高中数学第2章推理与证明21合情推理与演绎推理211合情推理知识导航学案苏教版1-2

2.1.1 合情推理

知识梳理

1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程为___________________，任何推理都包含_____________和_____________两部分._____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；______________________________是根据前提推得的命题，它告诉我们_______________________________________；

2.从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为_________________________它的思维过程大致是___________________________−→−_________________________−→− _____________________________.

3.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理称为_____________________________________________.简称

_________________________；它的思维过程大致是_____________________________−→−

_______________________________−→−

____________________________. 知识导学

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，即从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对总体作出推断.由归纳推理所获得的结论，仅是一种猜测，不一定可靠，其可靠性需要通过证明.

类比推理是由特殊到特殊的推理，由已解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和作出新发现.类比的结论具有或然性.即可能真，也可能假.

疑难突破

1.归纳推理的一般步骤是什么呢？

（1）实验、观察.通过观察个别事物发现某些相同性质.

（2）概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.

（3）猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题.

2.类比推理的一般步骤是什么呢？

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性.

（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.类比推理的结论具有或然性，即可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理.

典题精讲

【例1】 写出下列推理的前提和结论：

（1）对顶角相等；（2）a⊥b,b⊥c 则a⊥c.

思路分析：先把问题改写成“如果……那么……”，“因为……所以……”的形式，再进行判断，写出前提和结论.

解：（1）对顶角相等，可以写成如果两个角为对顶角，那么这两个角相等.由此可知，前提为两个角是对顶角，结论为两个角相等.

（2）a⊥b,b⊥c 则a⊥c 改写成如果a⊥b,b⊥c 那么a⊥c，前提为a⊥b,b⊥c，结论为a⊥c.

【变式训练】 写出下列推理的前提和结论.

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）a ＞b,b ＞c 则a ＞c.

解：（1）条件：两条直线平行，

结论：同位角相等.

（2）条件为：a ＞b,b ＞c.

结论为：a ＞c.

【例2】 设f(n)=n 2+n+41，n∈N *,计算f(1),f(2),f(3),f(4), …f(10)的值，同时作出归

纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.

思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题：

解：f(1)=12+1+41=43

f(2)=22+2+41=47

f(3)=32+3+41=53

f(4)=42+4+41=61

f(5)=52+5+41=71

f(6)=62+6+41=83

f(7)=72+7+41=97

f(8)=82+8+41=113

f(9)=92+9+41=131

f(10)=102+10+41=151

由此猜想，n 为任何正整数时，f(n)=n 2+n+41都是质数.

当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41;所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确. 【变式训练】观察2

1×(1×2-0×1)=1, 2

1×(2×3-1×2)=2, 2

1×(3×4-2×3)=3, 2

1×(4×5-3×4)=4, 由上述事实你能得出怎样的结论？

解：因为2

1×(1×2-0×1)=1, 2

1×(2×3-1×2)=2, 2

1×(3×4-2×3)=3, 2

1×(4×5-3×4)=4, …

由此猜想，前n(n∈N *)个式子的结果为：

2

1×［n×(n+1)-(n-1)×n］=n.

【例3】 找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.

（1）三角形的两边之和大于第三边；

（2）三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边；

（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心；

（4）三角形的面积为S=2

1（a+b+c)r （r 为内切圆的半径）. 思路分析：首先充分认识三角形、空间四面体的相同（或相似）之处，再进行类比，类比时要抓住本质，充分考虑两类事物之间的联系.

解：三角形和四面体有下列共同性质.

（1）三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.

（2）三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形.

解：如下图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°,设a 、b 、c 分别表示3条边的长度，由勾股定

理得c 2=a 2+b 2,

(1) (2)

类似地，在四面体P —DEF 中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,设S 1、S 2、S 3和S 分别表示△PDF,△PDE,△EDF 和△PEF 的面积图（2），相应于图（1）中直角三角形的两条直角边a 、b 和1条斜边c ，图（2）中的四面体有3个“直角面”，S 1、S 2、S 3，和1个“斜面”S，于

是，类比勾股定理的结论，我们猜想S 2=232221S S S ++成立.

问题探究

如图2-1-1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.