小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
染色与覆盖
第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。
知识构架图：染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ） 例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。
我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。
提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。
（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。
新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。
2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。
所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。
五年级奥数精讲-染色与覆盖
用 9 个 1×4 的长方形能不能拼成一个 6×6 的正方形？请说明理 由。
用若干个 2×2 和 3×3 的小正方形能不能拼成一个 11×11 的大正 方形？请说明理由。
（2010 年迎春杯初赛试题） 在左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作．经过有限次操作后由左下表变为右下表，那么右 下表中 A 处的数是几？
染色与覆盖（二）
如图有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问 能用这 5 个硬纸板拼成图中的 4×5 的长方形吗？如果能，请画出 一种拼法；如果不能，请简述理由。
能否用 9 个 所示的卡片拼成一个 6×6 的棋盘？
在 6×6 的方格表中，用若干由 3 个单位方格组成的“L ”形纸片和 由 4 个单位方格组成的“凸”形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少 为多少张?并在图中画出覆盖的方法。
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小学奥数杂题染色问题【三篇】
小学奥数杂题染色问题【三篇】
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的
房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是
否能够找到．
【第二篇】
展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入
口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?
答案：
不能.对展室实行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入
口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个
展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.
【第三篇】
染色问题基本解法：
三面涂色和顶点相关 8个顶点。
两面染色和棱长相关。
即新棱长（棱长-2）×12
一面染色和表面积相关。
同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6
0面染色和体积相关。
用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
小学奥数中的涂色问题
涂色问题的常见方法与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
五年级下册奥数试题-组合数学之染色与覆盖 全国通用(含答案)
组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者 （填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。
解：答：不能；如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。
例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。
如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问警察应如何取胜。
解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）； 第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，从A 点出发的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中至少有3条是同色的，不妨设AB 、AC 、AD 为红色，我们再看△BCD 的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD ，若△BCD 中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC 是红色，则AB 、AC 、BC 都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问 （“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
2021年小学奥数组合问题专题 - 染色与覆盖
2021年小学奥数组合问题专题 - 染色与覆盖2021年小学奥数组合问题专题――染色与覆盖一、解答题1.六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？【答案】不能。
见解析【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到． 2.右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？【答案】(1)在水中(2)在岸上。
见解析【解析】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中. （2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.3.某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?【答案】不能【解析】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．4.右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【答案】不能【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍． 5.有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【答案】不能【解析】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．6.在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？【答案】图1中可以回到小屋，图2中无法直接回到小木屋。
小学奥数杂题染色问题【三篇】
小学奥数杂题染色问题【三篇】
导读：本文小学奥数杂题染色问题【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇】 1.如图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门．有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是否能够找到．【第二篇】展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 答案：不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 【第三篇】染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关8个顶点。
两面染色和棱长有关。
即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关。
同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6 0面染色和体积有关。
用新棱长计算体积公式（棱
长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
五年级奥数：染色问题
五年级奥数：染色问题染色问题的解题思路染色问题是数奥解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。
图一首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。
什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接的最多。
例如图一中A区域A与B、C、D、E、 F连接最广所以A为特殊区域。
找到这个区域问题就容易解决了。
这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。
本题中有4种颜色那么A可以染4种颜色了。
完成这个事件需要A、B、C、D、E、F6步所以用乘法原理。
这道题找到了最特殊的A区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容易了，C区域是与A相连，连接区域的数量仅次于A区域图一中的C和E区域都可以做第二个特殊区域了，但只能选一个，我们把C当成第二特殊的区域，则C可以染3种颜色。
区域B跟A、C相连那么 B可以染2种。
D与A、C、E相连则只能选1种，对吗？我们仔细观察，按顺序说A----4，C------3，B-------2，D则连接A、C当A 选色后C有3种可能，D在A、C选色后只有2种可能。
E连接A、D也有两种可能。
F也是连接着A、E有两种可能。
这道题就解出来了。
有4×3×2×2×2=96种可能。
这道题跟以下一道题有异曲同工之效，大家不妨一起看下图二。
图二图中A与B、C相连有4种染色方式，为第一特殊区域。
而B是与A相连的第二特殊区域（切记，此时选第二特殊区域，乃是跟第一特殊区域相连的一个区域）B有3种可能，C连接A、B则有2种可能，D连接B、C则有2种可能，同理E也有2种可能。
所以此题有4×3×2×2×2=96种可能的染色。
再来看一个稍微复杂点的问题如图三 图三图中A有5种染色方式C------ 4，B-----3，D-----3，E------3，F------3，G------3。
解决小学奥数问题的方法：染色分类法
一种解决数学问题的新方法：染色分类法【摘要】：在现实生活中，有一些判断能与否的数学问题涉及到的知识点很少，难以快速地找到解题思路。
本文主要介绍一种解决这类数学问题的新方法：染色分类法。
对研究对象进行染色，可以形象、直观地使某些隐蔽的条件显露，从而 获得简明的解答。
【关键字】：染色 分类 数学问题一、 用染色解决图形覆盖问题：在中学数学竞赛中，我们常常会碰到这样的题目：用多个几何图形去覆盖另一个几何图形，问能否实现。
如果我们每一种情况都去试，不仅花时间，而且容易因考虑不全而出错。
对于这一类问题，我们不妨对涉及到的几何对象进行染色，再来寻找解题思路。
问题一：能否用2个田字形和7个T 字形恰好覆盖一个6⨯6网格？分析：这道题看似简单，但是如果要穷尽每种情况去试一试，却不太可行。
考虑到网格中共有36个小方格，不妨通过染色把这36个小方格分成黑白两类，然后看用田字形能覆盖住多少个，T 字形能覆盖住多少个，从而判断该题是否有解。
解：由于用黑白两种颜色对6⨯6 网格进行染色（如图），可以看到图中有18个黑格，18个白格。
而用一个田字形，无论放在哪里，都能覆盖住一个黑格，一个白格；而T 字形能覆盖住1个或3个白格。
所以2个田字形和7个T 字形总共覆盖住奇数个白格，而6⨯6 网格中总共有18（偶数）个白格，所以不能完全覆盖住。
问题二 ：要用40块方形瓷砖铺设如图2所示图形的地面，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块，一人买了20块长方形瓷砖，结果弄来弄去始终无法完整铺设好，你能否用这20块瓷砖（不分割任何一块）帮他铺好地面？图2 图3分析：要得出这道题的答案并不难，但是如何从理论上证明却没那么简单。
这里，如果我们仿照问题一采用染色方法，不仅能更快得出答案，更能较好地说明理由，让读者一目了然。
解：在图形上黑、白相间地染色，如图3。
则共有19个白格和21个黑格。
一块长方形瓷砖只可盖住一白一黑两格。
为了把所有的白格都盖住，需要19块长方形瓷砖，但19块长方形瓷砖只能盖住19个黑格，还有两个黑格没有盖住。
6第四十六章 染色与覆盖问题
第四十六章染色与覆盖问题概念本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A格出去又要回到A格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A格为白格，所以不可以。
三、结点问题分析与路径问题相似，只不过我们这回染得不再是小格而是点，染成黑白相间的点。
我们会发现一共14个点，6个黑点8个白点，每次的路线仍是从黑点走到白点或者从白点走到黑点，所以若想每个点不重复的都走一遍的话必须黑白相等或相差1个，但本题黑白差2个，所以不可以。
四、一般覆盖将这14个小格染成黑白相间的，那么7个相邻两方格应该是一黑一白的，所以如果能覆盖的话，14为454，所以例题1.2.(第2×23.（29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.4.（1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.5.?（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.6.?(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.7.8.段.9.?6格，形如的弯角板与1的矩形10.?11.?有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.12.?如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？13.?设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有????r名能用同一种语言通话.14.?（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.15.?（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.16.?为什么？17.(1)(2)18.19.20.所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？21.在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？22.右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？23.右图是由14个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？24.右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？25.26.用和27.28.929.30.31.右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？32.有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？33.有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得1/2,次子得1/3,给幼子1/9,不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！34.8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）？35.936.103斤油.要把这37.38..39.40.老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿)．你能办到吗?41.如右图所示，将1～12顺次排成一圈.如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：a是多少时，可以走到7的位置？42.对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？43.一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
染色与覆盖(基础篇)
座位问题
(★★)
五年级一班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。
如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？
例1
染色与覆盖
棋盘染色
结点染色
(★★★
) 如图，是连接14个城市的道路图。
是否有一条路线可以经过每一个城市恰好一次？
(★★★)
下图中是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。
有一个人打算从A 室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A 室，问他的目的能否达到，为什么？
例2
例3
棋盘覆盖问题
(★★★)
图中是由14个大小相同的方格组成的图形。
试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
(★★★★)
一只电动老鼠从右图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
当这只电动老鼠又回到A 点时，甲说它共转了83次弯，乙说它共转了84次弯。
如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
例4
例5
特殊形状染色
相邻格＋1类问题
(★★★★
)
对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同)，变为表⑵？为什么？
(★★★) 能否用9个
所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？
例6
例7
(★★★★)
在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算
一次操作，经过若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A 格中的数字是几？
例8。
小学奥数 小学五年级奥数 春季班 染色与覆盖(一)
染色与覆盖（一）
崔帅帅一个暑假的研究成果
三个不等式：
五年级一班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作他的邻座。
如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？
有一次车展共25个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？
棋盘由如图所示的9个小圆圈排列而成，用1～9编号。
在3号和9号小圆圈中各放一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中的一个走入另一个．现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的邻格之中。
如果在6步之内，警察走入小偷所在的格子之中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问：警察应如何取胜？
右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？
如图，缺两格的8×8＝64方格共有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙？
一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯，丙说它共转了83次弯，丁说它共转了84次弯。
如果四人有一人说对了，那么谁正确？。
小学奥数模块教程染色问题(一)
染色问题（一）染色问题是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。
因此，这里的染色问题指的是一种解题方法。
这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会集中典型的染色方法。
根据具体题目的研究对象，染色方法大致可以分为对点染色、对线段染色、对方格染色和对区域染色。
对方格染色常用的是黑白方格相间染色，也叫自然染色。
例1如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是朝上下左右方向爬到相邻的方格中。
那么他能否不重复的爬满每个方格再回A到A格中？解：有小虫的爬法，可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或白格爬到黑格。
所以它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。
而小方格为5×5=25个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数。
于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。
例2 有一次车展有6×6=36个展室，如图。
每格展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者能否从入口进去，不重复地参观完每格展室在从出口出来？解：如图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能冲黑格到白格或者从白格到黑格。
入口和出口都是白格，故线路黑白相间，首位都是白格，于是应该白格比合格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不能做到不重复走遍每个展室。
例3 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两间房间都有门相通。
请问，你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？解：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格、7个白格。
因为每次只能从黑到白或者白到黑，路线必然是黑白相间，显然应该从多的白格开始。
但路线上1白1黑......直至5白5黑后还多余2白格，不可能从白到黑。
故无法实现不重复地走遍每个房间。
小结：染色问题的解题技巧主要在于染色具体方案的构造，其基本原则是使题目条件出现一定的规律，以利于解题。
学而思奥数2011年五年级春季班第三讲染色与覆盖
第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。
知识构架图： 染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ）例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。
我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。
提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。
（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。
新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。
2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。
所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。
四年级奥数染色问题的知识点
四年级奥数染色问题的知识点小朋友们，咱们来聊聊四年级奥数里神奇的染色问题！啥是染色问题呢？这就好像是给一个大拼图上色，只不过这个拼图可复杂啦！比如说，有一个方格阵，咱要给它们染上不同的颜色，然后看看能发现啥有趣的规律。
就像咱们玩跳棋，每个格子都得有自己独特的颜色，不能乱套。
你想想，如果颜色乱七八糟的，那得多乱呀！染色问题里常常会有一些特别的条件。
比如说，要求相邻的格子不能是同一种颜色。
这就好像你的好朋友不能和你穿一样的衣服去学校，不然多没个性！那怎么解决这些染色问题呢？这可得好好动动脑筋。
咱们可以一个一个格子地去考虑，就像走迷宫，一步一步来，可不能着急。
先选好第一个格子的颜色，然后再想下一个和它挨着的格子该用啥颜色。
比如说有个九宫格，咱们先给左上角的格子染成红色，那它旁边的格子就不能是红色啦，可能就得是蓝色或者黄色。
这是不是有点像排座位，不能让关系好的总坐在一起，得打乱了才有新鲜感！再比如说，给一个图形的顶点染色。
每个顶点就像是一个小将军，它们也得有自己独特的标志颜色。
而且还要注意，相邻顶点的颜色不能一样，不然它们就分不清自己的队伍啦！还有那种复杂的立体图形染色，这可就像是给一个大城堡涂颜色，每个面都得漂漂亮亮的，还不能重样。
解决染色问题的时候，咱们得细心，就像给妈妈准备礼物，得用心包装，不能马虎。
小朋友们，染色问题是不是很有趣呀？只要咱们认真思考，多尝试，就一定能解决这些难题，就像超级英雄打败大怪兽一样厉害！我相信你们都能在奥数的世界里玩得开心，学得快乐！总之，四年级奥数的染色问题虽然有点难，但只要咱们用心，就能找到其中的乐趣和秘密，成为奥数小高手！。
第3讲 染色与覆盖
第3讲染色与覆盖1.如右图所示，25个座位分为12白13黑.相邻座位总是一黑一白，因为只有12个白座位，所以原来坐在黑座位上的13人不可能都换到白座位上.所以不能换成.2.如图所示，将房间黑白相间染色，发现有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑格到白格或由白格到黑格，路线必然黑白相间.入口处是黑格，从入口到出口共要走11步，那么最后一步必然是白格.然而出口处也是黑格，因此不可能不重复的走遍每个房间.3.将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差1.而其中一共有9个黑点，7个白点，白点比黑点少2个，因此不能.4.先对44⨯的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个12⨯矩形能否分别覆盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个12⨯矩形可以覆盖剪残的棋盘,因为每个12⨯矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有6个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有6个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个12⨯矩形覆盖,也就不能剪成7个12⨯的矩形.棋盘(1)可以被7个12⨯的矩形所覆盖.下面给出一种剪法:5.将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88⨯的棋盘.6.将44⨯的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图⑴知这个差是8，由图⑵可知：白格数之和-黑格数之和(7)88A=．A=+-=，所以9。
染色与覆盖(基础篇)
座位问题
(★★)
五年级一班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。
如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？
例1
染色与覆盖
棋盘染色
结点染色
(★★★
) 如图，是连接14个城市的道路图。
是否有一条路线可以经过每一个城市恰好一次？
(★★★)
下图中是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。
有一个人打算从A 室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A 室，问他的目的能否达到，为什么？
例2
例3
棋盘覆盖问题
(★★★)
图中是由14个大小相同的方格组成的图形。
试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
(★★★★)
一只电动老鼠从右图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
当这只电动老鼠又回到A 点时，甲说它共转了83次弯，乙说它共转了84次弯。
如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
例4
例5
特殊形状染色
相邻格＋1类问题
(★★★★
)
对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同)，变为表⑵？为什么？
(★★★) 能否用9个
所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？
例6
例7
(★★★★)
在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算
一次操作，经过若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A 格中的数字是几？
例8。
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小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子
组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格
子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形
状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形
状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色
覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一
个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为
偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存
有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四
个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多
种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明
剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？
题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛
克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
现
在开始翻转部分马赛克，但是要求每次必须同时翻动9块（上次翻动
的下一次还能够翻动），试问：是否能够经过有限次翻动之后，得到
一个和原来黑白颜色正好相反的棋盘？
题13：某个展览大厅是一个6*6的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。
现在有人想从入口开始，不重复
不遗漏地走完所有的展览室。
已知该展览室的入口在左上角，出口在
右下角，问，有无这种行走路径？
题14：一个2*8的棋盘，水平线和垂直线相交的部分称之为格点。
对格点用红蓝两种颜色染色。
证明：无论如何，一定存有两条水平线
和两条垂直线，它们所形成的格点是同一种颜色。