感悟“数形结合”——从“方法”到“思想”的飞跃

感悟“数形结合”——从“方法”
到“思想”的飞跃
数学是研究现实世界的空间形式和数
量关系的科学．数学中的数和形关系非常密切。

在小学数学教学中运用数形结合．符
合儿童的认知规律我深深地体会到在数学
教学中渗透“数形结合”的思想．将带给学生无穷的力量。

“数形结合”思想就是使抽象思维和
形象思维相互作用．实现数量关系与图形
性质的相互转化，将抽象的数学关系和直
观的图形结合起来研究数学问题。

数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和
直观性认识“数”．即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规
范地阐明“形”的属性。

此时，“数”是
手段在新课程理念下。

教学中我注重“数形结合”思想的渗透．使学生的能力得
到了很大的提升，也改变着我的教育教学观
一、以“形”为起点——充分利用教
材使学生感受“数形结合”
“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性．才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力。

以“形”为起点，充分利用教材使学生感受“数形结合” 在北师大版第九册教材《点阵中的规律》教学时．我不断地问自己“利用点阵来研究数的规律”其更为深入的价值在哪?在深入分析研究教材的基础上，我认为本节课的教学旨在让学生体会到我们借助点阵可以研究数的规律．而这些规律如果仅仅研究数将是很困难的．以“形”为起点，使学生探究出更多的“数”的规律教学设计时，我充分让学生利用自己手中的点阵图认真观察，提出活动要求：(1)独立思考．从不同角度观察正方形点阵。

你发现点阵中有哪些不同的排列规律，并在图中表示出来 (2)组内交流。

说一说你发现的排列规律．试着用算式表示出来。

学生在图形的帮助下．了解图形中点的
个数1，4，9，16，25……这些有规律的数是完全平方数．进而利用图形动手画一画可以发现更重要的规律
1．从一角向外扩展来看
1=1，4=1+3，9=t+3+5，16=1+3+5+7，
25=1+3+5+7+9+1 l
每一个正方形数都可以写成几个连续
奇数的和，奇数的个数与点阵中的行数和列数相同。

进而学生们发现了重要的奇数列前 n项和公式：．
1+3+5+7+9+……+(2n—1)--n
2．斜着看
1=l
4=1+2+1
9=1+2+3+2+1
16=l+2+3+4+3+2+1
25=l+2+3+4+5+4+3+2+l
每一个正方形数都可以写成从 1开始
连续加到点阵中的行数再递减加到 1的连加算式进而学生们发现了求和的重要公式：1+2+3+4……+(n-I)+n+(n一
1)+……+4+3+2+1=n2 看似一节看图找规律
的数学课．正是因为有了图形．激发了学生学习的欲望，锻炼了学生的思维．在短短的一节课中学生们总结出了一条又一条的重要公式．以“形”为起点，学生们尝到了“数形结合”带给他们的快乐。

二、以“形”助“数’在直观中理解数学概念、构建数学模型
借助图形的直观性将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给学生以直观感，让学生从已有的知识经验出发，亲历将实际问题抽象成数学模型．为理解数学概念奠定基础。

教师通过以“形助“数”．突出图的形象思维，促进学生形象思维与抽象思维的有机结合，化繁为简，化难为易．让学生用多种感觉器官充分感知，在形成表象的基础上进行想象、联想，达到最终理解数学概念．解决数学问题，形成数学思想的目的。

案例1在学习了分数的意义和基本性质后我设计了如下的活动。

利用方格纸(中学中的坐标系)帮助学生再次认识“方格纸”中的分数。

小数数学教学中，只有到了学习折线统计图时才出现了坐标系的影子。

但方格纸却是学生数学课上常用的学具．把方格纸上画出相互垂直的两条数轴，这就是数学家笛卡儿发明的平面直角坐标系了。

由于分数是由分子、分母这两个位置上的自然数构成的．所以可以用平面上的点表示它。

把分数如图 4所示：用横轴点表示分母，纵轴上的点表示分2/3可以用过横轴上“3点的纵线与过纵轴“2”这一点线的交点 A来表示，可以用的B点来表示。

5/7、4/9、7/10该样表示呢?
学生很快就把分数表示在图中。

这样表示分数我们能发现什么呢?如果将 0点 (也称坐示原点)与这些点分别连接起来，再用一把直尺放在横轴上．按逆时针方向将直尺绕原点 0慢慢旋转，扫到的第一个分数是1/6 ，第二个是4/9，然后依次2/3、7/10、5/7、3/4。

我们发现．通过很麻烦的通分可以比较这六个分数的大小，现在我们用直尺逆时针扫过分数的顺序也是比较分数大小的又一个新方法，分数从小到大排列为。