数学九年级上册 一元二次方程中考真题汇编[解析版]

数学九年级上册 一元二次方程中考真题汇编[解析版]

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在长方形ABCD 中，边AB 、BC 的长（AB ＜BC ）是方程x 2-7x +12=0的两个根．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动，运动时间为t （秒）．

（1）求AB 与BC 的长；

（2）当点P 运动到边BC 上时，试求出使AP 长为10时运动时间t 的值；

（3）当点P 运动到边AC 上时，是否存在点P ，使△CDP 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) AB ＝3，BC ＝4;(2) t ＝4;(3) t 为10秒或9.5秒或

535

秒时，△CDP 是等腰三角形.

【解析】

试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长；

（2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，分为：PC ＝PD ，PD ＝PC ，PD ＝CD ，三种情况分别可求解.

试题解析：(1)∵x 2－7x ＋12＝(x －3)(x －4)＝0

∴1x ＝3或2x ＝4 .

则AB ＝3，BC ＝4

(2)由题意得()223t-310?+=（） ∴14t =，22t =(舍去)

则t ＝4时，AP 10.

(3)存在点P ，使△CDP 是等腰三角形.

①当PC ＝PD ＝3时， t ＝3431

++ ＝10(秒). ②当PD ＝PC(即P 为对角线AC 中点)时，AB ＝3，BC ＝4. 2234+＝5，CP 1＝

12AC ＝2.5 ∴t＝34 2.51

++ ＝9.5(秒)

③当PD ＝CD ＝3时，作DQ⊥AC 于

Q. 1341221552

DQ ⨯⨯==⨯，22129355PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ∴PC＝2PQ ＝185

∴18

3453515

t ++

==(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或535

秒时，△CDP 是等腰三角形. 2．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数12

y x =的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．

（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式；

（2）当03PQ <时，求n 的取值范围；

（3）求出当n 为何值时，PQC ∆面积为12？

【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10．

【解析】

【分析】

（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；

（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；

（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得．

【详解】

（1）将点C(m ，3)代入正比例函数12

y x =得： 3=

1m 2

，解得：m=6 则点C(6，3)

∵A(9，0) 将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：

0936k b k b

=+⎧⎨=+⎩ 解得：k=－1，b=9

∴一次函数解析式为：y=－x+9

（2）∵N(n ，0)

∴P(n ，9－n)，Q(n ，

12n ) ∴PQ=192

n n -- ∵要使03PQ < ∴0＜1932n n --

≤ 解得：46n <或68n <

（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h

第（2）已知：PQ=139922

n n n --

=- 由图形可知，h=6n -

∵△PQC 的面积为12 ∴12=136922

n n -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=()13692

2n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 解得：n=2或n=10(舍) 情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=

()

136922n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 解得：n=2(舍)或n=10

综上得：n=2或n=10．

【点睛】 本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．

3．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；

（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q 两点的距离为多少？

（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为

12cm2？

【答案】（1）8

5

s或

24

5

s（2）62cm；213cm（3）4s或6s

【解析】

【分析】

(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；

（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；

(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．

【详解】

解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，

由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，

∵点P和点Q之间的距离是10 cm，

∴62+（16﹣5t）2＝100，

解得t1=8

5

，t2=

24

5

，

∴t＝8

5s或

24

5

s.

故答案为8

5

s或

24

5

s