积分因子的求法及简单应用[1]

积分因子的求法及简单应用数学科学学院摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径，体现了积分因子的简单应用价值。

关键词：恰当微分方程；积分因子；对数公式；指数公式1. 恰当微分方程的概念及判定1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程(),dyf x y dx =写成微分形式(),0f x y dx dy -=或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += ⑴这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即()()(),,,u uM x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==+∂∂则称方程⑴为恰当微分方程. []11.2 恰当微分方程的判定定理1[]2 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有M Nyx ∂∂=∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内M Ny x ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。

对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注[]1 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.定理2[]2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是u u M N NM u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如:⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1xy⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21x -，21y ，1xy ，221x y +，221x y -例1 找出微分方程()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子.解 将原方程各项重新组合可以写成()()0ydx xdy xy ydx xdy ++-=由于1xy 是ydx xdy +的积分因子，1xy 也是ydx xdy -的积分因子，从而原方程有积分因子()21xy.观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出. 3.2 公式法引理1[]3 微分方程⑴存在形如：()u x ，()u y ，()u x y ±，()u xy ，()22u x y ±，y u x ⎛⎫⎪⎝⎭的积分因子的充要条件有：① 方程⑴存在仅与x 有关的积分因子的充要条件：()1M N x N y x ⎛⎫∂∂ψ=- ⎪∂∂⎝⎭，()x ψ是仅与x 有关的函数；② 方程⑴存在仅与y 有关的积分因子的充要条件：()1M N y M y x ⎛⎫∂∂ψ=-- ⎪∂∂⎝⎭，()y ψ是仅与y 有关的函数；③ 方程⑴有形如()u x y ±的积分因子的充要条件：()M Ny xx y N M ∂∂-∂∂ψ+=-，()x y ψ+是仅与x+y 有关的函数，()M N y xx y N M ∂∂-∂∂ψ-=+，()x y ψ-是仅与x-y 有关的函数； ④ 方程⑴有形如()u xy 的积分因子的充要条件：()M N y xxy Ny Mx ∂∂-∂∂ψ=-，()xy ψ是仅与xy 有关的函数；⑤ 方程⑴有形如()22u x y ±的积分因子的充要条件：()2222M Ny xx y Nx My ∂∂-∂∂ψ+=-，()22x y ψ+是仅与22x y +有关的函数， ()2222M Ny xx y Nx My ∂∂-∂∂ψ-=+，()22x y ψ-是仅与22x y -有关的函数；⑥ 方程⑴有形如y u x ⎛⎫⎪⎝⎭的积分因子的充要条件：2M Ny y x x Ny M x x ∂∂-∂∂⎛⎫ψ=-⎪⎝⎭+，y x ⎛⎫ψ ⎪⎝⎭是仅与y x 有关的函数。

若方程⑴中的M(x,y)，N(x,y)以及M y ∂∂，Nx ∂∂的关系满足以上6个充要条件之一时，则方程⑴的积分因子u(x,y)都可由一阶线性齐次微分方程()()l n ,d u x y zdz =ψ求得（其中()z ψ是z 的函数）.z 可以取x ，y ，x y ±，xy ，22x y ±，yx ，由此可得()()z dz u z e ψ⎰=.我们将上述引理归结为求积分因子的公式法.例2 求解微分方程()()23320xy y dx x y x dy ++-=的积分因子.解 由于2M Ny x ∂∂-=∂∂，()(),,2N x y y M x y x xy -=-观察可得：()()1,,M N y xN x y y M x y x xy∂∂-∂∂=--是关于xy 的函数故原方程有积分因子：()()11,d xy xy u x y exy -⎰==-.3.3 分组求积分因子法定理3[]4 若u 为方程⑴的一个积分因子，且uMdx uNdy dv +=，则()u v Φ也是方程⑴的积分因子，其中()v Φ是v 的任一连续可微函数.也可以说 微分方程()()11220M dx N dy M dx N dy +++=1u 是第一部分的积分因子，即11111u M dx u N dy du += 2u 是第二部分的积分因子，即22222u M dx u N dy du += 从()11u ϕ，()22u ϕ中选择满足()()111222u u u u ϕϕ=的()11u ϕ和()22u ϕ，其中()11u ϕ，()22u ϕ是分别关于1u ，2u 的连续可微函数，这样()111u u ϕ是原方程的积分因子. 例3 求解微分方程()()32253370xy y dx x xy dy -+-=的积分因子.解 将原方程各项重新组合()()23253370xydx x dy y dx xy dy +-+=121u x y =是第一部分的积分因子()()2532153ln xydx x dy d x y x y ⎡⎤+=⎣⎦231u xy =是第二部分的积分因子()()32373137ln y dx xy dy d x y xy ⎡⎤+=⎣⎦即()5311u x y ϕ，()3722u x y ϕ分别是第一、二部分的积分因子 需满足()()53371122u x y u x y ϕϕ=令()()53531x y x y αϕ=，()()37372x yx y βϕ=则 52313173x y x y ααββ----=所以 52313173αβαβ-=-⎧⎨-=-⎩，得到12αβ==故 原微分方程的积分因子为()1122,u x y x y=.4. 积分因子的简单应用4.1 利用积分因子可解线性微分方程例4 求解方程()0ydx y x dy +-=.解 由于1My ∂=∂，1N x ∂=-∂，所以原方程不是恰当微分方程 因为2M Ny x My ∂∂-∂∂=--只与y 有关，故方程有只与y 有关的积分因子 22ln 21dy yy u eey ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎰===以21u y =乘方程两边得到20ydx xdy dyy y -+=因而 原方程的通解为ln xy c y +=.4.2 利用积分因子理论对初等数学中的一类重要公式进行证明引理2[]5 如果()1,u x y c=，()2,u x y c=是某个全微分方程的两个通解，则有()12u u φ=，其中φ是一个确定的函数.4.2.1 对数公式的证明对数公式 ln ln ln xy x y =+，()0,0x y >> ⑵为证明公式⑵，须求解微分方程dx dy x y += ()0,0x y >> ⑶应用分离变量法可得方程的一个通解为ln ln x y c +=另一方面，易见方程有积分因子()1,u x y xy=，以()1,u x y 乘以原方程的两端，得全微分方程0ydx xdy +=得到另一个通解xy c =由于方程有两种形式的通解，根据引理2，则有()1ln ln x y xy φ+= ⑷其中1φ是某个确定的函数，令1y =， 有 ()1ln x x φ=故有 ()1ln xy xyφ= ⑸由⑷和⑸可得()1ln ln ln x y xy xyφ+==综上 公式得证.4.2.2指数公式的证明指数公式()nn nxy x y =⋅，()0,0x y >> ⑹为证明公式⑹，须求解微分方程⑶ 首先由分离变量法得方程⑶的通解为ln ln ln x y xy c +== ⑺其次，易见方程⑶有积分因子()2,n nu x y x y =以()2,u x y 乘以方程两端，得全微分方程0n nn n dx dyx y x y x y +=即 10n n d x y n ⎛⎫= ⎪⎝⎭得到另一个通解n n x y c = ⑻于是方程⑶有两种形式的通解⑺和⑻ 根据引理2，则有()2ln n n x y xy φ= ⑼其中2φ是某一确定的函数，令1y = 有 ()2ln n x x φ=得()()ln 2ln nx x e φ=故有 ()()ln 2ln nxy xy e φ= ⑽由⑼和⑽可得()()ln nnn n xy x y e xy ==综上 公式得证.参考文献：[1] 王高雄,周之铭,朱思铭.常微分方程.高等教育出版社,2006 [2] 陈吉美.积分因子及其应用.湖南工业大学学报.2010,3(2) [3] 伍军.求解积分因子的几种方法.新疆师范大学学报.2006,3(1) [4] 王金诚.浅析积分因子的求法.中国科技信息.2007,10[5] 崔伟业,马可欣.一阶微分方程积分因子的应用.高师理科学刊.2001,8(3)Integral Factor of Sapce and simple ApplicationScience of Mathematics CollegeAbstract: Integral factor is ordinary differential equation of a very basic but also very important concept , Based on the introduction of an appropriate differential equation and the concept of integralfactor and the basis of related theorem , Summarizes the solving differential equations several methods of integral factor , And use of integral factor elementary mathematics is theoretically proved the logarithmic formula and index system of formula , Provides a new way of solving the middle school mathematics problems , Embodies the simple application value of integral factor . Keywords: exact equation;Integrating factor;Logarithmic formulae; Exponential formulae。