山东省高中数学选修45课件：第四讲 数学归纳法证明不等式(3份)41
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法
第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法学习目标1 •理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法证明等式问题；2.学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除性等问题.数学归纳法课前自主学案1.数学归纳法适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题.2.数学归纳法的步骤是: (1)(归纳奠基)验证当〃=必(必为命题成立的起始自然数)时命题成立：(2)(归纳递推)假设当n=k(k^N+,且&$必)时命题成立，推导1时命题也成圭.(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切MM%的自然数都成立.思考感悟在数学归纳法中的必是什么样的数？提示：弘是适合命题的正整数中的最小值，有时是兀0=1或必=2,有时兀0值也比较大，不一定是从1开始取值.课堂互动讲练考点突破用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明：用N+时，穆++ '''+(2n-l)(2n + l)=2n + V【证明】⑴当〃 =1时，左边=吉，右边= 左边=右边，.••等式成立.(2)假设n = k(k^l)时，等式成立，即有石+亦------- H1_ k（2k-i）（2k-\-r）=2k-\-r则当n=k-\r\时，丄+丄p -------------- ------- + -------- --------1・3 丁3・5丁^（2k- 1）（2氐+1）（2氐+ 1）（2氐+3）k | 1 氐(2 氐+3)+1 ---- + -------------- ---------------2k+r(2k+l)(2k+3) (2&+l)(2k+3) 2/+3&+1 &+1 (2k+l)(2k+3)=2k+3&+12伙+1)+1；.\n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切MWN+等式都成立.【名师点评】运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系.变式训练1 求证:(n + l)(n + 2)・•(n + n)= 2,te 1*3*5 (In—l)(n EN+).证明：⑴当兀=1时，等式左边=2, 等式右边=2X1=2,・•・等式成立.(2)假设兀=k(k G N+)等式成立,即仇+1)仇+2)…仇+Q=2忍1・3・5・・・・(2&—1)成立.那么n=k+l时，(k + 2)(* + 3)…仇+切(2& +1)(2* + 2) = 2(k +1)仇+ 2)仇+3)…仇+肪(2氐 + 1)=2*+1・1・3・5 (2k —1)-[2(^+1)-1]・即〃=&+1时等式也成立.由⑴⑵可知对任何7/ WN+等式均成立.3平面上有兀个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成~Tf(n)=n2—n+2部分.【思路点拨】用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k + l时比n=k时分点增加了多加了几块，本题中第&+1个圆被原来的&弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了个部分，问题就得到了解决.【证明】⑴当兀=1时，一个圆把平面分成两部分，且/⑴=1 —1 + 2 = 2,因此，〃=1时命题成立.(2)假设兀=k(k^l)时，命题成立，即&个圆把平面分成«切=护一&+2部分.如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前&个圆交于2&个点.这个点把这个圆分成％段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分.因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2&部分，即有f(k^l)=f(k)+2k=k2-k+2+2k = (k+^-(lc+1)+2.即当n=k+l时，f(n)=n2—n+2也成立.根据(1)、(2),可知兀个圆把平面分成了弘)=兀+2部分.【名师点评】有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚兀=比与〃=无+1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起AQ与张+1)之间的递推关系.变式训练2平面内有EN+)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线Z/2 —I—Ji—(― 2把平面分成/(〃)=——个部分.证明：(1)当〃=1时，一条直线把平面分成两部分, 而/(1)=乎+；+2=2,・・・命题成立.(2)假设当n=k(k刃时命题成立，即k条直线把平面分成/(Q= 2「个部分• 则当兀=&+1时，即增加一条直线2,因为任何两条直线不平行，所以2与&条直线都相交，有&个交点；又因为任何三条直线不共点，所以母个交点不同于&条直线的交点，且&个交点也互不相同，如此& 个交点把直线2分成& + 1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了& + 1个平面部分.z +a +^+z a +M Z +為+Z+4+Z41+4+ z+r+d I+4+Q)m +4)J ・・考点三報用数学归纳法证明整除性用数学归纳法证明（工+ 1）" + 1 + （工+2）2”-1（〃WN+）能被严+3兀+3整除.【思路点拨】证明多项式的整除问题，关键是在考点三報用数学归纳法证明整除性（工+1）"+1+（工+2）2"—1 中凑出x2+3x+3.【证明】⑴当兀=1时，(x + l)1+1+(x+2)2X1_1=x2+3x+3 能被工2+3工+3 整除，命题成立.(2)假设当兀=尤仇$1)时，a+iy+i+a+2)2—1能被屮+3兀+3整除，那么 (工 + 1)仇+1)+1+(工+2)2 仇+D—1=(工 + l)(x+1)“+1+(x+2)2, (x+2严—1= (x+l)(x + l)fc+1+(x + l)(x+2)2A:_1—(x+l)-(x +2)2ET + (工 + 2)2(" + 2)2RT= (x + l)[(x + lRi + (x+2)^-i] + (^ + 3x + 3)-(x +2严—1.因为（兀+1）*+1+（工+2严-1和0+3兀+3都能被0+ 3卄3整除，所以上面的式子也能被兀2+3兀+3整除. 这就是说，当〃=尤+1时，（兀+ 1）伙+1）+1 + （工+ 2严+1）—1也能被於+ 3工+ 3整除.根据⑴⑵可知，命题对任何MWN+都成立.【名师点评】 用数学归纳法证明数或式的整除 的方法很多，关键是凑成〃=尤时假设的形式. 变式训练3 求证：d" +1 + (° +1)2" T 能被/ +a + 1整除(neN +)・ 证明：⑴当兀=1 时，a1+1+(«+l)2X1_1=a 2+a+ 1,命题显然成立. 性问题时，常釆取加项、减项的配凑法，而配凑⑵假设当n=k(k^l)时，a k+i + (a + l)2k~1能被0 +° + 1整除，则当n=k+l时，a k+2+(a+l)2k^~l=a9a k^~l+(a+l)2(a+l)2k~l=a\a k+1 + (a + 1)2A:_1] + (a + l)2(a + l)2Ar_1~a(a +=a [a k+l+(a+1)2^-1]+(a2+a+l)(a + l)2k~l, 由归纳假设，以上两项均能被a^+a + 1整除，故当〃=氐+1时，命题也成立.由(1)、(2)可知，对〃GN+命题都成立.误区警示・・+戸+予=1—予(其中底N+).【错证】⑴当n = l时，左边=；，右边=—；=* 等式成立.(2)假设当n=k(kM\)时，等式成立，就是这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和⑵可知，等式对任何n e N+都成立.【错因】从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明却是错误的.错误的原因在第⑵步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n=k-\-l时式子;+$+§+••• +2-1丁2"丁2"打的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒，一定要引起同学们的足够重视.【自我校正】(1)当〃=1时，左边=亍右边=1 (2)假设当时，等式成立，就是等式成立.这就是说，当M=k+1时，等式也成立• 根据⑴和⑵可知，等式对任何兀UN+都成立.1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证〃的初始值至关重要，它是递推的基础，但〃的初始值不一定是1,而是兀的取值范围内的最小值.2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时，应分析卩的与卩仇+1）的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发, 如仇+1）中分离出卩⑹再进行局部调整.3.在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明, 其一般解题步骤是：归纳一猜想一证明.。
人教版高中数学选修4-5 第四讲 二 用数学归纳法证明不等式 (共30张PPT)教育课件
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
1 22
1 32
...
1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
1
1 k 1
1
22
32
...
k2
k
12
k
1
k
12
k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立． 故 xn＜ c对任意 n≥1 成立． 因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4
b1 b2 2 bk
bk 1
a
… a k a k 1 ≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
故当 n＝k＋1 时，③成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n，所推广的命题成立． 说明：(3)中如果推广形式中指出③式对 n≥2 成立，则后续证明 中不需讨论 n＝1 的情况．
不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论
2 解： (1)先证充分性， c＜0， 若 由于 xn＋1＝－xn＋xn＋c≤xn
＋c＜xn，故{xn}是递减数列； 再证必要性，若{xn}是递减数列，则由 x2＜x1，可得 c ＜0.
(2)(i)假设{xn}是递增数列．由 x1＝0，得 x2＝c，x3＝－ c2＋2c. 由 x1＜x2＜x3，得 0＜c＜1. 由 xn＜xn＋1＝－x2 ＋xn＋c 知， n 对任意 n≥1 都有 xn＜ c， 注意到 c－xn＋1＝x2 －xn－c＋ c＝(1－ c－xn)( c－xn)，② n 由①式和②式可得 1－ c－xn＞0，即 xn＜1－ c. 由②式和 xn≥0 还可得，对任意 n≥1 都有 c－xn＋1≤(1－ c)( c－xn)． ③ ①
2017-2018学年高中数学人教版选修4-5课件：第四讲4.2用数学归纳法证明不等式
(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设 的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的 方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均 要灵活地运用．有个别较复杂的问题，第二个步骤再利 用数学归纳法．
(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设 当 n≤k 时成立，再证当 n＝k＋1 时成立，实质上，这就 是第二数学归纳法．
第四讲 数学归纳法证明不等式
4．2 用数学归纳法证明不 等式
[学习目标] 1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用 方法与技巧(重点)． 2.理解贝努利不等式． 3.能综合 运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证 明(难点)．
[知识提炼·梳理]
1．贝努利不等式 (1)定义：如果 x 是实数，且 x＞－1，x≠0，n 为大 于 1 的自然数，那么有(1＋x)n＞1＋nx． (2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项 式的乘方(1＋x)n 缩小为简单的 1＋nx 的形式，这在数值 估计和放缩法证明不等式中有重要应用．
当 n＝k＋1 时， S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k1＋1
＞1＋k2＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋12k 个, ＞1＋k2＋2k＋2k 2k ＝1＋k2＋12
k＋1 ＝1＋ 2 . 故当 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，对 n∈N＋，n≥2，S2n＞1＋n2都成立．
当 n＝7 时，a7＝64，b7＝127，则 a7＜b7， … 由此得到，当 n∈N＋，n≤5 时，an＞bn. 猜想：当 n∈N＋，n≥6 时，an＜bn. 前一结论上面已用穷举法证明， 后一猜想用数学归纳法证明如下．
①当 n＝6 时，上面已证 a6＜b6. ②假设当 n＝k(k∈N＋，k≥6)时，上述结论成立， 即当 k≥6 时，(k＋1)2＜2k－1. 当 n＝k＋1 时，要证 ak＋1＜bk＋1， 即证(k＋2)2＜2k＋1－1， 只需证(k＋2)2＜2·2k－1，
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
解：(1)f′(x)＝r－rxr 1＝r(1－xr 1)，令 f′(x)＝0，解得 x ＝1. 当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0，所以 f(x)在(0,1)内是减函数； 当 x＞1 时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(1，＋∞)内是增函数． 故函数 f(x)在 x＝1 处取得最小值 f(1)＝0. (2)由(1)知，当 x∈(0，＋∞)时，有 f(x)≥f(1)＝0，即 xr≤rx ＋(1－r)，
a1b1＋a2b2＋…＋akbk bk ak· ＝ ， 1－bk＋1 1－bk＋1
从而 a 1
b1
a
b2 2
…… a k
bk
a1b1＋a2b2＋…＋akbk 1－b bk 1 a k 1 ≤( ) k＋1a k 1 . 1－bk＋1
bk 1
又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得 a1b1＋a2b2＋…＋akbk 1－b a1b1＋a2b2＋…＋akbk bk 1 ( ) k＋1a k 1 ≤ · 1－bk＋1 1－bk＋1 (1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1·k＋1， b 从而 a 1
是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想—— 证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题． [例1] n∈N＋)， 已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
[解] (1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立． 故 xn＜ c对任意 n≥1 成立． 因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4
选修4-5第四讲《数学归纳法证明不等式》
学科教师辅导讲义+>n36该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。
+>k36331(311k k ++++++,n +2k +1221222k k k k +++++++111122222111.k k k k k +++++>+++++++=+1111122222k k k k k ++++++>+++=⨯方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ；2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有．（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a所以 21)2()2(2--=-+n n a a2,n n b a =-令 则21222221222121111111()()()222222n n n n n n nb b b b b-+++---=-=--=-⋅==-又b n =－1，所以211(),2n n b -=- 21122()2nn n a b -=+=-即．四、【课堂练习】1、用数学归纳法证明3k ≥n 3(n≥3,n ∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C 2、用数学归纳法证明412+n+3n+2能被13整除，其中n ∈N证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k 时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除.证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时，f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1(2k +7)·3k=(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2)⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3.答案：C二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、103 53=n 三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3=42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除. 6.证明：(1)当n =2时，24131********>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］ 而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小. 取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=>取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k 则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k 333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k 31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立 由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立.于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +18.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n (n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时 下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立.可推知n =2k +1也成立.设n =2k 时，a 2k =－21q k ,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k , 所以a 2k +2=－21q k +1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当 S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=2(1+q +q 2+…+q n -1)－21 (q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---= 由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(q q q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52。
2018学年高中数学选修4-5课件：第4讲 数学归纳法证明不等式1 精品
3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条 数是多少？并加以证明．
[思路点拨] 利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正 确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
解析： n的最小值应该为2， 当n＝2时，有4条射线， 当n＝3时，如图有3条线段6条射线， 共9条线段或射线．
当n＝4时，不妨取出一条直线l1，则剩余3条直线l2，l3，l4 相互分割成9条线段或射线．而l1与l2，l3，l4有3个交点，这3个 交点将l1分割为2条线段，2条射线．而l2，l3，l4上又各多出1个 交点，因此l2，l3，l4又被这一交点多分割出一条线段或射线，
2．不等式证明的基本方法：_比__较__法__，_分__析__法__，_综__合__法__， 分析综合法，数学归纳法，反证法，换元法，构造法，放缩法 等．
1．数学归纳法的概念
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有 正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当__n_＝__n_0___时命题成立； (2)假设当___n_＝__k_(_k∈__N__＋_，__且__k_≥__n_0)____时命题成立，证明 __n_＝__k＋__1____时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的 所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的基本过程
1
．用数
学归
纳法
证明
：“1
＋a＋a2＋
…＋an
＋1＝
1－an＋2 1－a
(a≠1)”在验证 n＝1 时，左端计算所得的项为( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
由归纳假设知，它们之间的交点个数为 f(k)＝kk－2 1.
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
点击下图进入阶段质量检测
[例 2]
求证 tan α· 2α＋tan 2α· 3α＋…＋tan(n－ tan tan
tan nα 1)α· nα＝ tan －n(n≥2，n∈N＋)． tan α
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝tan α· 2α， tan tan 2α 2tan α 1 右边＝ －2＝ · －2 tan α 1－tan2α tan α 2 ＝ 2 －2 1－tan α 2tan2α tan α· 2tan α ＝ ＝ 1－tan2α 1－tan2α ＝tan α· 2α，等式成立． tan
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
a
b2 2
… a k ≤a1b1＋a2b2＋…
bk
此时 0＜bk＋1＜1，即 1－bk＋1＞0，于是
a a
1
b1
b2 2
… a k a k 1 ＋1＝( a 1 a
b2 1 bk 1 2
bk
bk 1
b1
a
b2 2
… a k )a k 1
bk
ห้องสมุดไป่ตู้
bk 1
＝(a
b1 1 bk 1 1
1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立． 故 xn＜ c对任意 n≥1 成立． 因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4
…a
bk 1 bk 1 k
)
1 －b
k＋1a k 1 .
bk 1
b1 b2 bk 因 ＋ ＋…＋ ＝1，由归纳假设可得 1－bk＋1 1－bk＋1 1－bk＋1 a
b1 1 bk 1 1
a
b2 1 bk 1 2
…a
bk 1 bk 1 k
b1 b2 ≤a1· ＋ a2 · ＋…＋ 1－bk＋1 1－bk＋1
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
人教版高中数学选修4-5第四讲：用数学归纳证明不等式举例(两课时)ppt课件
知识回顾
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当
递推基础
n 取第一个值 （如
n n0 1 或 0 2等）时结论正确；
（2）假设时 nk 1 时结论也正确．
“找准起点，奠基要稳” n k ( k N结论正确，证明 且k n0 )
注 意： 的所有正整数n都成立
“用上假设，递推才真” 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 递推依据
人教版A 数学 选修4-5
高二【16、22】专用
第四讲 用数学归纳法 证明不等式
吴川一中
<高二数学备课组 >
陈智敏
探 究
比较2n与n2的大小
我们怎样证 明呢?
• 归纳猜想：
猜想正确吗?
解:当n=1时，2>1, 当n=2时，4=4, 当n=3时，8<9, 当n=4时，16=16, 当n=5时，32>25, 猜想:当n≥5时，2n>n2.
n
n >1＋ 都成立． 2
巩固练习
1．证明不等式： 1 1 1 1＋ ＋ ＋…＋ <2 n(n∈N*)． 2 3 n
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，命题成立，即 1 1 1 1＋ ＋ ＋… ＋ <2 k. 2 3 k 1 1 1 ∵当 n＝k＋1 时，左边＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ 2 3 k 2 kk＋1＋1 1 <2 k＋ ＝ ， k＋1 k＋1 1 k＋1
比较大小
[例 2] nn－1 2 设 Pn＝(1＋x) ，Qn＝1＋nx＋ x ，n∈N＋， 2
n
x∈(－1，＋∞)，试比较 Pn 与 Qn 的大小，并加以证明．
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲二用数学归纳法证明不等式
【思路点拨】
本题由递推公式先计算前几项，然
后再进行猜想，最后用数学归纳法进行证明；对于 (2)中的第①题，要利用数学归纳法进行证明；②利 用放缩法证明．
【解】 (1)由 a1＝2，得 a2＝a2－a1＋1＝3；由 a2＝ 1 3，得 a3＝a2－2a2＋1＝4；由 a3＝4，得 a4＝a2－3a3 2 3 ＋1＝5. 由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)． (2)①用数学归纳法证明： 当 n＝1 时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当 n＝k(k≥1)时，不等式成立，即 ak≥k＋2. 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝a2－kak＋1＝ak(ak－k)＋ k 1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1) ＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 综上可得，对于所有 n≥1，有 an≥n＋2.
＝k＋1成立时没有进行推证，而是直接写出结论, 这样是不符合数学归纳法要求的．
【自我校正】 (1)同上． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，结论成立． kk＋1 k＋12 即 <ak< . 2 2 当 n＝k＋1 时，ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2 kk＋1 kk＋1 > ＋ k＋1k＋2> ＋(k＋1) 2 2 k＋1[k＋1＋1] ＝ . 2
当 n＝k＋1 时， k＋1k＋2 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2> . 2 k＋2 2 又 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2<( )， 2 ∴当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由(1)、(2)知，对一切 n∈N＋，不等式成立．
【错因】
错误出在(2)中，从n＝k成立，证明n
假设当n＝k时, 起始自然数)不等式成立 ______________________；第二步是_____________
2018年数学(人教版选修4-5)课件：第4讲 2 课时 用数学归纳法证明不等式举例
思路点拨：不等式左边的分母是连续变化的，共有 n2－n ＋1 项，从 n＝2 开始验证．
1 1 1 13 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝2＋3＋4＝12>1. ∴n＝2 时不等式成立． 1 1 (2)假设 n＝k(k≥2， 且 k∈N )时， 不等式成立， 即k＋ k＋1
*
1 1 ＋ ＋…＋k2>1， k＋2 那么 n＝k＋1 时，
k k a＋b a ＋ b k * n∈N )时， 假设 n＝k 时不等式 ≥ 再推证 2 (*)成立， 2
n ＝ k ＋ 1 时 不 等 式 也 成 立 的 关 键 是 将 (*) 式 两 边 同 乘 ________________．
a＋b 解析： 对比 k 与 k＋1 时的结论可知， 两边只需同乘 2 即 可．
a＋b 答案： 2
• • • • •
对贝努利(Bernoulli)不等式的理解： 当指数n推广到任意实数α时，x>－1时， ①若0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx. ②若α<0或α>1，则(1＋x)α≥1＋αx. 当且仅当x＝0时等号成立．
•用数学归纳法证明一般的不等式
1 1 1 设 n>1(n∈N )，求证：n＋ ＋…＋n2>1. n＋1
②由 an＋1＝an(an－n)＋1 及①，对 k≥2， 有 ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1 ＝ 2ak － 1 ＋ 1≥2(2ak － 2 ＋ 1) ＋ 1 ＝ 22ak － 2 ＋ 2 ＋ 1≥23ak － 3 ＋ 22 ＋2＋1…， ∴ak≥2k 1a1＋2k 2＋…＋2＋1＝2k 1a1＋2k 1－1
∴k
2
12 5 －k－1＝k－2 － ≥1>0. 4
高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式复习课件 a选修45a高二选修45数学课件
2021/12/9
＝k＋ k＋1
(k
1 1)(k
2)
(k
(k 1)2 1)(k
2)
k＋1 ＝＝
k＋2
(k
k 1 1) 1
，
即当 n＝k＋1 时，等式成立，∴Sn＝n＋n 1.
第六页，共三十四页。
难点(nádiǎn)
突破
题型二、不等式证明中的强化(qiánghuà)
命题
如果 c 为常数，用数学归纳法证明 f(n)<c 一类不等式时，从 k 到 k＋1 的归纳过渡很 易卡断思路，此时利用 lim g(n)＝c，且 g(n)<c，把命题结论强化，即把 c 换成 g(n)．由
2021/12/9
第八页，共三十四页。
难点(nádiǎn) 突破
(2)设 n＝k 时，不等式(*)成立，即212＋312＋…＋k12<1－1k.
当
n＝k＋1
时，212＋312＋…＋k12＋
(k
1 1)2
<1－1k＋
(k
1 1)2
<1－1k＋
k
1 (k
1)
＝1－1k＋1k－k＋1 1＝1－k＋1 1.
第四讲数学归纳法证明 (zhèngmíng)不等式复习
2021/12/9
第一页，共三十四页。
学习(xuéxí)目 标 掌握(zhǎngwò)数学归纳法证明问题的基本思路
第二页，共三十四页。
知识(zhī shi) 梳理
数学归纳
—
法原理
数学归 纳法
— —
数学归纳法 应用举例
— — —— —
综上，原不等式成立.
2021/12/9
第二十一页，共三十四页。
人教版高中数学选修4-5第四讲《数学归纳法证明不等式》教案
第四讲：数学概括法证明不等式数学概括法证明不等式是高中选修的要点内容之一，包含数学概括法的定义和数学概括法证明基本步骤，用数学概括法证明不等式。
数学概括法是高考考察的要点内容之一，在数列推理能力的考察中据有重要的地位。
本讲主要复习数学概括法的定义、数学概括法证明基本步骤、用数学概括法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、剖析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特别到一般等数学思想方法。
在用数学概括法证明不等式的详细过程中，要注意以下几点：（1）在从 n=k 到 n=k+1 的过程中，应剖析清楚不等式两头（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的构造特点；（2）对准当 n=k+1 时的递推目标，有目的地进行放缩、剖析；（3）活用起点的地点；（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲例 1、用数学概括法证明111111111342n 1 2n n 1 n 22n2剖析：该命题企图：本题主要考察数学概括法定义，证明基本步骤证明：11111 当 n=1 时，左侧 =1- 2=2，右侧 =1 1 = 2 ，所以等式建立。
2 假定当 n=k 时，等式建立，111111111即 2 3 42k 1 2k k 1 k 22k 。
那么，当 n=k+1 时，111111112k 12342k12k2k2 11111k1k22k2k12k2 11111111( 11)2 3 4k 2 k 32k 2k 1 k 1 2k 211111k2k32k2k 1 2(k 1)这就是说，当n=k+1 时等式也建立。
综上所述，等式对任何自然数n 都建立。
评论：数学概括法是用于证明某些与自然数相关的命题的一种方法．设要证命题为P（ n）．（ 1）证明当 n 取第一个值 n时，结论正确，即考证P（ n ）正确；（ 2）假定 n=k（ k∈ N 且 k≥n）000时结论正确，证明当 n=k+1时，结论也正确，即由 P（k）正确推出 P（ k+1）正确，依据（ 1），（2），就能够判断命题要证明的等式左侧共P（ n）对于从2n 项，而右侧共n0开始的全部自然数n 项。
2016-2017学年高中数学选修4-5课件：第4讲 数学归纳法证明不等式2
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
预习学案
课堂学案
课后练习
1．数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__n_0 _时命题成立； (2)(归纳递推)假设__n_＝__k___(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证 明当n＝__k_＋__1__时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有 正整数n都成立． 2．对任何实数x≥－1和任何正整数n，有__(1_＋__x_)n_≥_1_＋__n_x_， 称为贝努利不等式．
第二十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
预习学案
课堂学案
课后练习
故a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn<61＋21 2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1 ＝16＋1212－31＋31－14＋…＋1n－n＋1 1 ＝16＋1212－n＋1 1<16＋14＝152. 综上所述原不等式成立．
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
预习学案
课堂学案
课后练习
二 用数学归纳法证明不等式
第一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
预习学案
课堂学案
课后练习
1.会用数学归纳法证明简单的不等式． 2.会用数学归纳法证明贝努利不等式． 3.了解贝努利不等式的应用条件.
第十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
预习学案
课堂学案
课后练习
1 k＋1
＋
高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式本讲高效整合4人教版
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
知识网络构建 考纲考情点击 热点考点例析 章末质量检测
2．放缩法 涉及关于正整数 n 的不等式，从“n＝k”过渡到“n＝k＋ 1”，有时也考虑用放缩法．
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
知识网络构建 考纲考情点击 热点考点例析 章末质量检测
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
知识网络构建 考纲考情点击 热点考点例析 章末质量检测
由假设可知3(62k＋3k＋2＋3k)是11的倍数，
而33·62k也是11的倍数，
即n＝k＋1时，原命题成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N＋原命题成立． [方法技巧] 利用数学归纳法证明等式或整除问题，关键 是利用“加”、“减”项，“拆”、“并”项等恒等变形的方 法，去“凑”假设、“凑”结论．
由此，对于任意的正整数n，(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶
数． [技巧归纳] 这个结论显然是错误的，原因就在于证明中 缺少第一步奠基步骤，实际上，n＝1时，(1＋1)2＋(1＋2)2＝4 ＋9＝13不是偶数，这说明使用数学归纳法时缺第一步不可．
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
知识网络构建 考纲考情点击 热点考点例析 章末质量检测
也是错误的，它忽视了第一步的奠基作用，因此如果没有P(1)
成立，归纳假设P(k)成立就没有了依据，因此递推性也就成了 无源之水．
数学 选修4-5
第四讲 数学归纳法证明不等式
知识网络构建 考纲考情点击 热点考点例析 章末质量检测
不要奠基步骤，我们来证明(n＋1)2＋(n＋2)2一定 是偶数(n∈N＋)． 解析： 假设n＝k时命题成立， 即(k＋1)2＋(k＋2)2是偶数． 当n＝k＋1时，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的 所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的步骤
答 案 1.(1)n＝n0 (2)n＝k(k∈N＋，且 k≥n0) n＝k＋1
思考探究 1．数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为 1? 提示 不一定．
2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第 二步可以吗？为什么？
【变式训练 1】 用数学归纳法证明：n∈N＋时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，右边＝2×11＋1＝13， 左边＝右边，∴等式成立．
(2)假设 n＝k 时，等式成立，即 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1. 则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3
第四讲 数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解数学归纳法的原理及其使用范围． 2．掌握数学归纳法的基本步骤． 3．通过简单问题的证明，体会数学归纳法的作用.
课前预习 1.数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有 正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当________时命题成立． (2)假设当______________时命题成立，证明________时命 题也成立．
2．数学归纳法 数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归 纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．
(1)数学归纳法的原理 从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步 骤，第一步，验证 n＝n0 时，命题成立，称为奠基．第二步，是 假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了 n ＝n0 时，命题成立，n＝n0 成为后面递推的出发点．第二步的归 纳假设 n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依据，在 n＝n0 成立时，n0＋ 1 成立，n0＋2 成立……这样就可以无限推理下去，而证 n＝k＋ 1 就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理， 切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．
＝(－1)k－1·23k＋13＋(－1)k·2k ＝－(－1)k·23k＋(－1)k·2k＋13 ＝－13＋1(－1)k·2k＋13 ＝(－1)k·2k3＋1＋13. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立．
误区警示 数学归纳法的关键步骤是第二步，以假设为依 据，推证 n＝k＋1 时命题的正确性，从而起到递推的作用，若 撇开假设这个条件，这样的证明不能说明命题具备传递性，所 以，它不是数学归纳法．
(2)完全归纳法 如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种 归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的 结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个， 是不能做到一一验证的． 对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得 出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证 明方法．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝23＋13＝1，等 式成立．
(2)假设 n＝k 时，等式成立，即 1－2＋4－8＋…＋(－1)k－12k －1＝(－1)k－1·23k＋13.
则当 n＝k＋1 时，有 1－2＋4－8＋…＋(－1)k－1·2k－1＋(－1)k·2k ＝1－1－－－22k＋1 ＝13－－23k＋1 ＝13－(－1)k＋1·2k3＋1 ＝(－1)k·2k3＋1＋13.
(4)正确寻求递推关系，①在验证 n＝n0 时，不妨多写出几 项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特 例归纳出规律，即找出 f(k)到 f(k＋1)的图形的变化情况；③对 于整除性问题，往往添加项凑出假设．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例 1】 看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误 的原因，并加以改正． 用数学归纳法证明： 1－2＋4－8＋…＋(－1)n－1·2n－1＝(－1)n－1·23n＋13.
这就是说，当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)与(2)知，对任意 n∈N＋等式成立．
【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证 明等式成立．在第二步中，证 n＝k＋1 时没有用上假设，而是 直接利用等比数列的求和公式，这是错误的．第二步正确证法 应为：
当 n＝k＋1 时，1－2＋4－8＋…＋(－1)k－1·2k－1＋(－1)k2k
提示 不可以．这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺 少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤 ①，无法递推下去，即 n 取 n0 以后的数时命题是否正确，我们 无法判定．同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不 正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提， 步骤②也就没有意义了.
(2)应用数学归纳法的一般步骤 ①验证 n＝n0(n0 为使命题有意义的最小正整数)命题成立； ②假设当 n＝k(k≥n0，k∈N＋时)，命题成立，利用假设证 明 n＝k＋1 时命题也成立． 由①和②知，对一切 n≥n0 的正整数命题成立．
3．如何正确运用数学归纳法 (1)适用范围，与正整数有关的数学命题． (2)验证 n＝n0 是基础，找准 n0，它是使命题成立的最小正 整数，不一定都是从 1 开始． (3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从 n＝k 到 n ＝k＋1 的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．
名师点拨 1.归纳法 由一系列有限的特殊事物得出一般结纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．
(1)不完全归纳法 不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一 般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的， 应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．