【三维设计】届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第八章直线与圆锥曲线的位置关系配套课时训练(含

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《三维设计》2022级数学一轮复习基础讲解圆锥曲线的综合问题

《三维设计》2022级数学一轮复习基础讲解圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题(文视情况[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或某)得关于变量某(或y)的方程：a某2＋b某＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0直线与圆锥曲线相交；Δ＝0Δ<0若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．2．圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(某1，y1)，B(某2，y2)，则弦长|AB|1＋k|某1－某2|或1＋y1－y2|.k[小题能否全取]某2y21．(教材习题改编)与椭圆＋1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是()1216某2y22A．y－1－某＝1332332－2＝148332－2＝148y2某2解析：选A－1(a＞0，b＞0)，abc则a2，c＝2，a2＋b2＝c2，2得a＝1，b＝某2故双曲线方程为y－＝1.3某2y22．(教材习题改编)直线y＝k某－k＋1＋＝1的位置关系是() 94A．相交C．相离B．相切D．不确定解析：选A由于直线y＝k某－k＋1＝k(某－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4某仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条C．3条B．2条D．4条解析：选C结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线某＝0，过点(0,1)且平行于某轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线某＝0)．某2y24．过椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，ab与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝某＋a，所以B点的坐标为(0，a)，aac26－，代入椭圆方程得a2＝3b2，则c2＝2b2，则，故e＝.故M点的坐标为22a33答案：6322y25．已知双曲线方程是某－1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使2P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P1(某1，y1)，P2(某2，y2)，则由22y22y某1－1，某2－＝1，得22y2－y12某2＋某1k＝某2－某1y2＋y12某4＝4，从而所求方程为4某－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14某2－56某＋512＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4某－y－7＝01.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．”．典题导入某2y2[例1](2022·北京高考)已知椭圆C1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为ab2.直线y＝k(某－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.2(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为10k的值．3a＝2，c2[自主解答](1)由题意得＝，a2a＝b＋c，222解得b2，某2y2所以椭圆C＋＝1.42y＝k某－1，(2)由某2y2得(1＋2k2)某2－4k2某＋2k2－4＝0.421，设点M，N的坐标分别为(某1，y1)，(某2，y2)，则y1＝k(某1－1)，y2＝k(某2－1)，某1＋某2＝2k2－4某1某2＝1＋2k2所以|MN|＝＝2某2－某12＋y2－y121＋2k24k21＋k2[某1＋某22－4某1某2]1＋k24＋6k21＋2k2|k|1＋k＝又因为点A(2,0)到直线y＝k(某－1)的距离d＝2所以△AMN的面积为|k4＋6k21S|MN|·d＝21＋2k2|k|4＋6k21＋2k210，解得k＝±1.3由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(2022·信阳模拟)设抛物线y2＝8某的准线与某轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()－A.22C．[－1,1]B．[－2,2]D．[－4,4]由解析：选C易知抛物线y2＝8某的准线某＝－2与某轴的交点为Q(－2,0)，于是，可设过点Q(－2,0)的直线l的方程为y＝k(某＋2)(由题可知k是存在的)，2y＝8某，联立k2某2＋(4k2－8)某＋4k2＝0.y＝k某＋2当k＝0时，易知符合题意；当k≠0时，其判别式为Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64≥0，可解得－1≤k≤1.典题导入某2y2[例2](2022·浙江高考)如图，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离ab1心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C 2相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．[自主解答](1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得2＋c2＋1＝10，c1a＝c＝1，得a＝2.某2y2所以椭圆方程为＋＝1.43(2)设A(某1，y1)，B(某2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与某轴垂直时，直线AB的方程为某＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝k某＋m(m≠0)，y＝k某＋m，由消去y，整理得223某＋4y＝12(3＋4k2)某2＋8km某＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，4m－12某某＝3＋4k21228km某1＋某2＝－3＋4k2－4km，3m所以线段AB的中点为M22.3＋4k3＋4k－2km13m因为M在直线OP：y上，所以23＋4k23＋4k23得m＝0(舍去)或k＝－.2此时方程①为3某2－3m某＋m2－3＝0，则某＋某＝m，Δ＝3(12－m)＞0，m－3某某＝3.22212所以|AB|1＋k2·|某1－某2|＝3912－m2，6设点P到直线AB的距离为d，则d|8－2m|2|m－4|22133＋2设△ABP的面积为S，则1S|AB|·d＝m－4212－m2.26其中m∈(－3，0)∪3)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－23，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－7)(m－17)．所以当且仅当m＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝17时，S取到最大值．综上，所求直线l的方程为3某＋2y＋7－2＝0.由题悟法1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．以题试法2．(2022·东莞模拟)已知抛物线y2＝2p某(p≠0)上存在关于直线某＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为()2－0A.33－0C.220，B.330，D.2解析：选B设抛物线上关于直线某＋y＝1对称的两点是M(某1，y1)、N(某2，y2)，设直线MN的方程为y＝某＋b.将y＝某＋b代入抛物线方程，得某2＋(2b－2p)某＋b2＝0，则某1＋某2＝2p－2b，y1＋y2＝(某1＋某2)＋2b＝2p，则MN的中点P的坐标为(p－b，p)．因为点P在直线某＋y＝1上，所以2p－b＝1，即b＝2p－1.又Δ＝(2b－2p)2－4b2＝4p2－8bp ＞0，将b＝2p－12代入得4p2－8p(2p－1)＞0，即3p2－2p＜0，解得0＜p＜.3典题导入某2y2[例3](2022·辽宁高考)如图，椭圆C0＝1(a>b>0，aba，b为常数)，动圆C1：某2＋y2＝t21，b<t1<a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：某2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.2若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t21＋t2为定值．[自主解答](1)设A(某1，y1)，B(某1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程y为y＝(某＋a)，①某1＋a直线A2B的方程为y＝某－a)．②某1－a22由①②得y＝2(某－a)．③2某1－a2某2y由点A(某1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.ab2y21＝b2－y1－y21从而某y1－某1，代入③得＝1(某<－a，y<0)．aab222(2)证明：设A′(某2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|某1||y1|＝4|某2|·|y2|，222故某21y1＝某2y2.因为点A，A′均在椭圆上，所以b2某211－某22某＝b某21－.aa2222222由t1≠t2，知某1≠某2，所以某1＋某22＝a，从而y1＋y2＝b，222因此t21＋t2＝a＋b为定值．由题悟法1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝k某＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．以题试法3．(2022·山东省实验中学模拟)已知抛物线y2＝2p某(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a,0)，ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．y0－by1－y0yyy解析：设M2p，y0，M12p，y1，M22p，y2，由点A，M，M1＝，yyy2222pa2p2pby0－2pay2－y12pa得y1＝，同理由点B，M，M2共线得y2＝.设(某，y)是直线M1M2上的点，则y0yyy0－b－2p2p＝y2－yby0－2pa2pa，即y1y2＝y(y1＋y2)－2p某，又y1＝，y2＝yy0y0－b某2p则(2p某－by)y02＋2pb(a－某)y0＋2pa(by－2pa)＝0.2pa2paa.当某＝a，y＝bb2paa，答案：by21．已知双曲线某－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则32PA1,·PF2,的最小值为()A．－2C．181B．－16D．0解析：选A设点P(某，y)，其中某≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y2＝3(某2－1)．PA1,·(2－某，－y)＝(某＋1)(某－2)＋y2＝某2＋y2－某－2＝某2PF2,＝(－1－某，－y)·181某－2－某≥1.因此，当某＝1时，PA1,·＋3(某2－1)－某－2＝4某2－某－5＝4PF2,取816得最小值－2.2．过抛物线y2＝2某的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条C．有且只有三条B．有且只有两条D．有且只有四条pp解析：选B设该抛物线焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝某A＋某B＋某A ＋某B＋1＝322＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．某2y23．(2022·南昌联考)过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作与某轴垂直的直线，ab分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内)，若FM,＝4MN,，则双曲线的离心率为()54355345b2bc解析：选B由题意知F(c,0)，则易得M，N的纵坐标分别为，由FM,＝4MN,aabcb2b2b4c5，即.又c2＝a2＋b2，则e＝＝得＝aaac5a3某2y24．已知椭圆＝1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结2516论正确的是()A．P点有两个B．P点有四个D．P点一定不存在C．P点不一定存在解析：选D设椭圆的基本量为a，b，c，则a＝5，b＝4，c＝3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3＜4＝b，即圆与椭圆不可能有交点．某22某25．已知椭圆Cy＝1的两焦点为F1，F2，点P(某0，y0)＋y2则|PF1|＋|PF2|0≤1，22的取值范围为________．解析：当P在原点处时，|PF1|＋|PF2|取得最小值2；当P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|取得最大值2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围为[2,2]．答案：[2,22]某226．(2022·长沙月考)直线l：某－y＝0与椭圆＋y＝1相交于A、B 两点，点C是椭圆上2的动点，则△ABC面积的最大值为________．某－y＝0，6解析：由某2得3某2＝2，∴某＝，3y2＝1，2∴A6666，B－，－，333343∴|AB|＝2coθ－inθ|3设点C(2coθ，inθ)，则点C到AB的距离d·in(θ－φ)22≤3，21133∴S△ABC＝|AB|·d≤2.22322y27．设F1，F2分别是椭圆E：某＋＝1(0<b<1)的左，右焦点，过F1的直线l与E相交b2于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，4又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝3(2)l的方程为y＝某＋c，其中c＝1－b2.y＝某＋c，2设A(某1，y1)，B(某2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)某2y某2＋＝1，b＋2c某＋1－2b2＝0.1－2b2则某1＋某2某1某2＝221＋b1＋b－2c因为直线AB的斜率为1，4所以|AB|2|某2－某1|，即＝2|某2－某1|.32241－b41－2b88b42则＝(某1＋某2)－4某1某2，91＋b221＋b21＋b22解得b＝22某2y228．(2022·黄冈质检)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，椭圆上任意一点到右ab2焦点F2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与某轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B点，使得|AC|＝|BC|？并说明理由．ec2a2解：(1)∵a＋c＝2＋1a2，∴，∴b＝1，c＝1某22＋y＝1.2(2)由(1)得F(1,0)，∴0≤m≤1.假设存在满足题意的直线l，某22设l的方程为y＝k(某－1)，代入y＝1中，得2(2k2＋1)某2－4k2某＋2k2－2＝0.设A(某1，y1)，B(某2，y2)，则某1＋某2＝22k＋12k2－2某1某2＝22k＋1－2k4k2∴y1＋y2＝k(某1＋某2－2)＝2.2k＋12k，－k设AB的中点为M，则M2.2k2＋12k＋1∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，2k∴k＝－1，即(1－2m)k2＝m.·2km－22k＋11∴当0≤m＜时，k＝±2m1－2ml；2k2＋1当≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l.2某2y29．(2022·江西模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，直线y＝某＋6与以原点为圆心，ab以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左，右焦点，P 为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝k某＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线1过定点C60，求实数k的取值范围．某y解：(1)设P(某0，y0)，某0≠±a，则G33.又设I(某I，yI)，∵IG∥F1F2，y∴yI＝3∵|F1F2|＝2c，11y∴S△F1PF2＝|F1F2|·|y0|＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·，|223∴2c·3＝2a＋2c，c16|∴e＝b＝，a21＋1某2y2∴b3，∴a＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.43某y431(2)设A(某1，y1)，B(某2，y2)，由，消去y，得(3＋4k2)某2＋8km某＋4m2－12＝0，y＝k某＋m8km由题意知Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，即m2＜4k2＋3，又某1＋某2＝－，则3＋4k26my1＋y2＝3＋4k222－4km3m∴线段AB的中点P的坐标为22.3＋4k3＋4k11某－，又线段AB的垂直平分线l′的方程为y＝－k61－4km－1点P 在直线l′上，∴＝－26，2k3＋4k3＋4k3m224k＋3136∴4k2＋6km＋3＝0，∴m＝－(4k2＋3)，∴4k2＋3，∴k2＞，解得k或k6k36k328＜－68∴k的取值范围是－∞66∪，＋∞.881．(2022·长春模拟)已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，|AM|,·|BM|,co2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点．(1)求|AM|,＋|BM|,的值，并写出曲线C的方程；(2)求△APQ的面积的最大值．解：(1)设M(某，y)，在△MAB中，|AB|,＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得|AM|,2＋|BM|,2－2|AM|,·|BM|,co2θ＝|AB|,2＝4，即(|AM|,＋|BM|,)2－2|A M|,·|BM|,·(1＋co2θ)＝4，所以(|AM|,＋|BM|,)2－4|AM|,|BM|,·co2θ＝4.因为|AM|,·|BM|,co2θ＝3，所以(|AM|,＋|BM|,)2－4某3＝4，所以|AM|,＋|BM|,＝4.又|AM|,＋|BM|,＝4＞2＝|AB|，因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在某轴上也符合题意)，设椭圆的方程为某2y2＋＝1(a＞b＞0)，ab则a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.某2y2所以曲线C＋＝1.43(2)设直线PQ的方程为某＝my＋1.某＝my＋1由某2y2，消去某，431整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＞0，设P(某1，y1)，Q(某2，y2)，则△APQ的面积S△APQ＝2某|y1－y2|＝|y1－y2|.26m9由根与系数的关系得y1＋y2＝－2，y1y2＝－23m＋43m＋4所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝48某.223m＋4令t＝3m2＋3，则t≥3，(y1－y2)2＝48，1t＋2t3m2＋3由于函数φ(t)＝t[3，＋∞)上是增函数，t110所以t＋≥，当且仅当t＝3m2＋3＝3，即m＝0时取等号，t348所以(y1－y2)2≤＝9，即|y1－y2|的最大值为3，10＋23所以△APQ的面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为某＝1.2．(2022·郑州模拟)已知圆C的圆心为C(m,0)，m＜3，半径为5，圆C与离心率e＞的2某2y2椭圆E＋1(a＞b＞0)的其中一个公共点为A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．ab(1)求圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究直线PF1与圆C能否相切？若能，设直线PF1与椭圆E相交于D，B两点，求△DBF2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C的方程为(某－m)2＋y2＝5(m＜3)，将点A的坐标代入圆C的方程中，得(3－m)2＋1＝5，即(3－m)2＝4，解得m＝1，或m＝5.∴m＜3，∴m＝1.∴圆C的标准方程为(某－1)2＋y2＝5.(2)直线PF1能与圆C相切，依题意设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y＝k(某－4)＋4，即k某－y－4k＋4＝0，|k－0－4k＋4|若直线PF1与圆C相切，则5.2k＋1111∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝k221136当k＝时，直线PF1与某轴的交点的横坐标为，不合题意，舍去．2111当k＝PF1与某轴的交点的横坐标为－4，2∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)．∴由椭圆的定义得：2a＝|AF1|＋|AF2|3＋42＋12＋3－42＋12＝52＋2＝62.∴a＝2，即a2＝18，4221∴e＝3232故直线PF1能与圆C相切．某2y2直线PF1的方程为某－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋1.设B(某1，y1)，D(某2，y2)，182把直线PF1的方程代入椭圆E的方程并化简得，13y2－16y－2＝0，由根与系数的关系得y1162＋y2＝，y1y2＝－，1313故S△DBF2＝4|y1－y2|＝4y1＋y22－4y1y2＝24131．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为()A．(1,0)B．(2,2)C．(3,2)D．(2,4)22y＝4某，解析：选C依题意得，抛物线C的方程是y＝4某，直线l的方程是y＝某－1.由y＝某－16消去y得(某－1)2＝4某，即某2－6某＋1＝0，因此线段AB3，纵坐标是y2＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是(3,2)．某2y22．若直线m某＋ny＝4和圆O：某＋y＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝94221的交点个数为()A．至多1个C．1个B．2个D．0个解析：选B由题意得4222，即m＋n＜4，则点(m，n)在以原点为圆心，以2m＋n某2y2为半径的圆内，此圆在椭圆＋1的内部．94某2y233．(2022·深圳模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为Cab2的左顶点T为圆心作圆T：(某＋2)2＋y2＝r2(r＞0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求TM,·TN,的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C 上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与某轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|·|OS|为定值．c3解：(1)依题意，得a＝2，e＝，a2∴c3，b＝a2－c2＝1.某22故椭圆C的方程为y＝1.4(2)易知点M与点N关于某轴对称，设M(某1，y1)，N(某1，－y1)，不妨设y1＞0.由于点M在椭圆C2某2上，∴y1＝1－4由已知T(－2,0)，则TM,＝(某1＋2，y1)，TN,＝(某1＋2，－y1)，TN,＝(某1＋2，y1)·∴TM,·(某1＋2，－y1)＝(某1＋2)2－y212某51－2＝(某1＋2)－441＋4某1＋32851某1＋2＝55481由于－2＜某1＜2，故当某1时，TM,·,取得最小值－.TN558383－，，又点M在圆T上，代入圆的方程得r2把某1(某)式，得y1，故M555513＝2513故圆T的方程为(某＋2)2＋y2＝25y0－y1(3)设P(某0，y0)，则直线MP的方程为：y－y0(某－某0)，某0－某1某1y0－某0y1某1y0＋某0y1令y＝0，得某R＝，同理：某S＝，y0－y1y0＋y1222某21y0－某0y1故某R·某S＝22y0－y1222又点M与点P在椭圆上，故某20＝4(1－y0)，某1＝4(1－y1)，代入(某某)式，得某R·某S＝22241－y1y0－41－y20y12y20－y12y20－y1＝422＝4.y0－y1所以|OR|·|OS|＝|某R|·|某S|＝|某R·某S|＝4为定值．平面解析几何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2022·佛山模拟)已知直线l：a某＋y－2－a＝0在某轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1C．－2或－1B．－1D．－2或1a＋2解析：选D由题意得a＋2，解得a＝－2或a＝1.a2．若直线l与直线y＝1，某＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()131B．－3233C．－2解析：选B设P(某P,1)，由题意及中点坐标公式得某P＋7＝2，解得某P ＝－5，即P(－5,1)，1所以k＝－33．(2022·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．某2＋y2＝2C．某2＋y2＝1B．某2＋y22D．某2＋y2＝4解析：选AAB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝[1－－1]＋－1－1＝22，∴圆的方程为某2＋y2＝2.某2y24．(2022·福建高考)－＝1的右焦点与抛物线y2＝12某的焦点重合，则该4b双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()5B．42D．5C．3某2y2解析：选A∵抛物线y＝12某的焦点坐标为(3,0)，故双曲线1的右焦点为(3,0)，4b即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，5∴双曲线的渐近线方程为y＝某，2∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为5321＋45.某2y25．(2022·郑州模拟)若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，线段abF1F2被抛物线y2＝2b某的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为()985B.35D.4b74解析：选B依题意得，c＋2c，即b(其中c是双曲线的半焦距)，a＝c－b27＋353c55＝，则＝5a336．设双曲线的左，右焦点为F1，F2，左，右顶点为M，N，若△PF1F2的一个顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是()A．在线段MN的内部B．在线段F1M的内部或NF2内部C．点N或点MD．以上三种情况都有可能解析：选C若P在右支上，并设内切圆与PF1，PF2的切点分别为A，B，则|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝|AF1|－|BF2|.所以N为切点，同理P在左支上时，M为切点．7．圆某2＋y2－4某＝0在点P(1,3)处的切线方程为()A．某＋3y－2＝0C．某－3y＋4＝0 B．某＋3y－4＝0D．某－3y＋2＝0解析：选D圆的方程为(某－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－3＝k(某－1)，|2k－k3|3即k某－y－k＋3＝0，所以＝2，解得k.3k＋1所以切线方程为y－3＝某－1)，即某3y＋2＝0.38．(2022·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在某轴上，C与抛物线y2＝16某的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为()2B．22D．8C．4解析：选C抛物线y2＝16某的准线方程是某＝－4，所以点A(－4，23)在等轴双曲线C：某2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.某2y29．(2022·潍坊适应性训练)已知双曲线C1的左，右焦点分别为F1，F2，P为45C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则|PF2|＝|F1F2|，则PF1,·PF2,等于()A．24B．48。

【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)等差数列及其前n项和课时训练理(含14

课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n 项和(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·泰州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 27＝12，则a 13＝________. 2．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为________． 3．(2014·镇江月考)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为________．4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．5．(2013·南通二模)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.6．(2013·常州质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．7．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 7＝13，则S 6S 7＝________.8．(2013·无锡期末)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.9．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．10．(2014·南京学情调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *.(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.2．(2014·盐城二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．3．(2014·南通一模)已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n a n －a 12.(1)求a 1；(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (3)设lg b n ＝a n ＋13n，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，请说明理由．4．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n＋2＋k (k 为常数)．(1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n∈N *都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4. 答案：42．解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：103．解析：由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10，所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1，所以d ＝a 5－a 32＝5－12＝2.答案：24．解析：在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6. 答案：{5,6}5．解析：由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.答案：1056．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t2sx －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝s －t x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧t 2s x ＋y －t ＝0，t2s x －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，…猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝t n ＋1. 所以x n －y n ＝2s n ＋1－t n ＋1＝2s －tn ＋1. 法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为 2sx n－2sx n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝t n ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －t n ＋17．解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．解：(1)由a 3＝a 27 得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2.① 由a 2＝a 4＋a 6得a 1＋d ＝2a 1＋8d ，即a 1＝－7d .② 将②代入①得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意．舍去)．则a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40.(2)S n ＝－5n ＋n 2＝n－5n2. 不等式S n －2a n －20>0，即n－5n2－2(－5n ＋40)－20>0，整理得n 2－19n ＋40<0. 所以19－2012<n <19＋2012.因为n ∈N *，则19－142≤n ≤19＋142，即52≤n ≤332. 所以所求n 的集合为{3,4，…，16}．10．解：(1)在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2.因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a . 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3. 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n n ＋2，S n －1＝3nn －2满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1.所以a ＝3.(2)由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1 得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，故(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n . 因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2(n ≥2)， ① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2.② ②－①得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3(n ≥2)． ③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9.④④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列．因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <12－2a ，3n ＋2a －n ＋－2a ＋6n 为大于或等于3的奇数，3n －2a ＋n ＋＋2a －6n 为偶数，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 答案：41782．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n}的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max ＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．解：(1)令n ＝1，则a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0.(2)证明：由S n ＝n a n －a 12，即S n ＝na n2， ①得S n ＋1＝n ＋a n ＋12.② ②－①得(n －1)a n ＋1＝na n ，③于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1. ④④－③得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．(*) 易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解．当p ≥3，且p ∈N *时，p ＋3p ＋1－2p 3p ＝2－4p3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列，于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． 4．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中，令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2，即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0，即a 2－a 1＝a 3－a 2. 故a 1，a 2，a 3成等差数列． (2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *. 因为数列{a n }的各项都为正数，所以数列{a n }是等比数列．设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4，即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0. 解得q ＝1或q ＝1＋52(负根舍去)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－kab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1. 证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *. 所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1，即a n a n ＋2＋a 2n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1.(*) 由于a n >0，(*)式两边同除以a n a n ＋1 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n. 所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2，即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka.所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.。

三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库8.9圆锥曲线的综合问题(含答案详析)

高考真题备选题库第8章平面解析几何第9节圆锥曲线的综合问题考点直线与圆锥曲线的位置关系1．（2013安徽，5分）已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质，考查考生的转化与化归能力．法一：设直线y ＝a 与y 轴交于点M ，抛物线y ＝x 2上要存在C 点，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有交点即可，也就是使|AM |≤|MO |，即a ≤a (a >0)，所以a ≥1.法二：易知a >0，设C (m ，m 2)，由已知可令A (a ，a )，B (－a ，a )，则AC ＝(m －a ，m 2－a )，BC ＝(m ＋a ，m 2－a )，因为AC ⊥BC ，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a )(m 2＋1－a )＝0.因为由题易知m 2≠a ，所以m 2＝a －1≥0，故a ∈[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)2．（2013浙江，4分）设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．解析：本题考查抛物线方程、性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想及运算求解能力．法一：注意到|FQ |＝2，正好是抛物线通径的一半，所以点Q 为通径的一个端点，其坐标为(1，±2)，这时A ，B ，Q 三点重合，直线l 的斜率为±1.法二：令直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，y 2＝4x ，得y 2－4ty ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝4，x 1＋x 2＝4t 2－2，所以x Q ＝2t 2－1，y Q ＝2t ，|FQ |2＝(x Q －1)2＋y 2Q ＝4，代入解得，t ＝±1或t ＝0(舍去)，即直线l 的斜率为±1.答案：±13．（2013新课标全国Ⅱ，12分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：本题考查用待定系数法求椭圆方程以及直线与椭圆位置关系的问题，考查利用函数思想求最值，体现对考生综合素质特别是对考生分析问题、解决问题以及化归与转化能力的考查．(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3. 因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.4．（2013浙江，15分）如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解：本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2. 所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 5．（2013江西，13分）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (1，32)，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系等，旨在考查考生综合应用知识的能力．(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3.④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y 23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．6．（2013福建，13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程； (2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．解：本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100. ②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为⎝⎛⎭⎫i ，i 210. 因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)同法一．7．（2012辽宁，5分）已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：因为P ，Q 两点的横坐标分别为4，－2，且P ，Q 两点都在抛物线y ＝12x 2上，所以P (4,8)，Q (－2,2)．因为y ′＝x ，所以k P A ＝4，k QA ＝－2，则直线P A ，QA 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y －8＝4(x －4)y －2＝－2(x ＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8y ＝－2x －2，可得A 点坐标为(1，－4)．答案：C8．（2012北京，5分）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.答案： 39．(2009·宁夏、海南，5分)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，∴p2＝1，抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4， y 21＝4x 1①y 22＝4x 2②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴直线l 的斜率为1，且过点(2,2)， ∴直线方程为y －2＝x －2，∴x －y ＝0. 答案：x －y ＝010．（2012新课标全国，12分）设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p .因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的纵截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 11．（2012广东，14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解：(1)由e ＝ca＝a 2－b 2a 2＝23，得a ＝3b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，设P (x ，y )为C 上任意一点，则|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6，－b ≤y ≤b ，若b <1，则－b >－1，当y ＝－b 时，|PQ |max ＝－2(－b ＋1)2＋3b 2＋6＝3，又b >0，得b ＝1(舍去)，若b ≥1，则－b ≤－1，当y ＝－1时，|PQ |max ＝－2(－1＋1)2＋3b 2＋6＝3，得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)法一：假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤ 3.由题意可得S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时取等号，这时△AOB 为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离为22，则1m 2＋n2＝22，得m 2＋n 2＝2，又m 23＋n 2＝1，解得m 2＝32，n 2＝12，即存在点M 的坐标为(62，22)，(62，－22)，(－62，22)，(－62，－22) 满足题意，且△AOB 的最大面积为12.法二：假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤3，又设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝1，x 2＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①把n 2＝1－m 23代入①整理得(3＋2m 2)x 2－6mx ＋m 2＝0，则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6m 3＋2m 2，x 1x 2＝m23＋2m 2，②而S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值12，此时OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n ＝3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m 2，所以x 1x 2＋3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m 2＝0，即3－3m (x 1＋x 2)＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0，把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0，解得m 2＝32或m 2＝3(舍去)，所以m ＝±62，n ＝±1－m 23＝±22，所以M 点的坐标为(62，22)，(62，－22)，(－62，22)， (－62，－22)，使得S △AOB 取得最大值12. 12．(2012安徽，13分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程；(2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解：(1)法一：由条件知，P (－c ，b 2a )．故直线PF 2的斜率为kPF 2＝b 2a－0－c －c ＝－b 22ac .因为PF 2⊥F 2Q ，所以直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q (a 2c ，2a )．由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P (－c ，b 2a )．因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ，所以|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |.即b 2aa 2c－c ＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝4，2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c ，即y ＝cax ＋a . 将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a.所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．13．（2012福建，13分）如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：法一：(1)因为|AB |＋|AF2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (－4k m ，3m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则MP ·MQ ＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(－4k m －x 1，3m )，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP ·MQ ＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12km ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 法二：(1)同法一．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (－4k m ，3m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为(x －52)2＋(y －34)2＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(－4k m －1，3m )，MQ ＝(3,4k ＋m )，从而MP ·MQ ＝－12k m －3＋12km＋3＝0，故恒有MP ⊥MQ ，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .14．（2011江苏，16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线P A 的斜率为k .(1)当直线P A 平分线段MN 时，求k 的值；(2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k ＞0，求证：P A ⊥PB .解：(1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为(－1，－22)．由于直线P A 平分线段MN ，故直线P A 过线段MN 的中点，又直线P A 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线P A 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x＝±23，因此P (23，43)，A (－23，－43)．于是C (23，0)，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝|23－43－23|12＋12＝223.(3)证明：法一：将直线P A 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k2.记μ＝21＋2k2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )，于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程并由μ＝21＋2k 2得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k2)．于是直线PB 的斜率k 1＝μk 32＋k 2－μk μ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k .因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－(－y 1)x 1－(－x 1)＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝(x 22＋2y 22)－(x 21＋2y 21)x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .15． (2009·辽宁，12分)已知，椭圆C 经过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4(32－k )2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A (1，32)在椭圆上，所以x E ＝4(32－k )2－123＋4k2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得 x F ＝4(32＋k )2－123＋4k 2，y F ＝－kx F＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E ＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习第八章解析几何精品讲义理(含解析)

第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础盘查一直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________.答案：－23．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 基础盘查二直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋y n＝1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝03．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_____________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一直线的倾斜角与斜率|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角． (2)范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)范围：全体实数R .(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝y 2－y 1x 2－x 1.[提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率． (2)α＝0时k ＝0；α是锐角时k >0；α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时的图象如图：[题组练透]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.2．(2015·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m. ∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二直线的方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．局限性：不含垂直于x 轴的直线． 2．斜截式斜率为k ，纵截距为b 的直线方程为y ＝kx ＋b . 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 3．两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 局限性：不含垂直于坐标轴的直线． 4．截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程为x a ＋y b＝1. 局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 5．一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．[提醒] 当直线与x 轴不垂直时，设直线的斜率为k ，则方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为ky ＋x ＋b ＝0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三直线方程的综合应用|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k ),所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.角度二：与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：12[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. ∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A 取特殊值法或排除法，可知A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.6．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D 法一：如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.选D.法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.二、填空题7．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：168．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 10．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y －2＝k (x ＋2)，由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当MA ·MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.故MA ·MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.第二节两直线的位置关系基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(二)小题查验1．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1( )(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0( )答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为____________．答案：x－2y＋3＝0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(二)小题查验1．判断正误(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交( )(2)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)( )答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．(二)小题查验1．判断正误(1)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2( ) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为l 1：________________，l 2：________________.答案：y ＝0或5x －12y －5＝0y ＝5或5x －12y ＋60＝0考点一两直线的位置关系|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0.2．判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．求两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解．[题组练透]1．(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12B.12C ．2D ．－2解析：选A 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0[类题通法]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点二距离问题|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[提醒] 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解．特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x ，y 的系数要对应相等．[典题例析]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[演练冲关]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0考点三对称问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A y 1－y 2＝B x 1－x 2，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用. 角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 角度三：线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．一、选择题1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)． ∴m ＋n ＝0.4．(2015·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5．(2015·云南统考)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.6．已知曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．由该曲线与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，可得m >4或m <－4.二、填空题7．(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.答案：328．(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0. 在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝09．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)．答案：(0,2)10．如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞) 三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. ②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. (2)由直线方程可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )，因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×a ＋＋1]2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第三节圆的方程基础盘查一圆的定义及标准方程 (一)循纲忆知1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题． (二)小题查验 1．判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．解析：依题可设圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1基础盘查二点与圆的位置关系 (一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)． (二)小题查验 1．判断正误(1)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0( ) (2)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( ) 答案：(1)√ (2)×2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4. 即a 2<1，故－1<a <1. 答案：(－1,1)考点一圆的方程|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F >0时表示圆，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径．[提醒] 方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.[题组练透]1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析：选D 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.2．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( )A.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4C ．x 2＋(y －1)2＝12D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，而|FA |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ，于是A ⎝⎛⎭⎪⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12r ，∴r ＝2，故选B.3．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为______________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．考点二与圆有关的最值、范围问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ； (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆． 2．与圆上点(x ，y )有关的最值 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[多角探明]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等； (5)建立目标函数求最值问题. 角度一：斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四：利用对称性求范围4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆 O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 解析：选A 当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点N (1,0)，使得∠OMN ＝45°，所以x 0＝1符合题意，故排除B ，D ；当点M 的坐标为(2，1)时，OM ＝3，过点M 作圆O 的一条切线MN ′，连接ON ′，则在Rt △OMN ′中，sin ∠OMN ′＝33<22，则∠OMN ′<45°，故此时在圆O 上不存在点N ，使得∠OMN ＝45°，即x 0＝2不符合题意，排除C ，故选A.角度五：建立目标函数求最值问题5．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为_____________________________________________________．解析：设点A ，B 的坐标分别为A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b 2＝2，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4, 当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0[类题通法]求解与圆有关的最值问题的两大规律。

【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)矩阵及其变换课时训练理(含14年最新题

课时跟踪检测(七十三) 矩阵及其变换1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 6 p －q p ＋q 5，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy －11 x ＋y ，若M ＝N ，求x ，y ，p ，q .2．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．3．求出曲线y 2＝4x 依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程x 2＝2y ，求实数t .4．已知曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求矩阵M .5．如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，求a ＋b 的值．6．若一个变换所对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，求抛物线y 2＝－4x 在这个变换下所得到的曲线的方程．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b0，直线l 1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l 3：x ＋y ＋4＝0，求直线l 2的方程．8．二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4，－1)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 将圆x 2＋y 2＝1变换后的方程．答案1．解析：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝6，x ＋y ＝5，p －q ＝－1，p ＋q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，p ＝0，q ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，p ＝0，q ＝1.2．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线C 1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .∵P ′是曲线C 1上的点， ∴C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 3．解：由已知得BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤t001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0. 任取曲线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，则有⎩⎪⎨⎪⎧－y 0＝x ′，tx 0＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝－x2，2tx 0＝2y ′.∵P ′在曲线x 2＝2y 上，∴x ′2＝2y ′. 即y 20＝2tx 0，① y 20＝4x 0，②比较①②得2t ＝4⇒t ＝2.4．解：在曲线C 上任取一点P (x ，y )，点P 在矩阵M 作用下得点P ′(x ′，y ′)，设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy .由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，∴a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001. 5．解：在曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1上任取一点P (x ，y )，设点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .则(x ＋ay )2－(bx ＋y )2＝1. 化简，得(1－b 2)x 2＋2(a －b )xy ＋(a 2－1)y 2＝1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝1，a －b ＝4，a 2－1＝3.解得a ＝2，b ＝0，所以a ＋b ＝2.6．解：设P (x ，y )为y 2＝－4x 上任意一点，P ′(x ′，y ′)为变换后所得曲线上对应P的点，由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′，y ＝y ′2.∴⎝⎛⎭⎪⎫y ′22＝－4(－x ′)，即y ′2＝16x ′.∴抛物线y 2＝－4x 经变换后的曲线方程为y 2＝16x .7．解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ，设P (x ，y )是l 1上的任意一点，其在BA 所对应的变换作用下的像为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2ax ，y ′＝by .由题意可得，点(x ′，y ′)在直线l 3上，所以2ax ＋by ＋4＝0即为直线l 1：x －y ＋4＝0，故a ＝12，b ＝－1.此时B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1 0，同理可设Q (x 0，y 0)为l 2上的任意一点，其在B 所对应的变换作用下的像为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 2－10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2y 0，y ′0＝－x 0.，又(x ′0，y ′0)在直线l 3上，所以2y 0－x 0＋4＝0，故直线l 2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.8．解：(1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51和M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，c ＋2d ＝1，2a ＋b ＝4，2c ＋d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 1. (2)设点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′－2y ，y ＝13x ′＋y，代入x 2＋y 2＝1并化简得 (x ′－2y ′)2＋(x ′＋y ′)2＝9，即(x －2y )2＋(x ＋y )2＝9.。

【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)函数与方程、课时训练理(含14年最新题

课时跟踪检测(十一) 函数与方程第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·南通期中)用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：2．(2014·荆门调研)已知函数y ＝f (x )的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y 3．若函数f (x )＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝________.4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ；②y ＝－2x；③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为________．5．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．8．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·盐城三调)若关于x 的方程x 2－(a 2＋b 2－6b )x ＋a 2＋b 2＋2a －4b ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 1<0<x 2<1，则a 2＋b 2＋4a ＋4的取值范围是________．2．(2014·扬州期末)若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：因为函数f (x )＝3x－x －4，令f (a )f (b )<0，则方程f (x )＝0在(a ，b )内有实根，从而x ≈1.56. 答案：1.562．解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．答案：33．解析：依题意得f (0)·f (1)>0，f (1)·f (2)>0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0，故f (x )的零点所在区间是(2,3)．答案：24．解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1.答案：④5．解析：作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．答案：26．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)7．解析：画出函数f (x )的图像如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个不同交点，由图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，18．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图像．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：0<k <19．证明：令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<－m －12<2，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2－4>0，－3<m <1，4＋m －＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m >3或m <－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m <－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1)．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f，f即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋b －2<4，a ＋b ＋1>0，利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即5＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a ＋b ＋1＝0的距离，即为|－2＋0＋1|2＝12，所以a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫122，5＋2，即a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，9＋45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，9＋45 2．解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0，则x >2a3或x <0.由f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞上是单调增函数知⎝ ⎛⎭⎪⎫203，＋∞⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞，从而a ∈(0,10]．由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000x 2，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图像(如图所示)．当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1000＝0在区间(14,15)上存在根x0，因此从图像可以看出在(10，x0]之间f(x)＝1 000共有4个整数解．答案：4。

【新编】【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷提能增分卷)直线、平面平行的判定与性质课时训练理

课时跟踪检测(四十一) 直线、平面平行的判定与性质第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·常州模拟)给出下列命题：(1)若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内；(2)若直线a在平面α外，则直线a与平面a没有公共点；(3)两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；(4)设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.上述命题中，假命题的序号是________．2．(2014·河北教学质量检测)已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是________(填写序号)．3．(2014·南通一模)关于直线m，n和平面α，β有以下四个命题：(1)若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；(2)若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；(3)若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；(4)若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.其中假命题的序号是________．4．(2014·南京一模)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：(1)若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；(2)若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；(3)若α∥β，l∥α，则l∥β；(4)若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是________(填序号)．5．(2013·盐城二调)已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________(请用序号表示)．6．(2014·惠州调研)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.7．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有________．9.已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥C MNB 的体积．10．(2013·江苏高考)如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .第Ⅱ组：重点选做题1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是________．2．(2014·汕头质检)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线；②若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m ，n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m ，n 在平面α内的射影互相平行，则m ，n 互相平行．答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：对于(1)，若线段AB在平面α内，则A，B∈α，故由公理1可得直线AB上的点都在平面α内；对于(2)，直线a在平面α外还包含直线a与平面α相交；对于(3)，两个平面平行，则一个平面内所有直线都平行于另一个平面，故其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面是其必要条件；对于(4)，b，c还可能相交或异面．故(2)(3)(4)为假命题．答案：(2)(3)(4)2．解析：对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确．答案：①④3．解析：(1)中，m，n也可以相交，故(1)是假命题；(2)正确；(3)中，n还可以在α内或β内，故(3)是假命题；(4)中，只有当α⊥β时，命题才成立．故假命题的序号是(1)(3)(4)．答案：(1)(3)(4)4．解析：(1)只有当l与m相交时，才可得到α∥β；(3)l可能在平面β内；(2)(4)正确．答案：(2)(4)5．解析：由两个作为条件，另一个作为结论的所有可能情形有：①②→③；①③→②；②③→①.其中①③→②不正确，l还可以在平面β内；②③→①不正确，l还可以在平面α内，也可以平行于平面α；①②→③是正确命题．答案：①②→③6．解析：若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．答案：④7．解析：假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连结DB，因为P，O 分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点8．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．解：(1)证明：如图，连结AB′，AC′，∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′，∴MN ∥平面A ′ACC ′.(2)由图可知V C MNB ＝V M BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4，∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2. ∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，∴A ′N ⊥BB ′，∴A ′N ⊥平面BCN .又M 为A ′B 的中点，∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C MNB ＝V M BCN ＝13×42×22＝43. 10．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .第Ⅱ组：重点选做题1．解析：因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊂平面α，所以CD ∥平面α，所以CD 与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：平行或异面2．解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m，n也可能异面，故为假命题．答案：②。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义第八章解析几何(含解析)

第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程对应学生用书P115基础盘查一直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________.答案：－23．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 基础盘查二直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋y n＝1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝03．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0对应学生用书P115考点一直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角． (2)范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)范围：全体实数R .(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝y 2－y 1x 2－x 1. [提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率． (2)α＝0时k ＝0；α是锐角时k >0；α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时的图象如图：[题组练透]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.2．(2015·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m.∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．局限性：不含垂直于x 轴的直线． 2．斜截式斜率为k ，纵截距为b 的直线方程为y ＝kx ＋b . 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 3．两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 局限性：不含垂直于坐标轴的直线． 4．截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程为x a ＋y b＝1. 局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 5．一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．[提醒] 当直线与x 轴不垂直时，设直线的斜率为k ，则方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为ky ＋x ＋b ＝0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k ),所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.角度二：与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：12[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.对应A 本课时跟踪检测四十五一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A 取特殊值法或排除法，可知A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.6．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D 法一：如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.选D.法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.二、填空题7．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：168．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 10．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为______________________________________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y －2＝k (x ＋2)，由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA |·|MB |取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.故|MA |·|MB |＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.第二节两直线的位置关系对应学生用书P117基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(二)小题查验1．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1( )(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0( )答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为____________．答案：x－2y＋3＝0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(二)小题查验1．判断正误(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交( )(2)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)( )答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． (二)小题查验 1．判断正误(1)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2( ) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为l 1：________________，l 2：________________.答案：y ＝0或5x －12y －5＝0y ＝5或5x －12y ＋60＝0对应学生用书P117考点一两直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0.2．判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．求两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解．[题组练透]1．(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0[类题通法]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点二距离问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[提醒] 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解．特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x ，y 的系数要对应相等．[典题例析]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[演练冲关]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0考点三对称问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A y 1－y 2＝B x 1－x 2，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用. 角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.角度三：线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．对应B 本课时跟踪检测四十六一、选择题1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.4．(2015·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5．(2015·云南统考)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.6．已知曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．由该曲线与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，可得m >4或m <－4.二、填空题7．(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案：328．(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.答案：x －2y ＝09．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)．答案：(0,2)10．如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >k A 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即a b＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④ 联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 12．(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )，因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×a ＋＋1]2a ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第三节圆的方程对应学生用书P120基础盘查一圆的定义及标准方程(一)循纲忆知1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题．(二)小题查验1．判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．解析：依题可设圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1 基础盘查二点与圆的位置关系(一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)．(二)小题查验1．判断正误(1)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0( )(2)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( )答案：(1)√ (2)×2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4.即a 2<1，故－1<a <1.答案：(－1,1)对应学生用书P120考点一圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．2．圆的一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F >0时表示圆，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径． [提醒] 方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧ B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.[题组练透]1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 解析：选D 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.2．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( ) A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12 D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，而|FA |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12r ，∴r ＝2，故选B. 3．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为______________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12. ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k，∴k ＝－3. ∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．考点二与圆有关的最值、范围问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．2．与圆上点(x ，y )有关的最值 (1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[多角探明] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等；(5)建立目标函数求最值问题.角度一：斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最。

【三维设计】高考数学一轮复习教师备选作业第八章第九节圆锥曲线的综合问题理

第八章第九节圆锥曲线的综合问题一、选择题1．设A 、B ∈R ，A ≠B ，且A ·B ≠0，则方程Bx －y ＋A ＝0和方程Ax 2－By 2＝AB 在同一坐标系下的图象大致是 ( )2．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此时抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝6x C ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1交于不同两点A 、B ，则|AB |的最大值为 ( )A ．2B.455C.4105D.81054．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA |为 ( )A.21p 4B.21p 2C.136pD.1336p 5．设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是 ( )A ．k 2－e 2>1 B ．k 2－e 2<1 C ．e 2－k 2>1D ．e 2－k 2<16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为 ( )A. 2B.52C.32D.32二、填空题7．若y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144相切，则实数m 的值等于________．8．已知直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1、P 2两点，线段P 1、P 2 的中点为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.三、解答题10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．11．已知拋物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .(1)求点M 到拋物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是拋物线C 1上一点(异于原点)．过点P 作圆C 2的两条切线，交拋物线C 1于A ，B 两点．若过M ，P 两点的直线l 垂直于直线AB ，求直线l 的方程．12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (1，32)，其离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (|k |≤12)与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边做平行四边形OAPB ，顶点P 恰好在椭圆C 上，O 为坐标原点，求|OP |的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：方程Ax 2－By 2＝AB 可变为x 2B －y 2A ＝1.当AB >0时，方程x 2B －y 2A＝1.表示双曲线，直线Bx －y ＋A ＝0交x 轴于(－AB ，0)，即－A B<0，故排除C 、D 选项；当AB <0时，只有B >0，A <0，方程x 2B －y 2A ＝1表示椭圆，直线交x 轴于(－A B ，0)，而－AB>0，故排除A.答案：B2．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y 2＝2px 得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.∴26＝1＋12·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·p －2－4.解得p ＝－1或p ＝3，∴抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x . 答案：C3．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5.弦长|AB |＝2·4·5－t 25≤4105.答案：C4．解析：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，|AD |＝3m ，由抛物线定义知|FA |＝|AB |，即p ＋m ＝2m ， ∴m ＝p . ∴|OA |＝p2＋p2＋3p2＝212p . 答案：B5．解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k 只需满足－b a <k <b a，即k 2<b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.答案：C6．解析：设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y ) 则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0. 又∵M 、N 、P 都在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2.∴b 2(x 2－x 20)＝a 2(y 2－y 20)．∴x －x 0y －y 0＝a 2b 2 y ＋y 0x ＋x 0. ∴1|k 1|＝a 2b 2|k 2|，即|k 1|·|k 2|＝b 2a2. 又∵|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2b a.∴2b a＝1，即4b 2＝a 2∴4(c 2－a 2)＝a 2，即4c 2＝5a 2∴c 2a 2＝54，即e 2＝54，∴e ＝52. 答案：B二、填空题7．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m9x 2＋16y 2＝144，得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0，所以Δ＝－576m 2＋14 400＝0，解得m ＝±5.答案：±58．解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，k 1k 2＝y 22－y 21x 22－x 21.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2x 22＋2y 22＝2，相减得y 22－y 21＝－12(x 22－x 21)．故k 1k 2＝－12.答案：－129．解析：依题意，抛物线的焦点F 的坐标为(0，p2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB的方程为y －p2＝x ，代入抛物线方程得，y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝y 1＋y 2＋p＝4p ，直角梯形ABCD 有一个内角为45°.故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝2 2p ，梯形面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32p 2＝122，解得p ＝2.答案：2 三、解答题10．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，∴Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m 3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355.11．解：(1)由题意可知，拋物线C 1的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M (0,4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，x 20)，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2. 设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 20＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋x 20.① 则|kx 0＋4－x 20|1＋k2＝1，即(x 20－1)k 2＋2x 0(4－x 20)k ＋(x 20－4)2－1＝0.设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝2x 0x 20－x 20－1，k 1k 2＝x 20－2－1x 20－1. 将①代入y ＝x 2得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝2x 0x 20－4x 20－1－2x 0，k MP ＝x 20－4x 0. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝(2x 0x 20－4x 20－1－2x 0)·(x 20－4x 0)＝－1，解得x 20＝235.即点P 的坐标为(±235，235)，所以直线l 的方程为y ＝±3115115x ＋4. 12. 解：(1)由已知：e 2＝a 2－b 2a 2＝14①，又点M (1，32)在椭圆上，所以1a 2＋94b2＝1②，由①②解之，得a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1.消去y 化简整理得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0③ 设A ，B ，P 点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2.由于点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1.从而16k 2m2＋4k22＋12m2＋4k22＝1，化简得4m 2＝3＋4k 2，经检验满足③式．又|OP |＝ x 2＋y 20＝ 64k 2m2＋4k22＋36m2＋4k22＝4m2k 2＋＋4k22＝16k 2＋94k 2＋3＝ 4－34k 2＋3. 因为0≤|k |≤12，得3≤4k 2＋3≤4，有34≤34k 2＋3≤1，故3≤|OP |≤132.综上，所求|OP |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，132.。

【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)导数与函数极值、最值课时训练理(含14

课时跟踪检测(十五) 导数与函数极值、最值(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝________.2．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是________．(填写序号)3．(2013·南通三模)定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c ＝________.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．(2013·盐城三调)设a >0，函数f (x )＝x ＋a 2x，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．6．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．7．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．8．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0； ②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是________．9．(2013·江苏高考节选)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2－1与函数g (x )＝a ln x (a ≠0)．(1)若f (x )，g (x )的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a 的值； (2)设F (x )＝f (x )－2g (x )，求函数F (x )的极值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·常州调研)已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝ln xx，它们的定义域都是(0，e]，其中e 是自然对数的底e≈2.7，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)当a ＝1时，求证：f (m )>g (n )＋1727对一切m ，n ∈(0，e]恒成立；(3)是否存在实数a ，使得f (x )的最小值是3？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．2．(2014·苏州期末)设函数f (x )＝ln x －kx －aax－ln a (x >0，a >0且为常数)． (1)当k ＝1时，判断函数f (x )的单调性，并加以证明； (2)当k ＝0时，求证：f (x )>0对一切x >0恒成立；(3)若k <0，且k 为常数，求证：f (x )的极小值是一个与a 无关的常数．3．(2014·泰州质检)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )2，a ，b 是常数． (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设(1)中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1，x 2，设点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))．如果直线AB 的斜率为－12，求函数f (x )和f ′(x )的公共递减区间的长度；(3)若f (x )≥mxf ′(x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ，a ，b 满足的条件．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：－1ln 22．解析：因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，且x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；④中，f (－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.答案：④3．解析：易知当2≤x ≤4时，其极大值点为(3,1)；当1≤x ≤2时，2≤2x ≤4，从而由条件得f (x )＝1c f (2x )＝1c (1－|2x －3|)．因为c >0，故极大值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1c ；当2≤x ≤4时，4≤2x ≤8，从上述步骤得f (2x )＝cf (x )＝c (1－|4x －3|)．因为c >0，故极大值点为(6，c )；上述三点在同一直线上，所以1－1c 3－32＝c －16－3，解得c ＝2或1.答案：1或24．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1， ∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案：－135．解析：问题可转化为f (x )min ≥g (x )max ，当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1－1x≥0，故g (x )单调递增，则g (x )max ＝g (e)＝e －1.又f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a 2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，易知，x ＝a 是函数f (x )的极小值，当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝1＋a 2，则1＋a 2≥e－1，所以e －2≤a ≤1；当1<a ≤e 时，f (x )min ＝f (a )＝2a ，则2a ≥e－1，显然成立，所以1<a ≤e；当a >e 时，f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e ，则e ＋a 2e≥e－1，显然成立，所以a >e.综上，a ≥e －2.答案：[e －2，＋∞)6．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞) 7．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：48.解析：∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0.∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f (0)<0.∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.∴正确结论的序号是②③. 答案：②③9．解：令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x<0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ．当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)． 10．解：(1)因为f (1)＝0，g (1)＝0，所以点(1,0)同时在函数f (x )，g (x )的图像上，因为f (x )＝x 2－1，g (x )＝a ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝a x，由已知，得f ′(1)＝g ′(1)，所以2＝a1，即a ＝2.(2)因为F (x )＝f (x )－2g (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以F ′(x )＝2x －2ax＝x 2－ax，当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以F ′(x )>0对x >0恒成立，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，F (x )无极值；当a >0时，令F ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)，所以当x >0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：所以当x 1－a ln a . 综上，当a <0时，函数F (x )在(0，＋∞)上无极值；当a >0时，函数F (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a . 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x . 所以f ′(x )＝1－1x.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝1时，min (2)证明：由(1)知，当m ∈(0，e]时，有f (m )≥1.因为0<x ≤e，所以g ′(x )＝1－ln xx2≥0，即g (x )在区间(0，e]上为增函数，所以g (x )≤g (e)＝ln e e ＝1e <12.7＝1027，所以g (x )＋1727<1027＋1727＝1，所以当m ，n ∈(0，e]时，g (n )＋1727<1≤f (m )．所以f (m )>g (n )＋1727对一切m ，n ∈(0，e]恒成立．(3)假设存在实数a ，使f (x )的最小值是3，则 f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤1e 时，因为0<x ≤e，所以ax ≤1，所以f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，e]上为减函数．所以当x ＝e 时，f min (x )＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)；②当a >1e时，若0<x <1a时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上为减函数；若1a<x ≤e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数．所以当x ＝1a 时，f min (x )＝1－ln 1a＝3，解得a ＝e 2.所以假设成立，存在实数a ＝e 2，使得f (x )的最小值是3. 2．解：(1)当k ＝1时，f (x )＝ln x －1a ·x 12＋ax －12－ln a ，因为f ′(x )＝1x －12a ·x －12－a 2x －32＝－x －a 22x ax≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数． (2)证明：当k ＝0时，f (x )＝ln x ＋ax －12－ln a ，故f ′(x )＝1x －a 2x x ＝2x －a2x x .令f ′(x )＝0，解得x ＝a4.当0<x <a4时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4上是单调减函数；当x >a 4时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，＋∞上是单调增函数．所以当x ＝a4时，f ′(x )有极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝2－2ln 2.因为e>2，所以f (x )的极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝2(1－ln 2)＝2ln e 2>0. 所以当k ＝0时，f (x )>0对一切x >0恒成立． (3)证明：f (x )＝ln x －k a ·x 12＋ax －12－ln a ，所以f ′(x )＝－kx ＋2ax －a2x ax .令f ′(x 0)＝0，得kx 0－2ax 0＋a ＝0. 所以x 0＝a －1－kk⎝⎛⎭⎪⎫x 0＝a ＋1－kk舍去.所以x 0＝a＋1－k2.当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，x 0)上是单调减函数；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，＋∞)上是单调增函数．因此，当x ＝x 0时，f (x )有极小值f (x 0)．又f (x 0)＝ln x 0a －k x 0a ＋ a x 0，而x 0a＝1＋1－k2是与a 无关的常数，所以ln x 0a，－k x 0a， ax 0均与a 无关．所以f (x 0)是与a 无关的常数．故f (x )的极小值是一个与a 无关的常数． 3．解：(1)证明：f ′(x )＝(x －b )[3x －(2a ＋b )]，因为a ≠b ，所以b ≠2a ＋b3，所以f ′(x )＝0有两个不等实根b 和2a ＋b3，所以f (x )存在极大值和极小值． (2)①当a ＝b 时，f (x )不存在减区间； ②当a >b 时，由(1)知x 1＝b ，x 2＝2a ＋b3，所以A (b,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 3，－a －b327，所以－a －b3272a ＋b 3－b ＝－12，即4(a －b )3＝9(a －b )，所以a －b ＝32或a －b ＝－32(舍去)；③当a <b 时，x 1＝2a ＋b3，x 2＝b .同理可得a －b ＝－32或a －b ＝32(舍去)．综上，a >b 且a －b ＝32或a <b 且a －b ＝－32.所以f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，2a ＋b 3，即(b ，b ＋1)或f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 3，b ，即(b －1，b )；f ′(x )的减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，b ＋12或⎝⎛⎭⎪⎫－∞.b －12. 所以公共减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，b ＋12或⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1，b －12，长度均为12.(3)由题意f (x )≥mxf ′(x )，所以(x －a )(x －b )2≥mx (x －b )[3x －(2a ＋b )]，所以(x －b ){(1－3m )x 2＋[m (2a ＋b )－(a ＋b )]x ＋ab }≥0.若m ≠13，则左边是一个一次因式乘一个恒正(或恒负)的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负．所以m ＝13，所以(x －b )[(a ＋2b )x －3ab ]≤0.若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ＝b ＝0；若a ＋2b ≠0，则x 1＝b ，x 2＝3aba ＋2b，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b <0，b ＝3aba ＋2b，①若b ＝0，则a <0； ②若b ≠0，则3aa ＋2b＝1，所以a ＝b 且b <0. 综上，m ＝13，a ＝b ≤0.。

高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第八章直线与圆锥曲线的位置关系配套课时训练(含14年最新题

课时跟踪检测(五十一) 直线与圆锥曲线的位置关系(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆x24＋y22＝1上有一点P ，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2 为直角三角形，则这样的点P 有________个．2. 椭圆x24＋y23＝1的离心率为e ，点(1，e)是圆x2＋y2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是________．3．(2014·苏北三市调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若以F 为圆心的圆x2＋y2－6x ＋5＝0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________． 4．已知椭圆x24＋y2b2＝1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交椭圆于A ，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b ＝________.5. 已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l ：y＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e ＝________.6．(2014·扬州模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos α－βcos α＋β＝________.7．如图，设A ，B 分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M(异于点A ，B)，交椭圆于C ，D 两点(点C 在第一象限内)，△ABC 与△ABD 的面积分别为S1与S2. (1)若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为y ＝x3，求椭圆E 的离心率；(2)当点M 在线段AB 上运动时，求S1S2的最大值．8．(2013·徐州、宿迁三检)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A1，A2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A2的半径为a ，过点A1作圆A2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q.(1)求直线OP 的方程； (2)求PQQA1的值；(3)设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点B ，C ，分别交圆A2于点M ，N ，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知椭圆E ：x24＋y2＝1的左、右顶点分别为A ，B ，圆x2＋y2＝4上有一动点P ，P 在x 轴上方，C(1,0)，直线PA 交椭圆E 于点D ，连结DC ，PB.(1)若∠ADC ＝90°，求△ADC 的面积S ；(2)设直线PB ，DC 的斜率存在且分别为k1，k2，若k1＝λk2，求实数λ的取值范围．2．(2013·盐城二模)如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相切于点M(0，1)．(1)求椭圆T 与圆O 的方程；(2)过点M 引两条互相垂直的直线l1，l2与两曲线分别交于点A ，C 和点B ，D(均不重合)．①若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d1，d2，求d21＋d22的最大值；②若3MA u u u r ·MC u u u u r ＝4MB u u u r ·MD u u u u r，求直线l1与l2的方程．3．(2014·常州质检)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F1，F2分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2AF u u u u r ＋52BF u u u u r＝0.(1)求椭圆E 的离心率；(2)若D(1,0)为线段OF2的中点，M 为椭圆E 上的动点(异于点A ，B)，连结MF1并延长交椭圆E 于点N ，连结MD ，ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连结PQ ，设直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为k1，k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个，同理当 ∠PF2F1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．答案：62．解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 答案：4x ＋6y －7＝03．解析：圆x2＋y2－6x ＋5＝0可以化为(x －3)2＋y2＝4，其圆心F(3,0)，半径r ＝2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以3b a2＋b2＝2，整理得5b2＝4a2.又因为b2＝c2－a2，所以5(c2－a2)＝4a2，所以5c2＝9a2，所以c2a2＝95，即离心率e2＝95，故e ＝355.答案：3554．解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a ＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a＝3，可求得b2＝3，即b ＝ 3.答案： 35．解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a)．设点M 的坐标是(x0，y0)，由|AM|＝e|AB|,得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝a e e －1，y0＝ea.(*)因为点M 在椭圆上，所以x20a2＋y20b2＝1，将(*)式代入，得e －12e2＋e2a2b2＝1，整理得，e2＋e －1＝0, 解得e ＝5－12. 答案：5－126．解析：设P(x0，y0)，则kPA·kPB＝y20x20－a2，又y20＝b2－b2a2·x 20，所以kPA·kPB＝－b2a2，即tan αtan β＝－b2a2.又e ＝32，所以tan αtan β＝－14，所以cos α－βcos α＋β＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝35. 答案：357．解：(1)由题设得A(a,0)，B(0，b)，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2. 因为点M 在直线y ＝x 3上，所以b ＝a3.从而c ＝a2－b2＝a2－a29＝223a ，故椭圆E 的离心率e ＝c a ＝223.(2)设C(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则x20a2＋y20b2＝1，D(－x0，－y0)．由题设，直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.因为点C 在直线AB 的上方，所以点C 到直线AB 的距离hC ＝|bx0＋ay0－ab|a2＋b2＝bx0＋ay0－ab a2＋b2.同理可得点D 到直线AB 的距离hD ＝bx0＋ay0＋ab a2＋b2.因为x20a2＋y20b2＝1，即b2x20＋a2y20＝a2b2，且bx0>0，ay0>0，所以bx0＋ay0≤2b2x20＋a2y202＝2 a2b22＝2ab ，当且仅当bx0＝ay0时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧b2x20＋a2y20＝a2b2，bx0＝ay0得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝22a ，y0＝22b.因此S1S2＝hC hD ＝bx0＋ay0－abbx0＋ay0＋ab＝1－2ab bx0＋ay0＋ab ≤1－2ab2ab ＋ab＝3－22，所以当⎩⎪⎨⎪⎧x0＝22a ，y0＝22b时，S1S2取得最大值，最大值为3－2 2.8．解：(1)连结A2P ，则A2P ⊥A1P ，且A2P ＝a. 又A1A2＝2a ，所以∠A1A2P ＝60°.所以∠POA2＝60°，所以直线OP 的方程为y ＝3x. (2)由(1)知，直线A2P 的方程为 y ＝－3(x －a)，① 直线A1P 的方程为y ＝33(x ＋a)，②联立①②解得xP ＝a 2.因为e ＝32，即c a ＝32，所以c2＝34a2，b2＝14a2，故椭圆E 的方程为x2a2＋4y2a2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋a ，x2a2＋4y2a2＝1，解得xQ ＝－a7，所以PQ QA1＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 7－a 7－－a ＝34.(3)不妨设OM 的方程为y ＝kx(k>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x2a2＋4y2a2＝1解得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋4k2，ak 1＋4k2，所以OB ＝ a1＋k21＋4k2.用－1k 代替上面的k 得OC ＝a 1＋k24＋k2.同理可得OM ＝2a 1＋k2，ON ＝2ak1＋k2.所以S1·S2＝14·OB·OC·OM·ON＝a4k1＋4k24＋k2.因为k1＋4k24＋k2＝14⎝⎛⎭⎪⎫k2＋1k2＋17≤15，当且仅当k ＝1时，等号成立，所以S1·S2的最大值为a45.第Ⅱ卷：提能增分卷 1．解：(1)设D(x ，y)．因为A(－2,0)，C(1,0)，∠ADC ＝90°，所以AD2＋DC2＝AC2.则(x ＋2)2＋y2＋(x －1)2＋y2＝9，即x2＋y2＋x －2＝0. ① 因为点D 在椭圆E 上，所以x24＋y2＝1.②联立①②，消去y 得3x2＋4x －4＝0，因为－2<x<2，所以x ＝23.代入椭圆方程得y ＝223.所以△ADC 的面积S ＝12×3×223＝ 2.(2)设P(x0，y0)，直线PA 的方程为 y ＝y0x0＋2(x ＋2)，代入椭圆方程x24＋y2＝1得x2＋4·y20x0＋22·(x＋2)2－4＝0. 因为x20＋y20＝4，所以x2＋4·2－x0x0＋2·(x＋2)2－4＝0，即(10－3x0)x2＋(32－16x0)x ＋24－20x0＝0.(*)设D(x1，y1)，又方程(*)有一根为－2，则x1＝10x0－1210－3x0，代入直线PA 方程得y1＝4y010－3x0.则k1＝y0x0－2，k2＝y1x1－1＝4y010－3x010x0－1210－3x0－1＝4y013x0－22.因为k1＝λk2，所以λ＝k1k2＝y0x0－24y013x0－22＝14·13x0－22x0－2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x0－2.因为－2<x0<2，x0≠2213，所以λ<0或0<λ<3.所以实数λ的取值范围为(－∞，0)∪(0,3)．2．解：(1)由题意知c a ＝32，b ＝1，c2＋b2＝a2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，故椭圆的方程为x24＋y2＝1，圆O 的方程为x2＋y2＝1. (2)①设P(x0，y0)．因为l1⊥l2，则d21＋d22＝PM2＝x20＋(y0－1)2，因为x204＋y20＝1.所以d21＋d22＝4－4y20＋(y0－1)2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫y0＋132＋163. 因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－13时，d21＋d22取得最大值163，此时点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，－13.②设直线l1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x2＋y2＝1解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k2＋1，1－k2k2＋1；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x24＋y2＝1解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k2，1－4k21＋4k2.将A ，C 中的k 置换成－1k 可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k2＋1，k2－1k2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k k2＋4，k2－4k2＋4，所以MA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k2＋1，－2k2k2＋1，MC u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k2＋1，－8k24k2＋1，MB u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k2＋1，－2k2＋1，MD u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k k2＋4，－8k2＋4. 由3MA u u u r ·MC u u u u r ＝4MB u u u r ·MD u u u u r，得3k24k2＋1＝4k2＋4，解得k ＝±2，所以直线l1的方程为y ＝2x ＋1，l2的方程为y ＝－22x ＋1或直线l1的方程为 y ＝－2x ＋1，l2的方程为y ＝22x ＋1. 3．解：(1)因为 2AF u u u u r ＋52BF u u u u r ＝0，所以2AF u u u u r ＝52F B u u u u r.所以a ＋c ＝5(a －c)，即2a ＝3c ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝23.(2)存在满足条件的常数λ，因为D(1,0)为OF2的中点，所以c ＝2，从而a ＝3，b ＝5，左焦点F1(－2,0)，椭圆E 的方程为x29＋y25＝1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD 的方程为x ＝x1－1y1y ＋1，代入椭圆方程x29＋y25＝1，整理得5－x1y21y2＋x1－1y1y －4＝0.因为y1＋y3＝y1x1－1x1－5，所以y3＝4y1x1－5.从而x3＝5x1－9x1－5，故点P ⎝⎛⎭⎪⎫5x1－9x1－5，4y1x1－5.同理点Q ⎝⎛⎭⎪⎫5x2－9x2－5，4y2x2－5.因为M ，F1，N 三点共线，所以y1x1＋2＝y2x2＋2，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．从而k2＝y3－y4x3－x4＝4y1x1－5－4y2x2－55x1－9x1－5－5x2－9x2－5＝x1y2－x2y1＋5y1－y24x1－x2＝74·y1－y2x1－x2＝74k1.故k1－47k2＝0.从而存在满足条件的常数λ，λ＝－47.。

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课时跟踪检测(四十五) 两直线的位置关系第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·镇江模拟)若直线l1：x ＋2y －4＝0与l2：mx ＋(2－m)y －1＝0平行，则实数m ＝________.2．(2014·南京学情调研)已知直线l 经过点P(2,1)，且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是________．3. 已知直线l1：y ＝2x ＋3，直线l2与l1关于直线y ＝－x 对称，则直线l2的斜率为________．4．(2013·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________.5. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________．6. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k(k≠0)，则折痕所在直线的方程为________．7．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________． 8. 创新题在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－1)，B(－3，－4)．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝10，则点C 的坐标是________．9．(2013·南京二模)过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程是________．10．(2013·无锡调研)不过原点的直线l 是曲线y ＝ln x 的切线，且直线l 与x 轴、y 轴的截距之和为0，则直线l 的方程为________．第Ⅱ组：重点选做题 1．(2013·南通一调)若a1x≤sin x≤a2x 对任意的x ∈[0，π2]都成立，则a2－a1的最小值为________．2．(2013·镇江三调)已知过点P(9，3)的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，则A ，B 之间距离的最小值为________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：由直线平行的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ －－2m ＝0，－＋4m≠0，解得m ＝23. 答案：232．解析：法一：设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0.因为直线l 经过点P(2,1)，所以6－2＋c ＝0，即c ＝－4，从而所求直线的方程为3x －2y －4＝0.法二：k1＝－1－23＝32，故所求直线方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0. 答案：3x －2y －4＝03．解析：∵l2，l1关于y ＝－x 对称，∴l2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32.∴l2的斜率为12. 答案：124．解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2，故由条件得k ＝12. 答案：125．解析：由|PA|＝|PB|知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P(3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：x ＋y －7＝06．解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上对应的点为G(a,1)(0≤a≤2)，所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，设所求直线的斜率为k ，则有kAG·k＝－1，即1a·k＝－1，得a ＝－k ，故G 点的坐标为(－k,1)(－2≤k<0)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12 ，折痕所在直线的方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k22＋12(－2≤k<0)．答案：y ＝kx ＋12k2＋12(－2≤k<0) 7．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a2＋1＝|6a ＋3＋1|a2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－798．解析：法一：设点C 的坐标是(x ，y)，且x<0，y<0，直线OB 的方程为y ＝43x ，因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y|5＝|x|，又x2＋y2＝10，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．法二：设点C 的坐标是(x ，y)，且x<0，y<0.因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以由OC ，OA ＝OC ，OB 得－y 1×10＝－3x －4y 510.又x2＋y2＝10，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－3.所以点C 的坐标是(－1，－3)．答案：(－1，－3)9．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a>1，b>2)．又点(1,2)在l 上，所以1a ＋2b＝1. 而1＝1a ＋2b ≥21a ·2b ，所以ab≥8，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时，等号成立，此时△AOB 的面积S ＝12ab 最小．因此l 的方程为x 2＋y 4＝1，即2x ＋y －4＝0.答案：2x ＋y －4＝010．解析：由题意可知，l 的斜率k ＝1，所以f′(x)＝1x＝1，所以x ＝1. 即切点坐标为(1,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －1.答案：x －y －1＝0第Ⅱ组：重点选做题1．解析：当过原点的直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1时，a1取得最大值2π；当过原点的直线为点(0,0)处的切线时，a2取得最小值1.所以a2－a1的最小值为1－2π. 答案：1－2π2．解析：依题意设∠BAO ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以AB ＝PA ＋PB ＝3sin α＋9cos α. 令f(α)＝3sin α＋9cos α，则 f′(α)＝－3·cos αsin2α＋9·sin αcos2 α ＝－3cos3 α－9sin3 αsin2 α·cos2 α. 令f′(α)＝0，得3cos3α－9sin3α＝0，得tan3 α＝133，解得tan α＝13＝33.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π6. 当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f′(α)<0，f(α)在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f′(α)>0，f(α)在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增．从而当α＝π6时，f(α)取极小值即为最小值，所以 AB ＝f(α)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin π6＋9cos π6＝23＋63＝8 3. 答案：8 3。

【三维设计】高考数学第八章第九节圆锥曲线的综合问题课后练习理人教A版

【三维设计】高考数学第八章第九节圆锥曲线的综合问题课后练习理人教A 版一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20解析：如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c2＝1625a 2＝b 2＝16， ∴a ＝5.△ABF 2的周长为20. 答案：D2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，1PF ·2PF 的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴1PF ＝(－3，－1)，2PF ＝(3，－1)． ∴1PF ·2PF ＝－2. 答案：D3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)解析：由题意：B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －ca＝1－e ，∴13<1－e <12， ∴12<e <23. 答案：C4．(·东北三校第一次联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线(斜率存在)交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53 B.56 C.54D.58解析：依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56.答案：B5．(·潍坊模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0.答案：B 二、填空题6．(·北京东城区期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x ＝c ，则|y |＝b 2a ，由题意得|PF 2|＝b 2a ，又∵|F 1F 2|＝|PF 2|，∴2c ＝b 2a，∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解之得e ＝－1±2，又∵0<e <1，∴e ＝2－1.答案：2－17．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB 中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x 三、解答题8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1. 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：ca ＝22， 2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x24－y24＝1.(2)证明：P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 2－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 2x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.9．(·大连模拟)已知椭圆C 过点M (1，32)，两个焦点为A (－1,0)，B (1,0)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点A (－1,0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的内切圆面积的最大值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1⇒(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k3k 2＋4，y 1·y 2＝－93k 2＋4，所以S △BPQ ＝12·|F 1F 2||y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4. 令k 2＋1＝t ，则t ≥1，所以S △BPQ ＝123t ＋1t，而3t ＋1t在[1，＋∞)上单调递增，所以S △BPQ ＝123t ＋1t≤3，当t ＝1时取等号，即当k ＝0时，△BPQ 的面积最大值为3.10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M 、N 的坐标分别为M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1.① ∴x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。

近年届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课时作业(2021年

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第八节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课时作业A组—-基础对点练1．(2018·西安模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F,准线为l，经过F且斜率为错误!的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )A．4 B．3错误!C．4错误!D．8解析:∵y2＝4x,∴F(1,0)，l：x＝－1,过焦点F且斜率为3的直线l1：y＝3 (x－1)，与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝错误!（舍），故A（3,2错误!）,∴AK＝4，∴S△AKF＝错误!×4×2错误!＝4错误!。

故选C.答案：C2．已知直线l:y＝2x＋3被椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b>0）截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( ）①y＝2x－3;②y＝2x＋1；③y＝－2x－3;④y＝－2x＋3.A．1条B．2条C．3条D．4条解析：直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.答案：C3．(2018·郴州模拟）过点P(－错误!，0）作直线l与圆O：x2＋y2＝1交于A、B两点,O为坐标原点，设∠AOB＝θ，且θ∈错误!，当△AOB的面积为错误!时，直线l的斜率为( )A.错误!B．±错误!C。

高考数学大一轮复习第八章解析几何教师用书文-人教版高三全册数学试题

第八章⎪⎪⎪解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．(2)X 围：直线l 倾斜角的取值X 围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1． 3．直线方程的五种形式名称方程适用X 围点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2) 和直线y ＝y 1(y 1≠y 2) 截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用[小题体验]1．(教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________．答案：－22．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．答案：x ＋13y ＋5＝03．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________．解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a．依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2．答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．经过点A (2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________．解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x ＝2．答案：x ＝22．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0．②若直线不过原点．设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ．则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0．答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2016·某某一模)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值X 围是( ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析：选B 因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1．设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π．2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3．由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a＝4．答案：43．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k．令－3＜1－2k＜3，解得k ＜－1或k ＞12．故其斜率的取值X 围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [谨记通法]1．倾斜角与α斜率k 的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞．当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点二直线的方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43．又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0．(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0．故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0．[由题悟法] 求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ． ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0．②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a＝1，∴a ＝7．∴直线的方程为x ＋y －7＝0．综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0． (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1．又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0．考点三直线方程的综合应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程的问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解：设直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1．(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时， △AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0． (2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0．角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值X 围为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B ．[]－1，0C ．[0,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2．因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12．角度三：与圆相结合求直线方程的问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是____________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32．所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0．答案：3x ＋y －3－1＝0[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5．答案：52．(2017·某某一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值X 围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13．所以y 0x 0的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A ．33B ． 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33．2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0．3．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值X 围是( )A ．(－6，－2)B ．(－5，－3)C ．(－∞，－6)D ．(－2，＋∞)解析：选A 解方程组错误!得错误!因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2．故选A ．4．(2017·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值X 围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限．解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－AB x －C B．∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C B>0．∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·某某模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－3．又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0．2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解析：选D 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0．3．(2015·某某高考)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C ．4．(2017·某某模拟)若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值X 围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值X 围是[－2,0)∪(0,2]． 5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8．6．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0．答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝07．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值X 围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值X 围是[－2,2]．答案：[－2,2]8．(2016·某某一模)若直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1．于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22当且仅当b a ＝2ab时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋22．答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83．故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0．(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．10．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ．设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0．该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12．答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值X 围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值X 围是[)0，＋∞．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0．故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0．第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2． (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2． 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．(教材习题改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1解析：选C 由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1．2．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由题意，得aa －3＝－2，解得a ＝2．答案：21．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1．所以P 是Q 的充要条件．2．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2．答案：2考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0．2．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3．若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2，∴4－mm ＋2＝－2(m ≠－2)，解得m ＝－8(经检验，l 1与l 2不重合)，∵l 2⊥l 3，∴2×1＋1×n ＝0，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1．解：(1)由题意得错误! 解得m ＝1，n ＝7．即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得错误!或错误!即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2． (3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2．又－n8＝－1，∴n ＝8．即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1．[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1．[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0l 1与l 2平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2．解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0．∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0．①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立可得错误!或错误!∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87．[由题悟法] 处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋12＋b －12，解得a ＝3，b ＝4．∴P 点的坐标为(3,4)．法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由错误!解得错误!则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2，所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝03．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值X 围为________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5．又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值X 围是[0,10]．答案：[0,10]．考点三对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0．答案：x ＋4y －4＝0角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得错误!解得错误!故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由错误!得错误!由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0．[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得错误!进而求解． (2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组错误! 可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________．解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点，则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0．答案：3x ＋4y ＋5＝02．已知点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．解析：由题意得线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2在直线y ＝kx ＋b 上，故错误!解得k ＝－错误!，b ＝54，所以直线方程为y ＝－32x ＋54．令y ＝0，即－32x ＋54＝0，解得x ＝56，故直线y ＝kx ＋b在x 轴上的截距为56．答案：563已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以错误!解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0．答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由错误!可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2．所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．故选C ．3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0．4．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0．答案：12x ＋8y －15＝05．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组错误!可得错误!所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝23．答案：23二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (2,3)，B (－4,0)，P (－3,1)，Q (－m ，m ＋1)，若直线AB ∥PQ ，则m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵AB ∥PQ ，∴k AB ＝k PQ ，即0－3－4－2＝m ＋1－1－m －－3，解得m ＝1，故选C ．2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A ．423B ．4 2C ．823D ．2 2解析：选C ∵l 1∥l 2， ∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823．3．(2016·某某某某第二次适应性)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A ．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则错误!解得错误!即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．6．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79．答案：－13或－797．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43．k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34．则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S ＝|AB |·|AD |＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25．答案：258．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0．答案：x ＋2y －3＝09．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0． (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得错误!解得a ＝－1．综上可知，a ＝－1．法二：由l 1∥l 2知错误! 即错误!⇒错误!⇒a ＝－1．(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23．法二：∵l 1⊥l 2， ∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23．10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立错误!得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立错误!得B (－1，－3)，∴k BC ＝错误!， ∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l 1：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，所以Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0．若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0，则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0．因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等，但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行．因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，而k ≠0，所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P ．2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5．故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0．第三节圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)圆心：(a ，b )，半径：r 一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：12D 2＋E 2－4F2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2． (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2． (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2．[小题体验]1．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43．2．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－－1]2＋4－22＝2．∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2．答案：x 2＋(y －3)2＝23．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值X 围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4．即a 2＜1，故－1＜a ＜1．答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏](2016·某某高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1．当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5．答案：(－2，－4) 5考点一圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2017·某某质检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1．2．圆心在y 轴上且经过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2．因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5．所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0． 3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则错误!解得错误!∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，∴|MN|＝46，故选C．4．(2016·某某高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．答案：(x－2)2＋y2＝9[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．。

【三维设计】高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第八章圆的方程配套课时训练(含14年最新题

课时跟踪检测(四十六) 圆的方程(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·盐城一调)已知点P(a ，b)关于直线l 的对称点为P′(b＋1，a －1)，则圆C ：x2＋y2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C′的方程为________．2. (2013·东城二模)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为________．3. 已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x2＋y2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为________．4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________．5．(2013·苏锡常镇二调)若圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．6．已知集合P ＝⎩⎨⎧ ，⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3≥0，4x ＋3y －6≤0，y≥0，Q ＝{(x ，y)|(x －a)2＋(y －b)2≤r2，r>0}．若“点M ∈P”是“点M ∈Q”的必要条件，则当r 最大时，ab 的值是________．7．已知圆C 的圆心与点M(1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为________．8. 创新题已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x2＋y2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P(a ，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．9. 在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA ·PB 的取值范围．10．已知矩形ABCD 的对角线交于点P(2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上．(1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；(2)已知直线l ：(1－2k)x ＋(1＋k)y －5＋4k ＝0(k ∈R)，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏北四市二调)如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H(0，t)的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求直线l 的方程．2．(2013·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x2＋y2＝r2和直线l ：x ＝a(其中r 和a 均为常数，且0<r<a)，M 为l 上一动点，A1，A2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C 的另一个交点分别为P ，Q.(1)若r ＝2，点M 的坐标为(4,2)，求直线PQ 的方程；(2)求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标．答案第Ⅰ卷：夯基得分卷1．解析：圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝10，圆关于直线的对称圆半径相等，圆心关于直线对称．又由题意知，点(3,1)关于直线l 的对称点为(2,2)，即得圆C′的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝10.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝102．解析：∵圆心C(－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为－－4－3|5＝2，∴dmin ＝2－1＝1.答案：13．解析：圆C 的方程可化为x2＋(y －1)2＝1，因为四边形PACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.答案：24．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a), 半径为r ，则rsin π3＝1，rcos π3＝|a|，解得r ＝23，即r2＝43，|a|＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y±332＝43. 答案：x2＋⎝⎛⎭⎪⎫y±332＝43 5．解析：动点到原点距离为1，故动点轨迹方程为x2＋y2＝1，由题意知两个圆总相交，即1<－＋＋3－<3，所以1<5a2＋6a ＋9<9，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a2＋6a ＋8>0，5a2＋6a<0，解得－65<a<0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0 6．解析：在平面直角坐标系中作出可行域(如右图)，集合P 中的点在Rt △ABC 内(含边界)．集合Q 中的点在以D(a ，b)为圆心，r 为半径的圆内(含边界)，依题意知圆D 在Rt △ABC 内部，当r 最大时，圆D 为Rt △ABC 的内切圆．此时r ＝b.设∠DAE ＝α，∠DBE ＝β，则由tan 2α＝34得tan α＝13，由tan 2β＝43得tan β＝12，于是AE ＝3r ，BE ＝2r.又易知A(－1,0)，B(32，0)．所以AB ＝52，所以3r ＋2r ＝52，得r ＝12，AE ＝32，进而a ＝b ＝12，所以ab ＝14. 答案：147．解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r2(r ＞0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92. 答案： (x ＋2)2＋(y －2)2＝928．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O 到直线的距离为12a2＋b2＝22，所以a2＝1－12b2≥0，即－2≤b≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM|＝a2＋－＝ 12b2－2b ＋2＝22(2－b)，又－2≤b≤2，所以2＋1≥|PM|≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π.答案：(3－22)π9．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x2＋y2＝4.(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．设P(x ，y)，则由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，＋＋y2·－＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2. PA ·PB ＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2＜4，x2－y2＝2，由此得y2＜1，所以PA ·PB 的取值范围为[－2,0)．10．解：(1)∵lAB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ，∴kAD ＝－3，点(－1,1)在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得A(0，－2)．∴|AP|＝ 4＋4＝22，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y2＝8.(2)证明：直线l 的方程可化为k(－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q(3,2)，由|QP|2＝(3－2)2＋22＝5＜8知点Q 在圆P 内，所以l 与圆P 恒相交，设l 与圆P 的交点为M ，N ，|MN|＝28－d2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ|·sin θ＝ 5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN|最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12，故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，即l ：x ＋2y －7＝0.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上．设圆C 与x 轴的交点分别为点A ，B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)．所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝mx ＋1，＋＋－＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4m2＋1，y ＝m2－4m ＋1m2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m2＋1，m2－4m ＋1m2＋1，N(0,1)．因为以MN 为直径的圆恰好经过点O ，所以OM ·ON ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m2＋1，m2－4m ＋1m2＋1·(0,1) ＝m2－4m ＋1m2＋1＝0，解得m ＝2±3，故所求直线l 的方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1.2．解：(1)当r ＝2时，M(4,2)，则A1(－2,0)，A2(2,0)．直线MA1的方程为x －3y ＋2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2＝4，x －3y ＋2＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65. 直线MA2的方程为x －y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2＝4，x －y －2＝0，解得Q(0，－2)．由两点式得直线PQ 的方程为2x －y －2＝0.(2)证明：法一：由题设得A1(－r,0)，A2(r,0)．设M(a ，t)，则直线MA1的方程为y ＝t a ＋r(x ＋r)，直线MA2的方程为y ＝t a －r(x －r)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝r2，y ＝t a ＋r ＋，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫＋－rt2＋＋t2，＋＋＋t2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2＝r2，y ＝t a －r －，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫rt2－－－＋t2，－－－＋t2. 于是直线PQ 的斜率kPQ ＝2at a2－t2－r2，直线PQ 的方程为y －＋＋＋t2＝ 2at a2－t2－r2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －＋－rt2＋＋t2. 令y ＝0，得x ＝r2a，是一个与t 无关的常数．故直线PQ 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫r2a ，0. 法二：由题设得A1(－r,0)，A2(r,0)．设M(a ，t)，则直线MA1的方程为y ＝t a ＋r(x ＋r)，直线MA2的方程为y ＝t a －r(x －r)，设直线MA1与圆C 的交点为P(x1，y1)，直线MA2与圆C 的交点为Q(x2，y2)．故点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线[(a ＋r)y －t(x ＋r)][(a －r)y －t(x －r)]＝0上，化简得(a2－r2)y2－2ty(ax －r2)－t2(x2－r2)＝0.①又因为点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆C 上，圆C ：x2＋y2－r2＝0.②①＋t2×②得(a2－r2)y2－2ty(ax －r2)－t2(x2－r2)＋t2(x2＋y2－r2)＝0. 化简得(a2－r2＋t2)y －2t(ax －r2)＝0，所以直线PQ 的方程为(a2－r2＋t2)y －2t(ax －r2)＝0.令y ＝0，得x ＝r2a，是一个与t 无关的常数．故直线PQ 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫r2a ，0.。

【三维设计】届高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清热点命题悟通)第八章平面解析几何理苏教版

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程对应学生用书P1061．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k ＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2.1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B≠0时，k ＝－AB .[试一试]1．若直线(2m2＋m －3)x ＋(m2－m)y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是________．解析：当2m2＋m －3≠0时，即m≠1或m≠－32时，在x 轴上截距为4m －12m2＋m －3＝1，即2m2－3m －2＝0，故m ＝2或m ＝－12.答案：2或－122．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．解析：∵kMN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.答案：13．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a. 则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝01．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论． (2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练]1．直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y ＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0 对应学生用书P107直线的倾斜角与斜率1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.答案：5π62．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π则k 的取值范围是________．解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[)－3，0. 综上k ∈[)－3，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.答案：[)－3，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1[备课札记][类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．直线方程[典例] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.[备课札记] [类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________．解析：由题意设所求方程为y ＋4＝k(x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k－4|·|4k －5|＝5得，k ＝85或k ＝25. 答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0直线方程的综合应用直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、向量、不等式相结合，命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有：与基本不等式相结合求最值问题；直线方程与平面向量的综合应用.角度一与基本不等式相结合求最值问题 1．已知直线l 过点M(1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l 的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程．解：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为 y －1＝k(x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B(0,1－k), 所以|MA|2＋|MB|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋1k2≥2＋2k2·1k2＝4，当且仅当k2＝1k2，即k ＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 角度二直线方程与平面向量的综合 2．已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求当|MA·||MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.故MA ·||MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[备课札记] [类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．对应学生用书P108[课堂练通考点]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．直线l ：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：333．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0,0)，A(1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为________．解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以kAB ＝－kOA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案：3x ＋y －6＝0 4．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －＋3－－＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)5．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A(－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k(x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k1＝－23或k2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，已知，得|－6b·b|＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P(xP,1)，由题意及中点坐标公式得xP ＋7＝2，解得xP ＝－5，即P(－5,1)，所以k ＝－13.答案：－132．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足ab________0，bc________0.(填写“>”或“<”)解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.答案：> <3．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点________．解析：a ＋2b ＝3⇒4a ＋8b －12＝0，又2ax －by －12＝0，比较可知x ＝2，y ＝－8. 答案：(2，－8)4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线的方程为________．解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.答案：x ＋3y －1＝05．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．解析：如图所示，∵kPN ＝1－－1－－＝34，kPM ＝1－－1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k≥kPN；当l 的倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得k≥34或k≤－4.答案：(－∞，－4]∪[34，＋∞)6．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x ＝________. 解析：因为kAB ＝7－54－3＝2，kAC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以kAB ＝kAC ，即－x －54＝2，解得x ＝－3. 答案：－37．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y ＝k(x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝k(x ＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB ＝0，kPA ＝1－00－－＝1.∴k 的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]8．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－53x ，(2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a.代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0.答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝09．已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.10．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线l 过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x0＋2)k －y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，1＋2k≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·哈尔滨模拟)函数y ＝asin x －bcos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由函数y ＝f(x)＝asin x －bcos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.答案：135°2．已知直线l1：ax －2y ＝2a －4，l2：2x ＋a2y ＝2a2＋4，当0＜a ＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a ，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．答案：12第二节两直线的位置关系对应学生用书P1081．两直线的位置关系2．两直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x ＋B1y ＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y ＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离(1)两点间的距离：平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 d(A ，B)＝|AB|＝－＋－.(2)点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C2＝0间的距离d ＝|C1－C2|A2＋B2.1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错． [试一试]1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：2 2．已知p ：直线l1：x －y －1＝0与直线l2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不必要也不充分”)．解析：由于直线l1：x －y －1＝0与直线l2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a ＝－1. 答案：充要1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b)，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)2．已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝0 对应学生用书P109两直线平行与垂直1．(2014·镇江期末)与直线l2：2x ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析：直线l1：A1x ＋B1y ＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y ＋C2＝0，l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，所以有2a ＋3(a －1)＝0，所以a ＝35.答案：352．(2014·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知m 为实数，直线l1：mx ＋y ＋3＝0，l2：(3m －2)x ＋my ＋2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：由两直线平行可得m2－(3m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2.将m ＝1代入可得l1：x ＋y ＋3＝0，l2：x ＋y ＋2＝0，易知l1与l2不重合；将m ＝2代入可得l1：2x ＋y ＋3＝0，l2：4x ＋2y ＋2＝0，易知l1与l2不重合，故两直线平行的充要条件为m ＝1或m ＝2，故m ＝1是其成立的充分不必要条件．答案：充分不必要3．经过两直线l1：x －2y ＋4＝0和l2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P(0,2)．∵l ⊥l3，∴直线l 的斜率k1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l1和l2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0[备课札记] [类题通法]充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．距离问题[典例] 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA|＝|PB|，且点P 到直线l 的距离为2. 解：设点P 的坐标为(a ，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率kAB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P(a ，b)在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0. ①又点P(a ，b)到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10， ②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.[备课札记][类题通法]1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理． [针对训练]与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是__________________．解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0，由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.答案：7x ＋4y －80＝0对称问题角度一点关于点的对称 1．过点P(0,1)作直线l 使它被直线l1：2x ＋y －8＝0和l2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l1与l 的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l2上，代入l2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A(4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A′的坐标．解：设A′(x，y)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有：点关于点的对称；点关于线对称；线关于线对称；对称问题的应用.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 角度三线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程．解：在直线m 上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四对称问题的应用4．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A′，D 关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.[备课札记] [类题通法]处理对称问题的方法 (1)中心对称①点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A ′(m ，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A·a ＋m 2＋B·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．对应学生用书P110[课堂练通考点]1．已知直线l1：x ＋ay ＋6＝0和l2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l1∥l2的充要条件是a ＝________.解析：由题意知，l1∥l2⇔1a －2＝a 3≠62a，即a ＝－1. 答案：－12．若直线l1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l2：x ＋(a －1)y ＋a2－1＝0垂直，则实数a ＝________. 解析：由a×1＋(a －1)×2＝0 ∴a ＝23.答案：233．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝04. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解之得，0≤a≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]5．已知两条直线l1：ax －by ＋4＝0，l2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a －1)＋(－b)·1＝0，即a2－a －b ＝0. ①又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0 ② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l1∥l2，∴a b ＝1－a ，b ＝a1－a ，故l1和l2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋－a＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l1与l2的距离相等． ∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·镇江模拟)若直线l1：x ＋2y －4＝0与l2：mx ＋(2－m)y －1＝0平行，则实数m ＝________.解析：由直线平行的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧－－2m ＝0，－＋4m≠0，解得m ＝23.答案：232．(2014·南京学情调研)已知直线l 经过点P(2,1)，且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是________．解析：法一：设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0.因为直线l 经过点P(2,1)，所以6－2＋c ＝0，即c ＝－4，从而所求直线的方程为3x －2y －4＝0.法二：k1＝－1－23＝32，故所求直线方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0.答案：3x －2y －4＝0 3. 已知直线l1：y ＝2x ＋3，直线l2与l1关于直线y ＝－x 对称，则直线l2的斜率为________．解析：∵l2，l1关于y ＝－x 对称， ∴l2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32.∴l2的斜率为12.答案：124．(2013·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________. 解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2，故由条件得k ＝12.答案：125. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________．解析：由|PA|＝|PB|知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P(3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上， ∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0. 答案：x ＋y －7＝06. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k(k≠0)，则折痕所在直线的方程为________．解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上对应的点为G(a,1)(0≤a≤2)，所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，设所求直线的斜率为k ，则有kAG·k＝－1，即1a·k＝－1，得a ＝－k ，故G 点的坐标为(－k,1)(－2≤k<0)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12 ，折痕所在直线的方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k22＋12(－2≤k<0)．答案：y ＝kx ＋12k2＋12(－2≤k<0)7．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a2＋1＝|6a ＋3＋1|a2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－798. 创新题在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－1)，B(－3，－4)．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝10，则点C 的坐标是________．解析：法一：设点C 的坐标是(x ，y)，且x<0，y<0，直线OB 的方程为y ＝43x ，因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y|5＝|x|，又x2＋y2＝10，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．法二：设点C 的坐标是(x ，y)，且x<0，y<0.因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以由cos OC ，OA ＝OC ，OB 得－y 1×10＝－3x －4y 510.又x2＋y2＝10，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3.所以点C 的坐标是(－1，－3)．答案：(－1，－3) 9．(2013·南京二模)过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程是________．解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a>1，b>2)．又点(1,2)在l 上，所以1a ＋2b ＝1.而1＝1a ＋2b≥21a ·2b ，所以ab≥8，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时，等号成立，此时△AOB 的面积S ＝12ab 最小．因此l 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0.答案：2x ＋y －4＝010．(2013·无锡调研)不过原点的直线l 是曲线y ＝ln x 的切线，且直线l 与x 轴、y 轴的截距之和为0，则直线l 的方程为________．解析：由题意可知，l 的斜率k ＝1，所以f′(x)＝1x ＝1，所以x ＝1.即切点坐标为(1,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －1. 答案：x －y －1＝0 第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·南通一调)若a1x≤sin x≤a2x 对任意的x ∈[0，π2]都成立，则a2－a1的最小值为________．解析：当过原点的直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1时，a1取得最大值2π；当过原点的直线为点(0,0)处的切线时，a2取得最小值1.所以a2－a1的最小值为1－2π.答案：1－2π2．(2013·镇江三调)已知过点P(9，3)的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，则A ，B 之间距离的最小值为________．解析：依题意设∠BAO ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以AB ＝PA ＋PB ＝3sin α＋9cos α.令f(α)＝3sin α＋9cos α，则 f′(α)＝－3·cos αsin2α＋9·sin αcos2 α＝－3cos3 α－9sin3 αsin2 α·cos2 α.令f′(α)＝0，得3cos3α－9sin3α＝0，得tan3 α＝133，解得tan α＝13＝33.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π6. 当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f′(α)<0，f(α)在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f′(α)>0，f(α)在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增．从而当α＝π6时，f(α)取极小值即为最小值，所以AB ＝f(α)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin π6＋9cosπ6＝23＋63＝8 3. 答案：8 3第三节圆_的_方_程对应学生用书P1101．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.对于方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F ＞0这一成立条件． [试一试]若方程x2＋y2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是________．解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0知m ＜14或m ＞1.答案：(－∞，14)∪(1，＋∞)1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． [练一练]1．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________．解析：设圆心为(0，b)，半径为r ，则r ＝|b|， ∴圆的方程为x2＋(y －b)2＝b2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x2＋y2－10y ＝0. 答案：x2＋y2－10y ＝02．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________．解析：法一：直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A(－4,0)，B(0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，|AB|＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. 法二：易得圆的直径的两端点为A(－4,0)，B(0,3)，设P(x ，y)为圆上任一点，则PA ⊥PB. ∴kPA·kPB＝－1得y x ＋4·y －3x＝－1(x≠－4，x≠0)，即x(x ＋4)＋y(y －3)＝0.化简得(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. 答案：(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254对应学生用书P111圆的方程1．(2014·苏北四市摸底)轴上，半径为2的圆y 轴的右侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心为(a,0)(a>0)，由题意得|a|2＝2，所以a ＝2(a ＝－2舍去)，即圆C 的圆心为(2,0)，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y2＝2.答案：(x －2)2＋y2＝22．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13. 过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为________．解析：设所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2－4＋k(2x ＋y ＋4)＝0，即x2＋y2＋2(k ＋1)x ＋(k －4)y ＋1＋4k ＝0，化为圆的标准方程得[x ＋(k ＋1)]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋12－2＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(4k ＋1)，由(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k)＞0，得5k2－16k ＋16＞0，此时，所求圆的半径 r ＝＋＋14－－＋＝125k2－16k ＋16. 显然，当k ＝－－1610，即k ＝85时，5k2－16k ＋16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x2＋y2＋265x －125y ＋375＝0.答案：x2＋y2＋265x －125y ＋375＝0[备课札记][类题通法]1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有：斜率型最值问题；截距型最值问题；距离型最值问题；利用对称性求最值.角度一斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x2＋y2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx.当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k2＋1＝ 3，解得k ＝± 3.(如图)所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.角度二截距型最值问题2.在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝ 3，解得b ＝－2± 6.(如图)所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．(如图) 又圆心到原点的距离为－＋－＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四利用对称性求最值4．(2013·重庆高考改编)已知圆C1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C1，C2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．解析：两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min ＝|C ′1C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min ＝52－(1＋3)＝52－4. 答案：52－4[备课札记][类题通法]数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t ＝(x －a)2与圆有关的轨迹问题[典例] 中，已知圆P x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解] (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3. 故P 点的轨迹方程为y2－x2＝1. (2)设P(x0，y0)．由已知得|x0－y0|2＝22. 又P 点在双曲线y2－x2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x0－y0＝1，y20－x20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x2＋(y －1)2＝3或x2＋(y ＋1)2＝3.[备课札记] [类题通法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [针对训练]已知OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ 满足OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q(x ，y)，由OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y)＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α，∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4 对应学生用书P112[课堂练通考点]1．若点(2a ，a ＋1)在圆x2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是________．解析：∵点(2a ，a ＋1)在圆x2＋(y －1)2＝5的内部， ∴(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)2. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由于圆心在第一象限且于x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －2)2＋()y －12＝13．(2014·无锡期末)已知圆C1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C2的方程为________．解析：由题意得C1(－1,1)，圆心C2与C1关于直线x －y －1＝0对称，且半径相等，则C2(2，－2)，所以圆C2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝14. 已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C 是圆x2＋y2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：lAB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 25. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P(a ，b)，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210， ∴(a ＋1)2＋b2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. [课下提升考能] 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·盐城一调)已知点P(a ，b)关于直线l 的对称点为P′(b＋1，a －1)，则圆C ：x2＋y2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C′的方程为________．解析：圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝10，圆关于直线的对称圆半径相等，圆心关于直线对称．又由题意知，点(3,1)关于直线l 的对称点为(2,2)，即得圆C′的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝10.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝102. (2013·东城二模)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为________．解析：∵圆心C(－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为－－4－3|5＝2，∴dmin ＝2－1＝1. 答案：13. 已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x2＋y2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为________．解析：圆C 的方程可化为x2＋(y －1)2＝1，因为四边形PACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2. 答案：24．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a), 半径为r ，则rsin π3＝1，rcos π3＝|a|，解得r ＝23，即r2＝43，|a|＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y±332＝43. 答案：x2＋⎝⎛⎭⎪⎫y±332＝43 5．(2013·苏锡常镇二调)若圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．解析：动点到原点距离为1，故动点轨迹方程为x2＋y2＝1，由题意知两个圆总相交，即1<－＋＋3－<3，。

【三维设计】届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第八章抛物线配套课时训练(含14年最新题及解析)

课时跟踪检测(五十) 抛物线第Ⅰ组：全员选做题1．(2013·扬州期末)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p ＝________.2．(2014·苏州模拟)顶点在原点且以双曲线x23－y2＝1的右准线为准线的抛物线方程是________．3．已知抛物线y2＝2px(p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．4．已知抛物线y2＝2px 的焦点F 与双曲线x27－y29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|＝2|AF|，则△AFK 的面积为________．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．6．(2013·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.7．(2013·苏州暑假调查)抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF ＝3，则点P 到直线x ＝－1的距离为________．8．(2013·南京二模)若抛物线y2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．9．(2013·天津调研)设F 是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A 是抛物线与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．10．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为________．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·苏北四市二调)已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.2．已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x 相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．3．(2014·荆州模拟)如图，直线AB 经过抛物线y2＝2px 的焦点F ，交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线l 于点C ，若BC ＝－2BF ，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．4．(2014·黄冈月考)如图，A1，A2，A3，…，An 分别是抛物线y ＝x2上的点，A1B1垂直于x 轴，A1C1垂直于y 轴，线段B1C1交抛物线于A2，再作A2B2⊥x 轴，A2C2⊥y 轴，线段B2C2交抛物线于A3，这样下去，分别可以得到A4，A5，…，An ，其中A1的坐标为(1,1)，则S矩形AnBnOCn ＝________.答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：抛物线y2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，故p 2＝4，即p ＝8. 答案：82．解析：双曲线x23－y2＝1的右准线为x ＝33＋1＝32，设所求抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则p 2＝32，即p ＝3，所以抛物线方程是y2＝－6x. 答案：y2＝－6x3．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知抛物线的焦点坐标为F(p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入抛物线方程得y2＝2px ＝2p(y ＋p 2)＝2py ＋p2，所以y2－2py －p2＝0，所以y1＋y22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x ，准线方程为x ＝－1.答案：x ＝－14．解析：由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)．过点A 作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K 中，|AK|＝2|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y2＝16x 得y2＝16(y －4)，即y2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK的面积为12×8×8＝32. 答案：325．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y2＝4x.显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k(x －2)，其中k≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋－2k ，y2＝4x ，消去y 得k2x2＋[4k(1－k)－4]x ＋4(1－k)2＝0，显然4k2－4k ＋42k2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x.答案：y ＝x6．解析：由x2＝2py(p>0)得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p 2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x23－y23＝1的交点 A ⎝⎛⎭⎪⎫－12＋p22，－p 2， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p22，－p 2，所以|AB|＝ 12＋p2，则|AF|＝|AB|＝ 12＋p2，所以p |AF|＝sin π3，即p 12＋p2＝32，解得p ＝6.答案：67．解析：由抛物线C ：y2＝4x 知其准线为x ＝－1，根据抛物线定义得点P 到直线x ＝－1的距离d ＝PF ＝3.答案：38．解析：设点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t22，t ，t>0，则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t222＋t2＝3，即t4＋4t2－12＝0，解得t2＝2或t2＝－6(舍)，故M(1，±2)．又抛物线的准线方程为x ＝－12，故点M 到准线距离为32，即M 到其焦点距离为32. 答案：329．解析：由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，不妨取双曲线的渐近线为y ＝b a x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，y2＝2px 得x ＝2pa2b2.因为AF ⊥x 轴，所以xA ＝p 2，即2pa2b2＝p 2，解得b2＝4a2，即b2＝4a2＝c2－a2，所以c2＝5a2，即e2＝5，所以离心率e ＝ 5. 答案： 510．解析：抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2.因为|MF|＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，所以p ＝8.所以抛物线方程为y2＝16x ，即m2＝16，所以m ＝4.即M(1,4)，则直线MF 的方程为4x ＋3y －16＝0，斜率为－43.因为OP ⊥MF ，所以OP 的斜率为34，即直线OP 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －16＝0，3x －4y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6425，y ＝4825，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6425，4825. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫6425，4825 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由抛物线的定义得BM ＝BF ，又因为AM ⊥MF ，所以点B 为线段AF 的中点，由于A(0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，从而点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1在抛物线y2＝2px(p>0)上，所以1＝2p·p 4，于是p ＝ 2. 答案： 22．解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y21＋y22＝16＋16＝32.当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x －4)，与y2＝4x 联立，消去x 得ky2－4y －16k ＝0.由题意知k≠0，则y1＋y2＝4k， y1y2＝－16.∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32>32. 综上知，(y21＋y22)min ＝32.答案：323．解析：作AA1⊥l ，BB1⊥l ，垂足分别为A1，B1，∵|BC|＝2|BF|，∴cos ∠B1BC ＝12，∠B1BC ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，332，代入方程得p ＝32或p ＝92，又点A 在点B 的右边，所以方程为y2＝3x. 答案：y2＝3x4．解析：设An 的坐标为(xn ，x2n )，则Bn 、Cn 的坐标分别为(xn,0)、(0，x2n )，Bn 、Cn 所在的直线方程是x xn ＋y x2n ＝1，由An ＋1(xn ＋1，x2n ＋1)在这条直线上得xn ＋1xn ＋x2n ＋1x2n ＝1，整理得⎝⎛⎭⎪⎫xn ＋1xn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫xn ＋1xn －1＝0 ⇒xn ＋1xn ＝－1±52，而xn>0，∴xn ＋1xn ＝－1＋52. 所以数列{xn}是以－1＋52为公比、1为首项的等比数列，∴xn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52n －1. 所以S 矩形AnBnOCn ＝xn·x 2n ＝(xn)3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5－12n －13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5－123n －1＝(5－2)n －1. 答案：(5－2)n －1.。

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课时跟踪检测(五十一) 直线与圆锥曲线的位置关系(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆x24＋y22＝1上有一点P ，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2 为直角三角形，则这样的点P 有________个．2. 椭圆x24＋y23＝1的离心率为e ，点(1，e)是圆x2＋y2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是________．3．(2014·苏北三市调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若以F 为圆心的圆x2＋y2－6x ＋5＝0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________． 4．已知椭圆x24＋y2b2＝1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交椭圆于A ，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b ＝________.5. 已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l ：y＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e ＝________.6．(2014·扬州模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则α－βα＋β＝________.7．如图，设A ，B 分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M(异于点A ，B)，交椭圆于C ，D 两点(点C 在第一象限内)，△ABC 与△ABD 的面积分别为S1与S2. (1)若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为y ＝x3，求椭圆E 的离心率；(2)当点M 在线段AB 上运动时，求S1S2的最大值．8．(2013·徐州、宿迁三检)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A1，A2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A2的半径为a ，过点A1作圆A2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q.(1)求直线OP 的方程； (2)求PQQA1的值；(3)设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点B ，C ，分别交圆A2于点M ，N ，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知椭圆E ：x24＋y2＝1的左、右顶点分别为A ，B ，圆x2＋y2＝4上有一动点P ，P 在x 轴上方，C(1,0)，直线PA 交椭圆E 于点D ，连结DC ，PB.(1)若∠ADC ＝90°，求△ADC 的面积S ；(2)设直线PB ，DC 的斜率存在且分别为k1，k2，若k1＝λk2，求实数λ的取值范围．2．(2013·盐城二模)如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相切于点M(0，1)．(1)求椭圆T 与圆O 的方程；(2)过点M 引两条互相垂直的直线l1，l2与两曲线分别交于点A ，C 和点B ，D(均不重合)．①若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d1，d2，求d21＋d22的最大值； ②若3MA ·MC ＝4MB ·MD ，求直线l1与l2的方程．3．(2014·常州质检)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F1，F2分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2AF ＋52BF ＝0.(1)求椭圆E 的离心率；(2)若D(1,0)为线段OF2的中点，M 为椭圆E 上的动点(异于点A ，B)，连结MF1并延长交椭圆E 于点N ，连结MD ，ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连结PQ ，设直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为k1，k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个，同理当 ∠PF2F1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．答案：62．解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 答案：4x ＋6y －7＝03．解析：圆x2＋y2－6x ＋5＝0可以化为(x －3)2＋y2＝4，其圆心F(3,0)，半径r ＝2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以3b a2＋b2＝2，整理得5b2＝4a2.又因为b2＝c2－a2，所以5(c2－a2)＝4a2，所以5c2＝9a2，所以c2a2＝95，即离心率e2＝95，故e ＝355.答案：3554．解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a ＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a＝3，可求得b2＝3，即b ＝ 3.答案： 35．解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a)．设点M 的坐标是(x0，y0)，由|AM|＝e|AB|,得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝a e －，y0＝ea.(*)因为点M 在椭圆上，所以x20a2＋y20b2＝1，将(*)式代入，得－e2＋e2a2b2＝1，整理得，e2＋e －1＝0, 解得e ＝5－12. 答案：5－126．解析：设P(x0，y0)，则kPA·kPB＝y20x20－a2，又y20＝b2－b2a2·x 20，所以kPA·kPB＝－b2a2，即tan αtan β＝－b2a2.又e ＝32，所以tan αtan β＝－14，所以α－βα＋β＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝35. 答案：357．解：(1)由题设得A(a,0)，B(0，b)，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2. 因为点M 在直线y ＝x 3上，所以b ＝a3.从而c ＝a2－b2＝a2－a29＝223a ，故椭圆E 的离心率e ＝c a ＝223.(2)设C(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则x20a2＋y20b2＝1，D(－x0，－y0)．由题设，直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.因为点C 在直线AB 的上方，所以点C 到直线AB 的距离hC ＝|bx0＋ay0－ab|a2＋b2＝bx0＋ay0－ab a2＋b2.同理可得点D 到直线AB 的距离hD ＝bx0＋ay0＋ab a2＋b2.因为x20a2＋y20b2＝1，即b2x20＋a2y20＝a2b2，且bx0>0，ay0>0，所以bx0＋ay0≤2b2x20＋a2y202＝2 a2b22＝2ab ，当且仅当bx0＝ay0时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧b2x20＋a2y20＝a2b2，bx0＝ay0得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝22a ，y0＝22b.因此S1S2＝hC hD ＝bx0＋ay0－abbx0＋ay0＋ab＝1－2ab bx0＋ay0＋ab ≤1－2ab2ab ＋ab＝3－22，所以当⎩⎪⎨⎪⎧x0＝22a ，y0＝22b 时，S1S2取得最大值，最大值为3－2 2.8．解：(1)连结A2P ，则A2P ⊥A1P ，且A2P ＝a. 又A1A2＝2a ，所以∠A1A2P ＝60°.所以∠POA2＝60°，所以直线OP 的方程为y ＝3x. (2)由(1)知，直线A2P 的方程为 y ＝－3(x －a)，① 直线A1P 的方程为y ＝33(x ＋a)，②联立①②解得xP ＝a 2.因为e ＝32，即c a ＝32，所以c2＝34a2，b2＝14a2，故椭圆E 的方程为x2a2＋4y2a2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33＋，x2a2＋4y2a2＝1，解得xQ ＝－a7，所以PQQA1＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 7－a7－－＝34. (3)不妨设OM 的方程为y ＝kx(k>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x2a2＋4y2a2＝1解得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋4k2，ak 1＋4k2，所以OB ＝ a1＋k21＋4k2.用－1k 代替上面的k 得OC ＝a 1＋k24＋k2.同理可得OM ＝2a 1＋k2，ON ＝2ak1＋k2.所以S1·S2＝14·OB·OC·OM·ON＝a4k ＋＋.因为k ＋＋＝14⎝⎛⎭⎪⎫k2＋1k2＋17≤15，当且仅当k ＝1时，等号成立，所以S1·S2的最大值为a45.第Ⅱ卷：提能增分卷 1．解：(1)设D(x ，y)．因为A(－2,0)，C(1,0)，∠ADC ＝90°，所以AD2＋DC2＝AC2.则(x ＋2)2＋y2＋(x －1)2＋y2＝9，即x2＋y2＋x －2＝0. ① 因为点D 在椭圆E 上，所以x24＋y2＝1.②联立①②，消去y 得3x2＋4x －4＝0，因为－2<x<2，所以x ＝23.代入椭圆方程得y ＝223.所以△ADC 的面积S ＝12×3×223＝ 2.(2)设P(x0，y0)，直线PA 的方程为 y ＝y0x0＋2(x ＋2)，代入椭圆方程x24＋y2＝1得x2＋4·y20＋·(x＋2)2－4＝0.因为x20＋y20＝4，所以x2＋4·2－x0x0＋2·(x＋2)2－4＝0，即(10－3x0)x2＋(32－16x0)x ＋24－20x0＝0.(*)设D(x1，y1)，又方程(*)有一根为－2，则x1＝10x0－1210－3x0，代入直线PA 方程得y1＝4y010－3x0.则k1＝y0x0－2，k2＝y1x1－1＝4y010－3x010x0－1210－3x0－1＝4y013x0－22.因为k1＝λk2，所以λ＝k1k2＝y0x0－24y013x0－22＝14·13x0－22x0－2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x0－2.因为－2<x0<2，x0≠2213，所以λ<0或0<λ<3.所以实数λ的取值范围为(－∞，0)∪(0,3)．2．解：(1)由题意知c a ＝32，b ＝1，c2＋b2＝a2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，故椭圆的方程为x24＋y2＝1，圆O 的方程为x2＋y2＝1. (2)①设P(x0，y0)．因为l1⊥l2，则d21＋d22＝PM2＝x20＋(y0－1)2，因为x204＋y20＝1.所以d21＋d22＝4－4y20＋(y0－1)2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫y0＋132＋163. 因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－13时，d21＋d22取得最大值163，此时点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，－13.②设直线l1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x2＋y2＝1解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k2＋1，1－k2k2＋1；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x24＋y2＝1解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k2，1－4k21＋4k2.将A ，C 中的k 置换成－1k 可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k2＋1，k2－1k2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k k2＋4，k2－4k2＋4，所以MA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k2＋1，－2k2k2＋1，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k2＋1，－8k24k2＋1，MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k2＋1，－2k2＋1，MD ＝⎝⎛⎭⎪⎫8k k2＋4，－8k2＋4.由3MA ·MC ＝4MB ·MD ，得3k24k2＋1＝4k2＋4，解得k ＝±2，所以直线l1的方程为y ＝2x ＋1，l2的方程为y ＝－22x ＋1或直线l1的方程为 y ＝－2x ＋1，l2的方程为y ＝22x ＋1. 3．解：(1)因为 2AF ＋52BF ＝0，所以2AF ＝52F B .所以a ＋c ＝5(a －c)，即2a ＝3c ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝23.(2)存在满足条件的常数λ，因为D(1,0)为OF2的中点，所以c ＝2，从而a ＝3，b ＝5，左焦点F1(－2,0)，椭圆E 的方程为x29＋y25＝1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD 的方程为x ＝x1－1y1y ＋1，代入椭圆方程x29＋y25＝1，整理得5－x1y21y2＋x1－1y1y －4＝0.因为y1＋y3＝－x1－5，所以y3＝4y1x1－5.从而x3＝5x1－9x1－5，故点P ⎝⎛⎭⎪⎫5x1－9x1－5，4y1x1－5.同理点Q ⎝⎛⎭⎪⎫5x2－9x2－5，4y2x2－5.因为M ，F1，N 三点共线，所以y1x1＋2＝y2x2＋2，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．从而k2＝y3－y4x3－x4＝4y1x1－5－4y2x2－55x1－9x1－5－5x2－9x2－5＝x1y2－x2y1＋－－＝74·y1－y2x1－x2＝74k1. 故k1－47k2＝0.从而存在满足条件的常数λ，λ＝－47.。

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