考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷6
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷6(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.微分方程yˊˊ－6yˊ+8y=e x +e 2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2x√C.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r 2－6r+8=0得特征根r 1 =2，r 2 =4．又f 1 (x)=e x，λ=1非特征根，对应特解为y 1* =ae x；f 2 (x)=e 2x，λ=2为特征单根，对应特解为y 2* =bxe 2x．故原方程特解的形式为ae x +bxe 2x，选(B)．3.微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=e －x sinx的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e －x (Acosx+Bsinx)B.e －x (Acosx+Bsinx)C.xe －x (Acosx+Bsinx) √D.e －x (Axcosx+Bsinx)解析：解析：特征方程r 2 +2r+2=0即(r+1) 2 =－1，特征根为r 1，2 =－1±i，而λ±iw=－1±i是特征根，特解y * =xe －x (Acosx+Bsinx)．4.微分方程yˊ+=0的通解是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：原方程写成yyˊ+ =0，分离变量有y dy+e 3x dx=0．积分得2e 3x－，其中C为任意常数．5.微分方程yˊˊ－4yˊ+4y=x 2 +8e 2x的一个特解应具有形式(a，b，c，d为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2x√C.ax 2 +bx+cx e 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x解析：解析：对应特征方程为r 2－4r+4=0，特征根是r 1，2 =2．而f 1 =x 2，λ1 =0非特征根，故y 1* =ax 2 +bx+c．又f 2 =8e 2x，λ2 =2是二重特征根，所以y 2* =dx 2 e 2x．y 1*与y 2*合起来就是特解，选(B)．6.微分方程yˊˊ+yˊ+y=的一个特解应具有形式(其中a，b为常数（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：特征方程r 2+r+1=0，特征根为r 1，2= ．而f(x)= ，λ±iw= 是特征根，所以特解的形式为y *7.微分方程yˊˊ+2yˊ+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )（分数：2.00）A.ashxB.achxC.ax 2 e －x +be x√D.axe －x +bx x解析：解析：特征方程为r 2 +2r+1=0，r=－1为二重特征根，而y * =ax 2 e －x +be x．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3x 2 +xy=C，其中C为任意常数）解析：解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程．原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x 2 +xy)=0，积分得通解 3x 2 +xy=C，其中C为任意常数．9.的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e 2x，其中C 1，C 2为任意常数）解析：解析：原方程是二阶常系数齐次线性微分方程．其特征方程为r 2－5r+6=0，即(r－3)(r－2)=0．解出特征根r 1 =3，r 2 =2，即得上述通解．10.的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x)e x +1，其中C 1，C 2为任意常数）解析：解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程．其通解为y=y 齐 +y *，其中y 齐是对应齐次方程的通解，y *是非齐次方程的一个特解．因原方程对应齐次方程的特征方程为r 2－2r+1=0，即(r－1)2 =0，特征根为r1，2 =1．故y 齐 =(C 1 +C 2 x)e x，其中C1，C 2为任意常数．又据观察，显然y* =1与y 齐合并即得原方程通解．11.微分方程的通解 1包含了所有的解．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不一定）解析：解析：例如方程(y 2－1)dx=(x－1)ydy，经分离变量有，积分得通解y 2－1=C(x－1) 2，但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分离变量时假定了y 2－1≠0，、x－1≠0)．12.微分方程(y 2 +1)dx=y(y－2x)dy的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C为任意常数）解析：解析：原方程化为．由通解公式得13.设一阶非齐次线性微分方程yˊ+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y 1 ，y 2 ，若αy 1 +βy 2 也是该方程的解，则应有α+β= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由yˊ 1 +P(x)y 1 =Q(x)及yˊ 2 +P(x)y 2 =Q(x)得 (αy 1 +βy 2 )ˊ+P(x)(αy 1 +βy2)=(α+β)Q(x)． 又因αy 1 +βy 2 满足原方程，故应有(α+β)Q(x)=Q(x)，即α+β=1．14.微分方程yˊˊ－7yˊ=(x－1) 2由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y *=x(Ax 2+Bx+C)）解析：解析：原方程对应齐次方程的特征方程为r 2－7r=0，特征根r 1 =7，r 2 =0．而f(x)=x 2－2x+1，λ=0是特征根，所以特解如上所答．15.以y=cos2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：yˊˊ+4y=0）解析：解析：由特解y=cos2x+sin2x 知特征根为r 1，2 =±2i，特征方程是r 2+4=0，其对应方程即yˊˊ+4y=0．16.的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 +C 2 x+C 3 x 2+C 4 e －3x，其中C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数）解析：解析：特征方程，r 4+3r 3=0，即r 3(r+3)=0．故通解如上．三、 解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021考研数学三真题及答案解析(全)
(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数
______________.
【答案】 1 . 5
(0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) 0 1 0 1
4
3
(B) .
8
1
(C) .
2
5
(D) .
2
【答案】 A .
【解析】似然函数 L( ) (1 )3(1 )5 ， 24
取对数 ln L( ) 3ln(1 ) 5ln(1 ) ；
2
4
求导
d ln L( ) d
3 1
5 1
0 ，得
1 .故正确答案为 A. 4
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
0
f
' y
y x2
0
2x2 x 1 y2 0
即
y
0
得驻点 (1, 0) ， (1 , 0) 2
f '' xx
4x
1 x
3(2x2 x4
x
1
y2)
（2）
f '' xy
2 y x3
f '' yy
1 x2
（3）驻点 (1, 0) 处，A=3，B=0，C=1， AC B2 3 0 ， A 0
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)
考研数学三(常微分方程与差分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答
考研数学三（常微分方程与差分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．A．c[y1(x)一y2(x)]B．y1(x)+c[y1(x)-y2(x)]C．c[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+c[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：因y1(x)，y2(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解，y1(x)－y2(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解，所以由命题1．6．1．2(2)知，c[y1(x)+y2(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解．又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1．6．1．2(1))，故y1(x)+c[y1(x)－y2(x)]是该非齐次方程的通解．仅(B)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2－y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程2．[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．A．λ=1／2，μ1=1／2B．λ=一1／2，μ=一1／2C．λ=2／3，μ=1／3D．λ=2／3，μ=2／3正确答案：A解析：解一因λy1－μy2是y’+p(x)y=0的解，故(λy1－μy2)’+p(x)(λy1－μy2)=λ(y1’+p(x)y1)－μ(y2’+p(x)y2)=0．又y1’+p(x)y1=q(x)，y2’+p(x)y2=q(x)，故λq(x)－μq(x)=(λ－μ)q(x)=0．而q(x)≠0，故λ－μ=0，即λ=μ．又λy1+μy2为y’+p(x)y=q(x)的解，故(λy1+μy2)’+p(x)(λy1+μy2)=λ[y1’+p(x)y1]+μ[y2’+p(x)y2]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x)．因q(x)≠0，故λ+μ=1．由λ=μ得到λ=μ=1／2．仅(A)入选．解二y1与y2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，又已知λy1+μy2也是该方程的解，则由命题1．6．1．1(1)知，λ+μ=1．又由λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，由命题1．6．1．1(2)知，λ+(-μ)=λ－μ=0，即λ=μ．联立λ=μ，λ+μ=1解得λ=μ=1／2．仅(A)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2-y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程3．[2008年] 设函数f(x)连续，若其中区域Duv为图1．6．2．1中阴影部分，则A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：利用极坐标计算，其中积分区域Duv为Duv={(r，θ)|0≤θ≤v，1≤r≤u}，其中u，v均为F的两独立的变量．于是仅(A)入选．知识模块：常微分方程与差分方程填空题4．[2005年] 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为___________．正确答案：xy=2解析：解一所给方程为可分离变量方程．由xy’+y=0得到两边积分得到ln|y|=－ln|x|+lnc，即ln|xy|=lnc，故xy=c．又y(1)=2，故c=2．所求特解为xy=2．解二原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=c，由初始条件得c=2，所求特解xy=2．解三y’+(1／x)y=0．利用一阶齐次线性方程通解公式求解，得到由y(1)=2有c=2，y=2／x，即xy=2．知识模块：常微分方程与差分方程5．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的特解是y=___________．正确答案：1／x解析：所给方程属可分离变量的方程：两边积分有l|y|=－ln|x|+c1，即ln|y|+ln|x|=ln|yx|=c1，因而xy=±ec1=x．由y(1)=1＞0，可取x＞0，y＞0，由初始条件y(1)=1得到c=1，故满足初始条件的解为y=1／x．知识模块：常微分方程与差分方程6．[2007年]微分方程满足y｜x=1=1的特解为____________．正确答案：解析：设y=ux，则代入原方程得到从而即由y｜x=1=1得到c=－1／2．于是所求特解为(x／y)2=lnx+1．因y｜x=1=1＞0，故应取x＞0，y ＞0，所以即知识模块：常微分方程与差分方程7．[2013年] 微分方程y”－y’+y=0的通解为y=__________．正确答案：其中C1，C2为任意常数．解析：二阶齐次微分方程y”－y’+y=0所对应的特征方程为r2－r+=0即故其特征根为r1=r2=所以该齐次微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程8．[2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y”+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．正确答案：e－2x+2ex解析：易知所给方程的特征方程为r2+r－2=(r+2)(r－1)=0，故特征根为r1=－2，r2=1，故其通解为y=C1e－2x+C2 ex ①因y(x)在x=0处取得极值，故y’(0)=0，y(0)=3．将其代入通解①得到y’(x)｜x=0=[－2C1 e－2x+C2ex]｜x=0=－2C1+C2=0，y(0)=C1+C2=3．解之得C1=1，C2=2，故y=e－2x+2ex．知识模块：常微分方程与差分方程9．[2017年] 差分方程yt+1－2yt=2t的通解为___________．正确答案：yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．解析：yt+1－2yt=0的通解为Yt=C2t(C为任意常数)；设yt+1－2yt=2t 的特解为y*=at2t，代入得综上所述，yt+1－2yt=2t的通解为yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程10．[2001年] 某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2Wt－1+2解析：由题意得到Wt=Wt－1+0．2Wt－1+2，故差分方程是Wt=1．2Wt－1+2．知识模块：常微分方程与差分方程11．[2018年] 差方程△2yx-yx=5的通解为_________．正确答案：yx=C·2x－5解析：△2Yx=△(△yx)=△yx+1－△yx=(yx+2-yx+1)－(yx+1－yx)=y+2－2yx+1+yx，所以原方程可化为yx+2-2yx+1=5．易知，对应齐次方程yx+2-2yx+1=0的通解为yx=C·2x．设原方程的特解为yx*=A，代入原方程中得A=－5，所以原方程的通解为yx=C·2x－5．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(常微分方程与差分方程与行列式)模拟试卷1(题后含答
考研数学三（常微分方程与差分方程与行列式）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设y(x)是微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y－ex满足初始条件y(0)＝0，y’(0)＝1的解，则( )．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：A解析：微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y＝ex中，令x＝0，则y”(0)＝2，于是y”(0)＝1，选A．知识模块：常微分方程与差分方程2．设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B ｜B．若｜AB｜＝0，则A＝0或B＝0C．｜A－B｜＝｜A｜－｜B｜D．｜AB｜＝｜A｜｜B｜正确答案：D解析：A，C显然不对，设A＝()，B＝()，显然A，B都是非零矩阵，但AB ＝O，所以｜AB｜＝0，B不对，选D．知识模块：行列式填空题3．设y＝y(x)满足△y＝△x＋o(△x)，且有y(1)＝1，则y(x)dx＝_____________．正确答案：解析：由△y＝△x＋o(△x)得函数y＝y(x)可微且y’＝，积分得y(x)＝dx＝＋C，因为y(1)＝1，所以C＝0，于是y(x)＝，故y(x)dx＝d(x－1)＝dx＝2dx＝．知识模块：常微分方程与差分方程4．微分方程y’－xe－y＋＝0的通解为＝_____________．正确答案：ey＝(x3＋C)(C为任意常数)解析：由y’－xe-y＋＝0，得eyy’－x＋ey＝0，即ey＝x，令z＝ey，则z ＝x，解得z＝(dx＋C)＝(x3＋C)(C为任意常数)，所以原方程的通解为ey＝(x3＋C)(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程5．微分方程xy’＝＋y(x＞0)的通解为＝_____________．正确答案：lnx＋C解析：xy’＝＋y，令＝u＝u＋x，所以xarcsinu＝lnx＋Carcsin＝lnx＋C(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程6．以y＝C1ex＋ex(C2cosx＋C3sinx)为通解的三阶常系数齐次线性微分方程为＝_____________．正确答案：y’”－3y”＋4y’－2y＝0解析：特征值为λ1＝1，λ2，3＝1±i，特征方程为(λ－1)(λ－1＋i)(λ－1－i)＝0，即λ3－3λ2＋4λ－2＝0，所求方程为y’”－3y”＋4y’－2y＝0．知识模块：常微分方程与差分方程7．设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E－A｜＝｜E－2A｜＝｜E －3A｜＝0，则｜B－1＋2E｜＝_____________．正确答案：60解析：因为｜E－A｜＝｜E－2A｜＝｜E－3A｜＝0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B－1的特征值为1，2，3，则B －1＋2E的特征值为3，4，5，故｜B－1＋2E｜＝60．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷8.doc
![[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷8.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/5a958b765a8102d277a22f3d.png)
[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷8一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设f(x)连续，且满足f(x)=∫02x dt+ln2，则f(x)= ( )（A）e x ln2（B）e2x ln2（C）e x+ln2（D）e2x+ln22 设f(x)，fˊ(x)为已知的连续函数，则方程yˊ+fˊ(x)y=f(x)fˊ(x)的通解是 ( ) （A）y=f(x)+Ce－f(x)（B）y=f(x)+1+Ce－f(x)（C）y=f(x)－C+Ce－f(x)（D）y=f(x)－1+Ce－f(x)3 方程y(4)－2ˊˊˊ－3yˊˊ=e－3x－2e－x+x的特解形式(其中a，b，c，d为常数)是 ( ) （A）axe－3x+bxe－x+cx3（B）ae－3x+bxe－x+cx+d（C）ae－3x+bxe－x+cx3+dx2（D）axe－3x+be－x+cx3+dx4 已知y1=xe x+e2x和y2=xe x+e－x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）yˊˊ－2yˊ+y=e2x（B）yˊˊ－yˊ－2y=xe x（C）yˊˊ－yˊ－2y=e x－2xe x（D）yˊˊ－yˊ=e2x5 微分方程yˊˊ－y=e x+1的一个特解应具有形式(式中a，b为常数) ( )（A）ae x+b（B）axe x+b（C）ae x+bx（D）axe x+bx二、填空题6 微分方程(1－x2)y－xyˊ=0满足初值条件y(1)=1的特解是_________．7 微分方程yˊˊ=的通解为_________．8 微分方程yˊˊ－2yˊ=x2+e2x+1由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是_________．9 特征根为r1=0，r2,3=±i的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_________．10 满足fˊ(x)+xfˊ(－x)=x的函数f(x)=_________．11 已知∫01f(tx)dt=f(x)+1，则f(x)=_________．12 微分方程xdy－ydx=ydy的通解是_________．13 微分方程=0的通解是_________．14 以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021考研数学三真题试卷(Word版)
2021考研数学三真题试卷(Word版)2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分）1) 当x趋近于无穷大时，∫x2(et-1)dt是x7的（）A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小2) 函数f(x)={ex-1.x≠0.x。
x=0}，在x=0处（）A) 连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值 (C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零3) 设函数f(x)=ax-blngx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围（）A) (e。
+∞) (B) (0.e) (C) (0.1/e) (D) (-∞。
0)∪(1/e。
+∞)4) 设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e)=x(x+1)，f(x,x)=2xlnx，则df(1,1)为()A) dx+dy (B) dx-dy (C) dy (D) -dy5) 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()A) 2,0 (B) 1,1 (C) 2,1 (D) 1,26) 设A=(α1,α2,α3,α4)的4阶正交矩阵，若矩阵B=[α2;1 α3]，β=1，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=()A) α2+α3+α4+kα1 (B) α1+α3+α4+kα2 (C) α1+α2+α4+kα3 (D) α1+α2+α3+kα47) 已知矩阵A=[2 -1;1 1]，使得PAQ为对角矩阵，则下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，分别取()A) P=1，Q=[1 1;3 2] (B) P=2-1，Q=[1 1;3 2] (C) P=2-1，Q=[1 1;-3 1] (D) P=1，Q=[-3 1;1 1]8) 设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列为假命题的是()A) 若P(A|B)=P(A)，则P(A∩B)=P(A)P(B)B) 若A,B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)C) 若P(A|B)>P(A)，则P(B|A)>P(B)D) 若P(A|B)<P(A)，则P(B|A)<P(B)一、改错题B) 若 $P(A|B)>P(A)$，则 $P(A|B)>P(A)$。
2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)
2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在 D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均不存在2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜04．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（ ）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则*0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭＝（ ）。
A ．****0A B B A B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．****0B A A B A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．****0B A B A A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．****0A B A B B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（ ）。
2023年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析
2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（ ）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】 本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+． 只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】（A ） 【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷7.doc
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷7(总分：66.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.微分方程y"一4y=e 2x +x的特解形式为( )．（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e 一x，则该微分方程为( )．（分数：2.00）A.y""一y"一y"+y=0B.y""+y"一y"一y=0C.y""+2y"一y"一2y=0D.y""一2y"一y"+2y=04.设φ1 (x)，φ2 (x)为一阶非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）A.C[φ1 (x)+φ2 (x)]B.C[φ1 (x)一φ2 (x)]C.C[φ1 (x)一φ2 (x)]+φ2 (x)D.[φ1 (x)一φ2 (x)]+Cφ2 (x)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y"一6y"+9y=e 3x，则y(x)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________6.微分方程2y"=3y2满足初始条件y(一2)=1，y"(一2)=1的特解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________7.微分方程 2.00）填空项1:__________________8.设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y"+qy=Q(x)有特解y=3e 一4x +x 2 +3x+2，则Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________9.以y=C 1 e 一2x +C 2 e x +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________10.设y"一3y"+ay=一5e 一x的特解形式为Axe 一x，则其通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________11.设f(x)连续，且[f(x)+xf(xt)]clt=1，则f(x)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________12.差分方程y x+1 +2y x =5x 2的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________13.差分方程y x+1一y x =x 2 x的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________14.差分方程y t+1一y t一2t 2 +1的特解形式为y t* = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研微分方程试题及答案
考研微分方程试题及答案1. 已知微分方程 \( y'' - 4y = 0 \)，求通解。
答案：通解为 \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)，其中\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 为任意常数。
2. 解微分方程 \( y' + 2xy = 0 \)。
答案：首先分离变量，得到 \( \frac{dy}{dx} = -2xy \)，然后两边同时积分，得到 \( \ln|y| = -x^2 + C \)，即 \( y = Ce^{-x^2} \)。
3. 求解微分方程 \( y'' + 3y' + 2y = e^{-x} \)。
答案：首先求齐次方程的通解 \( y_h = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} \)，然后求特解。
设特解为 \( y_p = Axe^{-x} \)，代入原方程得到 \( A = 1 \)，所以特解为 \( y_p = e^{-x} \)。
因此，通解为\( y = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + e^{-x} \)。
4. 已知 \( y'' - 2y' + y = \sin(x) \)，求微分方程的特解。
答案：特解可设为 \( y_p = A\cos(x) + B\sin(x) \)，代入原方程得到 \( A = \frac{1}{2} \)，\( B = 0 \)，所以特解为\( y_p = \frac{1}{2}\cos(x) \)。
5. 求解微分方程 \( y'' - 6y' + 9y = 0 \)。
答案：这是一个特征方程 \( r^2 - 6r + 9 = 0 \) 的齐次方程，解得 \( r = 3 \)（重根），所以通解为 \( y = (C_1 + C_2x)e^{3x} \)。
6. 已知 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)，求其通解。
[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷13.doc
![[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷13.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/218c84f569dc5022aaea00be.png)
[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷13一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 微分方程y"一4y=e2x+x的特解形式为( )．（A）ae2x+bx+c（B）ax2e2x+bx+c（C）axe2x+bx2+cx（D）axe2x+bx+c2 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1一e x，y2=2xe x，y3=3e-x，则该微分方程为( )．（A）y"′一y"一y′+y=0（B）y"′+y"一y′一y=0（C）y"′+2y"一y′一2y=0（D）y"′一2y"一y′+2y=03 设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（A）C[φ1(x)+φ2(x)]（B）C[φ1(x)一φ2(x)]（C）C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)（D）[φ1(x)一φ2(x)]+Cφ2(x)二、填空题4 设y=y(x)满足△y=y△x+ο(△x)且y(0)=1，则y(x)=___________．5 设y1(x)，y2(x)为y′+P(x)y=Q(x)的特解，又py1(x)+2qy2(x)为y′+P(x)y=0的解，py1(x)一qy2(x)为y′+P(x)y=Q(x)的解，则p=__________，q=____________．6 设y=y(x)满足(1+x2)y′xy且y(0)=1，则y(x)=___________．7 设y=2e-x+e x sinx为y"+py"+qy′+ry=0的特解，则该方程为___________．8 设f(x)连续，且则f(x)=__________．9 微分方程y′+ytanx=cosx的通解为____________．10 设函数φ(u)可导且φ(0)=1，二元函数z=φ(x+y)e xy满足则φ(u)=__________．11 连续函数f(x)满足则f(x)=__________．12 设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且其中a 是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：常微分方程与差分方程2．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A 涉及知识点：常微分方程与差分方程3．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程与差分方程填空题4．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：常微分方程与差分方程5．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：常微分方程与差分方程6．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：常微分方程与差分方程7．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：常微分方程与差分方程8．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：常微分方程与差分方程9．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t 涉及知识点：常微分方程与差分方程10．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点：常微分方程与差分方程11．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知微分方程y”+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y”+by’+y=0的特征方程为r2+br+1=0，特征根为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程与差分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y”‘一y”一y’+y=0．B．y’”+y”一y’一y=0．C．y”‘一6y”+11y’一6y=0．D．y”‘一2y”一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r一1=0，对应的微分方程为y”‘+y”一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程与差分方程3．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是( )A．C[y1(x)一y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B解析：由于y1(x)一y2(x)是对应齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的非零解，所以它的通解是Y=C[y1(x)一y2(x)]，故原方程的通解为y=y1(x)+Y=y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]，故应选B．知识模块：常微分方程与差分方程4．设是微分方程的表达式为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：知识模块：常微分方程与差分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y|x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln|y|=一2ln |x|+lnC，x2y=c，已知y|x=2=1，代入得C=4，故所求特解为x2y=4．故选C．知识模块：常微分方程与差分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的通解．故选D．知识模块：常微分方程与差分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个备选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程与差分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程与差分方程9．在下列方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )A．y’”+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由通解y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x的形式可知，所求方程的特征方程为(r一1)．(r2+4)=0，即r3一r2+4r一4=0，则对应的方程为y”‘一y”+4y’一4y=0，故选D．知识模块：常微分方程与差分方程10．若y=xex+x是微分方程y”一2y’+ay=bx+c的解，则( )A．a=1，b=1，c=1．B．a=1，b=1，c=一2．C．a=一3，b=一3，c=0．D．a=一3，b=1，c=1．正确答案：B解析：由于y=xex+x是方程y”一2y’+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，则a=1；x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y”一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故选B．知识模块：常微分方程与差分方程11．方程y”一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为( )A．y=axex+b+Aexcos2x．B．y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)．C．y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)．D．y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)．正确答案：C解析：齐次方程y”一3y’+2y=0的特征方程为r2一3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，则方程y”一3y’+2y=ex+1+excos2x的待定特解为y=axex+b+exx(Acos2x+Bsin2x)，故选C．知识模块：常微分方程与差分方程填空题12．微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为_______．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2—2r+2=0．解得其特征根为r1,2=1±i 由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程与差分方程13．二阶常系数非齐次线性方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=______．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y”一4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=一2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程与差分方程14．微分方程的特解是_______．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程与差分方程15．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_______．正确答案：xy=2解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2 知识模块：常微分方程与差分方程16．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_______．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，其中C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=-xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程17．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_______．正确答案：y”一2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r—r1)(r—r2)=r2一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．由此，所求微分方程为y”-2y’+2y=0．知识模块：常微分方程与差分方程18．微分方程满足y|x=1=1的特解为________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程与差分方程19．微分方程的通解为y=________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程与差分方程20．微分方程的通解是________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得ln|y|=In|x|一x+C1．取，整理得y=Cxe-x(x≠0)．知识模块：常微分方程与差分方程21．方程y’=1+x+y2+xy2的通解为________．正确答案：解析：将已知方程变形并整理后得知识模块：常微分方程与差分方程22．已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0确定，则y”(0)=_______．正确答案：y”(0)=一2解析：由题干可知，方程两边对x进行两次求导得eyy’+6xy’+6y+2x=0，(1) eyy”+eyy’2+6xy”+12y’+2=0，(2) 将x=0代入原方程得y=0，将x=y=0代入(1)得y’=0．将x=y=y’=0代入(2)得y”(0) =一2．知识模块：常微分方程与差分方程23．微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1 =的特解为________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程与差分方程24．方程xy’+2y=sinx满足条件y|x=π=的特解为________．正确答案：解析：由题干中方程可知知识模块：常微分方程与差分方程25．微分方程y”一4y=e2x的通解为y=_______．正确答案：解析：对应齐次方程的特征方程为r2一4=0，解得r1=2，r2=一2．故y”一4y=0的通解为y1=C1e-2x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数．由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解为知识模块：常微分方程与差分方程26．微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为________．正确答案：y=e-xsinx解析：原方程的通解为y=e-∫1dx(∫e-xcosx.e∫1dx+C)=e-x(∫cosxdx+C)=e-x(sinx+C)．由y(0)=0，得C=0，故所求解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程与差分方程27．方程y”+2y’+5y=0的通解为_______．正确答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)解析：由题干可知，方程y”+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0．解得则原方程的通解为y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)．知识模块：常微分方程与差分方程28．若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=________正确答案：ex解析：齐次微分方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=一2，故其通解为f(x)=C1ex+C2e-2x．再由f”(x)+f(x)=2ex，解得2C1ex+5C2e-2x=2ex，比较函数可知C1=1，C2=0．故f(x)=ex．知识模块：常微分方程与差分方程29．微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解为_______．正确答案：解析：原方程等价为知识模块：常微分方程与差分方程30．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：两边积分，得ln|y|=一ln |x|+C．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微分方程数三考研真题
x = 1，x = t(t >1) 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为
V (t) =
p 3
éêët 2
f
(t) -
f
(1)ùúû ，试求
y=
f
(x) 所满足的微分方程，
并求该微分方程满
足条件 y
x=2
= 2 的解。 9
5 、（ 99,6 分 ） 设 有 微 分 方 程 y¢ - 2 y = j(x) ， 其 中 j(x) = ìïïíïïî02
条件： f ¢(x) = g(x), g¢(x) = f (x) 且 f (0) = 0, f (x) + g(x) = 2ex ，
（1）求 F (x) 所满足的一阶微分方程；（2）求出 F (x) 的表达式 8、（03，4, 9 分）设 y = f (x) 是第一象限内连接点 A(0,1), B(1, 0) 的一段连续曲线，
3 11、（07，4，10 分）设函数 f (x) 具有连续的一阶导数，且满足
f (x) x (x2 t2 ) f (t)dt x2 0
求 f (x) 的表达式
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三、计算
1、（95，6 分）已知连续函数 f (x) 满足条件 f (x) 3x f ( t )dt e2x ，求 f (x)
03
2、（96，6 分）求微分方程 dy = y x2 y2 的通解.
dx
x
3、（97，6 分）设函数 f (t) 在[0, +¥) 上连续，且满足方程
4 、（ 98, 7 分 ） 设 函 数 f (x) 在 [1, +¥) 上 连 续 ， 若 由 曲 线 y = f (x) ， 直 线
x <1 x>1 ，试求在
303数学三大纲
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303数学考研大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22％四、试卷题型结构单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题,每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange）中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注:在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿—莱布尼茨(Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常(广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念,会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）,了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件,掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系,了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解麦克劳林（Maclaurin)展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1。
考研数学三(常微分方程与差分方程与行列式)模拟试卷2(题后含答
考研数学三（常微分方程与差分方程与行列式）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二阶常系数非齐次线性微分方程y”－2y’－3y＝(2x＋1)e－x的特解形式为( )．A．(ax＋b)e－xB．x2e－xC．x2(ax＋b)e－xD．x(ax＋b)e－x正确答案：D解析：方程y”－2y’－3y＝(2x＋1)e－x的特征方程为λ2－2λ－3＝0，特征值为λ1＝－1，λ2＝3，故方程y”－2y’－3y＝(2x＋1)e－x的特解形式为x(ax＋b)e－x，选D．知识模块：常微分方程与差分方程2．设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”＋a1(x)y’＋a2(x)y ＝f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．A．C1[φ1(x)＋φ2(x)]＋C2φ3(x)B．C1[φ1(x)－φ2(x)]＋C2φ3(x)C．C1[φ1(x)＋φ2(x)]＋C2[φ1(x)－φ3(x)]D．C1φ1(x)＋C2φ2(x)＋C3φ3(x)，其中C1＋C2＋C3＝1正确答案：D解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”＋a1(x)y’＋a2(x)y＝f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)－φ3(x)，φ2(x)－φ3(x)为方程y”＋a1(x)y’＋a2(x)y ＝0的两个线性无关解，于是方程y”＋a1(x)y’＋a2(x)y＝f(x)的通解为C1[φ1(x)－φ3(x)]＋C2[φ2(x)－φ3(x)]＋φ3(x)，即C1φ1(x)＋C2φ2(x)＋C3φ3(x)，其中C3＝1－C1－C2或C1＋C2＋C3＝1，选D．知识模块：常微分方程与差分方程3．设a1，a2，a3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜＝｜a1，a2，a3，β1｜＝m，｜B｜＝｜a1，a2，β2，a3＝n，则｜a3，a2，a1，β1，β2｜为( )．A．m＋nB．m－nC．－(m＋n)D．n－m正确答案：D解析：｜a3，a2，a1，β1＋β2｜＝a3，a2，a1，β3｜＋｜a3，a2，a1，β2｜＝－｜a1，a2，a3，β1｜－｜a1，a2，a3，β2｜＝－｜a1，a2，a3，β1｜＋｜a1，a2，β2，a3｜＝n－m，选D．知识模块：行列式填空题4．设y(x)为微分方程y”－4y’＋4y＝0满足初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2的特解，则y(x)dx＝_____________．正确答案：(e2－1)解析：y”－4y’＋4y＝0的通解为y＝(C1＋C2x)e2x，由初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2得C1＝1，C2＝0，则y＝e2x，于是y(x)dx＝exdx＝ex｜20＝(e2－1)．知识模块：常微分方程与差分方程5．差分方程yt＋1－2yt＝3×2t的通解为y(t)＝_____________．正确答案：y(t)＝C×2t＋t×2t(C为任意常数)解析：yt＋1－2yt＝0的通解为y(t)＝C×2t，f(t)＝3×2t，因为2为特征值，所以设特解为y*t＝at×2t，代入原方程得a＝，故原方程的通解为y(t)＝C×2t ＋t×2t(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程6．设D＝，则A31＋A32＋A33＝_____________．正确答案：0解析：A31＋A32＋A33＝A31＋A32＋A33＋0A34＋0A35＝＝0．知识模块：行列式7．设A为三阶正交矩阵，且｜A｜＜0，｜B－A｜＝－4，则｜E－ABT｜＝_____________．正确答案：－4解析：｜A｜＜0｜A｜＝－1．｜E－AB－T｜＝｜AA－T－AB－T｜＝｜A｜｜(A－B)－T｜＝－｜A－B｜＝｜B－A｜＝－4．知识模块：行列式8．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝_____________．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3．B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3．C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3．D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x．B.C 1 +C 2 cos2x．C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√D.C 1 +C 2 cos 2 x．解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.当y＞0时的通解是y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得三、解答题(总题数：25，分数：50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可分离的方程．两边同时积分，可求得其通解为 ln｜y 2 -1｜=-ln｜x 2 -1｜+lnc，即(x 2 -1)(y 2 -1)=C，其中C为任意常数．)解析：7.求微分方程(x-4)y 4 dx-x 3 (y 2 -3)dy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离型方程，当xy≠0这就是原方程的通解．)解析：8.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原)解析：9.求微分方程ydx+(xy+x-e y )dy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：将y看成自变量，z看成是y的函数，则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性微分方程，化为标准形式得此方程的通解为其中C为任意常数．)解析：10.设f(t)连续并满足，求f(t)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因f(t)连续，故f(s)sinsds可导，从而f(t)可导．于是，将题设等式两边求导可得这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边同乘μ=e -∫sintdt =e cost可得 [e costf(t)]"=-4sintcoste cost．积分得e cost f(t)=4∫costd(e cost)=4(cost-1)e cost+C．由f(0)=1I得C=e．因此所求函数f(t)=e 1-cost +4(cost-1)．)解析：11.设f(x)连续且f(x)≠0，并满足f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令，上式两边求导得f"(x)=f(x)，解得f(x)=Ce x．由题设令x=0可得f(0)=2a，所以C=2a，从而f(x)=2ae x．再代入)解析：12.求下列微分方程的通解：(Ⅰ)y""-3y"=2-6x；(Ⅱ)y""+y=2cosx；(Ⅲ)y""+4y"+5y=40cos3x．（分数：2.00）正确答案：(正确答案：(Ⅰ)先求对应齐次微分方程的通解，因其特征方程为λ 2-3λ=λ(λ-3)=0，故通解为 y(x)=C 1 +C 2 e 3x． 再求非齐次微分方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形式y *(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 [y *(x)]""-3[y *(x)]"=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x ． 比较方程两端的系数，得解得A=1，B=0，即特解为y *(x)=x2．从而，原方程的通解为 y(x)=x 2+C 1 +C 2 e 3x，其中C 1 ，C 2 为任意常数． (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ 2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C 1 cosx+C 2 sinx ；从而y""+y=2cosx 的特解应具形式：y *(x)=Axcosx+Bxsinx ．代人原方程，可求得A=0，B=1，即y *(x)=xsinx ．故原方程的通解为 y(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+xsinx ，其中C 1 ，C 2 为任意常数． (Ⅲ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ 2+4λ+5=0，特征根为-2±i，所以其通解应为e -2x(C 1 cosx+C 2 sinx)．又因3i 不是特征根，所以方程y""+4y"+5y=40cos3x 的特解应具有形式y *(*)=Acos3x+Bsin3x ．代入原方程可得A=-1，B=3．这样就得到原方程的通解为 y(x)=e -2x(C 1 cosx+C 2 sinx)+3sin3x-cos3x ，其中C 1 ，C 2 为任意常数．) 解析：13.求微分方程y""+2y"-3y=e x+x 的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：相应的齐次方程为y""+2y"-3y=0，特征方程为λ 2+2λ-3=0，特征根为λ 1 =1，λ 2 =-3，齐次方程的通解为C 1 e x+C 2 e -3x． 为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y""+2y"-3y=e x和y""+2y"-3y=x ． 对于第一个方程，α=1是特征根，故设特解y* 1 (x)=Axex，将 y* 1 (x)=Ae x (x+1)， y""* 1 (x)=Ae x(x+2) 代入原方程，比较系数可得A=对于第二个方程，非齐次项f(x)=x ，0不是特征根，故设特解y* 2 (x)=Bx+C ，将 y"* 2 (x)=B ， y""* 2 =0 代入原方程，比较系数可得B= 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为，其中C 1 ，C 2 为任意常数．) 解析：14.设某商品的需求量D 和供给量S 各自对价格P 的函数为D(P)= ，S(P)=bP ，且P 是时间t 的函数，并满足方程=k[D(P)-S(P)]，其中a ，b ，k 为正的常数．求：(Ⅰ)需求量与供给量相等时的均衡价格P e ； (Ⅱ)当t=0，P=1时的价格函数P(t)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)令D(P)=S(P)，即(Ⅱ)把D(P)和S(P)的表达式代入方程，得令t=0，P=1，可确定常数 C=a-b ， 将其代回并解出P ，于是 (Ⅲ)，这表明当t→+∞时P(t)将趋向于均衡价格P e ．)解析：解析：在方程中代入D(P)和S(P)即得求t=0，P=1时的价格函数P(t)就是求这个方程满足初始条件P ｜ t=0 =1的特解．15.设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤e x-1； (Ⅱ)平行于y 轴的动直线MN 与曲线y=f(x)和y=e x-1分别交于点P 2 和P 1 ； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN 及x 轴围成的平面图形的面积S 恒等于线段P 1 P 2 之长． 求函数f(x)的表达式． （分数：2.00）正确答案：(正确答案：如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知于是，函数f(x)满足方程=e x -1-f(x)．由f(x)及e x连续知变上限定积分可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导，得 f(x)=e x -f"(x)，又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y"+y=e x满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得)解析：16.求y t =te t +2t 2 -1的一阶差分．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：根据差分的性质有△y t=△(te t)+2△(t 2)-△(1)=tA(e t)+e t+1△(t)+2(2t+1) =e t [t(e-1)+e]+4t+2．也可以直接计算差y t+1 -y t．)解析：17.求差分方程y t+1 +7y t =16满足y 0 =5的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于f(t)=16，a=7，利用表中给出的特解形式，应设y* t=B．代入方程可得B=2，于是，方程的通解为y t =2+C(-7) t．再由初始条件y 0 =5，即得 2+C=5，C=3，因此满足条件y 0 =5的特解为y t =2+3.(-7) t．)解析：18.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)属变量可分离的方程，它可以改写为=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]dx 两端求积分，由于∫sin(lnx)x=xsin(lnx)-∫xcos(lnx) =xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx，所以lny=xsin(lnx)+ax+lnC，即其通解为y=Ce xsin(lnx)+ax，其中C是任意常数．(Ⅱ)属齐次微分方程．令y=xu，当x＞0时，原方程可化为两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin =lnx+C．当x＜0时，上面的方程变为=-ln｜x｜+C．所得的通解公式也可以统一为y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解u=±1，即y=±x．(Ⅲ)属齐次微分方程，它可改写为(Ⅳ)由初始条件y(1)=0知可在x＞0上求解，即解方程．分离变量并求积分，可得为其通解．再利用初始条件可确定C=1，于是所求特解为 12y+y 3 =3x(lnx-1)+3．)解析：19.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方程变形为，令y 2 =z，得再令z=ux，有．代入方程①得)解析：20.求下列微分方程的通解：(Ⅲ)ydx-2(x+y 4 )dy=0；(Ⅳ)y"+xsin2y=x 3 cos 2 y．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(Ⅰ)这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程，利用求解公式，可得其通解为(Ⅱ)本题虽然是一阶线性微分方程，但不是用标准形式给出的．为采用积分因子法求解，可先把它化为标准形式，以便得到系数p(x)．求解过程如下：首先把方程化为标准形式，用x 2同乘标准形式方程的两端，得(x 2y)"=xsinx，积分可得通解(Ⅲ)若将方程改写为，则此方程不是线性方程．但是，若将方程改写为则此方程为以y为自变量，x为未知函数的一阶线性方程．利用求解公式可得即方程的通解为x=y 4 +Cy 2，其中C为任意常数．(Ⅳ)将题设方程变形为线性微分方程的标准形式，可得这是以z为未知函数的一阶线性微分方程，利用求解公式可得)解析：21.给出满足下列条件的微分方程： (I)方程有通解y=(C 1 +C 2 x+x -1 )e -x；(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)通解变形为e x y=C 1 +C 2 x+x -1，求导得 e x (y"+y)=C 2 -x -2，再求导得方程e x(y""+2y"+y)= (Ⅱ)由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为y=C 1cos2x+C 2sin2x- 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根±2i，且xsin2x为其特解．进而知原方程为y""+4y=f(x)．为确定f(x)，将代入得因此，所求方程为y""+4y=-cos2x．)解析：解析：由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征．从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程．在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程．22.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：(Ⅰ)2y""+y"-y=0；(Ⅱ)y""+8y"+16y=0；(Ⅲ)y""-2y"+3y=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)特征方程为2λ2 +λ-1=0，特征根为λ1 =-1，λ2 = ，所以方程的通解为其中C 1与C 2是两个任意常数．(Ⅱ)特征方程为λ2+8λ+16=0，特征根为λ1=λ2=-4，所以方程的通解为y=(C 1+C 2x)e -4x，其中C 1与C 2是两个任意常数．(Ⅲ)特征方程为λ2-2λ+3=0，特征根为，所以方程的通解为其中C 1与C 2是两个任意常数．)解析：23.求y""-7y"+12y=x满足初始条件.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对应齐次微分方程的特征方程为λ 2-7λ+12=0，它有两个互异的实根λ 1 =3与λ 2 =4，所以其通解为 y(x)=C 1 e 3x+C 2 e 4x，其中C 1 与C 2 是两个任意常数． 由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B ．代人方程可得)解析：24.求y""+a 2y=8cosbx 的通解，其中a ＞0，b ＞0为常数. （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为y(x)=C 1 cosx+C 2 sinax ．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b 时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx ，将其代入原方程可得所以通解为y(x)=+C 1 cosax+C 2 sinax ，其中C 1 与C 2 是两个任意常数． ②当a=b 时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax ，代入原方程可得 所以原方程的通解为+C 1 cosax+C 2 sinax ，其中C 1 与C 2 是两个任意常数．) 解析：25.求y""+4y"+4y=e ax的通解，其中a 为常数. （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程是λ 2+4λ+4=0，它有相等二实根λ 1 =λ 2 =-2，所以其对应齐次微分方程的通解为y(x)=(C 1 +C 2 x)e -2x．非齐次微分方程的特解的形式与口是不是特征根有关． 若a≠-2，则应设特解为y *(x)=Ae ax，其中A 是待定系数．代入方程可得 所以，当a≠-2时通解为y(x)=(C1 +C2 x)e -2x+，其中C 1 与C 2 是两个任意常数． 若a=-2，由于它是重特征根，则应设特解为y*=Ax 2e -2x ，其中A 是待定系数．代入方程可得 A[(2-8x+4x 2)+4(2x-2x 2)+4x 2]e -2x=e -2x，即 2Ae -2x=e -2x． 于是可得出)解析：26.求y""+y=x 3-x+2的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方程的自由项是三次多项式f(x)=x 3-x+2，方程的特征根满足λ 2+1=0，从而是共轭复根λ 1 =i 和λ 2 =-i ．所以，对应齐次微分方程的通解是y(x)=C 1 cosx+C 2 sinx ，而非齐次微分方程的特解可取为y *(x)=Ax 3+Bx 2+Cx+D ，代入方程可得待定常数A ，B ，C ，D 应满足 Ax 3+Bx 2+(6A+C)x+2B+D=x 3-x+2， 由此可确定A=1，B=0，C=-7，D=2．所以原方程的通解为 y(x)=C 1 cosx+C 2sinx+x 3-7x+2，其中C 1 与C 2 是两个任意常数．)解析：27.求微分方程y""+4y"+5y=8cosx 的当x→-∞时为有界函数的特解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：题设方程对应的特征方程为 r 2+4r+5=0， 特征根为r=-2±i， 从而对应齐次方程y""+4y"+5y=0的通解为 y(x)=e -2x(C 1 cosx+C 2 sinx)． 由非齐次项8cosx 知±i 不是特征根，故可设原方程的一个特解为y *=Acosx+Bsinx ．将y *代入原方程．比较系数得A=B=1，因此y *=cosx+sinx ．于是，原方程的通解为 y=e -2x(C 1 cosx+C 2 sinx)+cosx+sinx ． 当x→-∞时，e -2x→+∞，所以要使y 有界，只有C 1 =C 2 =0．故所求的特解为y=cosx+sinx ．) 解析：28.设f(x)连续，求满足条件的f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x-t，则，故原方程整理后为两边对x求导，得e -x f"(x)-e -x f(x)=e -x cosx-e -x sinx+e -x f(x)．化简得一阶线性微分方程 f"(x)-2f(x)=cosc-sinx． (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为f(x)=Ce 2x+e 2x∫e -2x(cosx-sinx)dx．分部积分两次可得∫e-2x (cosx-sinx)dx= (3sinx-cosx)+C1，其中C 1是任意常数．故原微分方程的通解为) 解析：29.设当x≥0时f(x)f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：在原方程中，令x=0，得f(0)=-1．将原方程化为上式两边对x) 解析：。