高中数学 第十二课时：特征值与特征向量课件 苏教版选修4-2

显 然 ， x轴 上 的 点 （ 向 量 ） 可 以 用 1 0来 线 性 表 示 ， y轴 上 的 点 （ 向 量 ） 可 以 用 1 0来 线 性 表 示 .
探究：
( 1 ) 矩 阵 A = 1 0 0 2 的 特 征 向 量 是 什 么 ？ 怎 样 从 几 何 变 换 的 角 度 加 以 解 释 ？
令 f() 0 ， 得 A 的 特 征 值 1 1 ， 2 = - 1
将 1 1 代 入 二 元 一 次 方 程 组 （ 0 x 1 ( )x 1 0 )y y 0 0 ， ,解 得
y 0 , x 为 任 意 非 零 实 数 ， 不 妨 记 x = k , k R ， 且 k 0 .
f()a
c
bd2(ad)adbc称 为 A是 特 征 多 项 式 .
从 上 面 的 分 析 已 经 表 明 ， 如 果 是 二 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 ， 那 么 一 定 是 二 阶 矩 阵 A 的 特 征 多 项 式 的 一 个 根 ， 即 f() 0 .
此 时 ， 将 带 入 二 元 一 次 方 程 组 （ cx a ()xdb)yy 00,， ， 就 可 以 得 到
因 此 ， 一 个 特 征 值 对 应换 的 角 度 不 难 直 接 观 察 出 例 1 中 矩 阵 A 的 特 征 向 量 . 由 定 义 可 知 ， 特 征 向 量 就 是 经 过 矩 阵 A 对 应 的 变 换 的 作 用 后 仍 与 原 向 量 共 线 的 向 量 ， 而 矩 阵 A 表 示 的 是 作 关 于 x轴 对 称 的 反 射 变 换 ， 因 而 ， 只 有 x轴 和 y轴 上 的 点 经 过 其 作 用 后 保 持 在 原 有 直 线 上 ， 因 此 ， x 轴 和 y轴 上 (除 去 原 点 ） 的 点 (向 量 ） 都 是 特 征 向 量 .
当 1 特 = 0 征 时 ， 值 代 1 入 =0 方 ， 程 组 2 (1 ， 1 1 x ) x y 0 y 0 .0 ,得 x 1怎换解0 ,样的这y 为 从 角 个任 几 度 问意 何 来 题非 变 理 ？零 实 数 ，
1=0对 应 的 特 征 向 量 为 1 1 0 ，
变式
x
( 1 ) 若 对 于 矩 阵 N = 1 10 0 ,试 直 接 写 出 N n x y _ _ _ x0_ _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 若 对 于 矩 阵 M = 0 01 0 ,试 直 接 写 出 M n x y _ _ _ y_ _ (_ y_ _ _ _ 0_ )_ .
特 别 0 时 , 特 征 向 量 就 被 变 为 零 向 量 ;
(3 )特 征 向 量 要 求 是 非 零 向 量 .
设 是 二 阶 矩 阵 A = a c d b 的 一 个 特 征 值 ， 它 的 一 个 特 征 向 量 为 x y ，
则Axy=xy ①, 即xy满足二元一次方程组
矩 阵 A 的 属 于 特 征 值 1 的 一 个 特 征 向 量 为 1 0 ，
将 1 1 代 入 二 元 一 次 方 程 组 （ 0 x 1 ( )x 1 0 )y y 0 0 ， ,解 得
x 0 , y 为 任 意 非 零 实 数 ， 不 妨 记 y = m , m R ， 且 m 0 .
和 2=1 0有 什 么 关 系 ？
结论：
假 设 矩 阵 A 的 属 于 特 征 值 1 ， 2 的 特 征 向 量 为 1 ， 2 ， 则 平 面 内 的 任 意 一 个 向 量 都 可 以 表 示 为 不 共 线 的 向 量 ， 的 线 性 组 合 来 表 示 ，
12
同 理 2=1对 应 的 -4特 求，征 出5是向 的怎量 ？样为 2 1 1 ， 令
5 1
，
则 4 15 2
（ N1 004 1 5 ) ( 1 1 0 N 0 10 （ 0 1 ) 45 ( 1 2 1 5 0 0 2） 2 ) （ （ 4 4)) (( 0N 101 00 )0 1 01 ) 5(5 1( 10N 0)1 0 1 10 2 ) 5 5
矩 阵 A 的 属 于 特 征 值 - 1 的 一 个 特 征 向 量 为 1 0 ，
EX、求矩阵的特征值和特征向量：
（1）A=43
21，（2）B=34
2
1
.
点评：
( 1 ) 求 矩 阵 的 特 征 值 、 特 征 向 量 问 题 ， 一 般 是 先 求 出 关 于 的 特 征 多 项 式 ， 看 方 程 f() 0 是 否 有 解 ， 若 有 解 ， 则 求 出 解 ， 分 别 代 入 原 方 程 ， 求 出
一 组 非 零 解 x y0 0， 于 是 非 零 解 x y0 0 即 为 A 的 属 于 的 一 个 特 征 向 量 .
说明：上述分析是给我们一个求特征值和特征向量的思路.
(1)求 矩 阵 A=a c d b的 特 征 值 :只 要 代 入 关 于 的 特 征 多 项 式
f()a
c
bd， f()0有 几 解 就 有 几 个 特 征 值 .
即 存 在 m , n R , 使 得 m 1 n 2 .
则 ： A = A ( m 1 n 2 ) = m ( A 1 ) n ( A 2 ) = m 1 1 n 2 2
A t = m 1 t 1 n2 t 2
例 2 解、 ：已 知 矩 矩 阵 阵 N N 的 = 特 1 1 征 0 0 多 ,试 项 计 式 算 N f( 1 0 0 ) 1 5 的 值 , 1并 解 0释 它 的 (几 何 1)意 义 0,.
1=3对 应 的 特 征 向 量 为 1 1 1 ，
同 理 2= - 1 对 应 的 特 征 向 量 为 2 1 1 ， 令
1 7
，
则 413 2
M 54 0( 1 71 5 0 M 1 )5 （ 03 4( 12 5 0 32 2) ） 4 (3 4 5( 0)M 1 15 0 3 1 ) ( 1 3 )( 50 M 1 5 1 0 2 ) 4 43 35 50 0
问题情境：
情 境 1 、 求 向 量 , 在 矩 阵 A 对 应 变 换 作 用 下 的 向 量 .
1 A=
0
102,10, 10;
解问：题A1、=通10过矩102 阵10A 对 应 10 的 变换作A用下 的10新向102 量10与 原 向 102量 有
怎样的关系？
向量10， 102变换后向量， 分别与， 共线，
（a)xby0, cx(d)y0.*
由 特 征 向 量 的 定 义 可 知 0 ， 因 此 ，
x,y不 全 为 0， 此 时 ， D x=0,Dy=0.
因 此 , 若 要 上 述 二 元 一 次 方 程 组 有 不 全 为 0 的 解 , 则 必 有 D = 0 , 即
a b
0
c d
设 A= ca bd是 一 个 二 阶 矩 阵 ， R， 我 们 把 行 列 式
(3 ) 已 知 矩 阵 M = 1 21 2 ,= 1 7 ， 试 计 算 M 5 0.
解：
矩 阵 M 的 特 征 多 项 式 f()1
2
212230,
特 征 值 1= 3 ， 2 1 ，
当 1 = 3 时 ， 代 入 方 程 组 (2 x 1 ) ( x 2 1 )y y 0 0 ,.得x 1, y 1,
探究：
通过上述两个情境及问题，我们发现，有些向量在某个 矩阵A对应变换的作用下得到的对应向量与原向量共线.
即 A=
这个特殊的矩阵A,及常数λ就是我们今天要研究的内容.
建构数学：
设 A 是 一 个 二 阶 矩 阵 ， 如 果 对 于 实 数 ， 存 在 一 个 非 零 向 量 ， 使 得 A = ,那 么 称 为 A 的 一 个 特 征 值 ， 而 称 为 A 的 属 于 特 征 值 的 一 个 特 征 向 量 .
(2)求 所 对 应 的 特 征 值 ： 只 要 将 代 入 二 元 一 次 方 程 组 （ c x a ( )x d b)yy 0 0 ,，
求 出 的 一 组 非 零 解 x y0 0 ， 就 是 矩 阵 A 的 属 于 的 一 个 特 征 向 量 .
数学应用：
解 例 ： 1 、 矩 求 阵 矩 A 阵 的 A 特 = 征 1 0 多 项 0 1 式 的 为 特 ： 征 f值 ()和 特 0 征 1向 量 0+1.=(1)(+1)
对 应 的 特 征 向 量 ； 若 无 解 ， 则 判 明 其 不 存 在 特 征 值 和 特 征 向 量 .
(2 )如 果 向 量 是 属 于 的 一 个 特 征 向 量 ， 将 它 乘 以 一 个 非 零 常 数 t 后 所 得 的 新 向 量 t 与 向 量 共 线 ， 那 么 t 也 是 属 于 的 特 征 向 量 ，
说明：
( 1 ) 由 A 知 ， 特 征 值 ， 特 征 向 量 是 把 二 阶 矩 阵 ( 2 2 矩 阵 )
转 化 为 一 个 向 量 ( 2 1 矩 阵 ) ；
( 2 ) 特 征 值 ， 特 征 向 量 的 几 何 意 义 ：
特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后,保持在同一直线上.
当 0 时 ， 方 向 不 变 ;当 0 时 ， 方 向 相 反 ;
即A=,A=。
情 境 2 、 求 向 量 在 矩 阵 A 对 应 变 换 作 用 下 的 向 量 .
A=03 03,xy;
解：A=03
0x 3y
3 x
3
y
3
x
y
问题2、通过矩阵A对应的变换作用下的新向量与原向量有 怎样的关系？
向 量 x y 变 换 后 向 量 3 x y 共 线 ， 即 A =.
回顾反思：
1、本课的重点是在理解特征值和特征向量定义的基础上， 会求一个二阶矩阵的特征值和特征向量。
2、求一个二阶矩阵的特征值和特征向量的一般步骤. 3、不是所有矩阵都有特征值和特征向量的，其存在是有 条件的，即A的关于λ的特征多项式有实数解。
(2)向 量 = 1 3 在 矩 阵 A = 1 00 2 作 用 下 向 量 与 矩 阵 A 的 特 征 向 量 1= 1 0
和 2= 1 0 有 什 么 关 系 ？
(3)向 量 =1 3在 矩 阵 A2作 用 下 向 量 与 矩 阵 A 的 特 征 向 量 1=1 0
和 2=1 0有 什 么 关 系 ？ (4)向 量 =1 3在 矩 阵 An作 用 下 向 量 与 矩 阵 A 的 特 征 向 量 1=1 0