第2章 流体静力学-for student_614003736

对于 ρ = z
ρ ( p) 的正压流场，静止的必要条件是质量力有势： ∇ × f = ∇ × [
G
G ∇p ] = 0 ，即 f = −∇U ρ ( p)
对均质不可压流场或正压流场，质量力有势，等压面，等密度面和等位势面重合
二、重力场中均质不可压流体静压计算 重力场中：f =0，f =0 ，f =-g x y z dp=-ρgdz p=－ρgz+C (z 与 g 反向) p2－p1=－g(z2-z1) z 对有自由面液体，习惯上：z2-z1＝h(水深)， p1=p2+ρgh 例如：自由表面压力为 patm ，水下任一处压力为
平衡流体中的压强称为流体静压强，记作
p = lim
Δ A→0
ΔF dF = Δ A dA
单位：N/m2 或 Pa
Q: 静止流体中，任一空间点上来自不同方位的压力，大小是否不同？
z dz dx dy Pxdzdy/2 PsdA y
Pydzdx/2
x
Pzdxdy/2
取流场中静止的微元体，根据力平衡，并且最终微元取无穷小极限
z 自己试：选取任意流体微团，用力平衡法推导。 任取一流体微团 dxdydz 质量力W = ρfdxdydz 表面力：各微元面上的压力对点（x,y,z)处按 Talor 级数展开，最后取极限，略去高阶小量 z 静止流场，质量力必须满足的条件
G
G G ∇p ∇p = ρ f , f =
ρ
G ∇p ∇×f = ∇×
3
open
h1 h2
• 测气体/液体（无反应，掺混） • 压力大，选大比重液体 Q: 可否低于大气压力 方法：对质量连续的静止流体，等压面为等高面；不同流体交界面为等压面，从一个方向顺推。 2.3 静止流体对浸没其中的物体表面的作用力 浸没在液体中的物面受到的表面力为静止液体压力，经常遇到计算液体作用力的情况。例如海底水下 世界游览观光玻璃、渔缸、浴盆支撑；工程上：潜水器、水箱、油罐、闸门、堤坝等 通用的最基本的积分求法：
4
patm patm h A A patm h A h
二、垂直的固体平面上受力（基本积分法，或 几何重心法－如果几何重心易求）
A
K K p = patm + ρgh, F = ∫∫ − npdA （基本积分求解）
从数学上看： Fx = − pa A − ∫ ρ ghdA = − pa A − ρ ghc A
G G G = − ∫ ipdAx − ∫ jpdAy − ∫ kpdAz
A
A
Fx = − ∫ pdAx Fy = − ∫ pdAy
Fz = − ∫ pdAz
5
1.垂直方向上受力 (快速的压力体法求解) 2. x、y 方向的受力（简单几何形状，尽量用几何重心法） 例题：求坝体受力和作用位置
patm=0
ρ
G G ∇p ∇p f ⋅∇ × f = ⋅∇ × =0 G G ∴ f ⋅∇ × f = 0
G
ρ
ρ
一般流场静止的必要条件，即质量力必须满足的条件： f ⋅∇ × f = 0 对于均质流场 ρ = const, 静止的必要条件是质量力有势： ∇ × f = ∇ ×
G
G
∇p
ρ
=
∇ × ∇p
ρ
wenku.baidu.com
G = 0 ，即 f = −∇U
K K F = ∫∫ −npdA
A
p = patm + ρgh ，微元面 dA 根据物面形状写出
注意：静止流体的压力作用在物面的外法线的反方向，即垂直于物面。
G G K M = ∫∫ −r × npdA
A
z z
用于求静压对任一点的合力矩，在力矩平衡方程中用到 G G G G G G K 求出水作用的合力后 F 后，利用 r ，求 rc ，确定压力中心位置（合力 F 作用线与物 c × F = ∫∫ −r × npdA
0 .001548 ( 11000 − z )
z )5 .256 44300
2．静压量测(液柱式) • 液体容器内压力测量 open
h
Q：如果容器内和大气压差很低，即 h 很小，如何解决？如何测两容器间的压差？ • 测量气体容器内部压力 dp= －ρgdz，等压面等位势面。Pascal Law （连通器原理）
stable
压力体的重心 船体的重心
unstable
2.4 非惯性坐标系下的静止流体（考虑惯性力， ∇p = ρ f p94）
G
6
∂p = ρ fx ∂x ∂p = ρ fy ∂y ∂p = ρ fz ∂z
重力场中：f =0,f =0,f =-g x y z
或
G G dp = ρ f ⋅ dr
非惯性坐标系：f =-a f =-a ,f =-a -g x x, y y z z
， p2 为参考压力
p=patm+ρgh
pgauge=p－patm＝ρgh
2
海平面：Patm=1atm=1.013×105 N/m2 (Pascal)=10mH2O
三、大气压与静压量测(液柱式) 1.大气压 标准大气压:是指在标准大气条件下海平面的气压。 海平面处：pa＝1.013×105Pa (760mmHg) 对流层0～11km p = pa ( 1 − 11km p11km = 0 .223 pa 平流层11～50km，同温层T＝216.5K p = pae z z z z Q: 绝对压力 表压 真空度 绝对真空 常见的压力表显示的压力? 何时用表压，何时用绝压
A A
三、倾斜固体平面上受力（可分解为求水平方向和垂直方向上的力）
patm
z x
G G G n = nx i + nz k
h0 F
d
p = patm + ρgh K K F = ∫∫ − npdA 可直接基本积分求解
A
dAk 但可求分力 n d A = n x dGA i + n zG =dAx i + d Azk
z
z
x
x
a
∂p = − ρa ∂x ∂p =0 ∂y ∂p = − ρg ∂z
p = − ρax − ρgz + C , p = pa − ρax − ρgz , z s = −
a x g
z r
z
r
ω
G G dp = ρf • dr
G G G G dr = er dr + eε rdε + ez dz
第二章 流体静力学
流体静力学研究平衡流体的力学规律及其应用 平衡：相对于坐标系的相对平衡 a.流体对地球无相对运动； b.流体对容器无相对运动。 2.1 1. 2. 3. 静止流体的压力 静止的流体不能承受切应力 除表面层外（表面张力）一般流体不能承受拉力。 唯一的可能：表面力沿作用面的内法线方向，即压强。
∀ Α
根据推广的 Gauss 定理：
G ρ fd ∫∫∫ ∀ + ∫∫∫ −∇pd ∀ = 0 G ( ρ f ∫∫∫ − ∇p )d ∀ = 0 G ρf − ∇p = 0
1
∀ ∀ ∀
G ∇p = ρ f 或
∂p = ρ fx ∂x ∂p = ρ fy ∂y ∂p = ρ fz ∂z
或
G G dp = ρ f ⋅ dr
z = z0 (
x 2 ) x0
Fz Fx z hcp x xcp 宽度w0 z0
x0
五、浮力与稳定性（重心和浮力作用点） 物体重力 < ρg∀ 物体上升浮出水面 浮体 重力 ＝ ρg∀ 平衡 潜体 重力 > ρg∀ 物体下沉直至底部 沉体
O 浮力 G B 浮 B’ 体 重力
G O 浮力 B B’ 重力
G
G
G
θ
1 A0 cos θ d sin θ ) 2 d sin θ Fx = − pa A0 sin θ − ρ gA0 sin θ (h0 + ) 2 Fz = − pa A0 cos θ − ρ g (h0 A0 cos θ +
四、任意固体曲面上静止流体作用力（积分法 或 可分解为求水平方向和垂直方向上的力） K K K K K F = ∫∫ −npdA = ∫∫ −(nx + ny + nz ) pdA
y x h0 h
其中，垂直面的几何重心(以水面为基准)
hc A = ∫ hdA
(hcp,ycp)
F
对于几何形状简单，已知 hc 的就可以利用。 求压力中心位置（合力作用线与物面交点位置） ： 必须老老实实积分
Fx hcp = ∫∫ hpdA = ∫∫ h( patm + ρ gh )dA
A A
Fx y cp = ∫∫ ypdA = ∫∫ y ( patm + ρ gh )dA
dp = ρrω2 dr − ρgdz
p=
1 2 2 ρr ω − ρgz + C 2
7
A
面的交点） 一、水平的固体平面上受力（基本积分法 或 压力体法）
K K n=k
p = patm + ρgh K K K K F = ∫∫ − npdA = ∫∫ − k ( patm + ρgh )dA = ( patm A + ρghA ) − k
A A
( )
式中，压力体 hA：数学积分形成的概念，与其中是否充满液体无关。
dx , dy , dz → 0, ps = px = p y = pz
4. 静止流体作用在任一点上的正压强(normal pressure)，向各个方向传递，且大小均相等。
2.2 流体静力学的微分方程 一、流体静力学的微分方程 由于处于相对静止，作用在流体微团上的外力之和为零，合外力矩为零
G G ρ fd ∫∫∫ ∀ + w ∫∫ − npdA = 0