小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解

小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解

日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子

组成。

目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。

3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。

4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格

子组成，一边长一边短。

凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形

状的四个格子组成。

田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形

状的四个格子组成。

完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。

一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。更复杂的染色

覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一

个需要这种技巧。

题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为

偶数。

题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。

题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。

题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存

有日字形覆盖。

题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。

题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。

题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四

个同色的方格位于一个长方形的四个角上。

题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。提示：本题目需要用多

种颜色染色。

题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。

题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明

剩下的部分能够实现日形覆盖。

题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？

题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛

克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。现

在开始翻转部分马赛克，但是要求每次必须同时翻动9块（上次翻动

的下一次还能够翻动），试问：是否能够经过有限次翻动之后，得到

一个和原来黑白颜色正好相反的棋盘？

题13：某个展览大厅是一个6*6的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。现在有人想从入口开始，不重复

不遗漏地走完所有的展览室。已知该展览室的入口在左上角，出口在

右下角，问，有无这种行走路径？

题14：一个2*8的棋盘，水平线和垂直线相交的部分称之为格点。对格点用红蓝两种颜色染色。证明：无论如何，一定存有两条水平线

和两条垂直线，它们所形成的格点是同一种颜色。