概论与统计课件第三章 多维随机变量及分布

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第一节 二维随机变量
1.1 二维随机变量的分布函数
定义1.2 设 X ,Y 是二维
随机变量, 如果对于任意实数
x, y, 二元 函数
一维随机变量 X的分布函数
F x, y
P X x Y y
F(x) P(X x) x
P X x ,Y y
称为二维随机变量 X ,Y 的分布函数, 或者称为随机
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P( X
变量 X 和 Y 的联合分布函数.
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分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x, y在点 x, y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x, y
为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.
y
y
x, y
Y X ,Y
O Xx
x
o Xx
x
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随机点 X ,Y 落在矩形域 [ x1 x x2, y1 y y2 ]
内的概率为 Px1 X x2, y1 Y y2 F x2, y2 F x2, y1 F x1, y2 F x1, y1
y
y2
X ,Y
边缘分布函数可由联合分布函数确定。 结论：设(X , Y ) 的联合分布函数为 F(x , y)，则有
FX ( x ) P( X x ) P( X x,Y ) lim F( x, y ) F( x,) (x R ) y
FY ( y ) P(Y y ) P( X ,Y y ) lim F ( x , y ) F ( , y ) (y R ) x 边缘分布从某种意义看，就是一维随机变量的分布，它 具有一维分布的性质。只不过边缘分布在二维空间考虑。
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j 1,2,
一维随机变量X 离散型
X 的分布律
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
称之为二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律,
或随机变量X和Y 的联合p分pt课件布律.
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也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.
Y X
y1
y2
x1
p 11 p 12
x2
p 21
p 22
xi
p i1
p i2
yj
p 1j p 2j pij
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二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律具有性质
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
例 设（X , Y）的分布律为： 求a.
Y1 2 3
X
-1 1/3 a/ 6 1/ 4
F ( , ) lim F ( x , y ) 0 F ( , ) lim F ( x , y ) 1
x
x
y
y
(2) F(x ,y)分别是变量 x 或 y 的不减函数。即：
对任意固定的y，当x2 >x1时，F(x2 , y) F(x1 , y) 对任意固定的 x，当 y2 > y1时，F(x , y2) F(x , y1)
x1
O
x2
x
y1
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分布函数 F x, y 的性质 :
(1) 对任意的x 和y 都有： 0 F(x , y) 1
y (x , y)
且对任意固定的 y 有：F( , y ) lim F( x , y ) 0 x
ox
对任意固定的 x 有： F( x,) lim F( x, y ) 0 y
例1 在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量 (平面直角坐标系
的两个坐标)（X，Y）来确定.
例2 运行的人造卫星在空中的位置是由三个随机变量 (三个坐 标)（X，Y，Z）来确定.
为研究这类随机现象的统计规律，本章引入n维随机变量的 概念。
定义1.1：设E为随机试验， X1,X2,…,Xn 是E的n个随机变量，则 称向量(X1,X2,…,Xn)为E的n维随机变量，Xi称为第i（ i=1,2,…,n ） 个分量。
第三章
多维随机变量及其分布
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从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
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到目前为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布，但有些 随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量 来描述。
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P61例1 将两封信随机地往四个邮筒内投放，每封信被 投进这四个邮筒的可能性相同。用X， Y 分别表示投入第一 个和第二个邮筒的信的数目，试求 (X ,Y) 的联合概率分布 .
解（1） X 可取值 0 , 1 , 2 ; Y 可取值 0，1 , 2 ( X, Y ) 可取值 (0,0),(0,1) , (0,2) ,(1,0), (1,1) , (1,2),(2,0),(2,1),(2,2)
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1.2 二维离散型随机变量
1 二维离散型随机变量的联合概率分布
定义1.3 如果二维随机变量
X ,Y 全部可能取到的不相同
的值是有限对或可列无限多对,
则称 X ,Y 为二维离散型随机变量.
设二维离散型随机变量
X ,Y 可能取的值是 xi , y j ,
i, j 1,2, ,记
特别地，n=1时的一维随机变量就是第二章中的随机变量。 当n=2时，称为二维随机变量，记为(X,Y)。
以下重点讨论二维随机变量pp.t课请件 注意与一维情形的对照 . 3
第一节 二维随机变量
• 二维随机变量及其分布函数 • 二维离散型随机变量的联合概率分布及其 边缘概率分布 • 二维连续型随机变量的联合概率密度及其 边缘密度函数
(3) F(x , y)分别关于 x 和 y 右连续。
(4) 当 x1 < x2 ， y1 < y2 时，有
F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, pyp2t课) 件+ F(x1, y1)≥0
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• 边缘分布函数 定义：二维随机变量 (X,Y ) 中，其分量X，Y是一维随机变 量，他们各自的分布函数分别记为FX(x)和FY( y) ，称FX(x) 和FY( y)分别为二维随机变量(X ,Y )关于X （或Y）的边缘分 布函数。