高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何的几个重要定理
练习 2:已知直线 AA1，BB1，CC1 相交于点 O,直线 AB 和
A1B1 的 交 点 为 C2 , 直 线 BC与B1C1 的 交 点 为 A2 , 直 线
AC与A1C1 的交点为 B2 ,试证: A2、B2、C2 三点共线.
证明:由 A2、B2、C2 分别是直线 BC和B1C1，AC和A1C1， AB和A1B1 的交点,对所得的三角形和它们 边上的点：OAB和( A1，B1,C2 ),OBC和(B1,C1, A2 ), OAC和( A1,C1, B2 ) 应用梅涅劳斯定理有:
AB BE AB CD AC BE又 AB AE
AC CD
AC AD
且BAC EAD ABC和AED相似
BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC (BE ED)
AB CD AD BC ≥ AC BD
且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四
BA1 BP cosPBC , CB1 CP cosPCA , CA1 CP cosPCB AB1 AP cosPAC
AC1 AP cosPAB BC1 PB cosPBA
由上面的三个式子相乘 且 PAC PBC,PAB PCB,PCA PBA 180
可得 BA1 CB1 AC1 ＝1 ， CA1 AB1 BC1
由角平分 定理，可得 BH AB 故：CG AB DE 1 HD AD GB AD EC
高中数学竞赛平面几何定理
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）
1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边
和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．
2． 射影定理（欧几里得定理）
3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2
22222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A a
bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．
如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC
AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=
（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．
8． 角定理：AB
DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．
9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝
高中数学竞赛中平面几何涉及的定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、射影定理(欧几里得定理)
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，
11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半
14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有
n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明
一、 塞瓦定理
1．塞瓦定理及其证明
定理：在∆ABC 内一点P,该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F,且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点,则有
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADC
ADP BDP BDC
S S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有
ADC ADC ADP APC
ADP BDP BDC BDC BDP BPC
S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===
-,
所以APC
BPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APC
S BE EC S ∆∆=,BPC
APB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”
A
B
C
D F
P
还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”．
2．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F,且D 、E 、F
均不是∆ABC 的顶点,若
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=,那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D /,则据塞瓦定理有
/
/
1AD BE CF
D B EC FA
⋅⋅=． 因为
1AD BE CF DB EC FA
⋅⋅=,所以有/
/AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．
高中数学中的平面几何定理总结
高中数学中的平面几何定理总结
平面几何是数学中重要的一个分支，它研究的是二维空间中的图形和形状。在高中数学中，我们学习了许多关于平面几何的定理和性质。这些定理不仅仅是为了应对考试，更是为了培养我们的逻辑思维和空间想象能力。在本文中，我将总结一些高中数学中的平面几何定理。
1. 相似三角形定理
相似三角形定理是平面几何中非常重要的一个定理。根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角相等，那么它们的对应边的比例也相等。这个定理在解决一些几何问题时非常有用，比如求解两个图形的比例尺。
2. 直角三角形定理
直角三角形定理是我们在初中就学过的定理，它指出：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理可以用来解决一些与直角三角形相关的问题，比如求解未知边长或角度。
3. 圆的性质
圆是平面几何中的重要图形，它有许多独特的性质。其中一条重要的定理是：在一个圆中，半径垂直于切线。这个定理可以用来解决一些与圆相关的问题，比如判断两条线段是否相切于同一个圆。
4. 直线与平行线的性质
直线与平行线是我们在几何中经常遇到的概念。其中一个重要的定理是：如果一条直线与两条平行线相交，那么它们之间的对应角相等。这个定理可以用来解决一些与平行线相关的问题，比如判断两条直线是否平行。
5. 三角形的内角和定理
三角形的内角和定理是平面几何中的基本定理之一。它指出：一个三角形的三个内角的和等于180度。根据这个定理，我们可以求解三角形中的未知角度，或者判断一个三角形是否合法。
6. 相交线的性质
在平面几何中，我们经常遇到相交线的问题。其中一个重要的定理是：如果两条直线相交，并且其中一条直线与一条平行线相交，那么另一条直线也与这条平行线相交，并且它们之间的对应角相等。这个定理可以用来解决一些与相交线相关的问题，比如判断两条直线是否相交于同一个点。
平面几何中及几个重要定理
三．西姆松定理
R．Simson（1867—1768），英国数学家，曾于1756年校订了欧几里德的《几何原本》。
西姆松定理从 的外接圆上任意一点 向 或它们的延长线引垂线，垂足分别为 ，则 三点共线。
过点 的直线叫做 关于点 的西姆松线
西姆松定理的逆定理也成立，即：
从 的三边或它们的延长线引垂线，垂足分别为 在同一直线上，则点在 的外接圆上。
四．欧拉定理
L．Euler（1707—1783），瑞士大数学家，在数学的多个领域都作出过重大贡献。
欧拉定理设 的外心、重心、垂心分别为 ，则 三点共线，且 。
我们称 的连线为欧拉线。
例8．如图，设 为 三边的中点，求证： 的外心在 的欧拉线上。
例9．三角形三边中点、三垂线足、三顶点、和垂心所连线的中点，此九点在同一圆周上，此圆称为九点圆，或欧拉圆。九点圆的圆心在三角形的欧拉线上，即三角形的外心、重心和九点圆的圆心在同一直线上。
高中数学竞赛平面几何四个重要定理
竞赛专题讲座06
－平面几何四个重要定理
四个重要定理：
梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、
R共线的充要条件是。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）
△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的
充要条件是。
托勒密(Ptolemy)定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该
四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是
该点落在三角形的外接圆上。
例题：
1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：
。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）
【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，
交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中
点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）
DGF截△ACM→（梅氏定理）
∴===1
【评注】梅氏定理
3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，
，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】
【评注】梅氏定理
4．以△ABC各边为底边向外作相似的
等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、
CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则
CD=DA=AB，AC=BD。
平面几何的几个重要定理
练习 1.设 ABC 的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F ;从点 D 作 AB、BE、CF、AC 的垂线,其垂足分 别为 P、Q、R、S ,求证: P、Q、R、S 在同一条直线上.
思考(1999 年全国联赛第二试试题) 如 图 , 在四 边形 ABCD 中 , 对角 线 AC 平 分 BAD , 在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于点 F,延长 DF 交 BC 于 G ,求证: GAC EAC .
OC1 BB1 CA2 AA1 OB1 BC2 1, 1, CC1 OB1 BA2 OA1 BB1 AC2 OA1 CC1 AB2 1 ,将上面的三条式子 AA1 OC1 CB2 BC2 AB2 CA2 1 应用梅涅 相乘可得 AC2 CB2 BA2 劳斯定理可知 A2 ,B2 , C2 共线.
定理证明 2答案
广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有: AB CD AD BC ≥ AC BD , 并且当 且仅当 四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使BAE CAD，ABE ACD, ABE 和ACD相似 AB BE AB AE AB CD AC BE 又 AC CD AC AD 且BAC EAD ABC 和AED相似 BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC ( BE ED ) AB CD AD BC ≥ AC BD
平几竞赛中三个重要定理：梅氏、塞瓦、托勒密
平面几何几个重要定理 1.ZA YC = 根据命题的条件可以画出如图所示的两种图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其他两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上。
证明（1）必要性：即若X 、Y 、Z 三点共线，则
1.CX BZ AY XB ZA YC =
设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ，则,,CX c BZ b AY a XB b ZA a YC c === 三式相乘即得 1.CX BZ AY c b a XB ZA YC b a c
== （2）充分性：即若 1.CX BZ AY XB ZA YC =则X 、Y 、Z 三点共线。设直线XZ 交AC 于Y'，由已证必要性得' 1.'CX BZ AY XB ZA Y C =又已知1CX BZ AY XB ZA YC =，所以'.'AY AY Y C YC
=因为Y'和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，且能分得比值相等，所以Y'和Y 必重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线。 梅内劳斯定理的应用：一是求共线线段的比，即已知其中两个可以求得第三个；二是证明三点共线。
1.YA ZB
=（连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线）证明(1)必要性：即设△ABC 中，AX 、BY 、CZ 是三条塞瓦线，如果 1.XC YA ZB =则AX 、BY 、CZ 三线共点。（如图）
假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连结CP 交AB 于Z'，则CZ'也是一
竞赛辅导-平面几何——平面几何的几个重要定理
5
平面几何的几个重要的定理 托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角 所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对 所 包 矩形 的 面积 与 另一 组对 边 所包 矩 形的 面积 和)．即：若四边形 ABCD 内接于圆, 则有 AB CD AD BC AC BD. 广义的托勒密定理 在四边形 ABCD 中, 有: AB CD AD BC ≥ AC BD , 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 6
这条直线叫西姆松线.
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练习 1.设 ABC 的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F ;从点D作 AB、BE、CF、AC 的垂线,其垂足分 别为 P、Q、R、S ,求证: P、Q、R、S 在同一条直线上.
12
思考(1999 年全国联赛第二试试题) 如 图, 在四 边形 ABCD 中 , 对角 线 AC 平 分 BAD ,在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于点 F,延长 DF 交 BC 于 G ,求证: GAC EAC .
西姆松定理应用
P
C
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练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
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平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从 △ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线， 垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
平面几何中的几个重要定理
平面几何中的几个重要定理
自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们，人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了几何学的历程.
这里我们介绍几何学中的几个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。
一、塞瓦定理
塞瓦（G ．Ceva 1647—1743），意大利著名数学家．
塞瓦定理 设S 为ABC ∆三边所在直线外一点，连接CS BS AS ,,分别和ABC ∆的边或三边的延长线交于R Q P ,,（如图1），则1=⋅⋅RB
AR
QA CQ PC BP ．
证明 （面积法）考虑到△ABS 与△ACS 有公共底边AS ，因此它们面积之比等于分别从顶点B 、C 向底边AS 所引垂线长的比，而这个比又等于BP 与PC 之比，所以有
P174
同理可得
三式相乘，即得
错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用
源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=1
A
B
C
S
P
Q
R
A
C
S
Q
R
1
图
3
图 与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理．
塞瓦定理逆定理 设R Q P ,,为ABC ∆的边或三边的延长线上的三点（R Q P ,,都在三边上或只有其中之一在边上），如果有
1=⋅⋅RB
AR
QA CQ PC BP ，则三直线CR BQ AP ,,交于一点或互相平行．
证明 因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上，不妨假定P 点在BC 边上。 若BQ 与CR 相交，设交点为S ，又设AS 和BC 的交点为P ’，由塞瓦定理，应有
平面几何中的几个重要定理.doc
S 二 CAS
S.1CBS
=1
平面几何中的几个重要定理
自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容 和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了 毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们， 人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了儿何 学的历程.
这里我们介绍儿何学中的儿个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。 一、塞瓦定理
塞瓦（G. Ceva 1647—1743）,意大利著名数学家.
塞瓦定理 设S 为A/WC 三边所在直线外一点，连接AS,BS,CS 分别和\ABC 的边或三边的 延长线交于P,Q,R （如图1）,则 竺.丝.坐=1.
PC QA RB
证明 （面积法）考虑到ACS 有公共底边AS,因此它们面积之比等于分别从顶点 B 、C 向底边AS 所引垂线长的比，而这个比乂等于BP 与PC 之比，所以有
P174
BP _ S^ABS PC Smcs
同理可得
CQ _ S 〉BCS QA S^BAS AR S^CAS . RB S^CBS
三式相乘，即得
BP . £Q . AR S 二A 〉- . S 隽us
PC QA RB S iACS S^BAS
A
平行.
点或互相
与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理.
塞瓦定理逆定理 设P,Q,R 为AABC 的边或三边的延长线上的三点（P,0R 都在三边
证明 因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上，不妨假定P 点在BC 边上。 若BQ 与CR 相交，设交点为S,又设AS 和BC 的交点为P',由塞瓦定理，应有
高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积
之和)．
即：ABCD AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅定理：在四边形中，有：
ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立；
()
ABCD E BAE CAD ABE ACD
AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD
BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠∆∆∴=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、一、直接应用托勒密定理
例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．
分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为
繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ，
∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ．
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 证明：如图，作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ，显然ABCD 是圆内接四边形．
由托勒密定理，有 AC ·BD=AB ·CD ＋AD ·BC ． ①
数学奥赛平面几何
《竞赛数学解题研究》之平面几何
专题一、平面几何中的一些重要定理：
1、梅涅劳斯定理：
设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是
1=⋅⋅EA
CE
FC BF DB AD 。
2、塞瓦定理：
设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是
1=⋅⋅EA
CE
FC BF DB AD 。
3、托勒密定理：
四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅
4、西摩松定理：
设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则
BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅222
6、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC
AB S S C B A ABC '
'⋅''⋅='''∆∆
7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则
C
A B A AC
AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆
举例说明：
1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。（IMO23,1982）
2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。（1983，全国高中数学联赛试题）
高中数学竞赛——平面几何基础知识(基本定理、基本性质)
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）
1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．
2． 射影定理（欧几里得定理）
3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2
22222a c b m a −+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC
CD AB −=−⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===
−−−=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．
如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC
AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=−+=
（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222−+=．
8． 张角定理：AB
DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．
9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．
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平面几何中几个重要定理及其证明
一、 塞瓦定理
1．塞瓦定理及其证明
定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADC
ADP BDP BDC
S S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有
ADC ADC ADP APC
ADP BDP BDC BDC BDP BPC
S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===
-，
所以APC
BPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APC
S BE EC S ∆∆=，BPC
APB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”
A
B
C
D F
P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．
2．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、
E 、
F 均不是∆ABC 的顶点，若1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有
/
/
1AD BE CF
D B EC FA
⋅⋅=． 因为
1AD BE CF DB EC FA
⋅⋅=，所以有/
/AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．
注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理
A
B
C
D E
F
P
D /
3．梅涅劳斯定理及其证明
A
B
C
D E
F
G
定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有
1AD BE CF
DB EC FA
⨯⨯=．
证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．
因为CG
CG CF
AD FA =CG EC
DB BE =DB BE CF
AD EC FA =⋅1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=∆
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=//
1AD BE CF
D B EC FA
⋅⋅=
A
B
C
D E
F
D /
1AD BE CF ⋅⋅=/
/AD AD =∠∠∠∠∠∠
∆∆
AD
DE
=
AD BC AC DE ⋅=⋅∠∠∠∠∠∠∠∠
∠∠∆∆
AB BE
AC CD
=AB CD AC BE ⋅=⋅AD BC AB CD AC DE AC
⋅+⋅=⋅+⋅EAB DAC ∠=∠EBA DCA ∠=∠EAB ∆∆AE AB
AD AC =DAE CAB ∠=∠∆CAB
∆EBA DCA
∠=∠DBA DCA
∠=∠///A B A D
AB BD
=///B C C D BC BD =//////
AB A D BC C D A B B C BD
⨯+⨯+= 另一方面，///A C A D AC CD =，即///
AC A D A C CD
⨯=． 欲证//AB A D BC C D BD
⨯+⨯=/AC A D CD ⨯，即证
///AB CD A D BC CD C D AC BD A D ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯
即
//
()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯． 据条件有 AC BD AB CD AD BC ⨯-⨯=⨯，所以需证
//BC CD C D AD BC A D ⨯⨯=⨯⨯，
即证/
/
CD C D AD A D ⨯=⨯，这是显然的．所以，
//////A B B C A C +=，即A /、B /、C /共线．所以//A B B ∠与//
BB C ∠
互补．由于//
A B B DAB ∠=∠，
//BB C DCB ∠=∠，所以DAB ∠与DCB ∠互补，即A 、B 、C 、D 四点共圆．
7．托勒密定理的推广及其证明
定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有 AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD
证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则
EAB ∆∽DAC ∆．
可得AB ×CD = BE ×AC ————（1）
且
AE AB
AD AC = ————（2）
则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ∆∽CAB ∆．于是 AD ×BC = DE ×AC ————（3）
由（1）+（3）可得 AB ×CD + BC ×AD = AC ×( BE + DE )