考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4

考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4

(总分：58.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：3，分数：6.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：

2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是

（分数：2.00）

A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3．

B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3．

C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3．

D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√

解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．

3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）

A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x．

B.C 1 +C 2 cos2x．

C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√

D.C 1 +C 2 cos 2 x．

解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)．

二、填空题(总题数：1，分数：2.00)

4.当y＞0时的通解是y= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于

是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得

三、解答题(总题数：25，分数：50.00)

5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可

分离的方程．两边同时积分，可求得其通解为 ln｜y 2 -1｜=-ln｜x 2 -1｜+lnc，即(x 2 -1)(y 2 -1)=C，其中C为任意常数．)

解析：

7.求微分方程(x-4)y 4 dx-x 3 (y 2 -3)dy=0的通解．

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离型方程，当xy≠0这就是原方程的通解．)

解析：

8.

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：因为则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原

)

解析：

9.求微分方程ydx+(xy+x-e y )dy=0的通解．

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：将y看成自变量，z看成是y的函数，则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性

微分方程，化为标准形式得此方程的通解为其中C为任意常数．)

解析：

10.设f(t)连续并满足，求f(t)．

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：因f(t)连续，故f(s)sinsds可导，从而f(t)可导．于是，将题设等式两边

求导可得这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边同乘μ=e -∫sintdt =e cost可得 [e cost

f(t)]"=-4sintcoste cost．积分得e cost f(t)=4∫costd(e cost)=4(cost-1)e cost+C．由f(0)=1I得C=e．因此所求函数f(t)=e 1-cost +4(cost-1)．)

解析：

11.设f(x)连续且f(x)≠0，并满足f(x)．

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：令，上式两边求导得f"(x)=f(x)，解得f(x)=Ce x．由题设令x=0可得f(0)=2a，

所以C=2a，从而f(x)=2ae x．再代入)

解析：

12.求下列微分方程的通解：(Ⅰ)y""-3y"=2-6x；(Ⅱ)y""+y=2cosx；(Ⅲ)y""+4y"+5y=40cos3x．

（分数：2.00）