋y ＋4＝0，求直线l 2的方程．8．二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4，－1)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 将圆x 2＋y 2＝1变换后的方程． 答 案1．解析：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝6，x ＋y ＝5，p －q ＝－1，p ＋q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，p ＝0，q ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，p ＝0，q ＝1.2．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线C 1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .∵P ′是曲线C 1上的点， ∴C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 3．解：由已知得BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤t001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0. 任取曲线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，则有⎩⎪⎨⎪⎧－y 0＝x ′，tx 0＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝－x2，2tx 0＝2y ′.∵P ′在曲线x 2＝2y 上，∴x ′2＝2y ′. 即y 20＝2tx 0，① y 20＝4x 0，②比较①②得2t ＝4⇒t ＝2.4．解：在曲线C 上任取一点P (x ，y )，点P 在矩阵M 作用下得点P ′(x ′，y ′)，设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy .由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，∴a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001. 5．解：在曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1上任取一点P (x ，y )，设点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .则(x ＋ay )2－(bx ＋y )2＝1. 化简，得(1－b 2)x 2＋2(a －b )xy ＋(a 2－1)y 2＝1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝1，a －b ＝4，a 2－1＝3.解得a ＝2，b ＝0，所以a ＋b ＝2.6．解：设P (x ，y )为y 2＝－4x 上任意一点，P ′(x ′，y ′)为变换后所得曲线上对应P的点，由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′，y ＝y ′2.∴⎝⎛⎭⎪⎫y ′22＝－4(－x ′)，即y ′2＝16x ′.∴抛物线y 2＝－4x 经变换后的曲线方程为y 2＝16x .7．解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ， 设P (x ，y )是l 1上的任意一点，其在BA 所对应的变换作用下的像为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2ax ，y ′＝by .由题意可得，点(x ′，y ′)在直线l 3上，所以2ax ＋by ＋4＝0即为直线l 1：x －y ＋4＝0，故a ＝12，b ＝－1.此时B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1 0，同理可设Q (x 0，y 0)为l 2上的任意一点，其在B 所对应的变换作用下的像为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 2－10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2y 0，y ′0＝－x 0.，又(x ′0，y ′0)在直线l 3上，所以2y 0－x 0＋4＝0，故直线l 2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.8．解：(1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51和M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，c ＋2d ＝1，2a ＋b ＝4，2c ＋d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 1. (2)设点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′－2y ，y ＝13x ′＋y，代入x 2＋y 2＝1并化简得 (x ′－2y ′)2＋(x ′＋y ′)2＝9， 即(x －2y )2＋(x ＋y )2＝9.。
【新编】【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷 提能增分卷)椭圆课时训练 理(含14年最新题及解析)
课时跟踪检测(四十八) 椭 圆(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为 d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．2．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．3．(2013·扬州模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．4．(2013·南京、盐城一模)已知F 1，F 2分别是椭圆x 28＋y 24＝1的左、右焦点，P 是椭圆上的任意一点，则|PF 1－PF 2|PF1的取值范围是________．5.(2013·扬州期末)如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为________．7．(2013·无锡期末)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为32，过椭圆C 上一点P (2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A ，B ，直线AB 与x 轴交于点M ，与y 轴负半轴交于点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若S △PMN ＝32，求直线AB 的方程．8．(2013·泰州质检)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点分别为B 2，B 1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35a ，m (m >0)是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1，A 2B 2于点M ，N .(1)求椭圆的离心率；(2)若MN ＝4217，求椭圆C 的方程；(3)如图2，在(2)的条件下，设R 是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 的纵坐标的取值范围．第Ⅱ卷：提能增分卷1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为22，分别过点O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E (异于A ，C 两点)，且OE ＝EF .(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．2．(2014·苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，62. (1)求椭圆E 的方程．(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .①设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．3．(2013·南京、淮安二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，a 2和点B (3，1)． (1)求椭圆C 的方程．(2)已知点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为x 0x ＋3y 0y －6＝0.①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：令F (c,0)，B (0，b )，则直线BF 的方程为x c ＋y b ＝1，所以d 1＝bc a.又d 2＝a 2c －c ＝b 2c ，由d 2＝6d 1，可得(b 2c )2＝6(bc a)2，化简得6c 4－a 4＋a 2c 2＝0， 即6e 4＋e 2－1＝0解得e 2＝13或e 2＝－12(舍去)故e ＝33. 答案：332．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案：43．解析：因为k ＋2>k ＋1，所以a 2＝k ＋2，b 2＝k ＋1，从而c 2＝1，c ＝1.又△ABF 2的周长4a ＝8，所以a ＝2，e ＝12.答案：124．解析：显然当PF 1＝PF 2时，|PF 1－PF 2|PF 1＝0.由椭圆定义得PF 2＝42－PF 1，从而|PF 1－PF 2|PF 1＝|2PF 1－42|PF 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42PF 1－2.而22－2≤PF 1≤22＋2，所以4222＋2≤42PF 1≤4222－2，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪42PF 1－2≤2＋2 2.综上所述，|PF 1－PF 2|PF 1∈[0,22＋2]． 答案：[0,22＋2]5．解析：连结OQ ，F 1P .因为OF 1＝OF 2，QF 2＝PQ ，故OQ ∥F 1P ，OQ ＝12F 1P ，所以PF 1＝2b ，且∠F 1PF 2＝90°，故PF 2＝2a －2b ，从而(2c )2＝(2b )2＋(2a －2b )2＝4(a 2－b 2)，解得b a ＝23，故e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－49＝53. 答案：536．解析：由cos ∠F 1BF 2＝725，及余弦定理得a 2＋a 2－4c 22a 2＝725，解得e ＝35. 设点D (－a cos θ，－b sin θ)， 又点B (0，b )，C (0，－b )，所以k BD ·k CD ＝－b sin θ－b －a cos θ·－b sin θ＋b －a cos θ＝－b 2a 2＝－bc ·k CD ，所以k CD ＝bc a 2＝1225.答案：12257．解：(1)由题意c 2a 2＝34，所以c 2＝34a 2，b 2＝14a 2.又点P (2,1)在椭圆上，所以4a 2＋1b2＝1，所以a 2＝8，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设直线PA 的方程为y －1＝k (x －2)，代入方程x 2＋4y 2＝8得(1＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －4＝0.因为方程的一根为2，所以x A ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y A ＝－4k 2－4k ＋11＋4k 2， 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－8k －21＋4k 2，－4k 2－4k ＋11＋4k 2. 因为直线PA 与PB 的倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ， 同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋8k －21＋4k 2，－4k 2＋4k ＋11＋4k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝12. 设直线AB 的方程为y ＝12x ＋m ，即x －2y ＋2m ＝0，M (－2m,0)，N (0，m )(m <0)，d ＝|2m |5， MN ＝4m 2＋m 2＝5|m |，所以S △PMN ＝12·|2m |5·5|m |＝32，所以m 2＝32，所以m ＝－62.所以直线AB 的方程为y ＝12x －62.8．解：(1)由题意P ⎝⎛⎭⎪⎫3a 5，4b 5， kA 2B 2·k OP ＝－1，所以4b 2＝3a 2＝4(a 2－c 2)，所以a 2＝4c 2，所以e ＝12.①(2)因为MN ＝4217＝21a 2＋1b 2，所以a 2＋b 2a 2b 2＝712.②由①②得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(3)设R (x 0，y 0)．因为RQ 平分∠F 1RF 2，现令Q (0，t )， ∠F 1RQ ＝α，∠F 2RQ ＝β， 所以cos α＝cos β，所以1RF ·RQ |1RF |·|RQ |＝2RF ·RQ|2RF |·|RQ |，即－1－x 0，－y 0－x 0，t －y 0x 0＋2＋y 2＝－x 0，－y 0－x 0，t －y 0x 0－2＋y 2，化简得t ＝－13y 0.因为0<y 0<3，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题意得c ＝1，e ＝c a ＝22， 故a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.① (2)证明：由题意可设直线AB 的方程为y ＝kx ， ② 直线CD 的方程为y ＝－k (x －1)， ③由①②得点A ，B 的横坐标为±22k 2＋1，由①③得点C ，D 的横坐标为2k 2±k 2＋2k 2＋1，设A (x 1，kx 1)，B (x 2，kx 2)，C (x 3，k (1－x 3))，D (x 4，k (1－x 4))，则直线AC ，BD 的斜率之和为kx 1－k －x 3x 1－x 3＋kx 2－k －x 4x 2－x 4＝k ·x 1＋x 3－x 2－x 4＋x 1－x 3x 2＋x 4－x1－x 3x 2－x 4＝k ·x 1x 2－x 3x 4－x 1＋x 2＋x 3＋x 4x1－x 3x 2－x 4＝k ·2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k 2＋1－2k 2－22k 2＋1－0＋4k 22k 2＋1x1－x 3x 2－x 4＝k ·－4k 22k 2＋1＋4k22k 2＋1x1－x 3x 2－x 4＝0.即直线AC ，BD 的斜率之和为定值． 2．解：(1)由题意得2c ＝2，所以c ＝1. 又2a 2＋32b2＝1， 消去a 得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2＝－12(舍去)，则a 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)， 则B (2,0)，k 1＝y 02，k 2＝y 1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2， 所以k 1k 2＝y 0y 1x 1－＝4y 21x 21－.因为P (x 1，y 1)在椭圆上， 所以y 21＝34(4－x 21)，所以k 1k 2＝4y 21x 21－＝－32，为定值．②直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为 y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1x －22－x 1y 1＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1x ＋x 21－＋4y 21x 1＋y 1＝2－x 1y 1x ＋x 21－＋12－3x 21x 1＋y 1＝2－x 1y 1x ＋2－x 1y 1＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1,0)．3．解：(1)由题意得⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22b ＝1，3a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝2.所以所求椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)①联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 0x ＋3y 0y －6＝0，消去y 得(x 20＋3y 20)x 2－12x 0x ＋36－18y 20＝0.(*) 由于点P (x 0，y 0)在椭圆C 上， 所以x 206＋y 202＝1，即3y 20＝6－x 20.故(*)式可化为x 2－2x 0x ＋x 20＝0.因为Δ＝(－2x 0)2－4x 20＝0，所以原方程组仅有一组解，显然x ＝x 0，y ＝y 0是方程组的解，所以直线l 与椭圆C 有唯一的公共点．②点F 的坐标为(－2,0)，过点F 且与直线l 垂直的直线的方程为 3y 0x －x 0y ＋6y 0＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋3y 0y －6＝0，3y 0x －x 0y ＋6y 0＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 0－18y 20x 20＋9y 20，y ＝18y 0＋6x 0y 0x 20＋9y 20.因为点P (x 0，y 0)在椭圆x 26＋y 22＝1上，所以3y 2＝6－x 20，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x 0－63－x 0，y ＝3y03－x 0.所以点F (－2,0)关于直线l 的对称点的坐标为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－63－x 0，6y 03－x 0.当x 0≠2时，k PQ ＝6y 03－x 0－y 04x 0－63－x 0－x 0＝y 0x 0－2.所以直线PQ 的方程为y －y 0＝y 0x 0－2(x －x 0)，即(x －2)y 0－yx 0＋2y ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＝0，即直线PQ 过定点(2,0)．当x 0＝2时，y 0＝±63，此时点Q 的坐标为(2，±26)，直线PQ 过点M (2,0)． 综上，直线PQ 恒过定点(2,0)．。
【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)函数与方程、课时训练 理(含14年最新题
课时跟踪检测(十一) 函数与方程第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·南通期中)用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：2．(2014·荆门调研)已知函数y ＝f (x )的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y 3．若函数f (x )＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝________.4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ；②y ＝－2x；③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为________．5．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．8．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·盐城三调)若关于x 的方程x 2－(a 2＋b 2－6b )x ＋a 2＋b 2＋2a －4b ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 1<0<x 2<1，则a 2＋b 2＋4a ＋4的取值范围是________．2．(2014·扬州期末)若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：因为函数f (x )＝3x－x －4，令f (a )f (b )<0，则方程f (x )＝0在(a ，b )内有实根，从而x ≈1.56. 答案：1.562．解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．答案：33．解析：依题意得f (0)·f (1)>0，f (1)·f (2)>0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0， 故f (x )的零点所在区间是(2,3)． 答案：24．解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1.答案：④5．解析：作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．答案：26．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)7．解析：画出函数f (x )的图像如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个不同交点，由图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，18．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图像．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：0<k <19．证明：令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<－m －12<2，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2－4>0，－3<m <1，4＋m －＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m >3或m <－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m <－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1)． 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f，f即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋b －2<4，a ＋b ＋1>0，利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即5＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a ＋b ＋1＝0的距离，即为|－2＋0＋1|2＝12，所以a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫122，5＋2，即a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，9＋45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，9＋45 2．解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0， 则x >2a3或x <0.由f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞上是单调增函数知⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞，从而a ∈(0,10]．由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000x 2，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图像(如图所示)．当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1000＝0在区间(14,15)上存在根x0，因此从图像可以看出在(10，x0]之间f(x)＝1 000共有4个整数解．答案：4。
【新编】【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷 提能增分卷)直线、平面平行的判定与性质课时训练 理
课时跟踪检测(四十一) 直线、平面平行的判定与性质第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·常州模拟)给出下列命题：(1)若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；(2)若直线a在平面α外，则直线a与平面a没有公共点；(3)两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；(4)设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.上述命题中，假命题的序号是________．2．(2014·河北教学质量检测)已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是________(填写序号)．3．(2014·南通一模)关于直线m，n和平面α，β有以下四个命题：(1)若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；(2)若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；(3)若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；(4)若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.其中假命题的序号是________．4．(2014·南京一模)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：(1)若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；(2)若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；(3)若α∥β，l∥α，则l∥β；(4)若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是________(填序号)．5．(2013·盐城二调)已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________(请用序号表示)．6．(2014·惠州调研)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.7．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有________．9.已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥C MNB 的体积．10．(2013·江苏高考)如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .第Ⅱ组：重点选做题1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是________．2．(2014·汕头质检)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线；②若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m ，n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m ，n 在平面α内的射影互相平行，则m ，n 互相平行．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：对于(1)，若线段AB在平面α内，则A，B∈α，故由公理1可得直线AB上的点都在平面α内；对于(2)，直线a在平面α外还包含直线a与平面α相交；对于(3)，两个平面平行，则一个平面内所有直线都平行于另一个平面，故其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面是其必要条件；对于(4)，b，c还可能相交或异面．故(2)(3)(4)为假命题．答案：(2)(3)(4)2．解析：对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确．答案：①④3．解析：(1)中，m，n也可以相交，故(1)是假命题；(2)正确；(3)中，n还可以在α内或β内，故(3)是假命题；(4)中，只有当α⊥β时，命题才成立．故假命题的序号是(1)(3)(4)．答案：(1)(3)(4)4．解析：(1)只有当l与m相交时，才可得到α∥β；(3)l可能在平面β内；(2)(4)正确．答案：(2)(4)5．解析：由两个作为条件，另一个作为结论的所有可能情形有：①②→③；①③→②；②③→①.其中①③→②不正确，l还可以在平面β内；②③→①不正确，l还可以在平面α内，也可以平行于平面α；①②→③是正确命题．答案：①②→③6．解析：若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．答案：④7．解析：假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连结DB，因为P，O 分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点8．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．解：(1)证明：如图，连结AB′，AC′，∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′，∴MN ∥平面A ′ACC ′.(2)由图可知V C MNB ＝V M BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4，∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2. ∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，∴A ′N ⊥BB ′，∴A ′N ⊥平面BCN .又M 为A ′B 的中点，∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C MNB ＝V M BCN ＝13×42×22＝43. 10．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .第Ⅱ组：重点选做题1．解析：因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊂平面α，所以CD ∥平面α，所以CD 与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：平行或异面2．解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m，n也可能异面，故为假命题．答案：②。
【新编】【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷 提能增分卷)函数的奇偶性及周期性、课时训练 理(含
课时跟踪检测(六) 函数的奇偶性及周期性第Ⅰ组：全员必做题1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]的最小正周期是________．2．(2013·湖南高考改编)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．3．(2014·长春三校调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 4．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是________．(填写序号)①f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)②f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)③f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)④f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)5．(2014·南京摸底)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 12，则f (－4)的值是________．6．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．8．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·南京二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1， x ≤0，f x －－f x －， x >0，则f (2 016)＝________.2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f (x )为周期函数．答案：12．解析：由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3.答案：33．解析：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数， 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 答案：434．解析：将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．答案：③5．解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－4)＝－f (4)＝－412＝－2. 答案：－26．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0.∴a ＝1. f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.答案：－17．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1) 8．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2. ①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－109．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时，f (x )＝x ，则f (x )的图像如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 10．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，进而f (2 016)＝f (336×6)＝f (0)＝3－1＝13. 答案：132．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图像如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④。
【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)空间几何体的表面积与体积课时训练 理(含
课时跟踪检测(四十三) 空间几何体的表面积与体积 第Ⅰ组：全员必做题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．3．(2013·南京、淮安二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为________ cm.4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为________．6．(2013·苏北四市三调)在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝3，以边BC 所在的直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．7．(2014·苏北四市摸底)已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为________．8.创新题如图，在三棱锥D ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D ABC 的体积的最大值是________．9.如图所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°，△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P ABC 的体积．10．(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求三棱锥E BCD 的体积．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·苏中三市、宿迁调研(一))若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为________ cm.2．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：S 底＝6×34×42＝243，S 侧＝6×4×6＝144， ∴S 全＝S 侧＋2S 底＝144＋483＝48(3＋3)．答案：48(3＋3)2．解析：设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.答案：73．解析：设圆锥的底面半径为r cm ，高为h cm ，则2πr ＝2π3×3，解得r ＝1，所以h ＝32－1＝2 2. 答案：2 24．解析：由于长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，则长方体的体对角线长为a 2＋a 2＋a 2＝6a .又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a .∴S 球＝4πR 2＝6πa 2.答案：6πa 25．解析：设球的半径为R ，由题知M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方比，在球的轴截面图中求得r 21＝R 2－(2R 3)2 ＝5R 29，r 22＝R 2－(R 3)2＝8R 29，故三个圆的半径的平方比为5R 29∶8R 29∶R 2＝5∶8∶9. 答案：5∶8∶96．解析：将矩形ABCD 以边BC 所在直线为轴旋转一周后得到的几何体是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π.答案：12π7．解析：设该正三棱锥的高为h ，则h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4332－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×22 ＝163－43＝2， 所以该正三棱锥的体积为V ＝13×34×22×2＝233. 答案：2338．解析：由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 相互垂直．设d 为AD 到BC 的距离．则V D －ABC ＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D －ABC 体积最大，∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时，d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215. 答案：2159．解：(1)因为BD 是圆的直径，所以∠BAD ＝90°，又因为△ADP ∽△BAD ，所以AD BA ＝PDAD， 即PD ＝AD 2BA ＝BD 2BD si n 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . (2)在Rt△BCD 中，CD ＝BD cos 45°＝2R ，因为PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，所以PD ⊥CD .又因为∠PDA ＝90°，所以PD ⊥AD ，而AD ∩CD ＝D ，所以PD ⊥平面ABCD .又因为S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32·22＋12·22 ＝3＋14R 2， 所以三棱锥P ABC 的体积为V P ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3. 10．解：(1)证明：如图，取BC 的中点G ，连结AG ，EG ，因为E 是B 1C 的中点，所以EG∥BB 1，且EG ＝12BB 1. 由题意知，AA 1綊BB 1.而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD .所以四边形EGAD 是平行四边形．所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE .所以V E BCD ＝V D BCE ＝V A BCE ＝V E ABC .由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E BCD ＝V E ABC ＝V D ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12. 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题设，圆锥的母线l ＝2 cm ，底面半径r ＝1 cm ，故其高h ＝l 2－r 2＝ 3 (cm)． 答案： 32．解析：由题意知BD 为实长，即正四面体的边长为22，所以S ＝34·(22)2＝23， h ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝433，故V ＝13·S ·h ＝13×23×433＝83.8答案：3。
【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)圆的方程课时训练 理(含14年最新题及解
课时跟踪检测(四十六) 圆 的 方 程(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·盐城一调)已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________．2. (2013·东城二模)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为________．3. 已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为________．4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________．5．(2013·苏锡常镇二调)若圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．6．已知集合P ＝⎩⎨⎧x ，y⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3≥0，4x ＋3y －6≤0，y ≥0，Q ＝{(x ，y )|(x －a )2＋(y －b )2≤r 2，r >0}．若“点M ∈P ”是“点M ∈Q ”的必要条件，则当r 最大时，ab 的值是________．7．已知圆C 的圆心与点M (1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为________．8. 创新题已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．9. 在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，求PA ·PB 的取值范围．10．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上．(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏北四市二调)如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)当t＝1时，求直线l的方程．2．(2013·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝r2和直线l：x＝a(其中r和a均为常数，且0<r<a)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P，Q.(1)若r＝2，点M的坐标为(4,2)，求直线PQ的方程；(2)求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．答案第Ⅰ卷：夯基得分卷1．解析：圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝10，圆关于直线的对称圆半径相等，圆心关于直线对称．又由题意知，点(3,1)关于直线l的对称点为(2,2)，即得圆C′的方程为(x－2)2＋(y －2)2＝10.答案：(x－2)2＋(y－2)2＝102．解析：∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为－－4－3|5＝2，∴d min＝2－1＝1.答案：13．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形PACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.答案：24．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝435．解析：动点到原点距离为1，故动点轨迹方程为x 2＋y 2＝1，由题意知两个圆总相交， 即1<a －2＋a ＋3－2<3，所以1<5a 2＋6a ＋9<9，整理得⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a <0，解得－65<a <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0 6．解析：在平面直角坐标系中作出可行域(如右图)，集合P 中的点在Rt△ABC 内(含边界)．集合Q 中的点在以D (a ，b )为圆心，r 为半径的圆内(含边界)，依题意知圆D 在Rt△ABC 内部，当r 最大时，圆D 为Rt△ABC 的内切圆．此时r ＝b .设∠DAE ＝α，∠DBE ＝β，则由tan 2α＝34得tan α＝13，由tan 2β＝43得tan β＝12，于是AE ＝3r ，BE ＝2r .又易知A (－1,0)，B (32，0)．所以AB ＝52，所以3r ＋2r ＝52，得r ＝12，AE ＝32，进而a ＝b ＝12，所以ab ＝14. 答案：147．解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r 2(r ＞0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322， 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92.答案： (x ＋2)2＋(y －2)2＝928．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O 到直线的距离为12a 2＋b2＝22，所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋b －2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π.答案：(3－22)π9．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝|－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，则由|PA |，|PO |，|PB |成等比数列得，x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA ·PB ＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2，由此得y 2＜1，所以PA ·PB 的取值范围为[－2,0)． 10．解：(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ， ∴k AD ＝－3，点(－1,1)在边AD 所在的直线上， ∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得A (0，－2)．∴|AP |＝ 4＋4＝22，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是 (x －2)2＋y 2＝8.(2)证明：直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，由|QP |2＝(3－2)2＋22＝5＜8知点Q 在圆P 内，所以l 与圆P 恒相交， 设l 与圆P 的交点为M ，N ，|MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝ 5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12，故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，即l ：x ＋2y －7＝0. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上．设圆C 与x 轴的交点分别为点A ，B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)． 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x ＋2＋y －2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)．因为以MN 为直径的圆恰好经过点O ，所以OM ·ON ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2±3，故所求直线l 的方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1.2．解：(1)当r ＝2时，M (4,2)，则A 1(－2,0)，A 2(2,0)． 直线MA 1的方程为x －3y ＋2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －3y ＋2＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65.直线MA 2的方程为x －y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －y －2＝0，解得Q (0，－2)．由两点式得直线PQ 的方程为 2x －y －2＝0.(2)证明：法一：由题设得A 1(－r,0)，A 2(r,0)． 设M (a ，t )，则直线MA 1的方程为y ＝ta ＋r(x ＋r )，直线MA 2的方程为y ＝ta －r(x －r )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝r 2，y ＝ta ＋rx ＋r ，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫r a ＋r 2－rt 2a ＋r2＋t 2，2tr a ＋r a ＋r 2＋t 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝ta －rx －r ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫rt 2－r a －r 2a －r 2＋t 2，－2tr a －r a －r 2＋t 2. 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2at a 2－t 2－r 2，直线PQ 的方程为y －2tr a ＋ra ＋r 2＋t 2＝ 2at a 2－t 2－r 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －ra ＋r 2－rt 2a ＋r2＋t 2. 令y ＝0，得x ＝r 2a，是一个与t 无关的常数．故直线PQ 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2a ，0. 法二：由题设得A 1(－r,0)，A 2(r,0)． 设M (a ，t )，则直线MA 1的方程为y ＝t a ＋r(x ＋r )，直线MA 2的方程为y ＝ta －r(x －r )，设直线MA 1与圆C 的交点为P (x 1，y 1)， 直线MA 2与圆C 的交点为Q (x 2，y 2)． 故点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在曲线[(a ＋r )y －t (x ＋r )][(a －r )y －t (x －r )]＝0上， 化简得(a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2)＝0.① 又因为点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在圆C 上， 圆C ：x 2＋y 2－r 2＝0.②①＋t 2×②得(a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2)＋t 2(x 2＋y 2－r 2)＝0. 化简得(a 2－r 2＋t 2)y －2t (ax －r 2)＝0， 所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2＋t 2)y －2t (ax －r 2)＝0.令y ＝0，得x ＝r 2a，是一个与t 无关的常数．故直线PQ 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2a ，0.。
【三维设计】高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第十二章 数学归纳法配套课时训练(含14年最
课时跟踪检测(六十九) 数学归纳法1．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N*)，那么f(n ＋1)－f(n)＝________. 2．凸n 多边形有f(n)条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f(n ＋1)与f(n)的关系为________．3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋ n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为________．4．(2014·皖南三校一模)设平面上n 个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n ∈N*)5．(2014·扬州调研)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a3是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m 展开式的前三项的系数．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m 展开式的中间项； (2)当n≥2时，试比较1an ＋1an ＋1＋1an ＋2＋…＋1an2与13的大小．6.创新题已知点Pn(an ，bn)满足an ＋1＝an·bn＋1，bn ＋1＝bn 1－4a2n(n ∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N*，点Pn 都在(1)中的直线l 上．7．已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n3，g(n)＝32－12n2，n ∈N*. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．答 案1．解析：∵f(n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2， ∴f(n ＋1)－f(n)＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.答案：13n ＋13n ＋1＋13n ＋22．解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连结成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．答案：f(n ＋1)＝f(n)＋n －13．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k2，则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)24．解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n ＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n －1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n ＋2.答案：4 n2－n ＋25．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝1＋C1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋C2m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋…. 依题意a1＝1，a2＝12m ，a3＝－8，由2a2＝a1＋a3可得m ＝1(舍去)或m ＝8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m 展开式的中间项是第五项， 为T5＝C48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x4. (2)由(1)知，an ＝3n －2，当n ＝2时，1an ＋1an ＋1＋1an ＋2＋…＋1an2＝1a2＋1a3＋1a4＝14＋17＋110＝69140>13； 当n ＝3时，1an ＋1an ＋1＋1an ＋2＋…＋1an2＝1a3＋1a4＋1a5＋…＋1a9＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125＝17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋113＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫119＋122＋125 >18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116＋116＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋132＋132 ＝18＋316＋332>18＋316＋116>13. 猜测：当n≥2时，1an ＋1an ＋1＋1an ＋2＋…＋1an2>13. 以下用数学归纳法加以证明：①n ＝3时，结论成立，②设当n ＝k 时，1ak ＋1ak ＋1＋1ak ＋2＋…＋1ak2>13， 则n ＝k ＋1时， 1＋＋1＋＋1＋1＋＋2＋…＋1＋ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ak ＋1＋1＋1＋＋1＋1＋＋2＋...＋1ak2＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ak2＋1＋1ak2＋2＋ (1)－1ak >13＋ ⎝⎛⎭⎪⎫1ak2＋1＋1ak2＋2＋…＋1＋－1ak >13＋ ＋＋－2－13k －2＝13＋＋－－＋－2]＋－－＝13＋3k2－7k －3＋－－. 由k≥3可知3k2－7k －3>0， 即1＋＋1＋＋1＋1＋＋2＋…＋1＋>13. 综合①②可得，当n≥2时，1an ＋1an ＋1＋1an ＋2＋…＋1an2>13. 6．解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，b2＝－11－4×1＝13，a2＝1×13＝13， ∴P2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1， 即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k(k≥1且k ∈N*)时，2ak ＋bk ＝1成立．则2ak ＋1＋bk ＋1＝2ak·bk＋1＋bk ＋1＝bk 1－4a2k ·(2ak＋1)＝bk 1－2ak ＝1－2ak 1－2ak ＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2ak ＋1＋bk ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N*，都有2an ＋bn ＝1，即点Pn 在直线l 上．7．解：(1)当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n ＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)<g(2)；当n ＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216， 所以f(3)<g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n ＝k(k≥3，k ∈N*)时不等式成立．即1＋123＋133＋143＋…＋1k3<32－12k2， 那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝f(k)＋1＋<32－12k2＋1＋， 因为1＋－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k2－1＋ ＝k ＋3＋－12k2＝－3k －1＋<0， 所以f(k ＋1)<32－1＋＝g(k ＋1)．由①、②可知，对一切n ∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．。
《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮配套课时跟踪检测53 定点、定值、探索性问题
课时跟踪检测(五十三) 定点、定值、探索性问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·连云港调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．2．(2014·镇江模拟)已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点A (2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32.不经过点A 的动直线y ＝12x ＋m 交椭圆O 于P ，Q 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：P ，Q 两点的横坐标的平方和为定值；(3)过点A ，P ，Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标．3．(2013·盐城二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点P ⎝⎛⎭⎫22，12，记椭圆的左顶点为A .(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求△ABC 面积的最大值；(3)过点A 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线交椭圆于D ，E 两点，且k 1k 2＝2，求证：直线DE 恒过一个定点．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·苏北四市一调)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且1F M ·2F N ＝0. (1)求椭圆的方程； (2)求MN 的最小值；(3)求以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．2．(2014·盐城摸底)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0<t <8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q .(1)当t ＝3时，求以F 1，F 2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C . ①求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上；②圆C 是否恒过异于点F 1的一个定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)因为椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，所以169a 2＋19＝1， 解得a 2＝2.又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2， 所以AF 2⊥F 2P ，即－bc ·b 343－c ＝－1，化简得b 2＝c (4－3c )．而b 2＝a 2－c 2＝2－c 2，解得c ＝1，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋p ， 代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4kpx ＋2p 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋2k 2)(2p 2－2)＝8(1＋2k 2－p 2)＝0，即1＋2k 2＝p 2. 设在x 轴上存在两点(s,0)，(t,0)，使其到直线l 的距离之积为1，则|ks ＋p |k 2＋1·|kt ＋p |k 2＋1＝|k 2st ＋kp (s ＋t )＋p 2|k 2＋1＝1， 即(st ＋1)k ＋p (s ＋t )＝0，(*) 或(st ＋3)k 2＋(s ＋t )kp ＋2＝0.(**)由(*)恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧ st ＋1＝0，s ＋t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－1，t ＝1.但(**)不恒成立；②当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 定点(－1,0)，(1,0)到直线l 的距离之积为 d 1·d 2＝(2－1)(2＋1)＝1.综上，存在两个定点(1,0)，(－1,0)，使其到直线l 的距离之积为定值1. 2．解：(1)设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得a ＝2，e ＝32，所以c ＝3，b ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝12x ＋m 代入椭圆，化简得x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0.①所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，所以P ，Q 两点的横坐标的平方和为定值4. (3)法一：设圆的一般方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，PQ 的中点M ⎝⎛⎭⎫－m ，m2， PQ 的垂直平分线的方程为 y ＝－2x －32m ，圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2满足y ＝－2x －32m ， 所以－E 2＝D －32m .② 圆过定点(2,0)，所以4＋2D ＋F ＝0.③圆过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋Dx 1＋Ey 1＋F ＝0，x 22＋y 22＋Dx 2＋Ey 2＋F ＝0，两式相加得x 21＋x 22＋y 21＋y 22＋Dx 1＋Dx 2＋Ey 1＋Ey 2＋2F ＝0， 即x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x 214＋⎝⎛⎭⎫1－x 224＋D (x 1＋x 2)＋E (y 1＋y 2)＋2F ＝0.因为x 21＋x 22＝4，x 1＋x 2＝－2m ，y 1＋y 2＝m ，所以5－2mD ＋mE ＋2F ＝0.④因为动直线y ＝12x ＋m 不过点A ，所以m ≠－1.由②③④解得D ＝3(m －1)4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52.代入圆的方程得x 2＋y 2＋3(m －1)4x ＋⎝⎛⎭⎫32m ＋32y －32m －52＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2－34x ＋32y －52＋m ⎝⎛34x ＋⎭⎫32y －32＝0，所以⎩⎨⎧x 2＋y 2－34x ＋32y －52＝0，34x ＋32y －32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0(舍去)．所以圆过定点(0,1)． 法二：设圆的一般方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将y ＝12x ＋m 代入圆的方程得54x 2＋⎝⎛⎭⎫m ＋D ＋E 2x ＋m 2＋mE ＋F ＝0. ⑤因为方程①与方程⑤为同解方程， 所以154＝2m m ＋D ＋E 2＝2(m 2－1)m 2＋mE ＋F .圆过定点(2,0)，所以4＋2D ＋F ＝0，因为动直线y ＝12x ＋m 不过点A ，所以m ≠－1.解得D ＝3(m －1)4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m－52.(以下同法一)． 3．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，12a 2＋14b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝22，c ＝22.所以椭圆的方程为x 2＋2y 2＝1. (2)设B (m ，n )，C (－m ，n )， 则S △ABC ＝12·2|m |·|n |＝|mn |.又1＝m 2＋2n 2≥22m 2n 2＝22|mn |，所以|mn |≤24， 当且仅当|m |＝2|n |时取等号，从而S △ABC ≤24. 所以△ABC 面积的最大值为24. (3)证明：因为A (－1,0)，所以直线AD ： y ＝k 1(x ＋1)，直线AE ：y ＝k 2(x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋1)，x 2＋2y 2＝1消去y ，得(1＋2k 21)x 2＋4k 21x ＋2k 21－1＝0，解得x ＝－1或x ＝1－2k 211＋2k 21，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 211＋2k 21，2k 11＋2k 21. 同理，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 221＋2k 22，2k 21＋2k 22.又k 1k 2＝2，故E ⎝⎛⎭⎪⎫k 21－88＋k 21，4k 18＋k 21. 故直线DE 的方程为y －2k 11＋2k 21＝ 4k 18＋k 21－2k 11＋2k 21k 21－88＋k 21－1－2k 211＋2k 21· ⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2k 211＋2k 21， 即y －2k 11＋2k 21＝3k 12(k 21＋2)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2k 211＋2k 21， 即y ＝3k 12(k 21＋2)x ＋5k 12(k 21＋2).所以2yk 21－(3x ＋5)k 1＋4y ＝0.则令⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，3x ＋5＝0得直线DE 恒过定点⎝⎛⎭⎫－53，0. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)因为e ＝c a ＝12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，a ＝2c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题可设点M (4，y 1)，N (4，y 2)． 又知F 1(－1,0)，F 2(1,0),则1F M ＝(5，y 1)，2F N ＝(3，y 2)．所以1F M ·2F N ＝15＋y 1y 2＝0， y 1y 2＝－15，y 2＝－15y 1.又因为MN ＝|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪－15y 1－y 1＝15|y 1|＋|y 1|≥215，当且仅当|y 1|＝|y 2|＝15时取等号， 所以MN 的最小值为215.(3)设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，所以以MN 为直径的圆的圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22，半径r ＝|y 2－y 1|2，所以圆C 的方程为(x －4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222＝(y 2－y 1)24，整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0.由(2)得y 1y 2＝－15，所以x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0，令y ＝0得x 2－8x ＋1＝0，所以x ＝4±15，所以圆C 过定点(4±15，0)． 2．解：(1)设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 当t ＝3时，PQ 的中点为(0,3)，所以b ＝3. 而a 2－b 2＝16，所以a 2＝25，b 2＝9. 故椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)①证明：法一：易得直线AF 1： y ＝2x ＋8， AF 2：y ＝－2x ＋8， 所以P ⎝⎛⎭⎪⎫t －82，t ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t 2，t .由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)．则线段F 1R 的中垂线的方程为x ＝－t2，线段PF 1的中垂线的方程为y ＝－12x ＋5t －168.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋5t －168，x ＝－t 2，解得⎩⎨⎧x ＝－t2，y ＝7t8－2，所以△PRF 1的外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－t 2，7t8－2. 经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上． 法二：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2： y ＝－2x ＋8， 所以P ⎝⎛⎭⎪⎫t －82，t ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t 2，t . 由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)． 设△PRF 1的外接圆C 的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧(4－t )2＋(4－t )D ＋F ＝0，(－4)2－4D ＋F ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫t －822＋t 2＋t －82D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－7t 4，F ＝4t －16.所以圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫－t 2，7t8－2. 经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上． ②由①可得圆C 的方程为 x 2＋y 2＋tx ＋⎝⎛⎭⎫4－7t4y ＋4t －16＝0，该方程可整理为(x 2＋y 2＋4y －16)＋t ⎝⎛⎭⎫x －74y ＋4＝0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4y －16＝0，x －74y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝413，y ＝3213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0.所以圆C 恒过异于点F 1的一个定点，该点的坐标为⎝⎛⎭⎫413，3213.。
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课时跟踪检测(六十八) 离散型随机变量的均值与方差(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为________．2．(2014·衡水模拟)若X ～B(n ，p)且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X ＝1)的值为________． 3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c(a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________．4．(2013·苏盐城二模)如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．5．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若E(X)＝53，则V(X)的值是________．6．(2013·杭州二模)设整数m 是从不等式x2－2x －8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量X ＝m2，则X 的数学期望E(X)＝________.7．(2013·西安第二次质检)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数中恰有1个是奇数的概率；(2)设X 为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X 的值是2)．求随机变量X 的分布列及其数学期望E(X)．8．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都为13，且面试是否合格相互不影响．(1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数的分布列和数学期望．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·北京东城模拟)为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，则称为“好视力”.(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．2．(2014·苏北四市联考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，他们约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(2)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．3．(2013·无锡三模)第30届夏季奥运会已于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8(单位：cm)：若身高在180 cm以上(包括180 cm)定义为“高个子”，身高在180 cm以下(不包括180 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2. 答案：1.22．解析：E(X)＝np ＝6，V(X)＝np(1－p)＝3⇒p ＝12，n ＝12，P(X ＝1)＝C112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210. 答案：3×2－103．解析：设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为E(X)＝3a ＋2b ＝2≥23a×2b，所以ab≤16，当且仅当3a ＝2b 即a ＝13，b ＝12时，等号成立．答案：164．解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件AC B ，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P(A)＝P(B )＝P(C)＝12.所以P(A B C)＝P(A)P(B )P(C)＝18.答案：185．解析：根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，a ＋2b ＋3c ＝53，解得b ＝13，c ＝16，a ＝12.∴V(X)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532＝59. 答案：596．解析：S ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，X 的分布列为所以E(X)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×17＝5.答案：57．解：(1)记“这3个数恰有一个是奇数”为事件A ， 则P(A)＝C15·C 24C39＝514.(2)随机变量X 的取值为0,1,2.X 的分布列为所以X 的数学期望为E(X)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.8．解：(1)用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P(A)＝12，P(B)＝P(C)＝13，所以至少有一人面试合格的概率为1－P(A B C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝79.(2)由题意可知，X 的可能取值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C)＝49；P(X ＝1)＝P(A B C)＋P(AB C )＋P(A B C )＝49；P(X ＝2)＝P(A BC)＝118；P(X ＝3)＝P(ABC)＝118.所以X 的分布列为E(X)＝0×49＋1×49＋2×118＋3×118＝1318.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.(2)设Ai 表示所选3人中有i 个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A ， 则P(A)＝P(A2)＋P(A3)＝C24C112C316＋C34C316＝19140.(3)X 的可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ～⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝1)＝C13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P(X ＝2)＝C23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，X 的分布列为故X 的数学期望E(X)＝3×14＝34.2．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件Ai(i ＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i. (1)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(2)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故 P(ξ＝0)＝P(A2)＝827，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝4081，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.3．解：(1)根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是520＝14，所以抽取的5人中“高个子”有8×14＝2人，“非高个子”有12×14＝3人．用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A －表示“没有一名”‘高个子’被选中”，则 P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710.因此，至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，知所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X 的取值分别为0,1,2,3. P(X ＝0)＝C34C38＝114，P(X ＝1)＝C14C24C38＝37，P(X ＝2)＝C24C14C38＝37，P(X ＝3)＝C34C38＝114.因此，X 的分布列为所以X 的数学期望E(X)＝0×114＋1×37＋2×37＋3×114＝32.。