浅谈解题思路的合理选择

浅谈解题思路的合理选择

[摘要]：本文主要论述了：在数学课堂教学过程中常见的几个问题。误区一、教师讲得清，学生就听得懂；误区二、教师觉得简单，学生就学得容易；误区三：教师讲得越多，越充分利用课堂４５分钟；误区四：学生在课堂上听懂了，所学知识就掌握了。

[关键字]：反馈的及时性 二次补授 全面了解学生的基础与能力 旁证博引 知识网络教学者自身的思维过程 感悟数学思想

由于数学问题千变万化，自然决定了解题思路没有固定不变的模式，况且同一问题的解决也会存在多种不同的解题思路。如何合理、自然、快速地选择解题思路，这是我们在教学过程中经常思考的课题之一。

下面以文[1]中的题目为便，谈谈我们的具体做法，以期抛砖引玉。

例1 已知 9

2,31,31=>>ab b a ,求证： a+b<1

分析与解答 由31,31>>

b a 知031,031>->-b a 。而由⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛-3131b a 可生成ab 与a+b ，于是有如下简证： ∵a-

31>0,b-3

1>0, ∴0<(a-31)(b-3

1) =ab-31 (a+b)+9

1 =31[1-(a+b)] ∴a+b<1

例 2 设x>0,y>0,x ≠y,且x 2-y 2=x 3-y 3.求证：1

3

4. 分析与解答 ∵x-y ≠0

∴由(x-y)(x+y)=(x-y)(x 2+xy+y 2),得 x+y=x 2+xy+y 2

将 x 2+xy+y 2配方产生目标“x+y ”.

不妨设x+y=t,有

t=(x+y)2-xy=t 2-xy,

即 t 2-t=xy.

再将xy 向x+y 这个目标转化，自然想到

)(4222y x t y x xy ≠=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+< 于是，有t 2-t<42t ,即 3t 2-4t<0,解得0

4 如何证明t>1,这又是我们的解题目标。

事实上，由x>0,y>0知t 2-t=xy>0.即t 2>t 而t>0,∴t>1.

评注 从已知条件出发，联想已学过的法则、定理，盯着目标设法实施有效的转化，在条件与结论之间搭起一座合理化归的桥梁。这是选择解题思路的重要策略。

例 3 已知a>0,b>0,a+b=1,求证：4

25)1(1≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+b b a a . 分析与解答 先将（a+a 1）(b+b 1)=ab+a b b a ab ++1 显然，2≥+a

b b a ，于是只要证 4

171≥+ab ab 而ab 与已知a+b=1联系有 4122=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab 利用函数的单调性，从“ab+

ab 1”想到了构造函数f(t)=t+t

1 (0

评注 从外形结构联想到构造函数，利用函数的单调性是证明不等式的一条有效途径。

转换角度，若不将（a+a 1）(b+b

1)展开，如何证明例3的不等式呢？ 下面又给出三种解题思路。 1）从取等号成立的充要条件a=b=

21,知a=a 41,b=b 41,妙用5元均值不等式，得如下巧证。 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+b b b b b a a a a a b b a a 414141414141414111

≥5454415415⎪⎭

⎫ ⎝⎛∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛∙b b a a =5341425⎪⎭

⎫ ⎝⎛ab ≥4

25 (∵4ab ≤1) 评注 利用不等式中等号成立的条件是妙证不等式的重要技巧之一。

2）如果考虑化分式不等式为整式不等式，彩分析方法，就有如下妙证。

要证 (a+

a 1)(b+

b 1)≥4

25 只要证 (a 2+1)(b 2+1)≥4

25ab, 即 a 2+b 2+a 2b 2+1≥4

25ab, 只需证 1-2ab+a 2b 2+1≥425ab, 即 4(ab)2-33ab+8≥0

(4ab-1)(ab-8)≥0 (※)

∵ ab ≤4

1, ∴4ab-1≤0, 又 ab-8<0

∴ (※)式成立。

评注 有些不等式从条件出发直接难以证明时，不妨转换角度，从结论出发，采用分析法，不仅使思路清晰、自然，而且证法简捷，如高中《代数》下册P 26中的定理1，教材中的语法学生很不容易想到，若采用分析法，证明过程就显得非常简洁、自然，请读者自证。

3）由a>0,b>0,a+b=1,联想到三角基本平方关系式：sin 2β+cos 2β=1，自然考虑选择三角代换，则有如下证法。 设a=sin 22α,b=cos 22α,(0,

2

π) ,则 (a+a 1)(b+b 1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos 12cos 2sin 12sin 2222αα

⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+-=ααααcos 122cos 1cos 122cos 1 α

αααααcos 1cos 1cos 1cos 1cos 144cos 122-+++-+-+-= =α

ααα2222sin cos 22sin 44sin +++ 2sin 84sin 22-+=α

α (※) 这里，将原不等式的证明问题转化为求三角式子(※)的最小值问题。由其结构特点自然想到运用均值不等式a+b ≥ab 2(a,b>0)消掉sin 2

以须对(※)式中的系数进行合理凑配，则有

2sin 84sin 22-+α

α 2sin 431sin 414sin 222-++=α

αα 2sin 431212-+≥α 24

3121-+≥ 4

25≥ 评注 此题在转化为求三角式子的最值时，既用到了均值不等式，又用到了正弦函数的有界性，特别要注意的是：系数的凑配要以均值不等式中等号成立的条件与三角函数的有界性必须保持一致为前提。

从对以上几个例题解题思路的分析看出，数学解题思路的合理选择，一方面受解题者自身知识水平的制约，另一方面要求我们在学习中要善于不断的总结，不断探索，寻求合理、准确、恰当的思维起点，以达到解题思路既自然，又流畅。只有这样，才能不断开发解题智慧，逐步提高分析问题和解决问题的能力。