高中数学人教a版高二选修2-2学业测评：1.4_生活中的优化问题举例含解析

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高二数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例

+x)
=51
840 ��
+120x2-312.
因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤120.
故
y
与
x
之间的函数关系式为
y=51
840 ��
+120x2
-312(0<x≤120).
(2)y=51
840 ��
+120x2
-312(0<x≤120),
则 y'=-51��8240+240x=2��4��20(x3-216).
案例探究
思悟升华
导数在解决实际问题中的应用
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式. (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).
Lmax=L
6
+
2 3
��
=4
3-
1 3
��
3
,
Q(a)=
9(6-��),3
≤
��
<
9 2
,
4
3-
1 3
��
3
,
9 2
≤
��
≤
5.
综上,若 3≤a<92,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,
最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若92≤a≤5,则当每件售价为

高中数学(人教A版选修2-2)课件1.4生活中的优化问题举例

(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．分析根据全程运输成本＝每小时运输成本×运输总时间建立函数关系式，然后利用导数方法求最值．
解 (1)设全程运输成本为f(x)元，则 1 4 1 3 400 f(x)＝(19200x －160x ＋15x)·x 1 3 5 2 ＝48x －2x ＋6000(0<x≤100)．当x＝60千米/时， 1 5 3 f(60)＝48×60 －2×602＋6000＝1500(元)．答：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶时，全程运输成本为1500元．
题型三成本最低利润最大问题例3 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运 1 输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t＝ 19200 x4－ 1 3 x ＋15x. 160 (1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本面的宽为x，高为y.则当xy2取极大值时，横梁的强度最大．又y2＝d2－x2.
∴f(x)＝xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)． f′(x)＝d2－3x2. d 6 令f′(x)＝0，解得x＝，y＝ 3 d. 3 根据实际，当x趋近于0或d时，强度很小，因此f
题型二
用料最省问题
例2 要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h 之比为何值时造价最省？分析把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造价表示为r的函数．
V 解由V＝πr h，得h＝πr2，

d 为 3
3 6 强度的极大值，同时也是最大值．所以当宽为 3 d，高为 3 d时，横梁的强度最大．

高中数学人教A版选修2-2优化练习：第一章 1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C2．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25D ．50解析：如图，CDEF 为半圆O 的内接矩形，C 、D 为圆上的动点，连接OC ，设∠COF ＝α，则 CF ＝5sin α，OF ＝5cos α， ∴S 矩形CDEF ＝2×5cos α·5sin α ＝25sin 2α(0<α<π2)．∴S 矩形CDEF 的最大值为25. 答案：C3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( )A ．2,6B ．4,4C ．3,5D ．1,7解析：设第一次购买了x 件礼物，则第二次购买了8－x 件，则付款额f (x )＝x 3＋(8－x )3， f ′(x )＝3x 2－3(8－x )2＝3(16x －64)，令f ′(x )＝0，得x ＝4， ∴当x ＝4时，付款额最省．答案：B4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，(0≤x ≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．答案：D5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( )A ．0.032B ．0.024C ．0.04D ．0.036解析：设存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0，0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：A6．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．解析：由题意设每小时的燃料费y 与航速v 间满足y ＝a v 3(0≤v ≤30)，又∵25＝a ·103，∴a ＝140.设从甲地到乙地海轮的航速为v ，总费用为f (v )，则f (v )＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v ，由f ′(v )＝40v －320 000v 2＝0，得v ＝20<30.答案：20海里/时7．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．解析：设长，宽分别为a ，b ，则ab ＝512，且l ＝a ＋2b ，∴l ＝2b ＋512b ，∴l ′＝2－512b2，令l ′＝0得b 2＝256，∴b ＝16，a ＝32.即当长、宽分别为32 m 、16 m 时最省材料．答案：32 m,16 m8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x >0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5，或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：59.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积， S ＝2πRh ＋2πR 2由V ＝πR 2h ，得h ＝VπR 2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2VR ＋2πR 2，令S ′(R )＝－2VR 2＋4πR ＝0，解得，R ＝3V2π，从而h ＝VπR2＝V π( 3V 2π)2＝34V π＝2·3V 2π.即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值．所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．10．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)．V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12 (x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数；因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)．故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.[B组能力提升]1．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.3d，33d B.33d，63dC.63d，33d D.63d，3d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0<x<d)，求导数，得f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝33d，或x＝－33d(舍去)．当0<x<33d时，f′(x)>0；当33d<x<d时，f′(x)<0，因此，当x ＝33d 时，f (x )取得极大值，也是最大值．综上，当矩形横断面的高为63d ，宽为33d 时，横梁的强度最大．答案：C2．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为( )A ．2，233B.83，433C.83，2 D ．4，83解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x ，y )，其中0<x <2，y >0，则另一个在抛物线上的顶点为(－x ，y )，在x 轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．设矩形的面积为S ，则S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)，则S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，得x ＝233或x ＝－233(舍去)．当0<x <233时S ′>0；当233<x <2时，S ′<0.因此，当x ＝233时，S 取得极大值，也就是最大值，此时，2x ＝433，4－x 2＝83.所以矩形的长和宽分别为83和433时，矩形的面积最大．答案：B3．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________．解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x ，总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)， y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0，当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以当x ＝25时，y 取得最大值．答案：25件4．若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为________．解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ.∴S 侧＝2πR ·l ＝2πr cos θ×2r sin θ＝4πr 2sin θcos θ. ∴由S ′侧＝4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得θ＝π4.∴当θ＝π4，即R ＝22r 时，S 侧最大，且S 侧最大值为2πr 2.答案：2πr 25．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)解析：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0<t ≤3)．故当t ＝2(百万元)时，f (t )取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)(0≤x ≤3)，又设由此而获得的收益是g (x )，则有g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)．∴g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 又当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．6．设某物体一天中的温度T (℃)是时间t (h)的函数：T (t )＝at 3＋bt 2＋ct ＋d (a ≠0)．t ＝0表示12点，t >0表示12点以后，t <0表示12点以前．若测得该物体在8点的温度为8 ℃，12点的温度为60 ℃，13点的温度为58 ℃，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率．(1)写出该物体的温度T 与时间t 之间的函数表达式；(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？解析：(1)根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧T (－4)＝8，T (0)＝60，T (1)＝58，即⎩⎪⎨⎪⎧－64a ＋16b －4c ＋d ＝8，d ＝60，a ＋b ＋c ＋d ＝58.又∵该物体的温度在8点和16点有相同的变化率，且T ′＝3at 2＋2bt ＋c ， ∴T ′(－4)＝T ′(4)，即 48a －8b ＋c ＝48a ＋8b ＋c . ∴b ＝0.将b ＝0代入上述方程组中，并进行化简得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝60，a ＋c ＝－2，16a ＋c ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3，d ＝60.∴该物体的温度T 与时间t 之间的函数表达式为T ＝t 3－3t ＋60. (2)由(1)，T ′(t )＝3t 2－3＝3(t －1)(t ＋1)(－2≤t ≤2)，令T ′(t )＝0，得t ＝±1.当t 变化时，T ′(t )和T (t )的变化情况如下表：极小值为T (1)＝58.又函数在区间[－2,2]的端点函数值为T (－2)＝58，T (2)＝62，比较以上数值可以得出，当t ＝2或－1时，T (t )取最大值，即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为62 ℃.。

高中数学选修2-2新人教A版1-4生活中的优化问题举例练习(解析版)

V′＝ π(400－3x2)，令x< 时，V′>0；当 <x<20时，V′<0.所以当x＝时，V取得最大值．
5．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )
A. B. r
C. rD．r
【答案】D
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
【解析】(1)依题意得y＝ (960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(0＜x≤35)．
(2)由(1)知，y′＝－＋300，令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．
又当0＜x≤35时，y′＜0，
所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
总利润y＝500 － x3－1200(x>0)，
y′＝－ x2，由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，
x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
二、填空题
7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．
1.4生活中的优化问题举例
一、选择题
1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．RB．2R
C. RD. R
【答案】C

高二数学人教A版选修2-2学业分层测评第1章 1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析(1)

天天练数列的概念及等差数列一、选择题．(·泉州二模)设数列{}满足＋＝(∈*)且＝，则＝( )．．．．．已知数列{}的通项公式是＝－，则数列{}的前项和取得最小值时，的值为( )．．．．．数列{}满足＋＋＝(∈*)，＝，是数列{}的前项和，则＝( ) ．．(·安徽皖江名校联考，)已知数列{}的首项为，且数列{}满足＋＝，数列{}的前项和为，则为( )．．．－．－．已知函数＝()，∈，数列{}的通项公式是＝()，∈*，那么“函数＝()在[，＋∞)上单调递增”是“数列{}是递增数列”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件．已知数列是等差数列，若＋＝，＝，则的公差是( )．．．．．等差数列＋＋＋，…的第四项等于( )．．. ．．已知数列{}为等差数列且＋＋＝π，则(＋)的值为( )．±．－．－二、填空题．(·福建厦门海沧实验中学等联考，)若数列{}满足···…·＝＋＋，则数列{}的通项公式为．．若、、、、成等差数列，则－＝.．(·江门一模)数列－，－，－，…的一个通项公式为．三、解答题．已知数列{}满足(＋－)(－)＝(－＋)，＝，令＝.()证明：数列{}是等差数列；()求数列{}的通项公式．天天练数列的概念及等差数列．由＋＝，得＋－＝.通解＝＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝＋×＝.优解数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(－)×＝.．根据题意，得(\\(≤，＋≥，))即(\\(－≤，(＋(－≥.))解得≤≤.∵∈*，∴＝，∴数列{}的前项和的最小值为，故选.．∵＋＋＝，＝，∴＝(\\(－()，为奇数，，为偶数.))∴＝×＋×＝.故选.．∵＝，＋＝，∴＝，＝－，＝－，＝，……，∴数列{}的周期为，且＋＋＋＝－，∵÷＝，∴＝×＝－，故选.．由题意，函数＝()，∈，数列{}的通项公式是＝()，∈*.若“函数＝()在[，＋∞)上单调递增”，则“数列{}是递增数列”一定成立；若“数列{}是递增数列”，则“函数＝()在[，＋∞)上单调递增”不一定成立，例如函数在[]上先减后增，且在处的函数值小．综上，“函数＝()在[，＋∞)上单调递增”是“数列{}是递增数列”的充分不必要条件，故选.．设等差数列的公差为，∵＋＝，＝，∴(\\(＋＝，＋＝，))解得＝－，＝，故选.．(＋)＋(＋)＝(＋)，解得＝，所以这个数列为，…，选.．由等差数列的性质，得＋＋＝＝π，∴＝π，∴(＋)＝()＝＝＝－.故选.．＝(\\(，＝,(＋)，≥，∈*))解析：···…·＝(＋)(＋)，当＝时，＝；当≥时，(\\(···…·－·＝(＋((＋(，···…·－＝(＋(，))。

高二数学人教A版选修2-2学业分层测评第1章 1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析

学业分层测评(八)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．某工厂要围建一个面积为平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )．．．．【解析】要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为米，则长为米，因此新墙总长＝＋(>)，则′＝－.令′＝，得＝或＝－(舍去)．此时长为＝(米)，可使最短．【答案】．将分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )．和．和．以上都不对．和【解析】设一个数为，则另一个数为－，则其立方和＝＋(－)＝－＋(≤≤)，′＝－.令′＝，即－＝，解得＝.当≤<时，′<；当<≤时，′>.所以当＝时，最小．【答案】．内接于半径为的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )【导学号：】和和和．以上都不对【解析】设矩形的宽为，则长为，则＝＋(<<)，′＝－，令′＝，解得＝，＝－(舍去)．当<<时，′>；当<<时，′<，所以当＝时，取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为，.【答案】．某公司生产某种产品，固定成本为元，每生产一单位产品，成本增加元，已知总营业收入与年产量的关系是()＝(\\(－()，≤≤，，>，))则总利润最大时，每年生产的产品是( )．．．．【解析】由题意，得总成本函数为()＝＋，总利润()＝()－()＝(\\(－()－，≤≤，－，>.))所以′()＝(\\(－，≤≤，,－，>.))令′()＝，得＝，易知＝时，总利润()最大．【答案】．用长为，宽为的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转°角，再焊接而成(如图--)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )图--．．．．【解析】设容器的高为，容器的体积为()，则()＝(－)(－)＝－＋(<<)，因为′()＝－＋，由－＋＝，得＝或＝(舍)，因为当<<时，′()>，当<<时，′()<，所以当＝时，()在区间()内有唯一极大值，所以容器高＝时，容器体积()最大．【答案】二、填空题。

高中数学人教新课标A版选修2-2 1.4生活中的优化问题举例

高中数学人教新课标A版选修2-2 1.4生活中的优化问题举例一、单选题（共14题；共28分）1.曲线在处的切线斜率为( )A. B. - C. - D.2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0,当x>0时，有成立，则不等式x2f(x)>0的解集是（）A. B.C. D.3.设为可导函数，，则在点处的切线斜率为（）A. 2B. -1C. 1D. -24.已知，则曲线在点处的切线方程为：（）A. B. C. D.5.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )A. －1<a<2B. －3<a<6C. a<－3或a>6D. a<－1或a>26.函数的极值点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 37.已知函数在处可导，若，则（）A. B. C. D.8.若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A. a=1，b=2B. a=﹣1，b=2C. a=1，b=﹣2D. a=﹣1，b=﹣29.设P为曲线上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P 的横坐标的取值范围为( )A. B. C. D.10.下列说法中，错误的个数是（）①一条直线与一个点就能确定一个平面②若直线，平面，则③若函数y=f(x)定义域内存在x=x0满足，则x=x0必定是y=f(x)的极值点④函数的极大值就是最大值A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A. [﹣1，1]B. [1，+∞）C. [2，+∞）D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）12.函数单调递增区间是（）A. （0，+∞）B. （﹣∞，1）C.D. （1，+∞）13.曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率为（）A. eB. 2eC. 1D. 214.设函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，恒有，则（）A. K的最大值为B. K的最小值为C. K的最大值为2D. K的最小值为2二、多选题（共2题；共6分）15.下列关于函数的叙述正确的为( )A. 函数有三个零点B. 点(1，0)是函数图象的对称中心C. 函数的极大值点为D. 存在实数a，使得函数为增函数16.对于函数，下列说法正确的是（）A. 在处取得极大值B. 有两个不同的零点C. D. 若在上恒成立，则三、填空题（共4题；共5分）17.已知函数的图象在和处的切线互相垂直，则________.18.若直线y= x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是________19.函数的最小值是________.20.若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为________四、解答题（共6题；共55分）21.已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断方程实根个数.（3）若时，不等式恒成立，求实数m 的取值范围.22.设函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）．（Ⅰ）若a=2017，求曲线f（x）在x=2处的切线方程；（Ⅱ）若当x≥2时，f（x）≥0，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x．24.已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．25.已知函数f（x）=x2+alnx（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间和极值（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．26.已知函数在上是增函数．（1）求实数的值；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．答案一、单选题1.C2. B3. B4. D5. C6. B7. B8. B9. D 10. D 11.B 12.C 13.D 14. B二、多选题15. A,B,C 16. A,C,D三、填空题17. 18.0 19. 20.四、解答题21. （1）【解答】当时，，，切点坐标为(1,0) ，所以切线方程为（2）【解答】时，令，，在上为增函数又所以在内有且仅有一个零点所以在内有且仅有一个实数根（或说明也可以）（3）【解答】恒成立，即恒成立，又，则当时，恒成立，令，只需小于的最小值，，因为，，所以，所以当时所以G(X) 在上单调递减，所以G(X) 在的最小值为则m 的取值范围是22.解：（Ⅰ）a=2017时，f（x）=xln（x﹣1）﹣2017（x﹣2），则f′（x）=ln（x﹣1）+ ﹣2017，故f′（2）=﹣2015，又f（2）=0，故切线方程是：y﹣0=﹣2015（x﹣2），即2015x+y﹣4030=0；（Ⅱ）由f（x）≥0得xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）≥0，而x≥2，故ln（x﹣1）﹣≥0，设函数g（x）=ln（x﹣1）﹣，（x≥2），于是问题转化为g（x）≥0对任意的x≥2恒成立，注意到g（2）=0，故若g′（x）≥0，则g（x）递增，从而g（x）≥g（2）=0，而g′（x）= ，∴g′（x）≥0等价于x2﹣2a（x﹣1）≥0，分离参数得a≤= [（x﹣1）+ +2]，由均值不等式得 [（x﹣1）+ +2]≥2，当且仅当x=2时取“=”成立，于是a≤2，当a＞2时，设h（x）=x2﹣2a（x﹣1），∵h（2）=4﹣2a=2（2﹣a）＞0，又抛物线h（x）=x2﹣2a（x﹣1）开口向上，故h（x）=x2﹣2a（x﹣1）有2个零点，设两个零点为x1，x2，则x1＜2＜x2，于是x∈（2，x2）时，h（x）＜0，故g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）＜g（2）=0，与题设矛盾，不合题意，综上，a的范围是（﹣∞，2]．23. （1）解：因为f（x）=e x﹣ax，所以f（0）=1，即A（0，1），由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，得a=2．所以f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．令f′（x）=0，得x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=ln2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值．（2）解：令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x．由（1）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x．24.解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（Ⅱ）解法一：当a=4时，所以在点P处的切线方程为若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）=0，…（7分）要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，∴，即．②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．∴．所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．下面加以证明：当时，①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为25. （1）解：a=﹣1时：f（x）=x2﹣lnx，（x＞0），∴f′（x）=2x﹣= ，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值是f（）= （1+ln2）（2）解：∵f′（x）=2x+ ，若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，则：f′（1）=2+a≥0，∴a≥﹣226. （1）解：当时，是增函数，且，故当时，为增函数，即恒成立，当时，函数的导数恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，则，即．（2）若，则在上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故，当时，有一个零点，当时，，故0也是故的一个零点，故当时，有且只有一个零点，即有且只有一个解，即，得，，则，在时有且只有一个根，即与函数，在时有且只有一个交点，，由得，即得，得，此时函数递增，由得，即得，得，此时函数递减，即当时，函数取得极小值，此时极小值为，，作出的图象如图，要使与函数，在时有且只有一个交点，则或，即实数的取值范围是．。

人教A版高中数学选修2-2-1·4-数学：1.4《生活中的优化问题举例》课件(新人教A版-选修2-2

512
S'(x) 2 x2
精品课件
2dm
S (x)2x51 x 28 ， S'(x)25 x 1 2 2 令 S ' ( x ) 0 可解得 x 1 （ 6 x - 1 6 舍去）
列表讨论如下：
x S '(x) S (x)
(0，16)
-
减函数↘
16
0
极小值
(16，+∞)
+
增函数↗
现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
1dm
宽 1 2 8 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S(x)(x4)(1282)128 x
2x5128 (x0) x
耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式
可以表示为：
y
1
x33x8 (0x1 2 0 ).
1 2 8 0 0 0 8 0
若已知甲、乙两地相距100千米。
(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
最少？最少为多少升？
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地的耗油量为h(x) L，则
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
精品课件
例2、海报版面尺寸的设计：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，

高中数学人教A版选修(2-2)1.4 教学课件《生活中的优化问题举例》(人教A版)

2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响【问题引领】（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
人民教育出版社高二年级 | 选修2-2
【背景知识】
某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8 r2 分，其中 r 是瓶子
人民教育出版社高二年级 | 选修2-2
【变式练习】
在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
x 60 x
x
x
60
【规范解答】
人民教育出版社高二年级 | 选修2-2
人民教育出版社高二年级 | 选修2-2
人民教育出版社高二年级 | 选修2-2
第1.1单元 · 变化率与导数
生活中的优化问题举例
人民教育出版社高二年级 | 选修2-2
复习引入
问题一：导数在研究函数中有哪些应用？问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？
磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
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【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值. 【规范解答】

2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.4生活中的优化问题举例 Word版含解析

姓名，年级：时间：1．4 生活中的优化问题举例填一填1。

优化问题生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小,利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题,这些问题统称为优化问题．2．利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大（小)值，那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小）值．3．经济生活中优化问题的解决：经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．4．关于利润问题常用的两个等量关系:①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数。

判一判1.磁盘的最大存储量问题是优化问题．（√）2．求某长方体容器的容积问题是优化问题．（×）3．汽油的使用效率的提高问题是优化问题．(×)4．计算圆柱形容器的容积与求圆柱体积的方法是相同的．（√）5．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响问题不是优化问题．(×)6．关于利润问题中常用收入减去成本求利润．（√）想一想1.（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；（2)求函数的导数f′（x),解方程f′（x)＝0;（3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小）者为最大（小）值;(4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．2．解决优化问题时应注意哪些问题？（1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．（2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f（x)在给定区间内只有一个极值点或函数f（x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．3．关于利润问题中常用的两个等量关系是什么？①利润＝收入－成本;②利润＝每件产品的利润×销售件数．4．优化问题包括哪些问题？生活中，我们遇到的面积、体积最大，周长最小，利润最大,用料最省，费用最低,效率最高等都属于优化问题．感悟体会练一练1。

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析

1．4生活中的优化问题举例
[目标] 1.学会解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题.2.学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用.3.提高将实际问题转化为数学问题的能力．
[重点] 用导数解决实际生活中的最优化问题．
[难点] 将实际问题转化为数学问题．
知识点生活中的优化问题
[填一填]
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的基本思路[答一答]
利用导数解决生活中的优化问题时应注意什么问题？
提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间；
(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
1．利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题．
2．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：
(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；
(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；
(3)所得的结果要符合问题的实际意义．
3．要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法．。

高中数学专题1.4 生活中的优化问题举例测试(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)

高中数学专题1.4 生活中的优化问题举例测试（含解析）新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.4 生活中的优化问题举例测试（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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生活中的优化问题举例（时间:25分，满分50分)班级姓名得分1。

（5分)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃）为f（x)＝错误!x3－x2＋8（0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A．8 B。

错误! C．－1 D．－8【答案】C2．（5分）若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时，底面边长为( ）A.错误! B.错误!C.错误!D．2错误!【答案】C【解析】设底面边长为x，则V＝错误!x2h，∴h＝错误! .∴S表＝2×错误!x2＋3x·错误!＝错误!x2＋错误!，∴S′表＝3x－错误!，令S′表＝0得x＝错误!.当0<x<错误!时，S′〈0；x>错误!时，S′>0。

因此当底边长为错误!时,其表面积最小．3．(5分)已知某生产厂家的年利润y（单位：万元)与年产量x(单位：万件）的函数关系式为y＝－错误!x3＋81x－234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为（）A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【答案】C【解析】本题考查了导数的应用及求导运算．∵x〉0，y′＝－x2＋81＝(9－x)（9＋x），令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9）时，y′>0，x∈（9，＋∞）时，y′<0，y先增后减．∴x＝9时函数取最大值,选C,属导数法求最值问题．4．（5分)用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱,则水箱最大容积为（）A．120 000 cm3B．128 000 cm3C．150 000 cm3D．158 000 cm3【答案】B5.（5分）某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x)＝错误!则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（)A．150 B．200 C．250 D．300【答案】D【解析】由题意得，总利润P（x）＝错误!令P′（x)＝0，得x＝300，故选D。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例一、选择题1．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43RD.34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2 ∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <43R 时，V ′>0；当4R3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．故应选C.2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，则V ＝34x 2h ，∴h ＝4V 3x 2. ∴S 表＝2×34x 2＋3x ·4V 3x2＝32x 2＋43V x ， ∴S ′表＝3x －43V x2，令S ′表＝0得x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′<0；x >34V 时，S ′>0. 因此当底边长为34V 时，其表面积最小．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400.则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300[答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x . 所以总利润为P ＝R －C＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400，∴P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′＝0，得x ＝300，当0<x <300时，P ′>0，当300<x <400时，P ′<0，分析可知当x ＝300时，取得最大值，故应选D.4．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积为( )A ．2m 3B ．3m 3C ．4m 3D ．5m 3[答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝4.5－3x (m)⎝⎛⎭⎫0<x <32 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎫0<x <32 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x ) 令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去) 当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极值就是V (x )的最大值从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 2)．5．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( ) A ．2πR 2 B ．πR 2 C ．4πR 2D.12πR 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则x ＝R 2－h 24∴S 侧＝2πxh ＝2πhR 2－h 24＝2πR 2h 2－h 44令t ＝R 2h 2－h 44，则t ′＝2R 2h －h 3令t ′＝0，则h ＝2R当0<h <2R 时，t ′>0，当2R <h <2R 时，t ′<0，所以当h ＝2R 时，圆柱侧面积最大．∴侧面积最大值为2π2R 4－R 4＝2πR 2，故应选A.6．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算． ∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9，所以x ∈(0,9)时，y ′>0， x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，y 先增后减．∴x ＝9时函数取最大值，选C ，属导数法求最值问题．7．内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( ) A.R 2和32RB.55R 和455R C.45R 和75RD ．以上都不对[答案] B[解析] 设矩形一边的长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )， l ′＝2－4xR 2－x 2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)．当0<x <55R 时，l ′>0；当55R <x <R 时，l ′<0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R . 8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0<x <20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033舍去．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0.所以当x ＝2033时，V 取得最大值．9．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )A.r2B.32r C.33rD ．r[答案] D[解析] 如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB ＝θ，则CD ＝2r cos θ，h ＝r sin θ，∴S ＝2r (1＋cos θ)2·r sin θ＝r 2sin θ(1＋cos θ)∴S ′＝r 2[cos θ(1＋cos θ)－sin 2θ]＝r 2(2cos 2θ＋cos θ－1)令S ′＝0得cos θ＝－1(舍去)或cos θ＝12.即当cos θ＝12时，梯形面积最大，此时上底CD ＝2r cos θ＝r .故应选D.10．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．25件B ．20件C ．15件D ．30件[答案] A[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250000，则a 2x ＝250000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)， y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0， x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．二、填空题11．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．[答案] 32m,16m[解析] 设长，宽分别为a ，b ，则ab ＝512，且l ＝a ＋2b ，∴l ＝2b ＋512b ，∴l ′＝2－512b 2，令l ′＝0得b 2＝256，∴b ＝16，a ＝32. 即当长、宽分别为32m 、16m 时最省材料．12．容积为256L 的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料． [答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a.令S ′＝2a －210a2＝0，得a ＝8.当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0；当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2826＝4.13．内接于半径为R 的球，且体积最大的圆柱的高为____________．[答案]233R [解析] 如图，ABCD 为球面内接圆柱的轴截面，BD ＝2R ，设圆柱的高为x ，则圆柱底面半径为r ＝124R 2－x 2，圆柱体积V ＝πr 2x ＝π4(4R 2－x 2)x (0<x <2R )令V ′＝π4(4R 2－3x 2)＝0得x ＝233R .因为V (x )只有一个极值，所以当圆柱的高为233R 时，球内接圆柱体积最大．14．如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．[答案] 23[解析] 设四边形较短边为x ，则较长边为3x ，正六棱柱底面边长为1－2x ，高为3x ， ∴V ＝6×12×sin60°×(1－2x )2×3x ＝92x (1－2x )2.V ′＝92(1－2x )(1－6x )，令V ′＝0，得x ＝16或x ＝12(舍去)．当0<x <16时，V ′>0；当16<x <12时，V ′<0.因此当x ＝16时，V 有最大值，此时底面边长为1－2×16＝23.三、解答题15．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[解析] 设速度为每小时v 千米的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 千米时，行1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1千米所需用时间为1v 小时，所以行1千米的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v . q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8000)，令q ′＝0，解得v ＝20.因当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．16．(2009·湖南理，19)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？[分析] 考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应用问题的能力．[解析] (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数，当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9，故需新建9个桥墩才能使y 最小．17．(2010·湖北理，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[解析] (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－2400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即2400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．18．(2009·山东理，21)两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与对城B 的影响度之和．记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点对城A的距离；若不存在，说明理由．[解析](1)根据题意∠ACB＝90°，AC＝x km，BC＝400－x2km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为4x2，对城B的影响度为k400－x2，因此，总影响度y为y＝4x2＋k400－x2(0<x<20)．又因为垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065，解得k＝9，所以y＝4x2＋9400－x2(0<x<20)．(2)因为y′＝－8x3＋18x (400－x2)2＝18x4－8×(400－x2)2x3(400－x2)2＝(x2＋800)(10x2－1600)x3(400－x2)2.由y′＝0解得x＝410或x＝－410(舍去)．易知410∈(0,20)．y，y′随x的变化情况如下表：x (0,410)410(410，20)y′－0＋y 极小值由表可知，函数在(0,410)内单调递减，在(410，20)内单调递增．y最小值＝y|x＝410＝116，此时x＝410，故在上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小，该点与城A的距离x＝410km.。

数学人教A版选修2-2自我小测：1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析

自我小测1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A ．203 cm B ．10 cm C ．15 cm D ．2033cm4．设有一个容积V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为( )A ．1232V πB ．123V 2πC ．232V πD ．23V 2π5．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．20B ．25C ．30D ．456．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________．7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是__________．8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是__________．9．已知球的直径为d ，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？ 10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．参考答案1．解析：y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0解得t ＝8或t ＝－12(舍)，当0＜t ＜8时，y ′＞0；当t ＞8时，y ′＜0，∴t ＝8为函数的最大值点． ∴t ＝8时，通过该路段用时最多．答案：C2．解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．答案：A3．解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)，V ′＝π3(400－3x 2)，令V ′＝0得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．又当0＜x ＜2033时，V ′＞0；2033＜x ＜20时，V ′＜0，∴当x ＝2033 cm 时，V 取最大值．答案：D4．解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r ，高为h ，总造价为y ，单位面积铁的造价为a ，则V ＝πr 2h ，y ＝πr 2·3a ＋πr 2·a ＋2πrh ·a ＝a π⎝⎛⎭⎫4r 2＋2V πr ，则y ′＝a π⎝⎛⎭⎫8r －2V πr 2. 令y ′＝0，得r ＝1232V π，h ＝Vπr 2＝232V π.答案：C5．解析：设产品单价为a 元，产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x ＞0)，y ′＝250x －225x 2. 由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′＞0，x ∈(25，＋∞)时，y ′＜0，所以x ＝25时，y 取最大值．答案：B6．解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x ＞0，∴x ＝16.当x ＝16时，L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．答案：32和167．解析：由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，当0≤x ≤390时，P ′(x )＝－x 2300＋300，令P ′(x )＝0，解得x ＝300；当0≤x ≤300时，P ′(x )＞0；当300＜x ＜390时，P ′(x )＜0.所以当x ＝300时，P (x )max ＝40 000，而当x ＞390时，P (x )＜40 000，因此当x ＝300时利润最大．答案：3008．解析：设剪成的上面一块正三角形的边长为x .则S ＝(3－x )234－34x 2＝433·(3－x )21－x 2(0＜x ＜1)，S ′＝433·－6x 2＋20x －6(1－x 2)2＝－833·(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．∴x ＝13是S 的极小值点且是最小值点．∴S min ＝433×⎝⎛⎭⎫3－1321－19＝3233.答案：32339．解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，由于x 2＋x 2＋h 2＝d 2，所以x 2＝12(d 2－h 2)．所以球内接正四棱柱的体积为V ＝x 2·h ＝12(d 2h －h 3),0＜h ＜d .令V ′＝12(d 2－3h 2)＝0，所以h ＝33d .在(0，d )上，当h 变化时，V ′，V 的变化情况如下表：10．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)．当0＜x ＜12时，y ′＞0；12＜x ＜1时y ′＜0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，产品的销售价为20⎝⎛⎭⎫1＋12＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．。

2016-2017学年高中数学选修2-2学业测评：1.4 生活中的优化问题举例含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( ）A．32，16 B．30,15C．40，20 D．36，18【解析】要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为错误!米，因此新墙总长L＝2x＋错误!(x〉0），则L′＝2－错误!.令L′＝0，得x＝16或x＝－16（舍去)．此时长为错误!＝32（米）,可使L最短．【答案】A2．将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小，则应分为( )A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对【解析】设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋（8－x)3＝83－192x＋24x2（0≤x≤8），y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′〈0；当4〈x≤8时，y′〉0。

所以当x＝4时，y最小．【答案】B3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为（）【导学号：60030028】A。

错误!和错误!R B。

错误!R和错误! RC.错误!R和错误!R D．以上都不对【解析】设矩形的宽为x,则长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0〈x<R），l′＝2－错误!，令l′＝0，解得x1＝错误!R，x2＝－错误!R(舍去）．当0〈x〈错误!R时，l′〉0;当错误!R〈x〈R时,l′〈0,所以当x＝错误!R时,l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为错误!R,错误!R。

【答案】B4．某公司生产某种产品,固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R （x）＝错误!则总利润最大时，每年生产的产品是（）A．100 B．150C．200 D．300【解析】由题意,得总成本函数为C(x）＝20 000＋100x,总利润P（x）＝R(x）－C(x)＝错误!所以P′（x)＝错误!令P′（x）＝0，得x＝300,易知x＝300时,总利润P（x)最大．【答案】D5．用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角,再焊接而成（如图1.4。