高数(一)微积分第1章
高数第1章第7节——闭区间上连续函数的性质
y
oa
bx
注记 此定理是闭区间上连续函数的最大值和最小值 存在性定理，后面会给出具体的最大值最小值的求法. 在最大值最小值定理中，函数连续和区间是闭的是定 理成立的重要条件，缺一不可，即：
(1)f(x)在(a,b)内连续，定理的结论不一定成立. 例如：f(x) 1 在(0,1)内连续，但在(0,1)内不能
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
1
如
:
f
(x)
x
1
y
x1 1 x2 x2
在(1,2)连续, 但没有零点.
y
1
ao
o
12
x
-1
bx
定理 1.7.4 设 f(x) 在闭区间[a,b]上连续 , 且 f(a)
f(b) 那么对介于 f(a) 与 f(b) 之间的任何数 , 在开区
间(a,b)内至少存在一点 ，使 f() = .
1.7 闭区间上连续函数的性质
一、 最大值和最小值定理 二、 零点定理与介值定理
一、 最大值和最小值定理
定理1.7.1 设 f ( x)在[a, b]上连续 , 则 f ( x)在[a, b] 上
一定能取到最大值和最小值, 即存在1 ,2 [a, b], 使 对一切 x [a, b], 有f (2 ) f ( x) f (1), 其中f (1)和
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)与
水平直线y 至少有
一个交点.
y
M f(b)
a
o
f(a)
mHale Waihona Puke bx推论1.7.1 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必 取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.
大一高数笔记第一章知识点
大一高数笔记第一章知识点在大一的高数课程中，第一章通常是引入微积分的基本概念和方法。
这一章的知识点对于整个高数学习过程非常重要，因此在这里我将分享一些我认为最关键的内容。
一、函数的概念和性质函数是数学中一个非常基本的概念。
在第一章中，我们首先学习了函数的定义和性质。
函数描述了一种变量之间的关系，通常用一个字母来表示，例如f(x)。
函数可以有不同的表示形式，比如显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
函数的性质有很多，其中最重要的是定义域、值域和图像。
定义域是指函数可取的自变量的值的范围，值域是指函数的所有可能的取值，而图像是函数在坐标系上的表示。
理解了这些性质，我们就可以更好地掌握函数的本质和特点。
二、数列的概念和分类数列是函数的一种特殊形式，它描述了一系列数字的排列。
数列也有不同的分类，最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列是指每一项与前一项的差值都相等的数列，这个差值称为公差。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an= a1 + (n-1)d。
等比数列则是指每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an = a1 * r^(n-1)。
掌握了这两种数列的性质和求和公式，我们可以更好地解决实际问题中的数学计算。
三、极限的定义和性质极限是微积分中的核心概念，也是我们学习高数的重要环节。
在第一章中，我们首次接触了极限的概念和相关的性质。
极限描述了函数在无限接近某一点时的行为。
一个函数f(x)在x趋近某一值a时，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x) = L。
在计算极限时，我们要关注函数的局部行为和整体趋势。
常见的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法等。
掌握这些计算方法，对于我们理解函数的性质和推导数学公式非常有帮助。
高数第一章函数
A ( r )12
当x 在D内取定一个数值 x0 时，y f x 有确定的
值与之相对应， 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值
记为： f x0 或
f x
f x x x 0
x x0 f x0
y
x x0
当 x 取遍 D 内的各个数值时， 对应的函数值的全体 构成了函数 y 的值域 f ( D ). 注： 1、当自变量的值改变时， 函数值不一定改变。 即
弹簧秤能承担的总重量. 介于某两个定数（点）之间的一切实数（点） 定义1 称为区间。 而那两个定数（点）称为这个区间的端点。
以 a, b 为端点的区间：
开区间 ( a , b ) x
a x b
a a
b b
3
x x
闭区间 [ a , b ] x a x b
半开区间 无限区间
y f ( x) , x D 其中x为自变量；y 为因变量, D为定义域。
记为
。
当x取遍D内所有元素时，对应的y所组成的数集W 称为函数的值域，记作
W W [ f ( x)] { y y f ( x), x D}
9
1、函数的定义
设 x 与 y 是两个变量，当 x 在某个实数集D内任取定 一数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。 则称 y 是 x 的函数。 记为 • 定义域
例.
三、函数的表示法（如书自学） 公式法 、图象法 、列表法.
15
四. 反函数 1. 反函数的概念及性质 可以根据问题的需要 在研究两个变量间的函数关系， 任意选取其中一个为自变量， 则另一个就是因变量。
1 2 S gt 距离S是时间 t 的函数 2 2 S 若用S来确定所需要的时间 t t g 即 t 是S的函数
自考高等数学(一)微积分串讲讲义1
试题特点：知识点覆盖全面， 大多数题目难度不大，个别题目有一定的难度， 但都没有超出大纲要求。
复习要求：不报侥幸心理， 复习要涉及每个知识点。
每个知识点要做相应的练习题。
高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、极限与连续常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在，函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数y=23log log x 的定义域是___________. 2007.7 知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
大一高数课件第一章 1-1-1
第一章 函数与极限
第一节
• • • • • 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结
函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素 a∈ M, a∉ M,
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
恒有
f ( x1 ) > f ( x2 ),
o
x2
则称函数 f ( x )在区间 I上 是单调减少的 ;
I
x
3．函数的奇偶性: 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = f ( x )
y
y = f ( x)
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
1 设 ∀x > 0 ， 函 数 值 f ( ) = x + 1 + x ， 求 函 数 x
前言
高等数学》 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的 一门数学课程。 一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 高等数学》共讲授192学时，共计12 192学时 12学分 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 高等数学》的研究方法主要应用极限法。 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。
专升本-高数一-PPT课件
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
大学数学高数微积分专题一第1讲集合常用逻辑用语不等式课堂讲解
围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间
的运算．
热点分类突破
(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命 题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q
本
讲 栏
(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
目 开
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
关 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
(B )
解析 (1)通过否定原命题得出结论．
原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
热点分类突破
(2)已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－
1 2
；命题q：
若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是
大学数学高数微积分专题一第1讲 集合常用逻辑用语不等式课堂讲解
第1讲 集合与常用逻辑用语
【高考考情解读】
1．本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含
本 讲
有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等
栏 目
式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在
开 关
一起考查.
2．试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本
D．(－∞，－1]∪(0,1)
热点分类突破
弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．
解析 (1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，
A＝{1,2,3,4,5}，
本
讲 栏
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，
目 开
同济大学教材高等数学目录
同济大学教材高等数学目录第一章微积分基础1.1 函数与极限- 1.1.1 实数与数轴- 1.1.2 函数的概念- 1.1.3 函数的极限1.2 导数与微分- 1.2.1 导数的概念- 1.2.2 导数的计算- 1.2.3 高阶导数与微分1.3 微分中值定理与导数的应用- 1.3.1 中值定理概念与证明- 1.3.2 罗尔定理与拉格朗日中值定理- 1.3.3 泰勒公式与应用第二章微分学的应用2.1 曲线的性质与图形的简单变换- 2.1.1 形状和方程- 2.1.3 图形的伸缩与旋转2.2 函数的单调性与曲线的凹凸性- 2.2.1 单调函数的概念- 2.2.2 定理与判定- 2.2.3 凹凸函数的概念与定理2.3 不定积分- 2.3.1 原函数与不定积分- 2.3.2 基本积分公式- 2.3.3 积分法与应用第三章多元函数微分学3.1 多元函数的极限与连续性- 3.1.1 多元函数的极限概念- 3.1.2 多元函数的连续性- 3.1.3 极限和连续性的性质3.2 偏导数与全微分- 3.2.1 偏导数的概念- 3.2.3 全微分与边界条件3.3 隐函数与参数方程的偏导数- 3.3.1 隐函数的概念与求导法则- 3.3.2 参数方程的导数与高阶导数- 3.3.3 隐函数与参数方程的微分第四章微分方程4.1 一阶常微分方程- 4.1.1 基础概念与解的存在唯一性- 4.1.2 常微分方程的解法- 4.1.3 可降阶的高阶方程4.2 高阶线性常微分方程- 4.2.1 高阶常微分方程的基本概念- 4.2.2 欧拉方程与特征方程- 4.2.3 高阶常微分方程的解法4.3 常系数线性齐次微分方程- 4.3.1 广义指数函数与欧拉公式- 4.3.2 常系数齐次线性微分方程的解- 4.3.3 常系数齐次高阶微分方程的解第五章微分方程的应用5.1 函数的级数展开与Fourier级数- 5.1.1 幂级数的定义和性质- 5.1.2 幂级数的收敛性- 5.1.3 Fourier级数的定义和应用5.2 傅里叶变换- 5.2.1 傅里叶变换的定义和性质- 5.2.2 傅里叶变换的求解方法- 5.2.3 傅里叶变换的应用5.3 积分变换- 5.3.1 Laplace变换的定义和性质- 5.3.2 Laplace变换的求解方法- 5.3.3 积分变换的应用领域以上为同济大学教材《高等数学》的目录概要。
高等数学大学所有教材目录
高等数学大学所有教材目录第一章：微积分- 微积分原理- 函数与极限- 导数与微分- 奇偶函数与对称性- 极值与最值- 微分中值定理- 泰勒展开与近似计算- 不定积分与定积分- 曲线的长度与曲面的面积- 定积分的应用第二章：向量代数与空间解析几何- 向量的概念与运算- 向量的数量积与夹角- 向量的叉积与混合积- 直线与平面的方程与位置关系- 空间曲线与曲面的方程与位置关系- 向量代数与几何应用第三章：多元函数与一元关系- 多元函数的极限与连续性- 偏导数与全微分- 多元函数的极值与最值，凹凸性- 隐函数与显函数及其导数- 多元复合函数的导数- 多元函数的泰勒展开与近似计算- 一元关系与参数方程第四章：多元函数微分学- 多元函数的向量表示与全微分- 多元函数的极值问题- 二元函数的二阶偏导数与极值- 一元函数的高阶导数与极值问题- 隐函数的高阶导数与极值问题- 多元函数的泰勒展开- 多元函数的空间曲线与曲面第五章：重积分- 重积分的概念与性质- 重积分的计算方法- 重积分的应用- 重积分的计算应用- 曲面的面积与曲线的长度- 曲面积分与曲线积分- 重积分的物理应用第六章：曲线积分与曲面积分- 曲线的参数方程- 参数方程下的曲线积分- 向量场与曲线积分- 曲面的参数方程- 参数方程下的曲面积分- 向量场与曲面积分- 曲线积分与曲面积分的物理应用第七章：常微分方程与初值问题- 一阶常微分方程- 高阶常微分方程- 线性常微分方程组- 二阶线性常微分方程的求解- 高阶线性常微分方程的求解- 常微分方程的物理应用第八章：级数与幂级数- 数列与级数的概念- 收敛与发散的判断- 正项级数与比较判别法- 交错级数与绝对收敛- 幂级数的概念与性质- 幂级数的收敛域和展开式- 幂级数的求和与逐项求导第九章：傅里叶级数与傅里叶变换- 周期函数与傅里叶级数- 傅里叶级数的性质- 傅里叶级数的收敛性- 傅里叶级数的展开系数- 傅里叶级数的奇偶性和对称性- 傅里叶变换与傅里叶反变换- 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换第十章：线性代数- 矩阵与向量空间- 线性方程组与矩阵求逆- 特征值与特征向量- 正交矩阵与对角化- 复数域与线性变换- 内积空间与正交变换- 非线性方程组与迭代法总结：高等数学大学所有教材的目录涵盖了微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数与一元关系、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程与初值问题、级数与幂级数、傅里叶级数与傅里叶变换、线性代数等重要内容。
考研辅导—高数(1)函数
2 2 1 x x3 ，则 若 f (x ) 2 f ( x)dx x 1 x4 1 x 答案： ln 3 ，其中 f ( x) 2 。 2 x 2
。
3.求出函数表达式中的未知常数 例 5. 设 f ( x ) 3 x 2 x lim f ( x ) ，其中 lim f ( x) 存在，求 lim f ( x) 及 f ( x ) 。
1
（2）
其中（1）式称为函数的“本义反函数” ； （2）式称为函数的“矫形反函数” 。通常我们所说 的反函数，指的都是矫形反函数。 3.函数的几何特性 奇偶性：设函数 f ( x) 的定义域关于原点对称，则
f ( x) f ( x)
f ( x) 是偶函数；
f ( x) f ( x)
y f ( x)
量 y 的集合 Z 称为函数的值域。 函数“ y f ( x) 2.反函数
xD
其中 x 称为自变量， y 称为因变量，全体自变量 x 的集合 D 称为函数的定义域，全体因变
x D ”简称为“函数 y f ( x) ”或“函数 f ” 。
设函数 y f ( x) 的定义域为 D ，值域为 Z 。如果对于每 一个 y Z ，存在 唯一的
f ( x1 ) f ( x 2 )
f ( x) 是奇函数。
f ( x) 在 I 上单调增加；
第1页
单调性：设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， x1 、 x 2 I 且 x1 x 2 ，则
第一部分：微积分
f ( x1 ) f ( x 2 )
界，否则称 f ( x) 在 I 上无界。
1
[ f ( x)] x ,
f[f
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
大一高数第一章__函数、极限与持续
第一章 函数、极限与持续由于社会和科学进展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千连年的进展以后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时期，这一时期集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，熟悉到“数”的研究比“形”更重要，以踊跃的态度开展对“无穷”的研究，由常量数学进展为变量数学，微积分的创建更是这一时期最突出的成绩之一.微积分研究的大体对象是概念在实数集上的函数.极限是研究函数的一种大体方式，而持续性那么是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简腹地介绍高等数学的一些大体概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，和与极限概念紧密相关的，而且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.另外，还给出了两个极为重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的持续性概念，它是客观世界中普遍存在的持续转变这一现象的数学描述.第一节 变量与函数一、变量及其转变范围的经常使用表示法在自然现象或工程技术中，常常会碰到各类各样的量.有一种量，在考察进程中是不断转变的，能够取得各类不同的数值，咱们把这一类量叫做变量；另一类量在考察进程中维持不变，它取一样的数值，咱们把这一类量叫做常量.变量的转变有跳跃性的，如自然数由小到大转变、数列的转变等，而更多的那么是在某个范围内转变，即该变量的取值能够是某个范围内的任何一个数.变量取值范围经常使用区间来表示.知足不等式a x b ≤≤的实数的全部组成的集合叫做闭区间，记为,a b ⎡⎤⎣⎦，即,{|}a b x a x b =≤≤⎡⎤⎣⎦；知足不等式a x b <<的实数的全部组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即(,){|}a b x a x b =<<；知足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全部组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为(,a b ⎤⎦ (或),a b ⎡⎣)，即(,{|}a b x a xb =<≤⎤⎦ (或),{|}a b x a x b =≤<⎡⎣)，左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a ，b 称为区间的端点.以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.另外还有无穷区间：(){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ，，(,{|}b x x b -∞=-∞<≤⎤⎦，(,){|}b x x b -∞=-∞<<， ){|}a x a x +∞=≤<+∞⎡⎣，， (){|}a x a x +∞=<<+∞，，等等. 那个地址记号“-∞”与“+∞”别离表示“负无穷大”与“正无穷大”.邻域也是经常使用的一类区间.设0x 是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集:{}00|x x δx x δ-<<+为点0x 的δ邻域，记作0(,)U x δ.即(){}000,|U x δx x δx x δ=-<<+称点0x 为该邻域的中心，δ为该邻域的半径(见图1-1).称{}00(,)U x δx -为0x 的去心δ邻域，记作0(,)x δoU ，即{}00(,)|0U x δx x x δ︒=<-<图1-1下面两个数集(){}000,|U x δx x δx x ︒-=-<<，(){}000,|U x δx x x x δ︒+=<<+，别离称为0x 的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时，咱们用0()U x ，0()x oU 别离表示0x 的某邻域和0x 的某去心邻域，()0,x δ-oU ，(),U x δ︒+别离表示0x 的某左邻域和0x 的某右邻域.二、函数的概念在高等数学中除考察变量的取值范围之外，咱们还要研究在同一个进程中显现的各类彼此彼此依托的变量，例如质点的移动距离与移动时刻.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.咱们关切的是变量与变量之间的彼此依托关系，最多见的一类依托关系，称为函数关系.概念1 设A ，B 是两个实数集，若是有某一法那么f ，使得关于每一个数x A ∈，均有一个确信的数y B ∈与之对应，那么称f 是从A 到B 内的函数.适应上，就说y 是x 的函数，记作()y f x = ()x A ∈其中，x 称为自变量，y 称为因变量，()f x 表示函数f 在x 处的函数值.数集A 称为函数f 的概念域，记为()D f ；数集{}()|(),f A y y f x x A B ==∈⊆称为函数f 的值域，记作()R f .从上述概念可知，通常函数是指对应法那么f ，但适应上用“() ,y f x x A =∈”表示函数，现在应明白得为“由对应关系()y f x =所确信的函数f ”.确信一个函数有两个大体要素，即概念域和对应法那么.若是没有专门规定，咱们约定：概念域表示使函数成心义的范围，即自变量的取值范围.在实际问题中，概念域可依照函数的实际意义来确信.例如，在时刻t 的函数()f t 中，t 通常取非负实数.在理论研究中，假设函数关系由数学公式给出，函数的概念域确实是使数学表达式成心义的自变量x 的所有能够取得的值组成的数集.对应法那么是函数的具体表现，它表示两个变量之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时刻的对应关系，三角函数表列出了角度与三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方式，别离称为图示法和列表法.但在理论研究中，所碰到的函数多数由数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数都是用公式法表示的函数.从几何上看，在平面直角坐标系中，点集()(){(,)|,}x y y f x x D f =∈称为函数()y f x =的图像（如图1-2所示）.函数()y f x =的图像一般是一条曲线，()y f x =也称为这条曲线的方程.如此，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发觉；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨.此刻咱们举一个具体函数的例子.图1-2例1 求函数y =. 解 要使数学式子成心义，x 必需知足> ,240,10x x ⎧-≥⎪⎨-⎪⎩即 >2,1.x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩由此有 12x <≤， 因此函数的概念域为(12⎤⎦，.有时一个函数在其概念域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法那么，称这种函数为分段函数.下面给出一些尔后经常使用的分段函数.例2 绝对值函数<,0,,0.x x y x x x ≥⎧==⎨-⎩的概念域()()D f =-∞+∞，，值域()[0,)R f =+∞，如图1-所示. 例3 符号函数<>1,0,sgn 0,0,1,0x y x x x -⎧⎪===⎨⎪⎩的概念域()()D f =-∞+∞，，值域()11{0}R f =-，，，如图1－4所示.图1-3 图1-4例4 最大取整函数y x =⎡⎤⎣⎦，其中x ⎡⎤⎣⎦表示不超过x 的最大整数.例如，113⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，00=⎡⎤⎣⎦，12⎡⎤=⎣⎦，π3=⎡⎤⎣⎦等等.函数y x =⎡⎤⎣⎦的概念域()()D f =-∞+∞，，值域(){}R f =整数.一样地，y x n ==⎡⎤⎣⎦，1n x n ≤<+，120,,n =±±，，如图1-5所示. 图1-5在函数的概念中，对每一个()x D f ∈，对应的函数值y 老是唯一的，如此概念的函数称为单值函数.假设给定一个对应法那么g ，对每一个()x D g ∈，总有确信的y 值与之对应，但那个y 不老是唯一的，咱们称这种法那么g 确信了一个多值函数.例如，设变量x 与y 之间的对应法那么由方程2225x y +=给出，显然，对每一个55[,]x ∈-， 由方程2225x y +=可确信出对应的y 值，当5x =或5-时，对应0y =一个值；当55(,)x ∈-时，对应的y 有两个值.因此那个方程确信了一个多值函数.关于多值函数，往往只要附加一些条件，就能够够将它化为单值函数，如此取得的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，由方程2225x y +=给出的对应法那么中，附加“0y ≥”的条件，即以“2225x y +=且0y ≥”作为对在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才成立起它们之间的对应关系的，如高度为必然值的圆柱体的体积与其底面圆半径r 的关系，确实是通过另外一个变量其底面圆面积S 成立起来的对应关系.这就取得复合函数的概念.概念2 设函数()y f u =的概念域为()D f ，函数()u g x =在D 上有概念，且()()g D D f ⊆.那么由下式确信的函数()()y f g x =，x D ∈称为由函数()y f u =与函数()u g x =组成的复合函数，记作()()()()y f g x f g x =︒=，x D ∈，它的概念域为D ，变量u 称为中间变量.那个地址值得注意的是，D 不必然是函数()u g x =的概念域()D g ，但()D D g ⊆.D 是()D g 中所有使得()()g x D f ∈的实数x 的全部的集合.例如，()y f u u ==， ()21u g x x ==-.显然，u 的概念域为(),-∞+∞，而()(0,)D f =+∞.因此，11,D -⎡⎤⎣⎦＝，而现在1()0,R f g ︒=⎡⎤⎣⎦.两个函数的复合也可推行到多个函数复合的情形.例如， log a μxu y x a ==()10a a >≠且可看成由指数函数u y a =与log a u μx =复合而成.又形如()log ()()()a v x u x v x y u x a ==()0u x ⎡⎤⎣⎦＞()10a a >≠且的函数称为幂指函数，它可看成由wy a =与()log ()a w v x u x =复合而成. 而y =可看成由y =sin u v =，2v x =复合而成.例5 设()1xf x x =+()1x ≠-，求()()()f f f x 解 令()y f w =，()w f u =，()u f x =，那么()()()f f f x 是通过两个中间变量w 和u 复合而成的复合函数，因为()111121x x x x uxw f u u x ++====+++，12x ≠-；()2121,1131x x x x wxy f w w x ++====+++13x ≠-，因此 ()()()31x f f f x x =+，111,,23x ≠---.概念3 设给定函数()y f x =，其值域为()R f .若是关于()R f 中的每一个y 值，都有只从关系式()y f x =中唯一确信的x 值与之对应，那么取得一个概念在()R f 上的以y 为自变量，x 为因变量的函数，称为函数()y f x =的反函数，记为()1x fy -=.从几何上看，函数()y f x =与其反函数()1x f y -=有同一图像.但人们适应上用x 表示自变量，y 表示因变量，因此反函数()1x fy -=常改写成()1y f x -=.尔后，咱们称()1y f x -=为()y f x =的反函数. 现在，由于对应关系1f-未变，只是自变量与因变量互换了记号，因此反函数()1y fx -=与直接函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，如图 1 - 6所示.图1-6值得注意的是，并非是所有函数都存在反函数，例如函数2y x =的概念域为()-∞+∞，，值域为，但)0+∞⎡⎣，对每一个()0y ∈+∞，，有两个x 值即1x =和2x =因此x 不是y 的函数，从而2y x =不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，假设f 是从()D f 到()R f 的一一映射，那么f 才存在反函数1f-.例6 设函数(1)1xf x x +=+ ()1x ≠-，求()11f x -+.解 函数()1y f x =+可看成由()y f u =，1u x =+复合而成.所求的反函数()11y f x -=+可看成由()1y fu -=，1u x =+复合而成.因为()11x u f u x u-==+，0u ≠， 即1u y u -=，从而，()11u y -=-， 11u y=-， 因此 ()111y f u u-==-， 因此 ()1111,01(1)f x x x x-+==-≠-+.三、函数的几种特性1. 函数的有界性设函数()f x 在数集D 上有概念，假设存在某个常数L ，使得对任一x D ∈有()f x L ≤（或()f x L ≥），那么称函数()f x 在D 上有上界（或有下界），常数L 称为()f x 在D 上的一个上界（或下界）；不然，称()f x 在D 上无上界（或无下界）.假设函数()f x 在D 上既有上界又有下界，那么称()f x 在D 上有界；不然，称()f x 在D上无界.若()f x 在其概念域D f （）上有界，那么称()f x 为有界函数.容易看出，函数()f x 在D 上有界的充要条件是：存在常数M>0，使得对任一x D ∈，都有()f x M ≤.例如，函数sin y x =在其概念域()-∞+∞，内是有界的，因为对任一()x ∈-∞+∞，都有sin 1x ≤，函数1y x=在()10,内无上界，但有下界. 从几何上看，有界函数的图像界于直线y M =±之间.2. 函数的单调性设函数()f x 在数集D 上有概念，假设对D 中的任意两数12,x x 12()x x <，恒有()()12f x f x ≤ [或()()12f x f x ≥]，那么称函数()f x 在D 上是单调增加（或单调减少）的.假设上述不等式中的不等号为严格不等号，那么称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在概念域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所示.图1-7例如，函数()3f x x =在其概念域()-∞+∞，内是严格单调增加的；函数()cos f x x =在π0,（）内是严格单调减少的. 从几何上看，假设()y f x =是严格单调函数，那么任意一条平行于x 轴的直线与它的图像最多交于一点，因此()y f x =有反函数.3. 函数的奇偶性设函数()f x 的概念域()D f 关于原点对称（即假设()x D f ∈，那么必有()x D f -∈.假设对任意的()x D f ∈，都有()()f x f x -=-[或()()f x f x -=]，那么称()f x 是()D f 上的奇函数（或偶函数）.奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y 轴，如图1－11所示.图1-8例7 讨论函数()(ln f x x =+的奇偶性. 解 函数()f x 的概念域()-∞+∞，是对称区间，因为()(lnln f x x ⎛⎫-=-= (()ln x f x =-+=-因此，()f x 是()-∞+∞，上的奇函数. 4. 函数的周期性设函数()f x 的概念域为()D f ，假设存在一个不为零的常数T ，使得对任意()x D f ∈，有x T D f ±∈（）（），且f x T f x +=（）（），那么称()f x 为周期函数，其中使上式成立的常数T 称为()f x 的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数T T （若是存在的话）.例如，函数sin f x x =（）的周期为π2；()tan f x x =的周期是π. 并非是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数为数为无数10 ,) (,x D x x ⎧=⎨⎩有理，理.任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期.四、函数应用举例下面通过几个具体的问题，说明如何成立函数关系式.例8 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按大体运费计算.如从上海到某地每千克以元计算大体运费，当超过50千克时，超重部份按每千克元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.解 当500x <≤时，150.y x =；当50x >时，1552550.00.(0)y x =⨯+-. 因此函数关系式为：0.15, 050;7.50.25(50),50.x x y x x <≤⎧=⎨+->⎩这是一个分段函数，其图像如图1－9所示.图1-9例9 某人天天上午到培训基地A 学习，下午到超市B 工作，晚餐后再到酒店C 效劳，早、晚餐在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地址吃.A B C ，，位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km ，酒店与超市相距5km ，问该打工者在这条马路的A 与B 之间何处找一宿舍（设到处可找到），才能使天天来回的路程最短. 解 如图1-10所示，设所找宿舍D 距基地A 为x （km ），用f x （）表示天天来回的路程函数.图1-10当D 位于A 与C 之间，即30x ≤≤时，易知()()8823222f x x x x x =++-+-=-（），当D 位于C 与B 之间，即38x ≤≤时，那么()882312()()0.f x x x x x =++-+-=+因此22,03;()102,38.x x f x x x -≤≤⎧=⎨+≤≤⎩这是一个分段函数，如图1-11所示，在30,⎡⎤⎣⎦上，()f x 是单调减少，在38,⎡⎤⎣⎦上，()f x 是单调增加.从图像可知，在3x =处，函数值最小.这说明，打工者在酒店C 处找宿舍，天天走的路程最短.图1-11五、大体初等函数初等数学里已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上咱们统称为大体初等函数.它们是研究各类函数的基础.为了读者学习的方便，下面咱们再对这几类函数作一简单介绍.1. 幂函数函数μy x = (μ是常数)称为幂函数.幂函数μy x =的概念域随μ的不同而异，但不管μ为何值，函数在()0+∞，内老是有概念的. 当0μ>时，μy x =在)0+∞⎡⎣，上是单调增加的，其图像过点0,0（）及点()1,1，图1-12列出了12μ=，1μ=，2μ=时幂函数在第一象限的图像. 当0μ<时，μy x =在()0+∞，上是单调减少的，其图像通过点()1,1，图1-13列出了12μ=-，1μ=-，2μ=-时幂函数在第一象限的图像.图1-12 图1-132. 指数函数函数x y a =(a 是常数且10a a >≠，)称为指数函数.指数函数x y a =的概念域是()-∞+∞，，图像通过点()10,，且总在x 轴上方. 那时1a >，x y a =是单调增加的；当10a <<时，x y a =是单调减少的，如图1-14所示.以常数e 271828182.=为底的指数函数e x y =是科技中经常使用的指数函数.图1-143. 对数函数指数函数x y a =的反函数，记作log a y x =（a 是常数且10,a a >≠)，称为对数函数.对数函数log a y x =的概念域为()0+∞，，图像过点()1,0.当1a >时，log a y x =单调增加；当10a <<时，log a y x =单调减少，如图1-15所示.科学技术中经常使用以e 为底的对数函数e log y x =，图1-15它被称为自然对数函数，简记作ln y x =.另外以10为底的对数函数1log 0y x =，也是经常使用的对数函数，简记作g l y x =.4. 三角函数经常使用的三角函数有 正弦函数sin y x =， 余弦函数cos y x =， 正切函数tan y x =， 余切函数 cot y x =，其中自变量x 以弧度作单位来表示.它们的图形如图1-16，图1-7，图1-8和图1-19所示，别离称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线.图1-16图1-17正弦函数和余弦函数都是以π2为周期的周期函数，它们的概念域都为(),-∞+∞，值域都为1,1-⎡⎤⎣⎦.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.图1-18 图1-19由于πcos sin 2x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此，把正弦曲线sin y x =沿x 轴向左移动π2个单位，就取得余弦曲线cos y x =.正切函数sin tan cos xy x x==的概念域为()21{|(),}D f x x x n n =∈≠+R ，整为数.余切函数cos cot sin xy x x==的概念域为()π{,}D f x x x n n =∈≠R ｜，整为数.正切函数和余切函数的值域都是()-∞+∞，，且它们都是以π为周期的函数，且都是奇函数.另外，经常使用的三角函数还有正割函数sec y x =； 余割函数cscy x =. 它们都是以π2为周期的周期函数，且1sec cos x x=； 1csc sin x x =.5. 反三角函数经常使用的反三角函数有终归弦函数 arcsin y x = (如图1-20)； 反余弦函数 arccos y x = (如图1-21)； 终归切函数 arctan y x = (如图1-22)；反余切函数 arccot y x = (如图1-23).它们别离称为三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =的反函数.这四个函数都是多值函数.严格来讲，依照反函数的概念，三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =在其概念域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y ，有多个x 与之对应.但这些函数在其概念域的每一个单调增加（或减少）的子区间上存在反函数.例如，sin y x =在闭区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为终归弦函数arcsin x 的主值，记作y arcsin x .通常咱们称arcsin y x =为终归弦函数.其概念域为11,-⎡⎤⎣⎦，值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.终归弦函数arcsin y x =在11,-⎡⎤⎣⎦上是单调增加的，它的图像如图1-20中实线部份所示.类似地，能够概念其他三个反三角函数的主值arccos arctan ,y x y x ==和arccot y x =，它们别离简称为反余弦函数，终归切函数和反余切函数.反余弦函数arccos y x =的概念域为1,1-⎡⎤⎣⎦，值域为π0,⎡⎤⎣⎦，在1,1-⎡⎤⎣⎦上是单调减少的，其图像如图1-21中实线部份所示.终归切函数arctan y x =的概念域为(),-∞+∞，值域为ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在()-∞+∞，上是单调增加的，其图像如图1-22中实线部份所示.反余切函数arccot y x =的概念域为()-∞+∞，，值域为π0,（），在()-∞+∞，上是单调减少的，其图像如图1-23中实线部份所示.图1-20 图1-21图1-22 图1-23六、初等函数由常数和大体初等函数经有限次四那么运算和复合运算取得而且能用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，23sin4y x x =+，(ln y x =，3arctan22sin 1xy x x =+等等都是初等函数.分段函数是依照概念域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的，有些分段函数也能够不分段而表示出来，分段只是为了加倍明确函数关系罢了.例如，绝对值函数也能够表示成y x ==1,,()0,x a f x x a <⎧=⎨>⎩ 也可表示成1()12f x ⎛ = ⎝⎭.这两个函数也是初等函数.七、双曲函数与反双曲函数1. 双曲函数双曲函数是工程和物理问题中很有效的一类初等函数.概念如下： 双曲正弦 sh e e 2x xx --= ()x -∞<<+∞，双曲余弦 ch e e 2x xx -+= ()x -∞<<+∞，双曲正切 th e e e e sh ch x xx xx x x ---==+ ()x -∞<<+∞， 其图像如图1-24和图1-25所示图1-24 图1-25.双曲正弦函数的概念域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内单调增加.双曲余弦函数的概念域为()x -∞<<+∞，它是偶函数，其图像通过点()10,且关于y 轴对称，在(),0-∞内单调减少；在()0+∞，内单调增加. 双曲正切函数的概念域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内是单调增加的.由双曲函数的概念，容易验证以下大体公式成立.()sh sh ch ch sh x y x y x y ±=±，()ch ch ch sh sh x y x y x y ±=±，sh22sh ch x x x =，2222ch2ch sh 12sh 2ch 1x x x x x =+=+=-，22ch sh 1x x -=.2. 反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数，sh y x =，ch y x =和th y x =的反函数，依次记为反双曲正弦函数 a rsh y x =， 反双曲余弦函数 arch y x =， 反双曲正切函数 a rth y x =.反双曲正弦函数a rsh y x =的概念域为()-∞+∞，，它是奇函数，在()-∞+∞，内单调增加，由sh y x =的图像，依照反函数作图法，可得a rsh y x =的图像，如图1-26所示.利用求反函数的方式，不宝贵到(a rsh ln y x x ==+.反双曲余弦函数arch y x =的概念域为)1+∞⎡⎣，，在)1+∞⎡⎣，上单调增加，如图1-27所示，利用求反函数的方式，不宝贵到(arch ln y x x ==.图1-26 图1-27反双曲正切函数a rtanh y x =的概念域为11()-，，它在11()-，内是单调增加的.它是奇函数，其图像关于原点(00)，对称，如图1-28所示.容易求得a rth 1ln1xy x x+==-.图1-28第二节 数列的极限一、数列极限的概念概念1 若是函数f 的概念域()*{}D f N ==，，，123，那么函数f 的值域()(){}**|f N f n n N =∈中的元素按自变量增大的顺序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即()()()12,,f f f n ，，.通常数列也写成12,n x x x ，，，，并简记为{}n x ，其中数列中的每一个数称为一项，而()n x f n =称为一样项.关于一个数列，咱们感爱好的是当n 无穷增大时，n x 的转变趋势. 咱们看以下例子：数列12,,,,231n n + (1－2－1)的项随n 增大时，其值愈来愈接近1；数列 2462 n ，，，，， (1－2－2)的项随n 增大时，其值愈来愈大，且无穷增大；数列 1111(1)0,n n-+-，，，， (1－2－3)的各项值交替地取1与0；数列 ()11111,,,,,23n n--- (1－2－4)的各项值在数0的两边跳动，且愈来愈接近0；数列 2222，，，，， (1－2－5)各项的值均相同.在中学教材中，咱们已明白极限的描述性概念，即“若是当项数n 无穷增大时，无穷数列{}n x 的一样项n x 无穷地趋近于某一个常数a （即n x a -无穷地接近于0），那么就说a 是数列{}n x 的极限”.于是咱们用观察法能够判定数列{}1n n -，1(1)n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，{}2都有极限，其极限别离为1,20，.但什么叫做“n x 无穷地接近a ”呢在中学教材中没有进行理论上的说明.咱们明白，两个数a 与b 之间的接近程度能够用这两个数之差的绝对值b a -来气宇.在数轴上b a -表示点a 与点b 之间的距离，b a -越小，那么a 与b 就越接近，就数列(1-2-1)来讲，因为111n x n n-=-=， 咱们明白，当n 愈来愈大时，1n 愈来愈小，从而n x 愈来愈接近1.因为只要n 足够大， 11n x n-=就能够够小于任意给定的正数，如此刻给出一个很小的正数1100，只要n 100>即可得 11100n x -<，11120,0,n =若是给定110000，那么从10001项起，都有下面不等式 1110000n x -<成立.这确实是数列1n n x n-=12 (,,)n =，当n →∞时无穷接近于1的实质.一样地，对数列{}n x 有以下概念.概念2 设{}n x 为一数列，假设存在常数a 对任意给定的正数ε(不管何等小)，总存在正整数N ，当n N >时，有不等式n x a ε-<即(,)n x U a ε∈，那么称数列{}n x 收敛，a 称为数列{}n x 当n →∞时的极限，记为lim n n x a →∞=或n x a →()n →+∞.假设数列{}n x 不收敛，那么称该数列发散.概念中的正整数N 与ε有关，一样说来，N 将随ε减小而增大，如此的N 也不是唯一的.显然，若是已经证明了符合要求的N 存在，那么比那个N 大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的表达中，如无特殊声明，N 均表示正整数.另外，由邻域的概念可知，()n x U a ε∈，等价于n x a ε-<.咱们给“数列{}n x 的极限为a ”一个几何说明： 将常数a 及数列123,,,,,n x x x x 在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域，即开区间(,)a εa ε-+，如图1-29所示图1-29因两个不等式 ||n x a ε-<， n a εx a ε-<<+等价，因此当n N >时，所有的点n x 都落在开区间(,)a εa ε-+内，而只有有限个点（最多只有N 个点）在这区间之外.为了以后表达的方便，咱们那个地址介绍几个符号，符号“∀”表示“关于任意的”、“关于所有的”或“关于每一个”；符号“∃”表示“存在”；符号“{}ax m X ”表示数集X 中的最大数；符号“{}min X ”表示数集X 中的最小数.数列极限lim n n x a →∞=的概念可表达为：lim n n x a →∞=0ε⇔∀>，∃正整数N ，当n N >时，有n x a ε-<.例1 证明 1lim 02n n →∞=.证 0ε∀>(不防设1ε<)，要使11022nn ε-=<，只要21nε>，即ln ln21/n ε>（）. 因此，0ε∀>，取ln /ln21N ε⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，那么当n N >时，有102n ε-<.由极限概念可知 1lim 02nn →∞=. 例2 证明 π1lim cos04n n n →∞=. 证 由于ππ111cos 0cos 44n n n n n -=≤，故0ε∀>，要使π1cos 04n εn -<，只要1εn <，即1n ε>. 因此，0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时，有π1cos 04n εn -<.由极限概念可知 π1lim cos 04n n n →∞=. 用极限的概念来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将慢慢介绍其他求极限的方式.二、数列极限的性质定理1（惟一性） 假设数列收敛，那么其极限惟一.证 设数列{}n x 收敛，反设极限不惟一：即lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，且a b ≠，不妨设a b <，由极限概念，取2b a ε-=，那么10N ∃＞，当1n N >时，2n b ax a --<，即 322n a b a bx -+＜＜， （1-2-6） 20N ∃>，当2n N >时，2n b ax b --<，即322n a b b ax +-＜＜， (1-2-7) 取{}12m ,N ax N N =，那么当n N >时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明了收敛数列{}n x 的极限必惟一.概念3 设有数列{}n x ，假设存在正数M ，使对一切12,,n =，有n x M ≤，那么称数列{}n x 是有界的，不然称它是无界的.关于数列{}n x ，若存在常数M ，使对12n =，，，有n x M ≤，那么称数列{}n x 有上界；假设存在常数M ，使对12,,n =，有n x M ≥，那么称数列{}n x 有下界.显然，数列{}n x 有界的充要条件是{}n x 既有上界又有下界. 例3 数列{}211n +有界；数列{}2n 有下界而无上界；数列{}2n -有上界而无下界；数列{}11nn --（）既无上界又无下界. 定理2（有界性） 假设数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 有界.证 设lim n n x a →∞=，由极限概念，0ε∀>，且1ε<，0N ∃>，当n N >时，1||n x a ε-<<，从而<1n x a +.取{}12m 1,,,,N M ax a x x x =+⋯，那么有n x M ≤，对一切123,,,n =，成立，即{}n x 有界.定理2 的逆命题不成立，例如数列{}1()n -有界，但它不收敛.定理3（保号性） 若lim n n x a →∞=，0a >（或0a <），那么0N ∃>，当n N >时，0n x >（或0n x <）.证 由极限概念 ，对02aε=>，0N ∃>，当n N >时，2n a x a -<，即322n a x a <<，故当n N >时，02n ax >>.类似可证0a <的情形.推论 设有数列{}n x ，0N ∃> ，当n N >时，0n x > (或0n x <)，若lim n n x a →∞=，那么必有0a ≥ (或0a ≤).在推论中，咱们只能推出0a ≥ (或0a ≤)，而不能由0n x > (或0n x <)推出其极限(假设存在)也大于0(或小于0).例如10n x n=>，但1lim lim 0n n n x n →∞→∞==.下面咱们给出数列的子列的概念.概念4 在数列{}n x 中维持原有的顺序自左向右任意选取无穷多个项组成一个新的数列，称它为{}n x 的一个子列.在选出的子列中，记第1项为1n x ，第2项为2n x ，…，第k 项为k n x ，…，那么数列{}n x 的子列可记为{}k n x .k 表示k n x 在子列{}k n x 中是第k 项，k n 表示k n x 在原数列{}n x 中是第k n 项.显然，对每一个k ，有k n k ≥；对任意正整数h ，k ，若是h k ≥，那么h k n n ≥；假设h k n n ≥，那么h k≥由于在子列{}k n x 中的下标是k 而不是k n ，因此{}k n x 收敛于a 的概念是：0ε∀>，0K ∃>，当k K >时，有k n x a ε-<.这时，记为lim k n k x a →+∞= .定理4 lim n k x a →∞=的充要条件是：{}n x 的任何子列{k n x }都收敛，且都以a 为极限.证 先证充分性.由于{}n x 本身也可看成是它的一个子列，故由条件得证. 下面证明必要性.由lim n k x a →∞=，0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，有n x a ε-<.今取K N =，那么当k K >时，有k K N n n n N >=≥，于是k n x a ε-<.故有lim k n k x a →∞=.定理4用来判别数列{}n x 发散有时是很方便的.若是在数列{}n x 中有一个子列发散，或有两个子列不收敛于同一极限值，那么可断言{}n x 是发散的.例4 判别数列{}*πsin ,8n n x n N =∈的收敛性.解 在{}n x 当选取两个子列：{}*8πsin ,8k k N ∈，即{}πππ8168sin ,sin ,sin ,888k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅； ()*164πsin ,8k k N +⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，即()ππ16420sin ,sin ,88k ⎧⎫+⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列{}πsin 8n 发散.三、收敛准那么概念5 数列{}n x 的项假设知足121n n x x x x +≤≤≤≤≤，那么称数列{}n x 为单调增加数列；假设知足121n n x x x x +≥≥≥≥≥，那么称数列{}n x 为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成立时，那么别离称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准那么 单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准那么的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明.例5 证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛.证 依照收敛准那么，只需证明11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加且有上界（或单调减少且有下界）.由二项式定理，咱们明白1221111(1)1n n n n n nnx C C C n n n n =+=++++ 11112112111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!!n n n n n n nn-=++-+--++---， 11211111211111(1)111(1)(1)n n n n n n n x C C C n n n n +++++++=+=++++++++。
高数知识点总结(上册)
高数知识点总结(上册).doc 高等数学知识点总结（上册）第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：变量之间的依赖关系。
性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。
1.2 极限定义：函数在某一点或无穷远处的趋势。
性质：唯一性、局部有界性、保号性。
1.3 无穷小与无穷大无穷小：当自变量趋于某一值时，函数值趋于零。
无穷大：函数值趋于无限。
1.4 连续性定义：在某点的极限值等于函数值。
性质：连续函数的四则运算结果仍连续。
第二章：导数与微分2.1 导数定义：函数在某一点的切线斜率。
几何意义：曲线在某点的瞬时速度。
2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。
2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于描述函数的凹凸性。
2.4 微分定义：函数在某点的线性主部。
第三章：导数的应用3.1 切线与法线几何意义：曲线在某点的切线和法线方程。
3.2 单调性与极值单调性：导数的符号与函数的增减性。
极值：导数为零的点可能是极大值或极小值。
3.3 曲线的凹凸性与拐点凹凸性：二阶导数的符号。
拐点：凹凸性改变的点。
第四章：不定积分4.1 不定积分的概念定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。
4.2 基本积分公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。
4.3 积分技巧换元积分法：凑微分法、代换法。
分部积分法：适用于积分中存在乘积形式的函数。
第五章：定积分5.1 定积分的概念定义：在区间上的积分，表示曲线与x轴围成的面积。
5.2 定积分的性质线性：可加性、可乘性。
区间可加性：积分区间的可加性。
5.3 定积分的计算数值计算：利用微积分基本定理计算定积分。
5.4 定积分的应用面积计算：曲线与x轴围成的面积。
物理意义：质量、功、平均值等。
第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性定义：多元函数在某点的极限和连续性。
6.2 偏导数与全微分偏导数：多元函数对某一变量的局部变化率。
全微分：多元函数的微分。
6.3 多元函数的极值定义：多元函数在某点的最大值或最小值。
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结高数第一章知识点总结希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是小编精心收集的高数第一章知识点总结，希望能对你有所帮助。
篇一：高数第一章知识点总结高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。
具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。
高数一知识点
第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==- 左导数 0000000()()()()'()l i m l i mx x x f x f x f x xf x f xx x x ---->->-+-==-右导数 0000000()()()()'()l i m l i mx x x f x f x f x xf x f xx x x+++->->-+-==-微分 ()'y A x z d y A d x y d xο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则 （２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
（3）参数方程求导 四、导数的应用（１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题）(9)2d csc cot x x x C =-+⎰(10)d s x ec tan sec x x x C =+⎰ (11)dx csc cot csc x x x C =-+⎰(12)arcsin x C =+(13)2arctan 1d xx C x=++⎰除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式1.tan ln |cos |;xdx x C =-+⎰2.cot ln |sin |;xdx x C =+⎰3.sec ln |sec tan |;xdx x x C =++⎰4.csc ln |csc cot |;xdx x x C =-+⎰5.2211arctan ;xdx C a x a a =++⎰6.arcsin ;x C a =+7.2211ln ;2x a dx C x a a x a -=+-+⎰8.2arcsin ;2a x C a =+9.ln |.x C =++(3).⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(；(4). 若在[],a b 上，()0≥x f ，则0)(≥⎰badx x f ；推论1.若在[],a b 上，()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰推论2.⎰⎰≤bab adx x f dx x f |)(||)(|（a b <）(5).若函数()x f 在区间[]b a ,上可积，且()M x f m ≤≤，则(6).（定积分中值定理）设()x f 在区间[]b a ,上连续，则存在[]b a ,∈ξ，使()()a b f dx x f b a-=⎰ξ)(．3. 积分上限函数()x af t dt ⎰及其性质(1)．()x f dt t f x a='⎰))((，或()x f dt t f dx d xa=⎰)(；(2)．如果()⎰=)(0)(x dt t f x ϕφ，则()))(()(0'='⎰x dt t f x ϕφ()()()x x f ϕϕ'=.c 为瑕点则()⎰b adx x f 收敛⇔()⎰c adx x f 与()⎰bcdx x f 均收敛，并且在收敛时，有二、计算（一）定积分的计算1、微积分基本公式：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()x f x F ='，则()()a F b F dx x f b a-=⎰)( ，牛顿-莱布尼兹（N-L ）公式2、换元法：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，函数()t x ϕ=满足： ①在区间[]βα,上可导，且()t ϕ'连续；②()αϕ=a ，()βϕ=b ，当[,]t αβ∈时，[]b a x ,∈，则 3、分部积分法：()|b bb a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰，或()|bbba aaudv uv vdu =-⎰⎰．4、偶倍奇零：设函数()x f 在区间[]a a ,-上连续，则2、旋转体的体积（1）直角坐标:由曲线(),,,()y f x x a x b a b ===<与x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积22()().bbaaV f x dx f x dx ππ==⎰⎰由曲线(),,,()x y y c y d c d ϕ===<与y 轴所围曲边梯形绕y 轴旋转一周的旋转体的体积22()().ddccV y dy y dy πϕπϕ==⎰⎰（2）参数方程由()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩与,x a x b ==及x 轴所围成的图形绕x 由旋转一周的旋转体的体积2()()V t t dt βαπψϕ'=⎰3、平面曲线的弧长（积分限从小到大） （1）直角坐标 as =⎰（2）参数方程 s βα=⎰ 齐次线性''()'()0(*)y P x y Q x y ++= 非齐次线性''()'()()(**)y P x y Q x y f x ++=1、12,y y 是（*）的解，则1122y C y C y =+也是(*)的解；若12,y y 线性无关，则1122y C y C y =+为（*）的通解）2、12*,*y y 是（**）的解，则12**y y -是对应齐次线性方程的解Y 是（*）的通解，*y 是（**）的解，则*Y y +是（**）的通解 (三)、解方程：判别类型，确定解法。
6微积分(一)高数
课程名称：微积分（1）邻域设与点U =(P •（2）区域设E是平面上的一点集，P是平面上的一个点，如果存在点P的某一邻域U（P）⊂属于E。
例如，E↓1 =(x,y)1<x↑2 +y↑2 <4 即为开集。
E如果点P的任一个邻域内既有属于E的点，也有不属于E的边界点。
E的边界点的全体称为边界。
是连通的。
连通的开集称为区域或者开区域。
例如，(x ,y )1<x ↑2 +y ↑2 <4 。
x yo xyo 开区域连同它的边界一起称为闭区域。
例如，(x ,y )1≤x ↑2 +y ↑2 ≤4 。
对于点集E，如果存在正数K，使一切点P∈E与某一点A间的距离|AP|不超过K，即|AP|≤K，对于一切P∈E成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集。
例如y(x,y)1≤x↑2 +y↑2 ≤4 为有界点集(x,y)x↑2 +y↑2 >0 为无界点集。
o x（3）聚点设E是平面上的一点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点。
说明：① 内点一定是聚点②点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E。
例如： (x,y)0<x↑2 +y↑2 ≤1 其中（0,0）时聚点但不属于集合。
例如： (x,y)x↑2 +y↑2 =1 边界上的点都是聚点也属于集合。
（4）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组（x↓1 ,x↓2 ,⋯,x↓n ）为全体自然数的n维空间，而每个n元数组（x↓1 , x↓2 ,⋯,x↓n ）称为n维空间的一个点，数x↓i 称为该点的第i 个坐标。
说明：① n维空间的记号为R↑n ;② n维空间中两点间距离公式设两点为P(x ↓1 ,x ↓2 ,⋯,x ↓n )，Q(x ↓1 ,x ↓2 ,⋯,x ↓n )， |PQ |=√(y ↓1 −x ↓1 )↑2 +(y ↓2 −x ↓2 )↑2 +⋯+(y ↓n −x ↓n )↑2 。
1微积分(一)高数
收敛数列子列的性质1. 数列子列的定义2. 收敛数列子列的性质{},,n x 从数列中按照其下标从小到大严格增加定:的顺序义,依次任意的选取出无穷多项排成一列{},,n x 到一个新的数列称为数列的子数列简称子列.就得{}{}2569,,,,,,n x x x x x L 例如是的一个子列{}{}62225991,,,,,,,,{,.}n x x x x x x x x x L L 不是的子列都而1. 数列子列的定义{},{},k n n x x 一般的数列的子列用来表示12,N N ,.k k k n n n n ++<<∈<<∈L L 且{}{}5692,,,,,k n x x x x x L 如果记为则有1225n n =<=34.69n n <=<=<L 其中{}{}k n n x x 子数列有列即是一个特殊的它自身，,..N k n k k x x n k k +∀∈=≡即有从而有{}{}{}k k n n n x x x 若子列与不相同，举一个特殊的512346789101112x x x x x x x x x x x x L,1,2,3,4,, 5.k k n k k n k k >∀≥==且则可以看出5{}k n x x 红色表示该子列，只有一项不在子列中.,.N k k k n +≥∀∈一般的，则有2. 收敛数列子列的性质4 {}{}n n x x 定理数列收敛的任何子列都收敛.lim k k n x a →∞=⇔而,.0,N ,k n x a K k K εε+∀>∃∈∀>−<都有,,.N k K k K n N +∈∀>>故只需找一有个使得即可.k n k K N ≥>=N N k K K +∈∀=>为此，取，则，必有证毕.或者存在两个收敛到不同极限的子列，{}n x 推论若数列存在一个发散的子列，{}n x 则数列必发散.例1{}(1).n −证明数列是发散的证{}{}{}(1)11n −−的偶子列与奇子列分别为与，11−从而，偶子列与奇子列的极限分别为与，{}(1)n −由于这两个子列的极限不同，由推论可知，数列发散.。
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第一章函数及其图形
1.1 预备知识
一、基本概念
1.集合
具有某种特定性质的事物的总体。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
2.包含关系
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A。
若X A，则必x B，就说A是B的子集，记作A B
数集分类：
N----自然数集
Z----整数集
Q----有理数集
R----实数集
数集间的关系：
N Z,Z Q,Q R.
3.相等关系
若A B，且B A，就称集合A与B相等。
记作（A＝B）
例1 则A＝C.
4.空集
不含任何元素的集合称为空集（记作）。
规定空集为任何集合的子集。
例2
5.集合之间的运算
1)并：由中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A B
例3
例4
2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A B
例5
例6
3）差：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A-B
例7
二、绝对值
1.绝对值的定义：
2.绝对值的性质：
（1），当且仅当a＝0时，
（2）
（3）
（4）
3.绝对值的几何意义：
（1）表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。
（2）表示数轴上的两点x与y之间的距离为a。
4.绝对值不等式：
k>0时，则有
k>0时，则有
例8 ，求x的值。
答案：x=±5
5.绝对值的运算性质：
例9 化去下列各式绝对值的符号：
（1）
（2）
（3）
（4）
例10 解下列含有绝对值符号的不等式：
（1）
（2）
（3）
三、区间
是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。
以上区间都叫有限区间
这两种形式的区间叫无限区间
区间长度的定义：
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
四、邻域
设a与是两个实数，且>0，数集称为点a的邻域，记作U(a)。
点a叫做这个邻域的中心，叫做这个邻域的半径。
点a的去心邻域，记作。
区间与邻域的关系：
例11 解不等式并用区间表示不等式的解集：
（1）
（2）
1.2 函数
一、函数的概念
1.定义
设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作
数集D叫做这个函数的定义域，当时，称为函数在点处的函数值。
函数值全体组成的数集
称为函数的值域。
2.函数的两要素：定义域与对应法则。
约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。
例1、
例2、
例3、判断下列两个函数是否相等
例4、求函数的定义域
例5、符号函数
3.分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。
例6、
例7、求下面分段函数定义域并画出图形。
例8、将下面函数化为分段函数
二、函数的表示法
1.图象法
2.表格法
3.解析法
1.3 函数的特性
一、函数的有界性
若有成立，则称函数f（x）在X上有界，否则称无界。
例9、判断下面函数在其定义域是否有界
（1）符号函数y＝sgnx
（2）y＝x2
2.函数的单调性：
设函数f（x）的定义域为D，区间I∈D，
如果对于区间I上任意两点及当时，
恒有则称函数f（x）在区间I上是单调增加的；
设函数f（x）的定义域为D，区间I∈D,如果对于区间I上任意两点及，当
时，恒有则称函数f（x）在区间I上是单调减少的。
例10、求y＝x2的单调性
例11、求y＝sinx的单调性
3.函数的奇偶性：
设D关于原点对称，对于，有称f（x）为偶函数；
设D关于原点对称，对于，有f（-x）=-f（x）称f（x）为奇函数。
4.函数的周期性：
设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一
则称f（x）为周期函数，l称为f（x）的周期，且恒成立（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）。
例12、判断下列函数是否有界
（1）
（2）y＝cosx
例13、判断下面函数的奇偶性
（1）
（2）
例14、判断函数是否是周期函数，如果是，则求出最小正周期。
1.4 反函数
直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称。
1.5 复合函数
1．复合函数
定义：设函数y=f（u）的定义域D f, 而函数的值域为, 若, 则
称函数为x的复合函数。
x←自变量，u←中间变量，y←因变量；
注意:
1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的；
例如：
不能符合成
2.复合函数可以由两个及以上的函数经过复合构成。
例如：
这个函数是由复合而成。
例1.分解复合函数（1）
（2）
例2.复合函数的计算（1）
（2）
（3）
（4）
1.6 初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和函数的复合运算所得到的函数,称为初等函数。
基本初等函数：常值函数、指数函数、三角函数、幂函数、反三角函数、对数函数（1）常值函数
如果当自变量在函数定义域中任意变化时，函数值f（x）恒等于一个常数C，即
f（x）= C，x∈D(f)，则称这个函数为常值函数。
（2）指数函数
形如f(x)=αx (-∞＜x＜+∞)的函数称为指数函数。
其中底数α＞0，α≠1
性质：
①当α＞1时，函数y=a x单调增加；
②当0＜α＜1时，函数y=a x单调减少；
③指数函数经过点（0，1），指数函数值大于0；
④对于a＞0,x,y为实数，
我们规定：
运算法则：
要求：指数函数通过掌握的图形，掌握指数函数的性质。
（3）三角函数
有sinx,cosx,tanx,cotx,secx和cscx，它们都是周期函数。
① 正弦函数y=sinx
图1.32
② 余弦函数y=cosx
图1.33
③ 正切函数y=tanx
图1.34
④ 余切函数y=cotx
图1.35
要求：周期性、奇偶性、三角公式、特殊角的三角函数值。
同角三角函数基本关系式
①倒数关系：
②商的关系
③平方关系
两角和的正弦、余弦、正切公式
两角差的正弦、余弦、正切公式
倍角公式
降幂公式
积化和差公式
例3：利用降幂公式，将下列各式变形
（1）
（2）
（3）
特殊角的三角函数值
例1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。
（1）已知tanx=3求其他的三角函数值
（2）已知secx=5，求其他的三角函数值。
（4）幂函数
形如f(x)=xα的函数为幂函数，其中α为任意常数。
要求：掌握常用的幂函数：y=x；y=x2；y=x3；的图形，性质。
性质：
α为正整数时，幂函数的定义域是（-∞，+∞）；
α为负整数时，幂函数的定义域是（-∞0）∪（0，+∞）；对任意实数α，曲线y=xα都通过平面上的点（1，1）；
α为偶数时，f(x)=xα为偶函数；
α为奇数时，f(x)=xα为奇函数；
α＞0时，f(x)=xα在（0，+∞）单调增加；
α＜0时，f(x)=xα在（0，+∞）单调减少。
幂函数：y=xμ（μ是常数）
（5）反三角函数
①反正弦函数：y=arcsinx，x∈[-1,1]
②反余弦函数：y=arccosx x∈[-1,1]
③反正切函数：y=arctαnx x∈（-∞，+∞）
要求：明白反三角函数的三个含义及定义域。
它是一个角。
范围。
满足什么样的性质？有一个值求出一个角
例2.计算
（1）；
答案：
（2）；
答案：
（3）；
（4）；
（5）
例3.已知，求x的取值范围。
（6）对数函数：
对数函数的定义域是（0，+∞）；
常见的对数函数y=lg x及y=ln x
当α＞1时，y=logαx在定义域内是单调增加的；
当0＜α＜1时，y=logαx在定义域内是单调减少的。
对数函数
对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（α≠1，c≠1），α为任意实数
①；
②；
③；
④；⑤。
（7）幂指函数。