第13课时5.1数学证明概说

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6——第十三课三角函数的性质

第十三课时三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点. 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：Ⅰ.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是，分别记作：(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx ｜≤1，｜cosx ｜≤1，即也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是其中正弦函数y=sinx ，x ∈R①当且仅当，k ∈Z 时，取得最值②当且仅当，k ∈Z 时，取得最值而余弦函数y ＝cosx ，x ∈R①当且仅当，k ∈Z 时，取得最值 .②当且仅当，k ∈Z 时，取得最值 .(3)周期性由⎩⎨⎧=+=+xk x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是函数, (k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是(4)奇偶性正弦函数是函数，余弦函数是函数.(5)单调性从y ＝sinx ，x ∈［－π2 ，3π2］的图象上可看出：当x ∈［－π2 ，π2］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1增大到1. 当x ∈［π2 ，3π2］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到－1.［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cosx ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R.解：［例2］求下列函数的定义域：(1)y ＝1＋1sinx(2)y ＝cosx 解：［例3］求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋π6 )；②y ＝3sin(π3 －x 2)Ⅲ.课堂练习课本P33 1～7Ⅳ.课时小结通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题. Ⅴ.课后作业课本P46 习题 2、3、4课后练习：1．给出下列命题：①y＝sinx在第一象限是增函数；②α是锐角，则y＝sin(α＋π4)的值域是［－1，1］；③y＝sin｜x｜的周期是2π；④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；其中正确的命题的序号是_____.评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.2．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝lg(sinx－32) (2)y＝22cos3x－1分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小：(1)sin195°与cos170°;(2)cos 32，sin110，－cos74(3)sin(sin 3π8)，sin(3π8).分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.。

部编版2020八年级数学上册 1.3《证明》教案 (新版)浙教版

《证明》
教学目标
1．了解证明的含义.
2．体验、理解证明的必要性.
3．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.
教学重点、难点
重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式.
难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程.
教学过程
一、新课引入
教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图：比较线段AB和线段CD的长度.
通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性
二、新课教学
合作学习.
一组直线a、b、c、d、是否不平行（互相相交），请通过观察、先猜想结论，并动手验证.
三、例题教学
完成课本例1.
注意:证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内.
完成课本例2.
想一想:证明几何命题的基本思路是什么?
四、练习巩固
P76 课内练习3.
五、小结
（1）证明的含义.
（2）真命题证明的步骤和格式.
（3）思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？
六、作业布置
1。

湘教版解读-八年级下册数学113证明

苏科版八年级下册数学第十一章**证明I．知识技能达标版学习目标1. 了解证明的基本步骤和书写格式；能从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，证明平行线的判定定理和平行线的性质定理，并能简单应用这些结论；2、感受数学的严谨性，结论的确定性，初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力；1. 我们学过的公理同位角相等，两直线平行。

两直线平行，同位角相等。

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

三边对应相等的两个三角形全等。

二、教材知识详解(链接例1)【知识点1】证明和定理(链接例1)用推理的方法证实真命题的过程叫做证明；经过证明的真命题称为定理.已经证明的定理也可作为以后推理依据.几何证明有多种方法，通常使用两种思考方法——综合法、分析法和两头凑．（1）综合法俗称“顺推法”又称由因导果法，即是由已知推出什么结论，再由这个结论逐步推出要证明的结论；（2）分析法俗称“逆推法”又称“执果索因法”，即是从结论出发寻找证明所需要的条件，一步步逆而推之，推出条件与已知条件一致时，问题得到解决．（3）两头凑，我们在解决问题时，常常是将这上面两种方法结合起来用。

【注意】（1）定义、命题、公理和定理之间的联系与区别：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．（2）注意学会“读题、画图、识图”这是学证明的基本功．读题，就是弄明白题目中的名词、术语的意义，分清“题设”和“结论”；然后根据题意画出正确图形；最后结合图形在已知项中写出题设，在求证项中写出结论．识图，就是识别和判断图形，可以从以下几方面来认识（限于篇幅不再举例说明）．①根据有关概念和知识识别图形；②学会识别变式图形；③学会对复杂图形进行判断和识别画图，就是根据题意，按要求正确将符合题意的图形画出来．①注意所画图形的多种可能情况；②能根据题意画出简单图形，掌握“题”、“图”的对应关系，若是一般图形就不要画成特殊图形，否则就意味着人为地增加了已知条件，这样不便于理解题意，反之，特殊图形也不要画成一般图形，这样也不便于对题意的理解；③要多进行画图训练；④图形要力求准确，这样便于解题．【例1】如图11-3-1，∠2+∠D＝1800，∠1＝∠B，求证AB∥EF。

3.2《数学证明》课件(选修1-2)

• (3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．大前提 • 通项公式an＝2n＋3时，若n≥2. • 则 an － an － 1 ＝ 2n ＋ 3 － [2(n － 1) ＋ 3] ＝ 2( 常数)．小前提 • 通项公式 an＝2n＋3表示的数列为等差数列．结论
解析：于 y 轴对称．
ห้องสมุดไป่ตู้
显然 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关
x2＋1 1 当 x>0 时，f(x)＝lg ＝lg x＋ x. x
1 设 g(x)＝x＋，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞) x 上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．f(x)min＝f(1)＝lg 2. ∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．
• §2 数学证明
• 1.了解演绎推理的意义． • 2.掌握三段论的模式，并会用演绎推理即三段论模式证明数学命题.
• 1.了解演绎推理的含义．(重点) • 2.能利用“三段论”进行简单的推理．(重点、难点)
• 1．归纳推理的含义部分事物 • 根据一类事物中该类事物中每一个都有这种属性式称为归纳推理． • 2．类比推理的含义
合情推理
演绎推理
常用形归纳、类比三段论式归纳推理是从部从一般性的知识的思维运分到整体，从前提推出一个特动过特殊到一般的殊性的知识的结程的推理；类比推论，即从一般到方向理是从特殊到特殊的推理特殊的推理主前提与要结论超过了前提结论不超过前提所结论区所断定的范围，断定的范围，前
理形式有关，不一定正确，故②不正确．
1 2．“因为对数函数 y＝logax 是增函数，而 y＝log x 是 2 1 对数函数，所以 y＝log x 是增函数”．有关这个“三段论” 2 的推理形式和推理结论正确的说法是( )

浙教版数学八年级上册1.3《证明》说课稿(2)

浙教版数学八年级上册1.3《证明》说课稿（2）一. 教材分析《证明》是浙教版数学八年级上册1.3节的内容，本节内容是在学生已经掌握了四则运算、方程求解等基础知识的基础上进行讲解的。

证明是数学中非常重要的一部分，它不仅可以帮助学生更好地理解数学概念，还可以培养学生的逻辑思维能力。

本节内容主要介绍了证明的概念、分类和基本方法。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些基本的数学概念和运算规则已经有所了解。

但是，学生在证明方面还比较薄弱，对于证明的概念、分类和基本方法还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握证明的基本概念和方法，培养学生的逻辑思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解证明的概念，掌握证明的分类和基本方法。

2.过程与方法：通过学生的自主学习、合作交流，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：让学生体验数学证明的乐趣，培养学生的探索精神和创新意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：证明的概念、分类和基本方法。

2.教学难点：证明的逻辑结构和证明方法的运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的数学问题，引导学生思考证明的概念。

2.讲解：讲解证明的分类和基本方法，结合具体的案例进行分析。

3.实践：让学生进行证明练习，巩固所学的证明方法。

4.总结：对本节内容进行总结，强调证明的重要性和基本方法。

5.作业：布置一些有关证明的练习题，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出证明的概念、分类和基本方法。

可以设计如下：八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和证明练习的成绩来进行。

对于学生在证明方面的进步，要给予及时的肯定和鼓励，提高学生的学习积极性。

九. 说教学反思在教学过程中，要时刻关注学生的学习情况，对于学生在证明方面出现的问题，要进行及时的指导和纠正。

华师大版八年级数学上册第13章第1节《定理与证明》优质课件

1O∠FA平O分B，∠B∠O2C=
2
12∠BOAC
O
C
又∠AOB、∠BOC互为邻补角
∵ ∠AOB+∠BOC=180° ∴∠1+∠2= 1 (∠AOB+∠BOC)=90° ∴ OE⊥OF 2
如何判断一个命题是假命题？
只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
判断下列命题是真命题还是假命题. 如果是假命题，举出一个反例：
1)相等的角是对顶角； 2)同位角相等； 3)邻补角是互补的角； 4)互补的角是邻补角； 5)如果一个数能被2整除，那么这个数
也能被4整除；
判断下列命题是真命题还是假命题. 如果是假命题，举出一个反例：
6)不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；
7)在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
举例：
1. 公理：
1) 直线公理：过两点有且只有一条直线.
2) 线段公理：两点之间，线段最短.
3) 平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条
直线与已知直线平行.
4) 平行线判定公理：
同位角相等，两直线平行.
5) 平行线性质公理：
两直线平行，同位角相等.
举例：
2. 定理：
1) 补角的性质：同角或等角的补角相等.
c
1
a
2b
根据下列命题，画出图形，并结合图形
写出已知、求证(不写证明过程)： 3)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等；
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，
EF⊥OA于F ,
A F
EG⊥OB于G O 求证：EF=EG
EC GB
根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)： 4)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.

2019秋华师大版七年级数学上册课件：第13章全等三角形

知识点三角形全等的判定方法四:A.A.S
将一个等腰直角三角板按如图所示的方式放置,直角顶点C紧靠在桌面上,在两个顶点A,B处各系有一条线, 两条线自然下垂.由三角形全等的判定方法“A.A.S.” 可知△ADC≌△CEB.
知识点三角形全等的判定方法四:S.S.S.
如图所示,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中 AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合, 调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,结合“S.S.S.”定理可得 △ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.
知识点角平分线的性质及其判定
如图所示,两两相交的三条公路经过A,B,C三个村庄.要在三条公路围成的区域内建一个加油站Q,使加油站Q到三条公路的距离相等.承建方给出了一个方案:作△ABC的两条角平分线,交点就是加油站的位置.
知识点角平分线的性质及其判定
角平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的依据;角平分线上的点到角两边的距离不是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离,而是向角两边作的垂线段的长.
知识点等腰三角形的判定
埃及金字塔是非常高大的建筑物,四个侧面的形状都是等腰三角形.为验证侧面是不是等腰三角形可以测量两个底角是否相等.
知识点等腰三角形的判定
在证明两条线段相等、两个角相等的问题中,首先要明确所证的两条线段、两个角是否在同-个三角形中.若在同一个三角形中,则可以运用等角对等边、等边对等角来解决.
知识点基本作图的步骤
用尺规作图时要正确使用工具,尽量减少误差,要求用铅笔作图, 保留作图痕迹.
知识点基本作图的步骤

华师版八年级数学上册第13章1 命题、定理与证明

知1－练
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. (2)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行. (3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等.
知1－练
1-1. 把命题“小数一定是有理数”改写成“如果……，那么……”的形式为_如__果__一__个__数__是__小__数__，__那__么__这__个__数__一___ _定__是__有__理__数__．
知2－讲
(1)两点确定一条直线； (2)两点之间，线段最短； (3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
两条直线平行 .
知2－讲
2. 定理有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 .
2知. 命识题点的结构
知1－讲
命题由条件(题设)和结论两部分组成. 条件
(题设)是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
特别提醒 1. 命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如
果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论. 2. 有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适当变形，改写
条件：_①__A_D__∥_B_E__；__②__∠_1_＝__∠__2_. ____________________.
结论：_③__∠_A__＝__∠_E_._______________________________.
(2)证明你所构建的是真命题. 证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC. ∵∠1＝∠2，∴DE∥BC. ∴∠E＝∠EBC.∴∠A＝∠E(等量代换)．

八年级数学上册第五章几何证明初步 5.1 定义与命题课件

2021/12/13
第七页，共十七页。
（1）如果一个三角形的三条(sān tiáo)边与另一个三角形的三条(sān 边分别 tiáo) 相等，那么这两个三角形全等；
• （2）如果一个三角形两边及一角与另一个三角形的两边及一角分别相等，那么这两三角形全等
• （3）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行
八年级上册
5.1 定义与命题 (dìngyì)
2021/12/13
第一页，共十七页。
你能说出学过的几个(jǐ ɡè)定义吗？与同学交流。
2021/12/13
第二页，共十七页。
过去我们探索了许多(xǔduō)数学结论，有些表示肯定的，有些表示否定的，你能各举出几个例子么？
如果(rúguǒ)两个角是对顶角，那么这两个角相等。
成立
• 换言之，不正确的命题是假命题。
2021/12/13
第九页，共十七页。
解：是假命题。 (mìng tí)
例如:两直线平行时，同位角相等，但它们(tā men)不是对顶
角。
2021/12/13
第十页，共十七页。
试一试
1、指出(zhǐ chū)下列命题的题设和结论
（1）如果两条直线(zhíxiàn)相交，那么它们只有一个交点；
• （4）等腰三角形的两个底角相等
2021/12/13
第八页，共十七页。
当命题的条件成立时，结论也一定成立的命 (jiélùn) 题叫做真命题。
• 换言之，正确(zhèngquè)的的命题是真命题
• 在例1的四个命题，有没有条件成立时，结论却不正确的命题？如果有，指出它是哪一个？
• 例1中的（2）当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是

华师大版八年级数学上册第13章第1节《定理与证明》教学课件

（1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
（2）平行四边形的对角相等。（3）菱形的对角线互相垂直。
例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判断出它是真命题.
由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1. 因此∠2=∠3（等量代换）. 于是，我们得出：同角（或等角）的补角相等.
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.
（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
根据题意
画出图形
第二步根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证
第三步通过分析，找出证明的途径
写出证明的过程
我们把经过证明为真的命题叫作定理.
例如，“三角形的内角和等于180°” 称为“三角形内角和定理”.
定理也可以作为判断其他命题真假的依据，ห้องสมุดไป่ตู้由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.
练习
1、把下列定理改写成“如果……那么……” 的形式，指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：
定理与证明
教学目标
1、正确理解定理的含义以及它们与命题之间的相互联系与区别。
2、会区分定理的题设和结论，把一个命题写成“如果......那么......
3、体会命题证明的必要性，了解证明的步骤和格式。
自学指导
看课本，思考并回答以下问题：

浙教版数学八年级上册1.3《证明》教案

浙教版数学八年级上册1.3《证明》教案一. 教材分析浙教版数学八年级上册1.3《证明》是学生在掌握了数的概念、式的运算、几何图形的认识等基础知识后，进一步学习数学证明的基础知识。

这部分内容主要让学生了解证明的意义，学会用数学语言表达问题，并通过证明的过程，培养逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了基本的数学运算能力和几何图形的认识，但对于数学证明可能还存在一定的陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生理解证明的意义，逐步培养他们的逻辑思维能力。

三. 教学目标1.让学生了解证明的意义，理解证明的过程和方法。

2.培养学生用数学语言表达问题，提高逻辑思维能力。

3.通过对证明的学习，培养学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生了解证明的意义，学会用数学语言表达问题。

2.难点：培养学生通过证明的过程，理解和掌握证明的方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过问题去探究证明的意义和方法。

2.采用案例分析法，通过具体的例子让学生理解和掌握证明的过程。

3.采用小组合作学习法，让学生在合作中思考，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题，用于引导学生进行思考和讨论。

2.准备教学PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。

例如，问学生：“我们已经学过哪些几何图形的性质？这些性质是如何得出的？”2.呈现（10分钟）通过PPT呈现本节课的主要内容，让学生了解证明的意义和过程。

同时，通过具体的例子，让学生理解证明的方法。

3.操练（10分钟）让学生通过小组合作的方式，解决一些简单的证明问题。

教师在这个过程中，要及时给予指导和帮助，让学生理解证明的过程和方法。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学的内容。

教师要及时批改学生的作业，发现并解决问题。

5.拓展（10分钟）让学生通过探究活动，深入理解证明的方法。

北师大版选修1《数学证明》说课稿

北师大版选修1《数学证明》说课稿一、课程简介《数学证明》是北师大版高中选修1的一门课程。

本课程主要针对高中学生，旨在培养学生的逻辑思维能力、理解数学概念的能力以及解决问题的能力。

通过学习本课程，学生将能够掌握基本的证明方法，培养良好的数学思维习惯，提高对数学的兴趣和理解。

二、教学目标1.理解数学证明的重要性和基本概念；2.掌握常见的证明方法，如直接证明、归谬法、分情况讨论等；3.培养学生的逻辑思维和问题解决能力；4.提高学生对数学的兴趣和理解。

三、教学重点1.数学证明的基本概念和方法；2.培养学生的逻辑思维能力；3.提高学生对数学证明的理解和实践能力。

四、教学内容及安排1. 数学证明的概念和意义（20分钟）（1）数学证明的定义数学证明是通过逻辑推理和论证，以数学语言和符号来阐述和证实数学命题的过程。

（2）数学证明的重要性数学证明是数学的核心和基础，它不仅能验证数学命题的正确性，还能培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

（3）数学证明的应用数学证明在数学领域的研究中起着至关重要的作用，也广泛应用于计算机科学、物理学等各个领域。

2. 常见的证明方法（40分钟）（1）直接证明法直接证明法是最常用的证明方法，通过引入假设条件，通过推导和推理来得出结论。

（2）反证法反证法是一种常用的证明方法，通过假设命题的反面，推导出矛盾，从而证明原命题成立。

（3）归谬法归谬法是一种通过假设命题为真，然后推导出矛盾，从而得出命题为假的证明方法。

（4）分情况讨论法分情况讨论法是一种根据不同情况进行讨论，从而得出结论的证明方法。

3. 数学证明的练习与实践（40分钟）（1）数学证明的基本格式学生将学习数学证明的基本格式，包括引入、假设、推导、结论等。

（2）数学证明的练习学生将进行一些简单的数学证明练习，以提高他们的逻辑思维和证明能力。

4. 总结与反思（20分钟）本课程将进行总结和反思，学生可以分享他们在学习数学证明过程中的体会和困惑。

人教版高三数学一轮复习精品课件1：13.2 直接证明与间接证明

即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，
即证：cos(x1－x2)<1.
由 x1，x2∈0，π2，x1≠x2 知上式显然成立，
因此，12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2.
若本例中 f(x)变为 f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的 x1，
答案：a2>b2＋c2
1.(2013·江苏高考节选)设{an}是首项为 a，公差为 d 的等差数列 (d≠0)，Sn 是其前 n 项的和．记 bn＝nn2＋Snc，n∈N*，其中 c 为实数．若 c＝0，且 b1，b2，b4 成等比数列，证明：Sn k＝ n2Sk(k，n∈N*)．
证明：由题意得，Sn＝na＋n
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直
至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知
条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． 2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得
出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样
n－1 2
d.
由 c＝0，得 bn＝Snn＝a＋n－2 1d.又因为 b1，b2，b4 成等比数列，
所以 b22＝b1b4，即a＋d22＝aa＋32d，化简得 d2－2ad＝0.因为
d≠0，所以 d＝2a.
因此，对于所有的 m∈N*，有 Sm＝m2a. 从而对于所有的 k，n∈N*，有 Sn k＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
3.反证法证题的一般规律反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是 A，或者是非 A.即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．

小学六年级13课知识点

小学六年级13课知识点本文将对小学六年级第13课的知识点进行介绍和总结。

第13课的主要内容包括：一、数与代数1.1 数的比较大小小学六年级时，我们学习了十进制数的大小比较，可以使用大于、小于、等于等符号进行比较。

比如对于两个数9和5，可以写成9 > 5，表示9大于5。

1.2 代数的基本概念代数是数学中的一个分支，我们学习了代数中的一些基本概念。

比如代数式、未知数、常数等。

代数式是一个由数和运算符号组成的式子，未知数是用字母表示的，常数是一个已知的数。

1.3 代数方程的解我们学习了如何解代数方程。

要解一个代数方程，就是找到使得方程成立的未知数的值。

通过逐步化简和运算，我们可以求得方程的解。

二、几何与图形学2.1 三角形的特性小学六年级时，我们已经学习了平面图形，其中包括三角形。

三角形是由三条线段组成的图形，我们学习了三角形的性质和分类。

比如根据角度的大小可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形等。

2.2 正方体的表面积正方体是一个具有六个面的立体图形，每个面都是一个正方形。

我们学习了如何计算正方体的表面积，即六个面的总面积。

可以通过计算一个面的面积，然后乘以6来求得正方体的表面积。

2.3 假设与实验在数学学科中，我们经常会进行一些假设和实验。

通过假设和实验，我们可以验证一个数学理论的正确性。

在小学六年级时，我们开始了解和应用这些概念，通过实际操作来验证一些数学问题。

三、数据与概率3.1 数据的收集与整理数据的收集与整理是在数学中进行数据分析的重要步骤。

小学六年级时，我们通过实际调研和观察，学习了如何收集和整理一组数据。

比如通过调查同学们的身高、体重等信息，然后整理成表格或图形。

3.2 概率的初步认识概率是研究事件发生可能性的数学学科。

在小学六年级时，我们初步了解了概率的概念和计算方法。

通过实际问题的分析，我们可以对事件的可能性进行估计和计算。

以上是小学六年级第13课的主要知识点总结。

通过学习这些知识，可以帮助同学们对数学的基本概念、几何图形和数据分析有更深入的了解。

高考数学大一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数 13.2 直接证明与间接证明教师用书理新人

第十三章推理与证明、算法、复数 13.2 直接证明与间接证明教师用书理新人教版1．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ×)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．( ×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √)(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √)1．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是( )A．ac2<bc2B．a2>ab>b2C.1a<1bD.ba>ab答案 B解析a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.2．(2016·)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上选B.3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________________．答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0.∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .5．(2016·某某模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案 332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)．∴f A ＋f B ＋f C3≤f (A ＋B ＋C3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， ∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.题型一综合法的应用例1 (2016·某某模拟)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是不是理想函数．(1)证明取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1，∴f (0＋0)≥f (0)＋f (0)，∴f (0)≤0.又对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0，∴f (0)≥0.于是f (0)＝0. (2)解对于f (x )＝2x ，x ∈[0,1]，f (1)＝2不满足新定义中的条件②， ∴f (x )＝2x (x ∈[0,1])不是理想函数．对于f (x )＝x 2，x ∈[0,1]，显然f (x )≥0，且f (1)＝1.对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1， f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．∴f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数．对于f (x )＝x ，x ∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f (x 1)＋f (x 2)]2.∴f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，不满足条件③.∴f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．综上，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数， f (x )＝2x (x ∈[0,1])与f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．题型二分析法的应用例2 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，只需证明sin x 1＋x 22cos x 1cos x 2>sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2. 由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)．所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立，因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f x 1＋f x 22≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明要证明f x 1＋f x 22≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明1212(32)(32)2x x x x -+-≥1223x x +－2·x 1＋x 22，因此只要证明12332x x +－(x 1＋x 2)≥1223x x +－(x 1＋x 2)，即证明12332x x +≥1223x x +，因此只要证明12332x x +≥1233x x ⋅，由于x 1，x 2∈R 时，13x >0, 23x>0，由基本不等式知12332x x +≥1233x x ⋅显然成立，故原结论成立．思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．(2017·某某月考)设a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：(1)c 2>ab ；(2)c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .证明 (1)∵a >0，b >0,2c >a ＋b ≥2ab ，∴c >ab ，平方得c 2>ab .(2)要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ，只要证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，即证|a －c |<c 2－ab ，即(a －c )2<c 2－ab .∵(a －c )2－c 2＋ab ＝a (a ＋b －2c )<0成立，∴原不等式成立．题型三反证法的应用命题点1 证明否定性命题例3 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．命题点2 证明存在性问题例4 (2016·某某模拟)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值； (2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3.(2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ] (a >－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ h a ＝b ，h b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．命题点3 证明唯一性命题例5 已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f (x )∈M ，①方程f (x )－x ＝0有实数根；②函数f (x )的导数f ′(x )满足0<f ′(x )<1.(1)判断函数f (x )＝x 2＋sin x 4是不是集合M 中的元素，并说明理由； (2)集合M 中的元素f (x )具有下面的性质：若f (x )的定义域为D ，则对于任意[m ，n ]⊆D ，都存在x 0∈(m ，n )，使得等式f (n )－f (m )＝(n －m )f ′(x 0)成立．试用这一性质证明：方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．(1)解 ①当x ＝0时，f (0)＝0，所以方程f (x )－x ＝0有实数根0；②f ′(x )＝12＋14cos x ，所以f ′(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34，满足条件0<f ′(x )<1. 由①②可得，函数f (x )＝x 2＋sin x 4是集合M 中的元素．(2)证明假设方程f (x )－x ＝0存在两个实数根α，β (α≠β)，则f (α)－α＝0，f (β)－β＝0.不妨设α<β，根据题意存在c ∈(α，β)，满足f (β)－f (α)＝(β－α)f ′(c )．因为f (α)＝α，f (β)＝β，且α≠β，所以f ′(c )＝1.与已知0<f ′(x )<1矛盾．又f (x )－x ＝0有实数根，所以方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点； (2)试用反证法证明1a>c . 证明 (1)∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a≠c )， ∴1a是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0，与f (1a )＝0矛盾，∴1a≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c .26．反证法在证明题中的应用典例 (12分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点． (1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．思想方法指导在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．规X 解答(1)解因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)，所以设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.[4分](2)证明假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分]设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 2＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分]因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k，因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分] 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．[12分]1．(2017·某某质检)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根答案 A解析因为“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.2．(2016·某某质量监测)对累乘运算Π有如下定义：Πnk ＝1a k ＝a 1×a 2×…×a n ，则下列命题中的真命题是( )A.Π1 007k ＝12k 不能被10100整除 B.Π2 015k ＝14k －2Π2 014k ＝12k －1＝22 015C.Π1 008k ＝1(2k －1)不能被5100整除 D.Π1 008k ＝1 (2k －1)Π1 007k ＝12k ＝Π2 015k ＝1k答案 D解析因为Π1 008k ＝1 (2k －1)Π1 007k ＝12k ＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝Π2 015k ＝1k ，故选D. 3．(2017·某某月考)设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析因为(y x ＋y z )＋(z x ＋z y )＋(x z ＋x y)＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y)＋(z x ＋x z)≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.4．①已知p 3＋q 3＝2，证明：p ＋q ≤2.用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②若a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①的假设正确；②的假设错误 C ．①与②的假设都正确 D ．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析对于①，结论的否定是p ＋q >2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D. 5．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2； ⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C ．③ D．③④⑤ 答案 C解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.6．(2016·某某三市联考)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f (128)>________.答案 92解析观察f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3可知，等式及不等式右边的数构成首项为32，公差为12的等差数列，故f (128)>32＋6×12＝92.7．(2016·全国甲卷)有三X 卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32解析若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－2p 2＋p ＋1≤0，f1＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足题干条件的p 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 9．已知a >0，证明：a 2＋1a 2－ 2 ≥a ＋1a－2.证明要证a 2＋1a 2－2≥ a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2 ≥(a ＋1a)－(2－2)．因为a >0，所以(a ＋1a)－(2－2)>0，所以只需证(a 2＋1a 2 )2≥[(a ＋1a )－(2－2)]2，即2(2－2)(a ＋1a)≥8－42，只需证a ＋1a≥2.因为a >0，a ＋1a ≥2显然成立(a ＝1a＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f (x ＋12)为偶函数．证明由函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，可知f (x ＋1)＝f (－x )．将x 换成x －12代入上式可得f (x －12＋1)＝f [－(x －12)]，即f (x ＋12)＝f (－x ＋12)，由偶函数的定义可知f (x ＋12)为偶函数．11．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0. ∵a >1，∴21110x xxa a ->>且，∴()2111210x x x x x a a a a --=-> 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 1＋1x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝21x x a a -＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<0x a <1， ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．12．(2015·某某)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2. (1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )与g n (x )的大小，并加以证明．(1)证明 F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n－2，则F n (1)＝n －1＞0，F n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12－2＝－12n ＜0，所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内至少存在一个零点．又F ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1＞0(x ＞0)，故F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内单调递增，所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有且仅有一个零点x n ，因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1－x n ＋1n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1n . (2)解方法一由题设，g n (x )＝n ＋11＋xn2，设h (x )＝f n (x )－g n (x ) ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n－n ＋11＋xn2，x ＞0.当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，h ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1－n n ＋1x n －12，若0＜x ＜1，h ′(x )＞xn －1＋2xn －1＋…＋nx n －1－n n ＋12x n －1＝n n ＋12x n －1－n n ＋12xn－1＝0，若x ＞1，h ′(x )＜x n －1＋2xn －1＋…＋nxn －1－n n ＋12x n －1＝n n ＋12x n －1－n n ＋12x n －1＝0，所以h (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以h (x )＜h (1)＝0，即f n (x )＜g n (x )，综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )＜g n (x )．方法二由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n，g n (x )＝n ＋1x n ＋12，x ＞0，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )，当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )＜g n (x )，①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2＜0，所以f 2(x )＜g 2(x )成立，②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )＜g k (x )，那么，当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f k (x )＋x k ＋1＜g k (x )＋x k ＋1＝k ＋11＋xk2＋xk ＋1＝2x k ＋1＋k ＋1x k＋k ＋12，又g k ＋1(x )－2xk ＋1＋k ＋1x k＋k ＋12＝kx k ＋1－k ＋1x k ＋12，令h k (x )＝kx k ＋1－(k ＋1)x k＋1(x ＞0)，则h ′k (x )＝k (k ＋1)x k－k (k ＋1)x k －1＝k (k ＋1)xk －1(x －1)，所以当0＜x ＜1时，h ′k (x )＜0，h k (x )在(0,1)上递减；当x ＞1时，h ′k (x )＞0，h k (x )在(1，＋∞)上递增，所以h k (x )＞h k (1)＝0，从而g k ＋1(x )＞2xk ＋1＋k ＋1x k＋k ＋12，故f k ＋1(x )＜g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立，由①和②知，对一切n ≥2的整数，都有f n (x )＜g n (x )．方法三由已知，记等差数列为{a k }，等比数列为{b k }，k ＝1，2，…，n ＋1，则a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋1＝x n，所以a k ＝1＋(k －1)·x n －1n (2≤k ≤n )，b k ＝x k －1(2≤k ≤n )，令m k (x )＝a k －b k ＝1＋k －1x n －1n－xk －1，x ＞0(2≤k ≤n )，当x ＝1时，a k ＝b k ＝1，所以f n (x )＝g n (x )，当x ≠1时，m ′k (x )＝k －1n·nx n －1－(k －1)x k －2＝(k －1)xk －2(xn －k ＋1－1)，而2≤k≤n，所以k－1＞0，n－k＋1≥1，若0＜x＜1，x n－k＋1＜1，m′k(x)＜0；若x＞1，x n－k＋1＞1，m′k(x)＞0，从而m k(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以m k(x)＞m k(1)＝0，所以当x＞0且x≠1时，a k＞b k(2≤k≤n)，又a1＝b1，a n＋1＝b n＋1，故f n(x)＜g n(x)，综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x)；当x≠1时，f n(x)＜g n(x)．*13.(2015·课标全国Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2, 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．。