高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理

平面几何中几个重要定理及其证明

一、 塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有

1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADC

ADP BDP BDC

S S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有

ADC ADC ADP APC

ADP BDP BDC BDC BDP BPC

S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===

-，

所以APC

BPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APC

S BE EC S ∆∆=，BPC

APB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得

1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”

A

B

C

D F

P

还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、

E 、

F 均不是∆ABC 的顶点，若1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．

证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有

/

/

1AD BE CF

D B EC FA

⋅⋅=． 因为

1AD BE CF DB EC FA

⋅⋅=，所以有/

/AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理

A

B

C

D E

F

P

D /

3．梅涅劳斯定理及其证明

A

B

C

D E

F

G

定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有

1AD BE CF

DB EC FA

⨯⨯=．

证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．

因为CG

CG CF

AD FA =CG EC

DB BE =DB BE CF

AD EC FA =⋅1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=∆

1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=//

1AD BE CF

D B EC FA

⋅⋅=

A

B

C

D E

F

D /

1AD BE CF ⋅⋅=/

/AD AD =∠∠∠∠∠∠

∆∆

AD

DE

=

AD BC AC DE ⋅=⋅∠∠∠∠∠∠∠∠

∠∠∆∆

AB BE

AC CD

=AB CD AC BE ⋅=⋅AD BC AB CD AC DE AC

⋅+⋅=⋅+⋅EAB DAC ∠=∠EBA DCA ∠=∠EAB ∆∆AE AB

AD AC =DAE CAB ∠=∠∆CAB

∆EBA DCA

∠=∠DBA DCA

∠=∠///A B A D

AB BD

=///B C C D BC BD =//////

AB A D BC C D A B B C BD

⨯+⨯+= 另一方面，///A C A D AC CD =，即///

AC A D A C CD

⨯=． 欲证//AB A D BC C D BD

⨯+⨯=/AC A D CD ⨯，即证

///AB CD A D BC CD C D AC BD A D ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯

即

//

()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯． 据条件有 AC BD AB CD AD BC ⨯-⨯=⨯，所以需证

//BC CD C D AD BC A D ⨯⨯=⨯⨯，

即证/

/

CD C D AD A D ⨯=⨯，这是显然的．所以，

//////A B B C A C +=，即A /、B /、C /共线．所以//A B B ∠与//

BB C ∠

互补．由于//

A B B DAB ∠=∠，

//BB C DCB ∠=∠，所以DAB ∠与DCB ∠互补，即A 、B 、C 、D 四点共圆．

7．托勒密定理的推广及其证明

定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有 AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD

证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则

EAB ∆∽DAC ∆．

可得AB ×CD = BE ×AC ————（1）

且

AE AB

AD AC = ————（2）

则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ∆∽CAB ∆．于是 AD ×BC = DE ×AC ————（3）

由（1）+（3）可得 AB ×CD + BC ×AD = AC ×( BE + DE )