任意梯度折射率介质中光线追迹的仿真与分析_冯定华
python光学仿真实现光线追迹折射与反射的实现
python光学仿真实现光线追迹折射与反射的实现⽬录折射与反射平⾯反射平⾯折射python实现弧⾯问题折射与反射光线与光学元件相互作⽤，⽆⾮只有两件事，反射和透射。
⽽就⽬前看来，我们所常⽤的光学元件，也⽆⾮有两种表⾯，即平⾯和球⾯，⼆维化之后就简化成了射线与线段，射线与劣弧的关系。
平⾯反射⽆论从哪个⾓度来看，平⾯的反射折射都要⽐球⾯更简单，⽽反射问题要⽐折射问题更简单，所以，我们⾸先处理平⾯的反射问题。
反射定律即⼊射⾓等于反射⾓，⼼念及此，最为循规蹈矩的思路必然是先找到⼊射光线和平⾯的夹⾓，然后⽤这个夹⾓和平⾯(在⼆维空间中是⼀条直线)在空间中的斜率，由这个斜率与⼊射⾓得到出射光的斜率，然后就可以得到出射光的⽅程。
这个⽅法的问题是需要反复使⽤三⾓函数和反三⾓函数，⽽三⾓函数和反三⾓函数并⾮严格意义上的互为相反，所以在传参的过程中，可能会遇到⼀些⿇烦。
相对来说，⽐较不容易出错的⽅法是，寻找⼊射点关于法线的对称点，那么这个对称点与交点的连线，便是出射光的⽅程。
平⾯折射折射与反射的思路如出⼀辙，最原始的想法仍旧是获取⼊射⾓，然后根据折射定律求出射⾓，然后再按照出射⾓解出出射光的表达式。
这个思路的难点仍旧在三⾓函数与反函数的转化上。
⾄此，我们发现折射与反射在表达形式上是相通的，如果令⼊射点关于法线做垂线，垂⾜为C，约定这条垂线与出射光线的交点为出射点B，那么出射点到垂⾜的距离BC与⼊射点到垂⾜的距离AC之间是满⾜⽐例关系的。
当⼊射光线和反射光线的折射率相等时，这个⽐例为1，否则⽐例为 λ \lambda λ。
我们还能发现，这个 λ \lambda λ不⼀定有解，因为分母中有⼀个根号表达式，当内部的值⼩于0时，⾃然⽆解。
这与我们的物理直觉是符合的，即并不是所有的⼊射光线都有折射光线，当折射光线消失的时候，就发⽣了全反射。
所以，当务之急是根据⼊射点找垂⾜，易得那么对于我们所熟知的折射问题，即可令⼊射点关于反射平⾯做⼀次对称，再关于发现做⼀次定⽐延长线的对称，即可得到出射点。
COMSOL光学仿真专题
透镜的受热变形
空气/真空
TE10 波导
(未显示) 4µm 宽 “准直” 透镜 PML无反射 截止域
仿 真 智 领 创 新
Simulating inspires innovation
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
局部温度
折射率
透镜变形
10 µ-sec 1 ms 100 ms 1 sec
负折射现象
负折射材料
介电常数e和磁导率m均为负数
隐形斗篷
仿 真 智 领 创 新
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负折射率铁磁流体
Y. Gao, J. P. Huang, Y. M. Liu, L. Gao, K. W. Yu, and X. Zhang, PRL 104, 034501 (2010)
COMSOL Multiphysics
光学系统与微纳光学专题
中仿科技 鲍伟（Feit Bao） 2013年1月
仿 真 智 领 创 新
Simulating inspires innovation
光学理论研究方法 • 几何光学：
– 波长 << 特征尺寸 – 光线追迹
• 波动光学：
– 波长与特征尺寸可比拟 – 有限时域差分方法 – 时域有限元方法
仿 真 智 领 创 新
Simulating inspires innovation
总结
• COMSOL RF模块可满足纳米光子学研究中的 以下需求：
– 波导模式分析 – 稳态传输特性分析 – 瞬态传输特性分析
• COMSOL支持进一步的研究需求
– 支持用户自定义PDEs，处理量子光学问题（薛定谔 方程的求解） – 多物理场耦合，光与物质的相互作用（原子冷却、 粒子囚禁与操控等）
平顶高斯光束在梯度折射率介质中的传输特性
高斯光 束 的计算 分析 、 传输 特性 和聚 焦特性 进行 了大量 的研 究 ｌ 。然 而 ， ＿ １ 迄今 为 止 ， 平顶 高 斯 光束 在 梯 度折 射率介 质 中 的传 输特 性鲜有 报 道 。本 文将 平顶 高斯光 束作 为一 个整 体利 用广义 惠更 斯一 涅耳 衍射 积 分 法 ， 菲 推 导 出平 顶 高斯光 束在 梯度 折射 率介质 中的传输 解析 表达 式 ， 研 究 了平 顶 高斯 光束 在 梯度 折 射 率介 质 中的传 并
在激 光 光盘 系统 、 光通信 、 光照 排装置 、 激 光传 感技 术 、 网络检 测及 光 纤熔 接 等应 用 中 ， 均匀 折 射 率介 质 非
不 仅可 以改 善光学 系统 的像 质性 能 ， 可 以使 装 置 的结 构 和 体 积 小 型化 、 型化 ， 还 微 因此 ， 具 有 广 阔 的应 用 前 它 景 。在 非均 匀折射 率介 质 中 ， 梯度 折射 率 （ Ｎ） 质 的 特性 及其 应 用得 到 了广 泛 的研 究 ［ ］ ． ＧＲＩ 介 １ 。在 Ｇ Ｎ介 质 ＲＩ 中， 折射 率 的横 向变化 使光 束产 生波 导效应 及类 透镜 效应 等 ］ 并 使光 束 在 ＧＲ Ｎ 介 质 中 的传输 特 性 与其 在 ， Ｉ
数 的影 响 较 大 ， 向 光 强 的 最 大 值 随 着 梯 度 折 射 率 系 数 的 增 大 而 增 大 。 横
关 键 词 ： 平 顶 高 斯 光 束 ； 广 义 衍 射 积 分 法 ； 梯 度折 射率 介 质 ； 传 输 特 性 ； 近 轴光 学 系 统
光学工程基础参考文献与习题
<<光学工程基础>>参考文献和习题1 光波、光线和成像参考文献：1. Walker Bruce H. Optical Engineering Fundamentals. Bellingham, Washington: SPIE,19982. 袁旭滄. 应用光学. 北京：国防工业出版社，19883. Ditteon Richard 著，詹涵菁译. 现代几何光学. 长沙：湖南大学出版社，20044. Smith W J. Modern Optical Engineering. Boston: The McGreaw-Hill Companies, Inc, 20015. 陈熙谋. 光学•近代物理. 北京：北京大学出版社，20026. 钟钖华. 现代光学基础. 北京：北京大学出版社，20037. Ghatak A K, Thyagarajan K. Contemporary Optics. New Y ork: Plenum Publishing Corporation, 19788. 彭旭麟，罗汝梅. 变分法及其应用. 武汉：华中工学院出版社，19839. Kidger Michael J. Fundamental Optical Design. Bellingham, Washington: SPIE,200210. Jenkins F , White H. Fundamentals of Optics. New Y ork: The McGreaw -Hill Companies, Inc, 197611. Hecht E. Optics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1987习题:1. 简述几何光学的几个基本定律。
2. 简述成像的基本概念。
3. 光在真空中的速度是多少？在水中呢？在钻石中呢？4. 画出折射角i '随入射角i 变化的函数曲线，条件是1=n ，n '是下列值：(a) 1.333；(b)1.5163；(c) 1.78831。
余弦高斯光束在梯度折射率介质中的传输特性
２１ ０ １年 ４月
强 激 光 与 粒 子 束
Ｈ Ｉ Ｈ ＰＯＷ ＥＲ ＩＡＳＥＲ Ａ Ｎ Ｄ Ｇ ＰＡ ＲＴ Ｉ ＣＩＥ ＢＥＡ Ｍ Ｓ
Ｖ ｏ１ ２３， ＮＯ ． ．４
Ａ ｐ ．，２ １ ｒ ０ｌ
文章 编 号 ： １ ０ ３ ２ ２ １ ） ４０ ９ —５ ０ １ ２ （ｏ １０ —８００ ４
中 图 分类 号 ： ０ ３ ４６ 文献标志码 ： Ａ ｄ ｉ１ ． ７ ８ ＨＰ Ｂ ０ ｌ ３ ４ ０ ９ ｏ：０ ３ ８ ／ Ｉ ２ １ ２０ ． ８ ０ Ｐ
在 光通 信 、 传感 技术 、 光 网络 检测 及光 纤熔 接等 应用 中 ， 非均 匀 折射 率介 质 具有 潜 在 的价 值 ， 为此 ， 度折 梯 射 率 （ Ｎ） ＧＲＩ 介质 的特性 及其 应用 得到 了广 泛 的研究 。。在 梯度 折 射 率介 质 中 ， 射 率 的横 向变 化使 光 束产 折 生 波导 效应 及类 透镜 效应等 ， 使光 束 的传 输 特性 与其 在 自由空 间 中 的传输 特 性 明 显不 同ｎ Ｊ 并 。高斯 光 束 、 部
式 中 ： 一２ ／ 表波 数 ， ｋ ａ代 ｒ ｒ 为波 长 。为 了方便 ， （ ） 式 ２ 中略去 了相 因子 。将 式 （ ） 人式 （ ） 使 用积 分公 式 １代 ２，
ｆ－Ｃ（ ｄ一 一ｅ ， ，￣Ｏ 兀 － ／ ａ Ｓ ｅ２ ） ２ 。坨
整 理 得
弦 高斯 光 束在梯 度折 射率 介质 中的传输 解析表 达 式 ， 研究 了余 弦高斯 光束 在梯 度折 射率介 质 中 的传 输特 性 。 并
１ 余 弦 高 斯 光 束 通 过 一 阶 ＡＢ Ｄ 光 学 系统 的传 输 Ｃ
余弦 高斯 光束 在 一０平 面上 的场 分布 可表示 为
基于斯涅尔定律的光线追踪水下三维重建相机标定
基于斯涅尔定律的光线追踪水下三维重建相机标定在水下探险的世界里，嘿，想象一下，一群潜水员在神秘的海底，四周都是五光十色的珊瑚和游来游去的小鱼。
真是美得让人目不暇接，对吧？不过，要想在这个水下天堂里准确地捕捉到这些奇妙的瞬间，咱们就得用到一些高科技的玩意儿，比如相机标定。
别担心，听起来很复杂，但我会给你讲得轻松点。
相机标定就是让我们的相机能够在水下这个不太友好的环境中，准确地“看”到东西。
有一个词你得记住，那就是“斯涅尔定律”。
这是个挺酷的名字，听起来就像是某个神秘的海洋生物。
简单来说，斯涅尔定律告诉我们光线在不同介质中传播的方式。
比如说，光在空气中和在水中走的可不一样。
想想看，当你在水里看东西时，那个角度可真是奇妙。
如果不搞清楚这一点，咱们的相机可就会“看花眼”了，拍出来的照片根本不靠谱。
想必你也在想，那相机标定到底是个啥？好吧，简单说就是咱们得把相机的参数调整好，让它能够正确捕捉到水下的画面。
就像调音师调音一样，得把每一个细节都弄得恰到好处。
没错，就是那么精细。
想象一下，假如你在水下拍照，结果出来的照片却像是打了马赛克，谁会开心呢？所以，相机标定就是为了避免这种惨剧。
咱们得说说水下三维重建。
嘿，这个词听起来就像是科幻电影里的情节，实际上就是把我们在水下拍到的图片变成三维模型。
想想看，如果你能在屏幕上旋转一个珊瑚礁的3D模型，真是酷炫得不要不要的。
通过相机标定，我们可以准确地把每一张照片的数据融合在一起，形成一个真实的水下世界。
在实际操作中，潜水员会携带装有多个镜头的相机，沿着特定路径游动。
在水下拍摄时，每个镜头都在不同的角度拍照。
然后，咱们就可以通过斯涅尔定律来校正这些照片。
这里面可是一门大学问。
就像拼图一样，每块都得完美契合，才能呈现出最美的画面。
这个过程可不能急，得耐心“琢磨”。
有些小伙伴可能会问，水下拍照的难点在哪儿？嘿嘿，真是多了去了！水下的光线分布可复杂了，水的颜色也会影响图像质量。
任意梯度折射率介质中光线追迹的仿真与分析_冯定华
1 引言
光线在均匀介质 中沿直线传输 , 而在 梯度折射 率介质中 却是沿曲线传输的 , 只有在极少数情况下 可以求得 梯度折射 率介质中光线方程的解析解 , 对于大部分 没有解析 解的情况 必须用其它方法对光线传输进 行追迹 , 而 利用计算 机数值仿 真求解是常用且有效 的方法 。 目前对已知折 射率分 布规 律介质 的光 线追 迹研究 已经 比较丰富 , 但是对任意无规则折射率分布 介质的光 线追迹的 研究则相对较 少 。 在已 有研 究中 , 有的 需要 预先划 分网 格 ,
计 算 机 仿 真
2010 年 2 月
任意梯度折射率介质中光线追迹的仿真与分析
冯定华 , 潘 沙 , 王文龙 , 李 桦
( 国防科技大学航天与材料工程学院 , 湖南 长沙 410073) 摘要 : 针对研究光线传输问题 , 光线在任意梯度折射率介 质中的传 输路径难 以用解析 式给出精 确解 , 通常 采用数值 方法求 解 , 而欧拉法 、龙格库塔法和泰勒级数展开法 , 正是针对介质中光线传输进行追迹的数值方法 。 在对折射率离散分布介质中 的光线追迹过程中 , 所需空间点的折射率及其梯度采用 距离加权插 值和 B a r r o n 梯 度算子进 行求解 。 通过 对任意梯 度折射 率介质中的光线传输进行仿真 , 并将仿真结果与解析解进行比较和分析 , 结果表明龙格库塔法的追迹精度最高 , 泰勒级数展 开法次之 , 而欧拉法的相对最低 ; 此外 , 光线追迹精度还受到追迹步长和插值方法精度的影响 。 关键词 : 光线追迹 ; 梯度折射率 ; 欧拉法 ; 龙格库塔法 ; 泰勒级数展开法 中图分类号 : T P 301 文献标识码 : B
3 折射率及其梯度求解
由前面可知 , 无论是采用龙格库塔 法 、欧 拉法 、还 是泰勒 级数展开法 , 都必须求解折射率和折射 率梯度 。 如果 已知介 质折射率分布解析式 , 折射率梯度可由折 射率解析式 求导得 到 。 而对于仅知道介质折射率离散 分布的非 连续空间 , 要得 到追迹路径上所需各点的折射率 和梯度时 , 就必须采 用数值 手段进行求解 , 下面介绍离散空间中折射 率及其梯度 的数值 求解方法 。 3. 1 折 射率计算 在离散空间内 , 已 知各离 散点 上的 折射率 , 需 要求 解其 他空间任意点的折射率 , 通常采用插值 方法 。 常用的 插值方 法有简单线性插值 、双 三次 样条插 值 、三线 性插 值法以 及距 离加权平均插值法 等 [ 4, 5 ] , 此 处选用 稳定性 和精 度均较 好的 距离加权平均插值方法 。
椭圆截面离心率渐变的导管光线3维追迹设计
椭圆截面离心率渐变的导管光线3维追迹设计耿雪;刘晓娟;韩克祯;付圣贵;秦华【摘要】为了提高微柱阵列与透镜导管耦合系统的光斑整形效果,设计了一种横截面是椭圆、且椭圆离心率随位置变化的不规则导管设计方案.在导管的前端面,椭圆长轴在水平方向,以与激光二极管阵列的发光面形状相匹配；在导管后端面,椭圆长轴逐渐过渡到竖直方向.利用3维光线追迹方法进行仿真计算,可知该不规则导管可以得到圆对称性较好的光斑整形效果,微柱阵列和该导管的能量传输效率分别为90.84％和91.98％,对应于整个耦合系统的能量传输效率为83.55％.结果表明,该不规则导管在光斑整形效果和能量传输效率方面与普通导管相比具有一定优势.%In order to improve the facular-shaping effect of the microcylinders and lens duct, a new duct with changing elliptical cross section was proposed. The long axis of the ellipse on the front surface is located in horizontal direction, which matches the light emitting distribution pattern, The long axis of the ellipse on the back surface gradually become in vertical direction. The 3-D ray-tracing simulation indicates that the irregular duct can achieve relatively good circular symmetric pumping energy distribution. The energy transferring efficiency of microcylinders and the duct is calculated to be 90. 84% and 91. 98% respectively, corresponding to the total efficiency of 83.55%. The contrast indicates that the irregular duct possesses some advantages in facular shaping and energy transferring efficiency over common ducts.【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2013(037)002【总页数】4页(P231-234)【关键词】激光技术;不规则导管;光线3维追迹;光斑整形【作者】耿雪;刘晓娟;韩克祯;付圣贵;秦华【作者单位】山东理工大学理学院,淄博255049【正文语种】中文【中图分类】O436近年来，微柱阵列和导管构成的耦合系统因其结构简单、适应性好，大量应用于激光二极管阵列(laser diode array, LDA)抽运的全固态激光器及相关领域[1-5]。
球对称梯度折射率介质中光线传输轨迹的计算
球对称梯度折射率介质中光线传输轨迹的计算石市委;王佩红;杨群;张苗;刘泉;孙兆奇【摘要】By reducing the ray differential equation to lower order equations and using the fourth-order Runge-Kutta method, a ray tracing method was obtained for calculating the light trace in medium with spherical symmetry gradient re⁃fractive index. This method has high precision and can be used for ray tracing in any spherical symmetry gradient refrac⁃tive index distribution.%通过将二阶的光线微分方程降阶为一阶微分方程组，并用四阶的Runge-Kutta方法对微分方程组进行迭代求解，从而求出球梯度折射率介质中的光线传输轨迹。
该方法精确度高，适用于任意梯度分布的球梯度介质中的光线传输轨迹的计算。
【期刊名称】《宜宾学院学报》【年(卷),期】2014(000)012【总页数】3页(P30-32)【关键词】梯度折射率;光线方程;光线轨迹【作者】石市委;王佩红;杨群;张苗;刘泉;孙兆奇【作者单位】安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥230039;安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥230039;安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥230039;安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥230039;安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥230039;安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥230039【正文语种】中文【中图分类】O439梯度折射率光学介质因其具有均匀折射率光学介质不能比拟的优异性能，近几十年来受到广泛关注[1].在折射率梯度分布的介质中，光线的传输轨迹不再是直线，而是按照光线微分方程的约束沿曲线轨迹传输[2].光线微分方程是二阶的矢量微分方程，通常只有极少数的几种梯度折射率分布曲线才有此方程的解析解，如Maxwell鱼眼透镜模型、Lunerburg透镜模型等[1-3].对于任意梯度的折射率分布介质，很难通过求解解析解的方法获得，通常是通过将微分方程降阶为两个一阶的微分方程组，然后通过严格的数值计算来求解[4].此过程在光学设计中被称为光线追迹，该过程的具体实施是较为复杂的.在通常的光学教材中，往往只是给出非常简单的过程框架，学生很难通过这些框架自行推导出整个迭代计算的过程.为弥补教材中的不足，本文将这种计算过程具体化，以球梯度介质为计算对象，使用四阶的Runge-Kutta（R-K）方法对微分方程组进行迭代求解，从而计算球梯度折射率介质中的光线传输轨迹.该方法精确度高，适用于对任意梯度分布的球梯度介质进行光线传输轨迹的计算，对本科生和研究生在光学课程学习或梯度折射率器件的研究时进行简单的梯度折射率器件性能的计算也有帮助.光线在梯度折射率介质中传输必须依照光线微分方程进行，光线方程为[1]：这是一个二阶微分方程，式中r⇀为描述光线轨迹的位置矢量，s为光线路程，n 为光线所到达位置的折射率值.对球对称梯度折射率介质，n可表示为r的函数，即n(r).目前已知的球对称梯度折射率介质模型中，仅有Maxwell鱼眼模型和Luneburg介质模型有上述光线方程的解析解，其他的球对称梯度折射率分布模型均不具备解析解，必须通过对光线方程进行数值计算求解才能得到光线的传输轨迹.在对光线方程的数值计算过程中，通常的做法是将其降阶为一阶的微分方程，然后通过迭代计算进行求解.(i)光线方程的降阶光线方程可等价写成如下形式：引入光学光线矢量T⇀，以及参量t和D⇀，它们被定义为：利用这些参量可将（2）式改写为由几何光学理论可知，在球对称梯度分布介质中，光线的传输轨迹分布在一个确定的平面内，如图1所示.因此，在球对称梯度分布介质中传输的光线可以定义在一个二维平面内，这里取x-o-y平面，则上述矢量均存在两个分量，它们可以用二元数组表示，即：经前述过程，二阶的光线微分方程被转化为一阶的微分方程组[1]：(ii)光线追迹的迭代关系式前面得到的式（6）为存在迭代关系的一阶微分方程组，需联合求解.考虑到计算精度，采用Runge-Kutta（R-K）方法对式（6）进行展开.四阶的标准R-K方法形式为[5]：其中h为步长，各系数K1、K2、K3及K4为：将式(6)写为如下形式：代入R-K方法的标准形式中，则有：为了能与式（7）明显的对应起来，步长仍用h表示，这里h=Δt.其中各系数K的表达式如下，将以上K11，K12，K13，K14的结果代入式(8)中去，可以得到以上各式中的矢量可在直角坐标系中分解为分量形式，即：从(9)、(10)两式可以看出，如果已知光线在第n点处的坐标和光线方向，可以计算出、、和值，将其代入到(9)、(10)两式中，即可得到光线传播到的下一点的坐标和光线方向，重复此步骤，直到光线走出球梯度介质所在的范围.前述迭代方程组可使用C语言、Fortran语言或MATLAB软件编程进行迭代计算，从而计算出光线传输轨迹.采用Luneburg透镜模型来检验前面所得到的光线追迹迭代公式的正确性和准确性.光线在Luneburg透镜模型中的传输轨迹存在解析解.因此，将由数值计算的结果同解析计算结果进行比较，可以知道前述光线追迹迭代公式的正确性和准确性. Luneburg透镜模型的折射率分布公式为[1]：由函数分布可知，这个球梯度介质的中心折射率为，折射率随半径r的增加而减小.当r=a时折射率n(a)等于1，可见，这种介质中折射率的变化区间为，a为介质的极值半径，它标志着介质折射率变化情况，与分布常数有着相同的作用.这里令a 归一化，a=1.按照光学理论，入射到此种梯度介质球的平行光束可以锐成像，所有光线都将会聚在球面上一点.采用前面给出的数值计算过程所得到的计算结果如图2所示.高度不同的几条平行光线平行主轴入射，在球内光线弯曲，然后相交与球面上的一点，此点同时也是球面与主轴的焦点.这个结果与Luneburg透镜的光学特性是吻合的.对具体数值进行分析，各光线与主轴的交点理论上应该是(1,0)点，实际的数值计算结果见表1.这里各条光线与主轴的交点位置与理论值相差只有10-6数量级，说明该计算方法完全满足一般光学设计的要求.给出一种在球对称梯度折射率介质中进行光线追迹的具体方法，并采用Luneburg 透镜模型验证了该计算方法的正确性和准确性.该方法准确度高，且便于光学教学时使用.【相关文献】[1]乔亚天.梯度折射率光学[M].北京:科学出版社,1991.[2]刘德森.变折射率介质理论及其技术实践[M].成都:西南师范大学出版社,2005.[3]Gomez-Reino C,PerezM V,Bao C.Gradient-index Optics:Fundamentals and Applications[M].Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH&Co.K,2002:98-121.[4]易佑民,章于川,夏茹,等.梯度折射率微球回归反射材料的研究[J].光子学报,2003(32):425-428.[5]吕同富,康兆敏,方秀男.数值计算方法[M].北京:清华大学出版社,2008:278-283.。
zemax光线追迹原理
zemax光线追迹原理Zemax光线追迹原理Zemax是一种专业的光学设计软件，它基于光线追迹原理，帮助光学工程师设计和优化光学系统。
光线追迹是一种基于光的传播规律的模拟方法，通过模拟光线在光学系统中的传播路径，可以预测光学系统的性能和效果。
光线追迹原理是基于光的波动性和几何光学的理论基础上发展起来的。
在光学系统中，光线可以被看作是一条直线，光的传播可以通过光线的追踪来模拟。
在光线追迹中，光线从一个点出发，按照一定的规则传播，直到到达另一个点或者被吸收、散射等现象影响。
光线追迹原理的核心是光线的传播规则。
根据光的波动性，光线在传播过程中会发生折射、反射、散射等现象。
这些现象可以通过光的波动性和介质的光学特性来描述，例如折射率、反射率等。
通过计算光线在不同介质中的传播路径和相应的光学特性，可以预测光线在光学系统中的传播效果。
在Zemax中，光线追迹原理被应用于光学系统的设计和优化过程中。
光学工程师可以通过输入光学元件的参数和光源的特征，模拟光线在光学系统中的传播路径和光的传播效果。
通过分析光线的传播路径和光学效果，可以评估光学系统的性能，并进行优化。
在光学系统设计中，光线追迹原理可以帮助工程师解决一些重要的问题。
例如，光线追迹可以用于确定光学元件的位置和形状，以实现特定的光学效果。
它还可以用于评估光学系统的分辨率、像差、光强分布等性能指标，以指导系统的优化设计。
此外，光线追迹还可以用于模拟和分析光学系统中的各种光学现象，例如散射、色散、干涉等。
Zemax光线追迹原理是一种基于光的传播规律的模拟方法，通过计算光线在光学系统中的传播路径和光学特性，可以预测光学系统的性能和效果。
它在光学系统设计和优化中起着重要的作用，帮助光学工程师实现更好的光学系统设计。
锥形梯度折射棒透镜中的光线轨迹
锥形梯度折射棒透镜中的光线轨迹
陈智浩;蔡声镇
【期刊名称】《光通信研究》
【年(卷),期】1992(000)004
【摘要】本文据据变分法,导出了锥形梯度折射率棒透镜中一种典型光线的轨迹方程。
计算结果表明,光线轨迹主要由入射光束的光斑尺寸、倾角和透镜的结构决定。
【总页数】5页(P32-36)
【作者】陈智浩;蔡声镇
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TH74
【相关文献】
1.球对称梯度折射率介质中光线传输轨迹的计算 [J], 石市委;王佩红;杨群;张苗;刘泉;孙兆奇
2.任意梯度折射率介质中光线追迹的仿真与分析 [J], 冯定华;潘沙;王文龙;李桦
3.梯度折射率透镜在口腔内窥镜中的设计与应用 [J], 张宇;秦明新;罗二平;李志宏
4.一种类锥形梯度折射率纤维的光线传播特性和近轴成象研究 [J], 廖廷俤
5.抛物形梯度折射率棒透镜中的光线轨迹 [J], 陈智浩;何志贤;陈曦曜
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GRIN光学中光线追迹的一种新方法
GRIN光学中光线追迹的一种新方法
王润轩
【期刊名称】《物理与工程》
【年(卷),期】2003(013)002
【摘要】由哈密顿光学中的拉格朗日方程推出光线方程,用Runge-Kutta方法求解光线方程,给出光线追迹的新方法.
【总页数】4页(P25-27,36)
【作者】王润轩
【作者单位】宝鸡文理学院物理系,陕西,宝鸡,721007
【正文语种】中文
【中图分类】O4
【相关文献】
1.GRIN光学中光线追迹的一种新方法 [J], 王润轩
2.一种变折射率光学系统光线追迹的新方法 [J], 王润轩
3.保角变换法分析锥形GRIN ROD中的光学特性 [J], 李新碗;殷宗敏;余筱箭
4.解决显微镜中光学污染问题的一种新方法——光学参数变换法 [J], 沈锋
5.GRIN(Gradient Index)介质中的Maxwell方程组与光线光学 [J], 郭守月;袁兴红;穆姝慧;周倩;冯克成
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fdtd 折射率高斯分布
FDTD（时域有限差分法）是一种用于解决电磁波传播和散射问题的数值计算方法。
在光学仿真中，折射率的高斯分布常被用来模拟光波在具有渐变折射率介质中的传播。
接下来，我将详细介绍FDTD方法以及如何在其中实现折射率的高斯分布。
1. FDTD方法概述FDTD是由Yee在1966年提出的一种用于求解Maxwell方程组的数值方法。
它通过将连续的时间和空间离散化，将微分方程转换为差分方程，从而在时域内直接模拟电磁场的传播过程。
FDTD具有编程简单、适应性强、易于处理复杂边界条件等优点，在电磁场数值计算领域得到了广泛应用。
2. Maxwell方程组与Yee网格FDTD方法的核心是对Maxwell方程组进行离散化。
Maxwell方程组描述了电磁场的基本规律，包括高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培定律和无源位移电流定律。
Yee网格是FDTD中使用的一种交错网格结构，它将电场和磁场分别定义在空间和时间上错开的位置，这样可以更准确地模拟电磁场的耦合关系。
3. 折射率的物理意义在光学中，折射率是描述介质对光波传播影响的物理量。
它定义为光在真空中的速度与光在介质中速度的比值。
当光波从一种介质进入另一种介质时，由于折射率的不同，光波会发生折射或反射现象。
折射率的分布直接影响光波的传播路径和强度分布。
4. 高斯分布的折射率模型高斯分布的折射率模型是一种常见的渐变折射率分布，它可以用来模拟如光纤、波导等光学器件中的折射率变化。
高斯分布通常表达为：\[ n(x, y, z) = n_0 + \Delta n \cdot \exp\left(-\frac{(x-x_0)^2}{2\sigma_x^2}-\frac{(y-y_0)^2} {2\sigma_y^2}-\frac{(z-z_0)^2}{2\sigma_z^2}\right) \]其中，\(n_0\) 是背景折射率，\(\Delta n\) 是折射率变化的幅度，\(x_0, y_0, z_0\) 定义了高斯分布的中心位置，\(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\) 是高斯分布在各个方向上的标准差，决定了折射率变化的宽度。
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基金项目:国防科技大学优秀研究生创新资助项目(Ｂ080103)收稿日期:2009-03-24 修回日期:2009-04-05 第27卷 第2期计 算 机 仿 真2010年2月 文章编号:1006-9348(2010)02-0135-05任意梯度折射率介质中光线追迹的仿真与分析冯定华,潘 沙,王文龙,李 桦(国防科技大学航天与材料工程学院,湖南长沙410073)摘要:针对研究光线传输问题,光线在任意梯度折射率介质中的传输路径难以用解析式给出精确解,通常采用数值方法求解,而欧拉法、龙格库塔法和泰勒级数展开法,正是针对介质中光线传输进行追迹的数值方法。
在对折射率离散分布介质中的光线追迹过程中,所需空间点的折射率及其梯度采用距离加权插值和Ｂａｒｒｏｎ梯度算子进行求解。
通过对任意梯度折射率介质中的光线传输进行仿真,并将仿真结果与解析解进行比较和分析,结果表明龙格库塔法的追迹精度最高,泰勒级数展开法次之,而欧拉法的相对最低;此外,光线追迹精度还受到追迹步长和插值方法精度的影响。
关键词:光线追迹;梯度折射率;欧拉法;龙格库塔法;泰勒级数展开法中图分类号:ＴＰ301 文献标识码:ＢＳｉｍｕｌａｔｉｏｎａｎｄＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＲａｙＴｒａｃｉｎｇｉｎＤｉｓｃｒｅｔｉｏｎａｒｙＧｒａｄｉｅｎｔＲｅｆｒａｃｔｉｏｎＩｎｄｅｘＭｅｄｉｕｍＦＥＮＧＤｉｎｇ-ｈｕａ,ＰＡＮＳｈａ,ＷＡＮＧＷｅｎ-ｌｏｎｇ,ＬＩＨｕａ(ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｅｒｏｓｐａｃｅａｎｄＭａｔｅｒｉａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ,ＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ,Ｃｈａｎｇｓｈａ410073,Ｃｈｉｎａ)ＡＢＳＴＲＡＣＴ:Ｇｅｎｅｒａｌｌｙ,ｔｈｅｒａｙｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｔｒａｃｋｏｆｄｉｓｃｒｅｔｉｏｎａｒｙｇｒａｄｉｅｎｔｒｅｆｒａｃｔｉｏｎｉｎｄｅｘｍｅｄｉｕｍｃａｎｎｏｔｂｅｅｘ-ａｃｔｌｙｅｘｐｒｅｓｓｅｄｂｙａｎａｌｙｔｉｃｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ.Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｕｓｕａｌｌｙｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍ,ａｎｄＥｕｌｅｒ,Ｒｕｎｇｅ-Ｋｕｔｔａ,ａｎｄＴａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｅｘｐａｎｓｉｏｎａｒｅｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｔｈｅｓｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓ.Ｄｕｒｉｎｇｔｈｅｒａｙｔｒａｃｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｉｎｄｉｓｃｒｅｔｅｍｅｄｉｕｍ,ｔｈｅｄｉｓｔａｎｃｅ-ｗｅｉｇｈｅｄｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄＢａｒｒｏｎａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒａｒｅｕｓｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｒｅｆｒａｃｔｉｏｎｉｎｄｅｘａｎｄｇｒａｄｉｅｎｔ.Ａｔｌａｓｔ,ｔｈｅｔｈｒｅｅｒａｙｔｒａｃｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｒａｙｔｒａｎｓｐｏｒｔｉｎｄｉｓｃｒｅｔｉｏｎａｒｙｇｒａｄｉｅｎｔｒｅｆｒａｃｔｉｏｎｉｎｄｅｘｍｅｄｉｕｍ.Ｂｙｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｖｅｒｅｓｕｌｔｓａｎｄａｃｔｕａｌｏｎｅｓ,ｓｏｍｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ.ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔＲｕｎｇｅ-Ｋｕｔｔａｍｅｔｈｏｄｈａｓｔｈｅｈｉｇｈｅｓｔｐｒｅｃｉｓｉｏｎ,ａｎｄｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｉｓＴａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ,ａｎｄｔｈｅｌａｓｔｉｓＥｕｌｅｒｍｅｔｈｏｄ.Ｔｒａｃｉｎｇｓｔｅｐａｎｄｇｒａｄｉｅｎｔｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｃａｎａｌｓｏｉｎｆｌｕｅｎｃｅｔｈｅｔｒａｃｉｎｇｐｒｅｃｉｓｉｏｎ.ＫＥＹＷＯＲＤＳ:Ｒａｙｔｒａｃｉｎｇ;Ｇｒａｄｉｅｎｔｒｅｆｒａｃｔｉｏｎｉｎｄｅｘ;Ｅｕｌｅｒｍｅｔｈｏｄ;Ｒｕｎｇｅ-Ｋｕｔｔａｍｅｔｈｏｄ;Ｔａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｅｘｐａｎ-ｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ1 引言光线在均匀介质中沿直线传输,而在梯度折射率介质中却是沿曲线传输的,只有在极少数情况下可以求得梯度折射率介质中光线方程的解析解,对于大部分没有解析解的情况必须用其它方法对光线传输进行追迹,而利用计算机数值仿真求解是常用且有效的方法。
目前对已知折射率分布规律介质的光线追迹研究已经比较丰富,但是对任意无规则折射率分布介质的光线追迹的研究则相对较少。
在已有研究中,有的需要预先划分网格,对网格的精细程度要求较高[1];而有的需要专门处理光线的回转问题[2]。
本文采用欧拉法、龙格库塔法和泰勒级数展开法及相应的梯度插值方法,可针对介质中任意梯度折射率连续分布和离散分布的情况,通过给定追迹步长进行光线追迹,不用预先划分光线追迹网格,也无需专门考虑光线回转等问题;在满足精度要求条件下,还可以通过改变步长,提高追迹的效率。
2 三种光线追迹方法[3]描述折射率任意分布的介质中的光线传输方程如下:ｄｄｓｎｄ ｒｄｓ=Ñｎ(1)其中,ｓ为光线传播路径上的弧长, ｒ为光线矢径,ｎ为折射率,Ñｎ为折射率梯度。
该方程在大多数情况下是难以求解的,仅对等折射率面为平面、球面、圆柱面等比较特殊的函数形式有解析解。
对于任意非均匀折射率介质中的光线传播路径,基本上没有解析解,一般采用数值方法进行求解,而欧拉法、龙格库塔法和泰勒级数展开法是适用于此种情况的三种数值方法。
2.1 欧拉法将光线方程(1)写为下面一阶方程组:ｄＴｄｓ=Ñｎｄ ｒｄｓ=1ｎＴ(2)其中 Ｔ=ｎｄｒｄｓ为光线矢量,对上述方程利用差分原理:ｄＦｄｓ=Ｆｓ0+Δｓ-Ｆｓ0Δｓ(3) 可得到欧拉法数值计算公式:ｒｍ+1=ｒｍ+ＴｎΔｓＴｍ+1=Ｔｍ+Ñｎ·Δｓ(4)其中,Δｓ为光线追迹步长,欧拉法简单易行,具有一阶精度。
2.2 龙格库塔法求解一阶方程组(2)的另一种典型方法是龙格库塔法,令:ｒ=ｘｙｚ,Ｔ=ＴｘＴｙＴｚ=ｎｄｘ/ｄｓｄｙ/ｄｓｄｚ/ｄｓ,Ｄ=ｎ ｎ/ ｘ ｎ/ ｙ ｎ/ ｚ经过推导可得Ｒｕｎｇｅ-Ｋｕｔｔａ算法如下:ｒｍ+1=ｒｍ+ΔｔＴｍ+16Ａ+2ＢＴｍ+1=Ｔｍ+16Ａ+4Ｂ+Ｃ(5) 这里矩阵:Ａ=ΔｔＤＲｍＢ=ΔｔＤＲｍ+Δｔ2Ｔｍ+Δｔ8ＡＣ=ΔｔＤＲｍ+ΔｔＴｍ+Δｔ2Ｂ(6)式中Δｔ=Δｓ/ｎ,是与空间步长和折射率相关的龙格库塔法外推步长,龙格库塔法具有三阶精度。
2.3 泰勒级数展开法在初始点 ｒ0的一个邻近区域内将位置矢量 ｒ展开成弧长ｓ的泰勒级数:ｒ= ｒ0+ｄ ｒｓ0Δｓ+12!ｄ2ｒｓ0ｄｓ2Δｓ2+…(7)其中ｄ ｒｓ0ｄｓ=ｄ ｒｄｓｓ=ｓ0,Δｓ是所选取的邻近区域半径,也即是追迹步长。
定义 ｓ=ｄｒｄｓ为光线单位切向矢量, ｋ=ｄ2ｒｄｓ2表示光线的曲率矢量。
最后给出常用的具有二阶精度的泰勒级数展开数值方法计算公式:ｒｍ+1=ｒｍ+ｓｍΔｓ+12ｋｍΔｓ2ｓｍ+1=ｓｍ+ｋｍΔｓ(8) 对于上面三种光线追迹方法,计算的基本步骤为:依据光线初始条件 ｒ= ｒ0ｘ0,ｙ0,ｚ0,ｎ=ｎ0, Ｔ= Ｔ0或 ｓ= ｓ0及该点的折射率ｎ和梯度Ñｎ,根据给定步长Δｓ,计算得到新的位置 ｒ和该位置的折射率ｎ及梯度Ñｎ;再以此为新的初始点,逐次进行追迹,直到完成整个过程。
3 折射率及其梯度求解由前面可知,无论是采用龙格库塔法、欧拉法、还是泰勒级数展开法,都必须求解折射率和折射率梯度。
如果已知介质折射率分布解析式,折射率梯度可由折射率解析式求导得到。
而对于仅知道介质折射率离散分布的非连续空间,要得到追迹路径上所需各点的折射率和梯度时,就必须采用数值手段进行求解,下面介绍离散空间中折射率及其梯度的数值求解方法。
3.1 折射率计算在离散空间内,已知各离散点上的折射率,需要求解其他空间任意点的折射率,通常采用插值方法。
常用的插值方法有简单线性插值、双三次样条插值、三线性插值法以及距离加权平均插值法等[4,5],此处选用稳定性和精度均较好的距离加权平均插值方法。
图1 网格插值单元示意图在三维离散空间内,相邻八个节点构成一个单元,如图1所示。
已知单元的八个顶点的折射率为ｎｉｉ=1,2…,8,设点Ｐ到八个点(ｘｉ,ｙｉ,ｚｉ)的距离为ｄｉ,求解单元内部任一点Ｐ的折射率ｎｐ,采用距离加权平均插值的计算方法如下:ｎＰ=∑8ｉ=1∏8ｊ=1ｊ≠ｉｎｉｄｊ∑8ｉ=1∏8ｊ=1ｊ≠ｉｄｊ(9)其中ｄｉ=ｘ-ｘｉ2+ｙ-ｙｉ2+ｚ-ｚｉ2。
3.2 折射率梯度计算求解离散空间任意点的折射率梯度,需要先求解离散点本身的梯度值,然后再根据该点周围离散点的梯度,利用距离加权插值求解该点的梯度值。
其中后者的插值方法在前文中已有介绍,这里主要讨论离散点本身梯度的求解方法。
求解网格节点的梯度需要利用该节点周围其它多个点进行求解,常用的方法有Ｈｏｒｎ梯度算子、Ｂａｒｒｏｎ梯度算子等[6,7],此处选择精度较高的Ｂａｒｒｏｎ算子求解折射率梯度。
Ｂａｒｒｏｎ算子是对邻域离散折射率进行沿ｘ、ｙ、ｚ方向的三次样条插值结果,如图2示意图。
图2 Ｂａｒｒｏｎ算子ｘ方向插值示意图对某点ｎｉ,ｊ,ｋ邻域四点的折射率沿ｘ、ｙ、ｚ方向运用Ｂａｒｒｏｎ算子进行插值,得到梯度值表达式为:ｎｉ,ｊ,ｋ ｘ=112ｎｉ-2,ｊ,ｋ-812ｎｉ-1,ｊ,ｋ+812φｉ+1,ｊ,ｋ-112ｎｉ+2,ｊ,ｋ(10)ｎｉ,ｊ,ｋ ｙ=112ｎｉ,ｊ-2,ｋ-812ｎｉ,ｊ-1,ｋ+812ｎｉ,ｊ+1,ｋ-112ｎｉ,ｊ+2,ｋ(11)ｎｉ,ｊ,ｋ ｚ=1ｎｉ,ｊ,ｋ-2-8ｎｉ,ｊ,ｋ-1+8ｎｉ,ｊ,ｋ+1-112ｎｉ,ｊ,ｋ+2(12)需要说明的是,离散空间边界点梯度的求解采用外推法,即将已知边界点上的折射率赋给用于插值的外边界点。
4 仿真结果与分析考虑两种折射率分布情况:一是折射率分布解析解已知,二是只有折射率分布离散点的值。
在这两种折射率分布介质中,对无法用解析式表达的光线传输,运用欧拉法、龙格库塔法和泰勒级数展开法进行数值求解。
本文选择特殊的螺旋光线为参考标准,将数值仿真的结果与之进行比较,以考察三种方法的精度。
产生螺旋光线的介质折射率为径向分布形式:ｎｘ,ｙ=ｎ01-α2ｘ2+ｙ2(13) 针对上面径向折射率分布介质,光线传播轨迹精确解的一般表达式为:ｘ=ｘ0ｃｏｓｎ0αＬ0ｚ+ｐ0ｎ0αｓｉｎｎ0αＬ0ｚｙ=ｙ0ｃｏｓｎ0αＬ0ｚ+ｑ0ｎ0αｓｉｎｎ0αＬ0ｚ(14)其中,ｘ0,ｙ0,ｚ0为初始点的坐标,ｐ0,ｑ0,Ｌ0为初始点对应ｘ,ｙ,ｚ方向的光学方向余弦。
当初始条件ｐ0=0,ｘ0=ｑ0ｎ0α,ｙ0=0时,光线将以螺旋形式传输,与ｚ轴的距离始终保持不变。
方程(14)简化为下面螺旋光线方程:ｘ=ｘ0ｃｏｓｎ0αＬ0ｚｙ=ｘ0ｓｉｎｎ0αＬ0ｚ(15) 以(15)式表示的螺旋光线为参考,对三种追迹方法进行考察。