考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案
考研数学三考什么内容?
数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);
概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些
一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
2021考研数学三真题及答案解析(全)
(9)设
(
X1
,
Y1
)
，(
X
2
,
Y2
)
，
，(
X
n
,
Yn
)
为来自总体
N
(
1,
2
;
2 1
,
2
2
;
)
的简单随机样本，令
1 2 ， X
1 n
n i 1
Xi
，Y
1 n
n
Yi
i 1
，ˆ
X
Y
则
(A)
E(ˆ)
，
D(ˆ)
2 1
2 2
.
n
3
2021考研数学三试卷解析
(B) E(ˆ)
， D(ˆ)
2 1
22
21 2
.
n
(C)
E(ˆ)
，
D(ˆ)
2 1
22
.
n
(D) E(ˆ)
， D(ˆ)
2 1
2 2
21 2
.
n
【答案】 B
【解析】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X Y 也服从二维正态
分布，即 E(ˆ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) 1 2 ，
2021考研数学三试卷解析
[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷17.doc
![[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷17.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/cf4120a1482fb4daa58d4b98.png)
[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷17
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 方程y(4)一2y"'一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式是(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）axe-3x+bxe-x+cx3
（B）ae-3x+bxe-x+cx+d
（C）ae-3x+bxe-x+cx3+dx2
（D）axe-3x+be-x+cx3+dx
2 设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是 ( )
（A）C1y1+C2y2+y3
（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3
（C）C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3
（D）C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3
3 函数(其中C是任意常数)对微分方程而言 ( )
（A）是通解
（B）是特解
（C）是解，但既非通解也非特解
（D）不是解
4 微分方程y"一6y’+8y=e x+e2x的一个特解应具有的形式为(其中a，b为常数)( ) （A）ae x+be2x
（B）ae x+bxe2x
（C）axe x+be2x
（D）axe x+bxe2x
5 微分方程y"+2y’+2y=e-x sin x的特解形式为(其中A，B为常数) ( )
（A）e-x(Acos x+Bsin x)
（B）e-x(Acos x+Bx sin x)
（C）xe-x(Acosx+Bsinx)
（D）e-x(Axcosx+Bsinx)
6 微分方程的通解是(其中C为任意常数)
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷6
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷6
(总分：60.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：7，分数：14.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.微分方程yˊˊ－6yˊ+8y=e x +e 2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )
（分数：2.00）
A.ae x +be 2x
B.ae x +bxe 2x√
C.axe x +be 2x
D.axe x +bxe 2x
解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r 2－6r+8=0得特征根r 1 =2，r 2 =4．又f 1 (x)=e x，λ=1非特征根，对应特解为y 1* =ae x；f 2 (x)=e 2x，λ=2为特征单根，对应特解为y 2* =bxe 2x．故原方程特解的形式为ae x +bxe 2x，选(B)．
3.微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=e －x sinx的特解形式为 ( )
（分数：2.00）
A.e －x (Acosx+Bsinx)
B.e －x (Acosx+Bsinx)
C.xe －x (Acosx+Bsinx) √
D.e －x (Axcosx+Bsinx)
解析：解析：特征方程r 2 +2r+2=0即(r+1) 2 =－1，特征根为r 1，2 =－1±i，而λ±iw=－1±i是特征根，特解y * =xe －x (Acosx+Bsinx)．
考研数学三(常微分方程与差分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答
考研数学三（常微分方程与差分方程）历年真题试卷汇编1(题后含
答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．
A．c[y1(x)一y2(x)]
B．y1(x)+c[y1(x)-y2(x)]
C．c[y1(x)+y2(x)]
D．y1(x)+c[y1(x)+y2(x)]
正确答案：B
解析：因y1(x)，y2(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解，y1(x)－y2(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解，所以由命题1．6．1．2(2)知，c[y1(x)+y2(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解．又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1．6．1．2(1))，故y1(x)+c[y1(x)－y2(x)]是该非齐次方程的通解．仅(B)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2－y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程
考研数学(三)题库 微积分(第八章 常微分方程)打印版【圣才出品】
8．一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得 y2/2＝－x2＋c，即曲线为椭 圆。
9．微分方程 xdy－ydx＝y2eydy 的通解为（ ）。
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10．微分方程 y″－4y′＋5y＝0 的通解为（ ）。 A．ex（C1cos2x＋C2sin2x） B．C1e－x＋C2e5x C．e2x（C1cosx＋C2sinx） D．C1ex＋Ce－5x 【答案】C 【解析】原微分方程为齐次方程，其对应的特征方程为 r2－4r＋5＝0，解得 r＝2±i。 故方程通解为 y＝e2x（C1cosx＋C2sinx）。
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3．已知曲线 y＝y（x）经过原点，且在原点的切线平行于直线 2x－y－5＝0，而 y（x） 满足 y″－6y′＋9y＝e3x，则 y（x）等于（ ）。
A．sin2x B．x2e2x/2＋sin2x C．x（x＋4）e3x/2 D．（x2cosx＋sin2x）e3x 【答案】C 【解析】曲线所满足的非齐次微分方程对应齐次方程的特征方程为 λ2－6λ＋9＝0，故 特征根为 λ＝3（二重）。故齐次方程的通解为 y0（x）＝（C1＋C2x）e3x 设非齐次方程的特 解为 Ax2e3x，代入微分方程，可得 A＝1/2，故非齐次方程的通解为 y（x）＝（C1＋C2x） e3x＋x2e3x/2。又因为曲线过原点，故 y（0）＝0；曲线在原点的切线平行于直线 2x－y－5 ＝0，故 y′（0）＝2。根据初值条件 y（0）＝0，y′（0）＝2，可得 C1＝0，C2＝2。故非 齐次方程的通解为 y（x）＝2xe3x＋x2e3x/2＝x（x＋4）e3x/2。故应选（C）。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(02年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则【】
A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)＝0．
B．对任何ξ∈(a，b)，有[f(χ)－f(ξ)]＝0．
C．当f(a)＝f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0．
D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)．
正确答案：B
解析：由于f(χ)在(a，b)内可导．ξ∈(a，b)，则f(χ)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故[f(χ)－f(ξ)]＝0 知识模块：微积分
2．(03年)设f(χ)为不恒等于零的奇函数，且f′(0)存在，则函数g(χ)＝【】
A．在χ＝0处左极限不存在．
B．有跳跃间断点χ＝0．
C．在χ＝0处右极限不存在．
D．有可去间断点χ＝0．
正确答案：D
解析：由于f(χ)为奇函数，则f(0)＝0，从而又g(χ)＝在χ＝0处无定义，则χ＝0为g(χ)的可去间断点．知识模块：微积分
3．(04年)设f(χ)＝｜χ(1－χ)｜，则【】
A．χ＝0是f(χ)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(χ)的拐点．
B．χ＝0不是f(χ)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．
C．χ＝0是f(χ)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．
D．χ＝0不是f(χ)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(χ)的拐点．
2021考研数学三真题试卷(Word版)
2021考研数学三真题试卷(Word版)
2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题
一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分）
1) 当x趋近于无穷大时，∫x2(et-1)dt是x7的（）
A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小
2) 函数f(x)={ex-1.x≠0.x。x=0}，在x=0处（）
A) 连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值 (C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零
3) 设函数f(x)=ax-blngx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围（）
A) (e。+∞) (B) (0.e) (C) (0.1/e) (D) (-∞。0)∪(1/e。+∞)
4) 设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e)=x(x+1)，f(x,x)=2xlnx，则df(1,1)为()
A) dx+dy (B) dx-dy (C) dy (D) -dy
5) 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()
A) 2,0 (B) 1,1 (C) 2,1 (D) 1,2
6) 设A=(α1,α2,α3,α4)的4阶正交矩阵，若矩阵B=[α2;1 α3]，β=1，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=()
A) α2+α3+α4+kα1 (B) α1+α3+α4+kα2 (C) α1+α2+α4+kα3 (D) α1+α2+α3+kα4
7) 已知矩阵A=[2 -1;1 1]，使得PAQ为对角矩阵，则下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，分别取()
1987数学三真题答案解析(试卷四)
一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1) 10
lim x
x e →=∞
（ ⨯） (2)
4sin 0
x xdx π
π
-
=⎰（ √）
(3)若级数
1
n
n a
∞
=∑与
1
n
n b
∞
=∑均发散，则级数
1
()n
n n a
b ∞
=+∑必发散
（ ⨯）
(4)假设D 是矩阵A 的r 阶子式，且含D 的一切1r +阶子式都等于0，那么矩阵A 的一切1r +阶子式都等于0
（ √） (5)连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0
（ √）
二、选择题（每小题2分，满分10分.）(1)下列函数在其定义域内连续的是
(A)
（A ）()ln sin f x x x =+（B ）⎩⎨
⎧>≤=0
cos 0sin )(x x
x x
x f （C ）⎪⎩
⎪⎨
⎧>-=<+=0
100
01
)(x x x x x x f （D ）⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠=0
001)(x x x
x f (2)若函数f(x)在区间(,)a b 内可导，21,x x 是区间内任意两点，且21x x <，则至少存一点ξ，使得
（C ）
(A)()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<<. (B)111()()()(),f b f x f b x x b ξξ'-=-<<. (C) 212112()()()(),f x f x f x x x x ξξ'-=-<<. (D)222()()()(),f x f a f x a a x ξξ'-=-<<. (3)下列广义积分收敛的是
考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=( )．
A．f2’+xf11”+(x+z)f12”+xzf22”
B．xf12”+xzf22”
C．f2’+x12”+xzf22”
D．xzf22”
正确答案：C
解析：=xf”12+f’2+xzf”22，选(C)．知识模块：多元函数微分学
2．函数z=f(x，y)在点(x0，y0)可偏导是函数z=f(x，y)在点(x0，y0)连续的( )．
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．非充分非必要条件
正确答案：D
解析：如f(x，y)=在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如f(x，y)=在(0，0)处连续，但对x不可偏导,选(D)．知识模块：多元函数微分学
3．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．
A．f(x0，y)在y=y0处导数为零
B．f(x0，y)在y=y0处导数大于零
C．f(x0，y)在y=y0处导数小于零
D．f(x0，y)在y=y0处导数不存在
正确答案：A
解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有f’x(x0，y0)=0，f’y(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)．知识模块：多元函数微分学
填空题
4．设z=f(x2+y2+z2，xyz)且f一阶连续可偏导，则=________．
正确答案：
2021考研数学真题及答案解析(数三)
3
(B) .
8
1
(C) .
2
5
(D) .
2
【答案】 A .
【解析】似然函数 L( ) (1 )3(1 )5 ， 24
取对数 ln L( ) 3ln(1 ) 5ln(1 ) ；
2
4
求导
d ln L( ) d
3 1
5 1
0 ，得
1 .故正确答案为 A. 4
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
1 0 0 1 0 1
(A)
0
1
0
，
0
1
3 .
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
(B)
2
1
0
，
0
1
0
.
3 2 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
(C)
2 3
1 2
0 1
，
0 0
1 0
3 1
.
1 0 0 1 2 3
(D)
0 1
1 3
0 1
，
，
D(ˆ)
2 1
22
.
n
(D) E(ˆ)
， D(ˆ)
2 1
2 2
21 2
.
n
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷7.doc
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷7
(总分：66.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________
2.微分方程y"一4y=e 2x +x的特解形式为( )．（分数：2.00）
A.ae 2x +bx+c
B.ax 2 e 2x +bx+c
C.axe 2x +bx 2 +cx
D.axe 2x +bx+c
3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e 一x，则该微分方程为( )．（分数：2.00）
A.y""一y"一y"+y=0
B.y""+y"一y"一y=0
C.y""+2y"一y"一2y=0
D.y""一2y"一y"+2y=0
4.设φ1 (x)，φ2 (x)为一阶非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）
A.C[φ1 (x)+φ2 (x)]
B.C[φ1 (x)一φ2 (x)]
C.C[φ1 (x)一φ2 (x)]+φ2 (x)
D.[φ1 (x)一φ2 (x)]+Cφ2 (x)
二、填空题(总题数：10，分数：20.00)
5.设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y"一6y"+9y=e 3x，则y(x)= 1．（分数：2.00）
[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷13.doc
![[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷13.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/218c84f569dc5022aaea00be.png)
[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷13
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 微分方程y"一4y=e2x+x的特解形式为( )．
（A）ae2x+bx+c
（B）ax2e2x+bx+c
（C）axe2x+bx2+cx
（D）axe2x+bx+c
2 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1一e x，y2=2xe x，y3=3e-x，则该微分方程为( )．
（A）y"′一y"一y′+y=0
（B）y"′+y"一y′一y=0
（C）y"′+2y"一y′一2y=0
（D）y"′一2y"一y′+2y=0
3 设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．
（A）C[φ1(x)+φ2(x)]
（B）C[φ1(x)一φ2(x)]
（C）C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)
（D）[φ1(x)一φ2(x)]+Cφ2(x)
二、填空题
4 设y=y(x)满足△y=y△x+ο(△x)且y(0)=1，则y(x)=___________．
5 设y1(x)，y2(x)为y′+P(x)y=Q(x)的特解，又py1(x)+2qy2(x)为y′+P(x)y=0的解，py1(x)一qy2(x)为y′+P(x)y=Q(x)的解，则p=__________，q=____________．
6 设y=y(x)满足(1+x2)y′xy且y(0)=1，则y(x)=___________．
7 设y=2e-x+e x sinx为y"+py"+qy′+ry=0的特解，则该方程为___________．
考研数学三常微分方程与差分方程-试卷3_真题-无答案(868)
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷3
(总分58,考试时间90分钟)
1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 方程y"sinx=ylny满足定解条件=e的特解是
A. B.
C. D.
2. 若C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是
A. y=C1x2+C2x+C3．
B. x2+y2=C．
C. yIn(C1x)+ln(C1sinx)．
D. y=C1sin2x+C2cos2x．
3. 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．
A. y""-2y"+5y=4cosx-2sinx
B. y""-2y"+5y=4sinx-2cosx
C. y""-5y"+2y=4cosx-2sinx
D. y""-5y"+2y=4sinx-2cosx
2. 填空题
1. 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=，且y(0)=π，则y(1)=_______．
3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若求f(x)．
2. 已知xy"+p(x)y=x有解y=ex，求方程满足y｜x=ln2=0的解．
3. 已知方程，求满足条件的φ(x)．
4. 设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程求f(t)．
5. 设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y"+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷41.doc
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[考研类试卷]考研数学三（微积分）模拟试卷41
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处( )．（A）连续但不可偏导
（B）可偏导但不连续
（C）可微
（D）一阶连续可偏导
2 对二元函数z=f(x，y)，下列结论正确的是( )．
（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是z=f(x，y)有一阶连续的偏导数
（B）若z=f(x，y)可微，则z=f(x，y)的偏导数连续
（C）若z=f(x，y)偏导数连续，则z=f(x，y)一定可微
（D）若z=f(x，y)的偏导数不连续，则z=f(x，y)一定不可微
3 设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件
=0，则( )．
（A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内
（B）f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上
（C）f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上
（D）f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上
二、填空题
4 设z=xf(x+y)+g(x y，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则
=________．
5 设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f'x(1，2)=1，f'y(1，2)=4，则f(1，2)=________．
6 设z=f(x，y)二阶可偏导，=2，且f(x，0)=1，f'(x，0)=x，则f(x，
y)=________．
7 设u=u(x，y)二阶连续可偏导，且，若u(x，3x)=x，u'x(x，3x)=x，则u"xy(x，3x)=________．
考研数学三(微积分)-试卷4
考研数学三（微积分）-试卷4
(总分：60.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：11，分数：22.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.函数f（x））
（分数：2.00）
A.x=1为第一类间断点，x=—1为第二类间断点
B.x=±1均为第一类间断点√
C.x=1为第二类间断点，x=—1为第一类间断点
D.x=±1均为第二类间断点
解析：解析：分别就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时求极限得出f（x x=+1为f（x）的第一类间断点，故选B。
3.设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）
（分数：2.00）
A.充分必要条件√
B.充分条件但非必要条件
C.必要条件但非充分条件
D.既非充分条件也非必要条件
解析：解析：令φ（x）=f（x）|sinx|，显然φ（0）=0。由于φ（x）在x=0处可导的充分必要条件是φ+"（0）与φ—"（0）都存在且相等可知，若f（0）=0，则必有φ+"（0）=φ—"（0）；若φ+"（0）=φ+"（0），即有f（0）=一f（0），从而f（0）=0。因此f（0）=0是φ（x）在x=0处可导的充分必要条件，也是F（x）在x=0处可导的充分必要条件。故选A。
4.设函数f（x）连续，且f"（0）＞0，则存在δ＞0，使得（）
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考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4
(总分：58.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：3，分数：6.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是
（分数：2.00）
A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3．
B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3．
C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3．
D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√
解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．
3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）
A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x．
B.C 1 +C 2 cos2x．
C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√
D.C 1 +C 2 cos 2 x．
解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)．
二、填空题(总题数：1，分数：2.00)
4.当y＞0时的通解是y= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于
是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得
三、解答题(总题数：25，分数：50.00)
5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可
分离的方程．两边同时积分，可求得其通解为 ln｜y 2 -1｜=-ln｜x 2 -1｜+lnc，即(x 2 -1)(y 2 -1)=C，其中C为任意常数．)
解析：
7.求微分方程(x-4)y 4 dx-x 3 (y 2 -3)dy=0的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离型方程，当xy≠0这就是原方程的通解．)
解析：
8.
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：因为则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原
)
解析：
9.求微分方程ydx+(xy+x-e y )dy=0的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：将y看成自变量，z看成是y的函数，则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性
微分方程，化为标准形式得此方程的通解为其中C为任意常数．)
解析：
10.设f(t)连续并满足，求f(t)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：因f(t)连续，故f(s)sinsds可导，从而f(t)可导．于是，将题设等式两边
求导可得这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边同乘μ=e -∫sintdt =e cost可得 [e cost
f(t)]"=-4sintcoste cost．积分得e cost f(t)=4∫costd(e cost)=4(cost-1)e cost+C．由f(0)=1I得C=e．因此所求函数f(t)=e 1-cost +4(cost-1)．)
解析：
11.设f(x)连续且f(x)≠0，并满足f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：令，上式两边求导得f"(x)=f(x)，解得f(x)=Ce x．由题设令x=0可得f(0)=2a，
所以C=2a，从而f(x)=2ae x．再代入)
解析：
12.求下列微分方程的通解：(Ⅰ)y""-3y"=2-6x；(Ⅱ)y""+y=2cosx；(Ⅲ)y""+4y"+5y=40cos3x．
（分数：2.00）