第一节 分析法与综合法 Microsoft PowerPoint 演示文稿
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综合法与分析法共16页PPT资料
正方形的面积为（L ） 2
2
4
为 因 了 此 证 本 明 题 上 只 式 需 成 证 立 明 ， 只 需 （ 证 2 L 明 ） 2 （ 4 L 4 ） L 2 2 2 1 L 6 2
两 边 同 乘 以 正 数 L 4 2， 得 11 4
因 此 ， 只 需 证 明 4
因 为 上 式 是 成 立 的 ， 所 以 （ L ） 2 （ L ） 2 2 4
只 需 证 明 （ 3 7 ） 2 （ 25 ） 2
展 开 得 1 0 22 12 0
即
215
只 需 证 明 2 1 2 5
因 为 2 1 2 5 成 立 ， 所 以 不 等 式 3 ＋ 7 2 5 成 立
二、分析法:
【问题三】分析法的主要特点和符号表示（A表示已知，B表示结论）？ 特点：由“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，即“执果索因 ”。 证明步骤的符号表示：
四、巩固提升:
1、 在 AB中 C，三A个 、 B、 内 C对 角应的边 a、 b分 、 c,别为 且 A、 B、 C成等差 ,a、 数 b、 c列 成等比数列， 求证 A： B为 C等边三角形
、 2求 a 证 a 1 a ： 2 a 3 (a 3 )
五、课堂总结:
1、直接证明的两种方法：综合法和分析法
即 ， 如 果 一 个 圆 与 一 个 正 方 形 的 周 长 相 等 ， 那 么 这 个 圆 的 面 积
比 正 方 形 的 面 积 大
思维升华:
1、从寻找解题思路看：综合法是由因导果，探路艰难； 分析法是执果索因，便于寻找解题思路
2、从表达过程看：综合法形式简洁，条理清晰; 分析法叙述繁琐。
因此，在实际解题时，常把二者结合使用。先用分析法寻找解题思路， 再用综合法有条理的表述过程。
2.2.1综合法和分析法PPT课件
()
❖ A．既不充分也不必要条件
❖ B．充要条件
❖ C．充分条件
❖ D．必要条件
❖ [答案] D
❖ [解析] ∵②⇒①，但①不一定推出②.故•18 应选D.
2．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等
式成立的是
()
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13 ❖ [答案] B
步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，
即用分析法证明．
[证明] ∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
•5
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
❖ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
❖ 需证c2＋a2＝ac＋b2，
❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B
＝60°，
•11
❖ 由余弦定理，有 ❖ b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， ❖ 故c2＋a2＝ac＋b2得证． ❖ 综合法： ❖ 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ❖ ∴B＝60°. ❖ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， ❖ 得c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 等式两边同时加上ab＋bc得 ❖ c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
综合法和分析法课件
推理与证明
§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程与特点．
2．结合已学过的数学实例，体会综合法的两种形象化说法： “顺推证法”或“由因导果法”；分析法又叫“逆推证法”或 “执果索因法”．了解分析法和综合法的流程图、思考过程及 特点．
a－3
3 b<
a－b
A．ab<0且a>b
成立，a，b应满足的条件是( )
B．ab>0且a>b
C．ab<0且a<b
D．ab>0且a>b或ab<0且a<b
解析：要证3
a－3
3 b<
a－b，
只需证(3 a－3 b)3<(3 a－b)3，
即 a－b－33 a2b＋33 ab2<a－b，
即证3 ab2<3 a2b， 只需证 ab2<a2b， 即 ab(b－a)<0. 只需 ab>0 且 b－a<0 或 ab<0，b－a>0.因为 3＋ 7<2 5两边都是正数， 所以为了证明 3＋ 7<2 5， 只需证明( 3＋ 7)2<(2 5)2， 展开，得 10＋2 21<20，即 21<5. 只需证明 21<25. 因为 21<25 显然成立， 所以不等式 3＋ 7<2 5成立．
点评：(1)用分析法证明的逻辑关系是：
∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋2bc ＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)．
∴ab＋bc＋ca≤
1 3
.
10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b， c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证： △ABC为等边三角形．
§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程与特点．
2．结合已学过的数学实例，体会综合法的两种形象化说法： “顺推证法”或“由因导果法”；分析法又叫“逆推证法”或 “执果索因法”．了解分析法和综合法的流程图、思考过程及 特点．
a－3
3 b<
a－b
A．ab<0且a>b
成立，a，b应满足的条件是( )
B．ab>0且a>b
C．ab<0且a<b
D．ab>0且a>b或ab<0且a<b
解析：要证3
a－3
3 b<
a－b，
只需证(3 a－3 b)3<(3 a－b)3，
即 a－b－33 a2b＋33 ab2<a－b，
即证3 ab2<3 a2b， 只需证 ab2<a2b， 即 ab(b－a)<0. 只需 ab>0 且 b－a<0 或 ab<0，b－a>0.因为 3＋ 7<2 5两边都是正数， 所以为了证明 3＋ 7<2 5， 只需证明( 3＋ 7)2<(2 5)2， 展开，得 10＋2 21<20，即 21<5. 只需证明 21<25. 因为 21<25 显然成立， 所以不等式 3＋ 7<2 5成立．
点评：(1)用分析法证明的逻辑关系是：
∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋2bc ＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)．
∴ab＋bc＋ca≤
1 3
.
10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b， c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证： △ABC为等边三角形．
《综合法与分析法》课件
案例三：项目管理
总结词
综合法在项目管理中的应用
VS
详细描述
项目管理中，综合法可以将项目目标、资 源、风险和进度等因素进行综合考虑，制 定全面而有效的项目管理计划，确保项目 的顺利实施和成功完成。
案例四：产品开发
总结词
分析法在产品开发中的应用
详细描述
产品开发过程中，分析法可以对产品功能、性能和市场定位进行深入分析，帮助企业了 解市场需求和竞争态势，从而开发出具有竞争力的产品。
《综合法与分析法》ppt课 件
目 录
• 综合法概述 • 分析法概述 • 综合法与分析法的比较 • 综合法与分析法的实践案例
01
综合法概述
定义与特点
定义
全面性
综合法是一种将多个相关因素综合起来进 行考虑的方法，通过对这些因素的整合和 分析，得出一个全面的结论或解决方案。
综合法注重全面考虑问题，不遗漏任何相 关因素。
优缺点的比较
01
02
03
04
综合法的优点
能够全面地理解整体和各部分 之间的关系，能够整合各方面 的信息，得到更全面的结论。
综合法的缺点
对于复杂的问题，整合各部分 可能会产生信息过载，难以理
解和处理。
分析法的优点
能够深入了解各个部分的特点 和关系，能够得到更精确和深
入的结论。
分析法的缺点
可能会过于关注细节而忽略整 体，导致只见树木不见森林。
综合法的优缺点
考虑因素众多，可能导致分析复杂度增加
综合法需要考虑众多因素，这可能导致分析过程变得复杂和繁琐。
需要具备较高的综合素质和能力
综合法的应用需要具备较高的综合素质和能力，包括广泛的知识面、较强的分析 能力和判断力等。
综合法与分析法PPT
例题2
求证 3 + 7 < 2 5.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发， 分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证
（ 3 + 7）2 <（2 5）2 .
展开得
10 + 2 21 < 20，
只Hale Waihona Puke 证21 < 5，不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由 ② ③ ⑤ ,得
A=B=C= π. 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
综合法和分析法 课件
[典例] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man ＝m＋3(n∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3.
(1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比为 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1， bn＝32f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
[活学活用] 已知△ABC 三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：B 为锐角． 证明：要证 B 为锐角，根据余弦定理， 只需证明 cos B＝a2＋2ca2c－b2>0，即证 a2＋c2－b2>0. 由于 a2＋c2－b2≥2ac－b2，要证 a2＋c2－b2>0， 只需证 2ac－b2>0. ∵a，b，c 的倒数成等差数列，∴1a＋1c＝2b，即 2ac＝b(a＋c)． 要证 2ac－b2>0，只需证 b(a＋c)－b2>0，即 b(a＋c－b)>0， 上述不等式显然成立，∴B 为锐角.
∵△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列． ∴B＝60°. 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即 b2＝c2＋a2－ac. ∴c2＋a2＝ac＋b2 成立，命题得证． 法二：∵△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列． ∴B＝60°. 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即 b2＝c2＋a2－ac.
2.分析法 定义
从要证明的 结论出发，逐步寻 求使它成立的 充分条件 ，
直至最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件
(已知条件、 定理 、 定义 、 公理 等)为止．这种证明方法
叫做分析法
框图表示
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→
得到一个明显 成立的条件
2.2.1综合法与分析法PPT课件
1. 通过这些基本证明方法的学习，使学生 在以后的学习和生活中，能自觉、有意 识地运用这些方法进行数学证明，养成 言之有理、论证有据的习惯.
2. 培养学生观察、分析、归纳、总结的能 力.
2021
5
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解直接证明 的两种基本方法——综合法和分析法；了解综 合法、分析法的思考过程、特点.
32
证明：
因 为 （ s i n 2 θ + c o s 2 θ ）2 - 2 s i n θ c o s θ = 1 , 所 以 将 (1)(2)代 入 ， 可 得
4 sin 2α - 2 sin 2β = 1 . 另一方面要证
1 - ta n 2α = 1 - ta n 2β ， 1 + ta n 2α 2 (1 + ta n 2β ) 即证
2021
26
只需证 21<25.
因为21<25成立，所以 成立.
3+ 7<2 5，
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出 发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入 手，所以用综合法比较困难.
2021
27
请对综合法与分析法进行比较，说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说 说你对这两种证明方法的新认识.
B1
E1
C
E
A F
B
2021
39
D1
C1
A1
在
直
四
棱
柱
A
B
C
D
-
A
1B
1C
1
D
中
1
，
2. 培养学生观察、分析、归纳、总结的能 力.
2021
5
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解直接证明 的两种基本方法——综合法和分析法；了解综 合法、分析法的思考过程、特点.
32
证明：
因 为 （ s i n 2 θ + c o s 2 θ ）2 - 2 s i n θ c o s θ = 1 , 所 以 将 (1)(2)代 入 ， 可 得
4 sin 2α - 2 sin 2β = 1 . 另一方面要证
1 - ta n 2α = 1 - ta n 2β ， 1 + ta n 2α 2 (1 + ta n 2β ) 即证
2021
26
只需证 21<25.
因为21<25成立，所以 成立.
3+ 7<2 5，
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出 发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入 手，所以用综合法比较困难.
2021
27
请对综合法与分析法进行比较，说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说 说你对这两种证明方法的新认识.
B1
E1
C
E
A F
B
2021
39
D1
C1
A1
在
直
四
棱
柱
A
B
C
D
-
A
1B
1C
1
D
中
1
，
分析法和综合法课件
通常以分析法寻求 思路，再用综合法有条理地
表述解题过程
只需证cos(A B) 0 因为C为锐角 , 所以A B C为钝角 所以cos(A B) 0恒成立
所以 t an A t an B 1
B 90 2.△ABC三边长 a, b, c的倒数成等差数列，求证：
证明：
cos B
.
2ac b 2 2ac b2 1 2ac
当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．
二.分析法 (执果索因法,逆推证明法)
1.定义：
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明 显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止, 这种证明方法叫做分析法. 2.思维特点： 执果索因,从“未知”看“需知”，其逐步 推理，实际上是寻找它的充分条件. 3.框图表示： (用Q表示要证明的结论,P表示充分条件) 结论Q Q P1 P1 P2 P2 P3 明显成立的条件
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
练习 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c, 且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为 等边三角形.
2.思维特点： 由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知 ”，其逐步推理 ，实际是寻找它的必要条件．
3.框图表示：
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要 证明的结论) Qn Q P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3
《分析法与综合法》课件
作业 PPT课件
引例.已 知a,b 0,求 证 :
a(b2 c2 ) b(c2 a 2 ) 4abc.
一 般 地, 利 用 已 知 条 件 和 某 些 数学 定 义 、 公 理 、 定理等, 经过一系列的推理论证, 最后推导出所
要证明的结论成立, 这种证明方法叫做 综合法
synthetical method.
先分析后综合
有时可以从求证的不等式(结论)出发,找到式子成 立的条件,在书写时从这个条件写起,推出结论.看起来 好像先就想到这个条件,这种思想方法我们在解题时 经常用．
分 析 综 合 法 注 重 的 是 先分 析 后 综 合,方 便 书 写.
例 3 . 已知 , k (k Z ),且
2
sin cos 2sin ,
sin cos sin2 ,
求证1 tan2 1 tan2
(1 tan2 )
2(1 tan2 ) .
小结
1.分析法论证的格式
执果索因
B
B1
B2
……
Bn
A
结论 （寻求不等式成立的充分条件） 条件
2.综合法论证的格式
由因导果
A
Bn
Bn-1
……
B1
B
条件（发现已知不等式结合性质顺推）结论
method).
分析法, 又叫逆推证法或执果索因法.
用Q表 示 要 证 明 的 结 论,则 分 析 法 可 用 框 图 表 示为 :
Q P1 P1 P2 P2 P3
得到一个明显 成立的条件
例 2 . 设a 0,b 0,且a b,求证: a3 b3 a2b ab2 .
引 例 . 已知a,b, c R , 且ab bc ca 1, 求证: a b c 3.
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3 71
7 71
71 71
5
=（5 ） =125
练习：P 23
1, 4
作业：P 23
10,11
48-30=18（人)
（第二小组）
例2 两辆汽车A、B先后从车站开出，速度都是 每小时60千米，8点32分A离车站的距离是B的3倍， 8点39分A离车站是B的2倍，求A离开车站的时间。
（1）要求A离开车站的时间， 分析：
需要先求出8 : 32A的行车时间； （分析法）
需要先求出8 : 32A所行的距离； （分析法）
分析法：14人
L
14人是总人数⇒ 总人数是多少 ⇒ 两组各有多少人？ ⇒ 5:3 的几分之几
5 5 ⇒ 第一小组的人数是总人数的 = 5+3 8
综合法：
5:3 1: 2 ⇒ 减少14人后第一小组人数是总人数的
5 1 7 14人是总人数的 − = 8 3 24
⇒L
1 1 = 1+2 3
∴A离开车站的时间是8：11 （综合法）
64 497 个 2 8 64 213个5 8 4 744 4 744 例3 比较大小：× 2 × 2 × L× 2 和 5 × 5 × 5 × L× 5 2
（497,213）71 = 分析： 497=71× 7,213=71× 3 2
497
213
=（2 ） =128
60千米 （2）车速： 小时 = 1千米 分钟
（综合法） ∴ 8 : 32到8 : 39所行的距离是1 × （39-32） 7（千米） = （3）8点32分：１：３ ⇒Ｂ( x千米)，（3x千米） A 8点39分：１：2 ⇒ 3x + 7 = 2( x + 7) ⇒ x = 7,3x = 21
∴ ∴ 8 : 20A所行的距离是21千米， 8 : 20A的行车时间是21分钟，
第一节 分析法与 综合法
主讲教师：杨萃
一、分析法
已知（条件） ← L← 需知 ← 未知（问题）
二、综合法
已知（条件）→ 可知 → L与第二 小组人数的比是5 : 3，如果从第一小组调14人 到第二小组，则第一小组与第二小组人数的 比是1:2，原来两个小组各有多少人？
例1 某车间有两个小组，第一小组与第二 小组人数的比是5 : 3，如果从第一小组调14人 到第二小组，则第一小组与第二小组人数的 比是1:2，原来两个小组各有多少人？
5 1 7 解： 人是总人数的 − = 14 8 3 24 7 14 ÷ =48 （人） 24 5 48 × =30（人） （第一小组） 8
7 71
71 71
5
=（5 ） =125
练习：P 23
1, 4
作业：P 23
10,11
48-30=18（人)
（第二小组）
例2 两辆汽车A、B先后从车站开出，速度都是 每小时60千米，8点32分A离车站的距离是B的3倍， 8点39分A离车站是B的2倍，求A离开车站的时间。
（1）要求A离开车站的时间， 分析：
需要先求出8 : 32A的行车时间； （分析法）
需要先求出8 : 32A所行的距离； （分析法）
分析法：14人
L
14人是总人数⇒ 总人数是多少 ⇒ 两组各有多少人？ ⇒ 5:3 的几分之几
5 5 ⇒ 第一小组的人数是总人数的 = 5+3 8
综合法：
5:3 1: 2 ⇒ 减少14人后第一小组人数是总人数的
5 1 7 14人是总人数的 − = 8 3 24
⇒L
1 1 = 1+2 3
∴A离开车站的时间是8：11 （综合法）
64 497 个 2 8 64 213个5 8 4 744 4 744 例3 比较大小：× 2 × 2 × L× 2 和 5 × 5 × 5 × L× 5 2
（497,213）71 = 分析： 497=71× 7,213=71× 3 2
497
213
=（2 ） =128
60千米 （2）车速： 小时 = 1千米 分钟
（综合法） ∴ 8 : 32到8 : 39所行的距离是1 × （39-32） 7（千米） = （3）8点32分：１：３ ⇒Ｂ( x千米)，（3x千米） A 8点39分：１：2 ⇒ 3x + 7 = 2( x + 7) ⇒ x = 7,3x = 21
∴ ∴ 8 : 20A所行的距离是21千米， 8 : 20A的行车时间是21分钟，
第一节 分析法与 综合法
主讲教师：杨萃
一、分析法
已知（条件） ← L← 需知 ← 未知（问题）
二、综合法
已知（条件）→ 可知 → L与第二 小组人数的比是5 : 3，如果从第一小组调14人 到第二小组，则第一小组与第二小组人数的 比是1:2，原来两个小组各有多少人？
例1 某车间有两个小组，第一小组与第二 小组人数的比是5 : 3，如果从第一小组调14人 到第二小组，则第一小组与第二小组人数的 比是1:2，原来两个小组各有多少人？
5 1 7 解： 人是总人数的 − = 14 8 3 24 7 14 ÷ =48 （人） 24 5 48 × =30（人） （第一小组） 8